Phương pháp phân loại dạng toán tính khoảng cách trong hình học không gia

PHƯƠNG PHÁP PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài Năm 2018 năm thứ triển khai thi trắc nghiệm mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia Đồng thời năm thi chương trình lớp 11 mà đặc biệt nội dung thi hình học có tới 50% tốn hình học khơng gian tổng hợp, trọng tâm kiến thức phần khoảng cách Qua đề thi THPT quốc gia năm 2017 đề tham khảo cho năm 2018 cho ta thấy tốn hình học khơng gian tổng hợp nói chung tốn khoảng cách nói riêng mức độ thơng hiểu phần đa vận dụng thấp số vận dụng cao Do để đạt kết cao cho thi mơn tốn đòi hỏi học sinh ngồi việc có kiến thức vững vàng cần có kỹ linh hoạt làm thời gian ngắn số lượng câu hỏi lại nhiều, đòi hỏi em gặp toán cần linh hoạt lựa chọn cho cách giải nhanh lại phải xác Ngồi tốn khoảng cách khơng gian giữ vai trò quan trọng, xuất hầu hết đề thi đề thi học sinh giỏi năm gần Vì phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Trong sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo, loại tập nhiều song dừng việc cung cấp tập cách giải, chưa có tài liệu phân loại cách rõ nét phương pháp tính khoảng cách khơng gian Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian hạn chế nên việc biên soạn chun đề có tính hệ thống phần gặp nhiều khó khăn Khi học sinh, suy nghĩ toán nhỏ, nhờ hướng dẫn Thầy giáo đã giúp tơi có tốn mới, lời giải mới.Và giúp tơi có phân tích hay, sâu sắc bục giảng, có thêm kinh nghiệm, sáng tạo, có niềm tin vào mình.Vì song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh lên lớp, ln coi việc bồi dưỡng lực tư tốn cho học sinh cách trực tiếp gián tiếp thơng qua giải tốn Đặc biệt bồi dưỡng lực sử dụng phương pháp hàm số cho học sinh nhiệm vụ quan trọng việc giảng dạy toán Qua nhiều năm đứng bục giảng, bàn tới vấn đề này, băn khoăn làm dạy đạt kết cao nhất, em chủ động việc chiếm lĩnh kiến thức Thầy đóng vai trò người điều khiến để em tìm đến đích lời giải Chính lẽ hai năm học 2016 - 2017 2017 - 2018, Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu đề tài “Phương pháp phân loại dạng toán tính khoảng cách hình học khơng gian ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Một mặt giúp học sinh hiểu chất vấn đề, em phát hướng giải tốn tính khỏng cách hình học khơng gian tổng hợp, tạo cho em hứng thú giải tốn nói chung giải tốn liên quan đến hình học khơng gian nói riêng Mặt khác sau nghiên cứu tơi có phương pháp giảng dạy có hiệu cao lên lớp, trả lời thoả đáng câu hỏi “Vì vẽ hình đẹp nhìn nhanh vậy” Cung cấp cho học sinh cách tính khoảng cách tốn hình học khơng gian tổng hợp Giới thiệu số ví dụ minh họa giải tốn tính khoảng cách khơng gian Từ giúp học sinh nâng cao lực tư hình học 1.3 Đới tượng nghiên cứu: Các tập sách giáo khoa mơn tốn THPT đề thi đại học năm gần phần tính khoảng cách toán liên quan 1.4 Phương pháp nghiên cứu: 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Từ tài liệu tham khảo q trình giảng dạy tơi đúc rút hệ thống lý thuyết phương pháp hàm số nói chung để giải toán THPT đặc biệt vận dung vào tính khoảng cách tốn liên quan 1.4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin Qua q trình giảng dạy thực tiễn, qua kênh thông tin khác giao tập, làm đề khảo sát theo chuyên đề từ có điều chỉnh ngày phù hợp với thực tiễn nhận thức học sinh góp phần nâng cao chất lượng giáo dục phần tập tính khoảng cách khơng gian 1.4.3 Phương pháp thống kê, xử lý số liệu Từ báo kết kiểm tra qua thống kê xử lý số liệu để biết hiệu sáng kiến từ đề giải pháp tối ưu cho cơng tác giảng dạy phần mũ logarít năm học tới II PHẦN NỘI DUNG Phương pháp phân loại dạng toán tính khoảng cách hình học khơng gian 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng  Gọi H hình chiếu O  Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  Kí hiệu d (O, ) * Nhận xét - M �, OM �d (O,  ) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta + Xác định hình chiếu H O  tính OH + Áp dụng công thức 2.1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng () Gọi H hình chiếu O () Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () Kí hiệu d (O,( )) * Nhận xét - M  ( ), OM d (O,( )) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () ta sử dụng cách sau: Cách Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O () tính OH * Phương pháp chung - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vng góc với () - Tìm giao tuyến  (P) () - Kẻ OH   ( H � ) Khi d (O,( ))  OH Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường vng góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy Cách Sử dụng cơng thức thể tích 3V Thể tích khối chóp V  S h � h  Theo cách này, để tính S khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S Cách Sử dụng phép trượt đỉnh Ý tưởng phương pháp là: cách trượt đỉnh O đường thẳng đến vị trí thuận lợi O ' , ta quy việc tính d (O,( )) việc tính d (O ',( )) Ta thường sử dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () M, N   d ( M ;( ))  d ( N ;( )) Kết Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () điểm I M, N   (M, N không trùng với I) d ( M ;( )) MI  d ( N ;( )) NI Đặc biệt, M trung điểm NI d ( M ;( ))  d ( N ;( )) d ( M ;(  ))  d ( N ;( )) I trung điểm MN Cách Sử dụng tính chất tứ diện vng Cơ sở phương pháp tính chất sau: Giả sử OABC tứ diện vuông O ( OA  OB, OB  OC , OC  OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính cơng thức 1 1    2 OH OA OB OC Cách Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở phương pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau sử dụng cơng thức sau: Ax0  By0  Cz0  D d ( M ;( ))  với M ( x0 ; y0 ; z0 ) , ( ) : Ax  By  Cz  D  A2  B  C uuur r MA �u r d ( M , )  r với  đường thẳng qua A có vectơ phương u u r ur uuur u �u ' AA ' ur d (,  ')  r ur với  ' đường thẳng qua A ' có vtcp u ' u �u ' Cách Sử dụng phương pháp vectơ 2.1.3 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với Cho điểm đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng () khoảng cách từ điểm  đến mặt phẳng () Kí hiệu d (,( )) * Nhận xét - M  , N ( ), MN d ( ,( )) - Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d (( );(  )) * Nhận xét M ( ), N (  ), MN d (( );(  )) - �γ - Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.1.5 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng  cắt a b đồng thời vng góc với a b gọi đường vng góc chung a b Đường vng góc chung  cắt a H cắt b K độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Kí hiệu d (a, b) * Nhận xét M a, N b, MN d (a, b) - �γ - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta làm sau: + Tìm H K từ suy d (a, b)  HK + Tìm mặt phẳng (P) chứa a song song với b Khi d (a, b)  d (b,( P )) + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) chứa a b Khi d (a, b)  d (( P),(Q)) + Sử dụng phương pháp tọa độ * Đặc biệt - Nếu a  b ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi d (a, b)  IH - Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Bài tập tính khoảng cách khơng gian số vấn đề khó học sinh nói chung với học sinh trường Lê Lai nói riêng Bởi tốn học tập tính khoảng cách khơng gian coi nội dung đòi hỏi học sinh phải có khả tư trừ tượng tốt Khó khăn lớn học sinh vấn đề việc dựng độ dài khoảng cách khơng gian đòi hỏi em phải có kiến thức hình học khơng gian chắc, đặc biệt phần quan hệ vng góc chương III sách giáo khoa lớp 11 Đặc biệt việc tính khoảng cách khơng gian cần chuyển qua việc tính độ dài đoạn thẳng phải ghép vào tam giác giải tam giác đó, học sinh cần có kỹ giải tam giác không gian Tuy nhiên công việc khơng đơn giản hình biểu diễn quan hệ vng góc, bàng thường khơng bảo tồn việc sử dụng không gian chiều để biểu diễn khơng gian ba chiều việc vận dụng công thức giải tam giác khơng gian lại trở nên khó khăn Thực tế kết kiểm tra trước áp dụng sáng kiến lớp 12 năm học 2016 – 2017 sau Lớp kiểm tra Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 12B5 3% 40% 40% 17% Lớp 12B4 1% 30% 51% 18% Lớp 12B8 0% 15% 43% 40% Từ thực trạng đã trăn trở tìm giải pháp để áp dụng cho lớp dạy năm học 2017 – 2018 nhằm giải khó khăn nâng cao chất lượng giải tập tính khoảng cách không gian kỳ thi THPT săp tới 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp tính trực tiếp Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc �  600 , có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) SO = a BAD a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) Lời giải S OK  BC � BC  SOK   a) Hạ Trong (SOK) kẻ OH  SK � OH   SBC  F � d  O,  SBC    OH Ta có ABD � BD  a � BO  a ; AC  a H A Trong tam giác vng OBC có: 1 13 a 39 E    � OK  O 2 OK OB OC 3a 13 B D C Trong tam giác vng SOK có: 1 16 a a Vậy d  O,  SBC    OH     � OH  2 OH OS OK 3a 4 b) Ta có AD / / BC � AD / /  SBC  S B D K � d  AD,  SBC    d  E ,  SBC   EF / / OH  F �SK  Kẻ Do OH   SBC  � EF   SBC  Ví dụ (Đề thi Đại học khối A năm 2010) K N A D H M B C Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH  a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Lời giải � Ta có: MAD  NCD � � ADM  DCN � MD  NC Do SH   ABCD  � MD  SH MD   SHC  Kẻ HK  SC  K �SC  Suy HK đoạn vng góc chung DM SC nên d  DM , SC   HK Ta có: CD 2a SH � HC 3a HC    � , HK  CN 19 SH  HC 2 3a Vậy d  DM , SC   19 2.3.2 Phương pháp sử dụng cơng thức tính thể tích Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP dễ dàng Vậy ta nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) việc tính thể tích khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) thay khoảng cách từ C đến (SAB) Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD, SO  (ABCD) 1 a2 M, N trung điểm SA SB nên S AMN  S ANS  S ABS  16 PC / /( AMN ) S � d  ( P,( AMN ))   d  (C ,( AMN ))  Vậy: M N D P C A O B 1 VP AMN  S AMN d  ( P,( AMN ))   S ABS d  (C ,( AMN ))  3 1 1  VC ABS  VS ABC  S ABC SO S ABC  a , SO  SA2  AO  a 4 2 3V 1 a a3 � d  ( P,( AMN ))   PAMN  a Vậy VAMNP  a  S AMN 12 2 48 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK) Phân tích Khối chóp AOHK ASBD S có chung đỉnh, đáy nằm mặt phẳng nên ta tính thể tích khối chóp OAHK, tam giác AHK cân nên ta tính diện tích K Lời giải D H Cách 1: VOAHK  S AHK d  O;  AHK   A Trong đó: O B G C I J 1 a a ;    � AH   SAD   SAB � AK  AH  2 2 AH AB AS 2a 3 Ta có HK BD đồng phẳng vng góc với SC nên HK // BD AI cắt SO G trọng tâm tam giác SAC, G thuộc HK nên HK SG 2 2a Tam giác AHK cân tai A, G trung điểm   � HK  BD  BD SO 3 2 1 2a HK nên AG  HK AG  AI  SC  2a  3 3 1 2a 2a 2 a S AHK  AG.HK   2 3 1 VOAHK  VAOHK  d  A;  OHK   S OHK  d  A;  SBD   SOHK  h.S OHK 3 Tứ diện ASBD vuông A nên: 1 1 a 10     � h  h AS AB AD 2a Tam giác OHK cân O nên có diện tích S  1 a 10 2a 5a 2a S  OG.HK   � VOAHK  Sh  2 27 2a 3� 3VOAHK 27  a � d  O;  AHK     S AHK 2 2a Cách 2: Ta chứng minh VOAHK  VSABD 1 2 OG  � BD � SO  S SBD Ta có: HK  BD; OG  SO � SOHK  HK � 3 2 9 2 1 a3 � VAOHK  VSABD  � SA � AB � AD  9 27 Cách 3: Giải phương pháp tọa độ sau: Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O  A, B(a ; ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; ; a ) � 2a a � �2a a � �a a � 0; ; Tính SH, SK suy tọa độ H � �, K � ;0; �, O � ; ;0 � 3 3 � � � � �2 � uuur uuur uuur 1� AH , AK � AO Áp dụng công thức V  � � Cách 4: SC  (AHK) nên chân đường vng góc hạ từ O xng (AHK) xác định theo phương SC * AH  SB, AH  BC (do BC  (SAB))  AH  SC Tương tự AK  SC Vậy SC  (AHK) * Giả sử (AHK) cắt SC I, gọi J trung điểm AI, OJ // SC  OJ  (AHK) SA = AC = a  SAC cân A  I trung điểm SC 1 a Vậy OJ  IC  SC  2a  4 2.3.3 Phương pháp trượt Ví dụ (Đề thi Đại học khối B1 C1 B năm 2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật A1 AB  a, AD  a Hình chiếu D1 vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích B C K O H A E D khối lăng trụ đã cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Phân tích Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 vị trí thuận lợi C quy việc tính d  B1 ;  A1 BD   thành tính d  C ;  A1 BD   Bài giải   ABCD  * Gọi O giao điểm AC BD � AO Gọi E trung điểm AD � OE  AD & A1 E  AD � � A1EO  600 a suy S ABCD  a AO  OE.tan � A1 EO  3a Vlt  AO S ABCD  * Tính d  B1 ;  A1 BD   : Cách 1: Do B1C // (A1BD) � d  B1 ;  A1BD    d  C ;  A1BD   Hạ CH  BD � CH   A1BD  � d  C ;  A1 BD    CH  Cách 2: d  B1;  A1 BD    d  C ;  A1 BD    d  A;  A1 BD    CB.CD CB  CD 2  a 3VA ABD S A BD a Trong đó: VA ABD  Vlt  1 a a2 SA BD  AO BD  � � 2a  2 2 a 3� a � d  B1 ;  A1BD     a Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh a, SA  a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC) 1 10 Phân tích: Do OA � SBC   C , nên thay việc tính d  O,  SBC   ta tính d  A,  SBC   , tương tự ta quy việc tính d  G,  SAC   thơng qua việc tính d  E ,  SAC   hay d  B,  SAC   Lời giải a) Ta có: OA � SBC   C nên: d  O,  SBC   OC   d  A,  SBC   AC � d  O,  SBC    d  A,  SBC   S G H A D F E Gọi H hình chiếu A SB ta có: �AH  SB B � AH   SBC  � AH  BC � Trong tam giác vuông SAB có: 1 a  2  � AH  2 AH SA AB 3a 1 a � d  O,  SBC    d  A,  SBC    AH  2 b) Gọi E trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB Do EG � SAB   S nên d  G,  SAC   GS 2   � d  G ,  SAC    d  E ,  SAC   d  E ,  SAC   ES 3 O C �BO  AC � BO   SAC  ; BE � SAC   A Ta có: � BO  SA � 1 a � d  E ,  SAC    d  B,  SAC    BO  2 a a � d  G,  SAC    �  2.3.4 Phương pháp sử dụng tính chất tứ diện vuông Định nghĩa Tứ diện vuông tứ diện có đỉnh mà ba góc phẳng đỉnh A góc vng Tính chất Giả sử OABC tứ diện vuông O ( OA  OB, OB  OC , OC  OA ) H H O C D B 11 hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính cơng thức 1 1    OH OA2 OB OC Chứng minh Giả sử AH �BC  D , OH  ( ABC ) � OH  BC (1) OA  OB, OA  OC � OA  BC (2) Từ (1) (2) suy BC  OD Trong tam giác vuông OAD OBC ta có 1 1 1   ,   OH OA2 OD OD OB OC 1 1    Vì OH OA2 OB OC Mục tiêu phương pháp sử dụng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách từ đỉnh tam diện vuông đến mặt huyền áp dụng tính chất Ví dụ Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm AA ' BB ' Tính khoảng cách B ' M CN Phân tích Để tính khoảng cách B ' M CN A' C' ta tìm mặt phẳng chứa CN song song với B ' M , ta dùng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng B' M việc tính khoảng cách tứ diện vuông D N Lời giải A Gọi O, D trung điểm BC CN C OACD tứ diện vng O AMB ' N hình O bình hành � NA / / B ' M Mặt phẳng (ACN) chứa B CN song song với B ' M nên d ( B ' M , CN )  d ( B ' M ,( ACN ))  d ( B ',( ACN ))  d ( B,( ACN ))  2d (O,( ACD))  2h Áp dụng tính chất tứ diện vng ta 1 1 64 a a     � h  Vậy d ( B ' M , CN )  h OA2 OC OD 3a Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CM A ' D Lời giải Gọi N trung điểm BB ' A ' NCM hình bình hành nên A ' N / / CM Mặt phẳng ( A ' ND ) chứa A ' D song song với CM nên 12 d (CM , A ' D)  d (CM ,( A ' ND)) với  d ( M ,( A ' ND))  d ( M ,( A ' DE )) E  AB �A ' N Gọi O  AD '�A ' D, G  AD '�AM G trọng tâm tam giác ADD ' Do d ( M ,( A ' DE )) GM   d ( A,( A ' DE )) GA Tứ diện AA ' DE vuông A nên 1 1 2a     � d ( A,( A ' DE ))  2 2 d ( A,( A ' DE )) AA ' AD AE 4a a Vậy d (CM , A ' D)  d ( M ,( A ' DE ))  d ( A,( A ' DE ))  2.3.5 Sử dụng phương pháp tọa độ * Phương pháp: Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình xét Bước 2: Chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ toạ độ - véc tơ Bước 3: Giải toán phương pháp toạ độ, chuyển sang ngơn ngữ hình học Ví dụ Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳng    qua đường chéo B’D a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) b) Xác định vị trí mặt phẳng    cho diện tích thiết diện cắt mp    hình lập phương bé A N B z Phân tích: Với hình lập phương ta ln chọn hệ toạ độ thích hợp, tạo độ đỉnh đã biết nên việc C tính khoảng cách hai mặt phẳng D H (ACD’) (A’BC’) trở nên dễ dàng Với y phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện việc tính khoảng cách từ M đến A' B' đường thẳng DB’ Lời giải D' A' C' B' M O G N D C A B E x M Chọn hệ toạ độ cho gốc toạ độ O �D '  0;0;0  A '  0;1;0  , B '  1;1;0  , C '  1;0;0  , A  0;1;1 , C  1;0;1 Gọi M điểm đoạn thẳng C’D’, tức M  x;0;0  ; �x �1 a) Dễ dàng chứng minh (ACD’) // (A’BC’) D' C' 13 � d   ACD ' ,  A ' BC '    d  A ',  ACD '   Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x  y  z  � d   ACD ' ,  A ' BC '   d  A ',  ACD '    b) Giả sử    cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, hình lập phương có mặt đối diện song song với nên    cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM DN//MB’ Vậy thiết diện hình bình hành DMB’N Gọi H hình chiếu M DB’ Khi đó: S DMB ' N  DB '� MH  DB '� d  M , DB '  Ta có: DB '  uuuu r uuuu r � MD ; DB '� � � 2x  2x  d ( M , DB ')   uuuu r DB ' � 1� Dấu đẳng thức xảy x  S DMB ' N  x  x   �x  � � 2 � 2� �1 � Nên diện tích S DMB ' N nhỏ M � ;0;0 �, hay M trung điểm D’C’ �2 � �1 � 0; ;0 � Hoàn toàn tương tự M  0; y;0  � M � �2 � Vậy diện tích S DMB ' N nhỏ M trung điểm D’C’ M trung điểm D’A’ Ví dụ 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA   ABCD  , SA  a Gọi M điểm di động cạnh CD Xác định vị trí M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ Lời giải Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho O �A  0;0;0  , B  1;0;0  , C  1;1;0  , D  0;1;0  , S  0;0;1 M điểm di động CD nên M  t ;1;0  với �t �1 uuuu r z BM   t  1;1;0  uur uuuu r S � SB, BM � t  2t  � � d  S , BM    uuuu r t  2t  2 BM t  2t  Xét hàm số f  t   [0;1] t  2t  2 C A y M K B x D 14 f ' t   t 2  t  1  2t   Ta có bảng biến thiên: t f’(t) � � - + f(t) 3 f  t   , đạt t = Từ bảng biến thiên ta có 0;1   max f  t   , đạt t =  0;1 Do d  S , MB  lớn M �C & d  S , BM   d  S , MB  nhỏ M �D & d  S , BM   2.3.6 Sử dụng phương pháp véc tơ * Phương pháp: Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa giả thiết kết luận tốn hình học đã cho ngôn ngữ “véc tơ” Bước 2: Thực u cầu tốn thơng qua việc tiến hành biến đổi hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc Bước 3: Chuyển kết luận “véc tơ” sang kết hình học tương ứng Ví dụ 11 (Đề thi đại học khối D năm 2007) �  900 , BA  BC  a , Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang � ABC  BAD AD  2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng S ( SCD ) cách từ H đến mặt phẳng uuu r r uuur r uuu r r Lời giải Đặt AB  a; AD  b; AS  c r r r r r r Ta có: a � c  0; b � c  0; a � b0 uur r r uuu r r r r uuu r r r SB  a  c; SC  a  b  c; SD  b  c Gọi N chân đường vng góc hạ từ H lên mặt phẳng (SCD) � d ( H ;( SCD ))  HN N E H K A Q D P B C M 15 SH  SB uuur uuur uuu r uuu r uuu r uur Khi : HN  HS  SN   SB  xSC  ySD r r r � � �x � �2 �  �x  � a  �  y� b �  x  y� c � � �2 � �3 � Ta có: r �2 r2 � � �r �x � � uuur uuu r x  a   y b   x  y c  �x  � � � � � � � � � SC  � �HN � � � �2 � �3 � � � � r �uuur uuu � � r �2 r2 �x � � SD  � � �HN � y  y� b �  x  y� c 0 � � � �2 � �3 � � Dễ dàng tính uuur r r r �r r r � a � HN  a  b  c � HN  a  b  c � � 12 6 � � Cách 2: Gọi d1 , d khoảng cách từ điểm H B đến mp(SCD), ta có: d1 SH 2 3V 2V   � d1  d  � BSCD  BSCD d SB 3 S SCD S SCD 1 1 a3 SBCD  SA � SBID  SA � AB � ID  Trong VBSCD  SA � 3 3 CD  AC � � CD  SC Ta có: � CD  SA � 1 � S SCD  SC � CD  SA2  AB  BC �CE  ED  a 2 2 a � d1  Cách 3: Sử dụng tính chất tứ diện vng Phân tích Trong tốn này, việc tìm chân đường vng góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) khó khăn Vì vậy, ta tìm giao điểm K AH (SCD) quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) việc tính khoảng cách từ A đến (SCD) Gọi M giao điểm AB CD, K giao điểm AH với SM Ta có: BH  Suy H trọng tâm tam giác SAM BS d  H ,  SCD   KH   Từ ta có: d  A,  SCD   KA Do tứ diện ASDM vuông A nên: 16 1 1     � d  A,  SCD    a 2 d  A,  SCD   AS AD AM a a * Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc quan trọng giải tốn phương pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải ba véc tơ không đồng phẳng + Hệ véc tơ gốc nên hệ véc tơ mà chuyển u cầu tốn thành ngơn ngữ véc tơ cách đơn giản Ví dụ 12 (Đề thi ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M , N trung điểm AE BC Tính khoảng cách MN AC Vậy d  H ,  SCD    S E Giải: �� � � �� � � �� � � Đặt : OA  a, OB  b, OS  c � � � � � � Ta có : a c  0, b c  0, a b  uuuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r MN  MA  AC  CN  SD  AC  CB 2 u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1  SO  OD  AC  CO  OB 2 r r  a c 2  �� �   M P c A  D a B b O N C � AC  2 a Gọi PQ đoạn vuông góc chung MN AC , ta có: uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuur PQ  PM  MA  AQ  xMN  SD  y AO r r 1r � r r� r r � �r  x�  a  c � c  b  ya   �y  x � a   x  1 c  b �2 �2 � � r2 �3 � �r uuur uuuu r y  x a  x  a  �x  1   �2 � � � MN  � �PQ � � � � �� �� �uuur uuur y � �r AC  �PQ � � � �y  x � a 0 � � �� � uuur 1r a2 a 2 � PQ   b � PQ  OB  � PQ  Cách 2:   17 �MP / / AD � Ta có: � ; MP  AD � � � MN / /  SAC  �NC / / AD � nên tứ giác MNCP hình bình hành � NC  AD � � �BO  SO � BO   SAC  Do hình chóp SABCD � � �BO  AC 1 a � d  MN ; AC   d  N ;  SAC    d  B;  SAC    BO  BD  2 4 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Tâm lý học sinh ngại học hình mà đặc biệt lại hình học khơng gian tổng hợp ngại Đồng dạng tốn hay chủ đề thường gặp đề thi THPT quốc gia năm Do học sinh thường có tâm trạng lo lắng chưa nắm vững phương pháp tính đã nêu Tuy nhiên, giáo viên hướng dẫn em trình dạy em đã tự tin cảm thấy thích thú với chủ đề Đó coi thành công đề tài Qua đã giúp em hăng say yêu mơn Tốn đồng thời tạo cho em tâm lí tự tin bước vào kỳ thi quan trọng Kết thúc đề tài đã tổ chức cho em học sinh lớp 12A5 12A2 làm đề kiểm tra 45 phút với nội dung tốn thuộc dạng có đề tài Đồng thời lấy lớp 12A1 ( Trường THPT Lê Lai) để làm lớp đối chứng với đề kiểm tra Kết khả quan, cụ thể sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 12A5( Thực nghiệm) 13% 50% 30% 7% Lớp 12A2( Thực nghiệm) 11% 50% 31% 8% Lớp 12A1( Đối chứng) 2% 15% 43% 40% Rõ ràng đã có khác biệt hai đối tượng học sinh Như chắn phương pháp mà nêu đề tài đã giúp em phận loại dạng vận dụng tốt phương pháp hàm số việc giải toán tập tính khoảng cách khơng gian, giúp em tự tin học tập thi III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua ví dụ có vài nhận xét sau : Khi giải tập tính khoảng cách khơng gian đưa ta giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mà cách giải lựa chọn hướng sau : - Trực tiếp dựng đoạn thănngr qua điểm A vuông góc với mặt phẳng H từ ta có AH khoảng cách cần tìm - Dùng phương vec tơ 18 - Dùng phương pháp tọa độ Ngoài tốn khoảng cách sử dụng số dạng tốn khác tính thể tích khối đa diện đặc biệt khối chóp, tính loại góc… Từ ví dụ thấy tầm quan trọng tốn tính khoảng cách hình học khơng gian Trong loại khoảng cách khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách quan trọng khoảng cách lại dựa vào để tính trừ khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Vấn đề dặt cần biết cách quy khoảng cách Kinh nghiệm cho thấy em cần quy lợi dụng chân đường cao để tính 3.2 Kiến nghị - Kiến nghị với Sở GD&ĐT phổ biến rộng rãi đề tài giải để giáo viên tham khảo - Mở rộng khuyến khích việc mở lớp chuyên đề, ôn luyện, kiểm tra đánh giá việc ôn luyện học sinh - Mong mn lín nhÊt cđa t«i thực đề tài giúp em học sinh thấy phương pháp tính loại khoảng cách không gian Đề tài hẳn tránh khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ,đồng nghiệp đọc đóng góp ý kiến cho tơi, để đề tài tơi hồn thiện hơn./ Xin chân thành cảm ơn ! XC NHN CA TH Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2018 TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tác giả Nguyễn Thị Hoa 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Sách giáo khoa Hình học nâng cao 12 – Đồn Quỳnh, Văn Như cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân - Nhà xuất Giáo dục, 2007 [2] Giải tốn hình học 11 – Trần Thành Minh – Trần Đức huyên – Nguyễn Quang Nghĩa - Nhà xuất Hà Nội, 2004 [3] Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng mơn Tốn từ năm 2002 đến năm 2017 [4] Các phương pháp giải tốn hình học khơng gian lớp 11 - Huỳnh Công Thái - Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2012 [6] Đề khảo sát chất lượng khối 12 năm học 2017 – 2018 Sở GD&ĐT Thanh Hóa [7] Đề minh họa Bộ giáo dục đào tạo năm 2018 [8] Tham khảo số tài liệu mạng internet - Nguồn: http://MathVN.com.vn - Nguồn: http://toanhoc247.edu.vn 20 Danh mục các đề tài SKKN mà thân được Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT đánh giá đạt từ loại C trở lên Tên đề tài Sáng kiến Xếp Năm cấp loại Phương pháp tọa độ hóa giải 2014-2015 tốn THPT “ Hướng dẫn học sinh nâng cao kỹ giải tốn hình 2015-2016 học khơng gian lớp 11 bản” Phương pháp hàm số giải 2016- 2017 phương trình mũ logarit Số, ngày, tháng, năm định công nhận, quan ban hành QĐ C QĐ số: 988/QĐ-SGD&ĐT ngày 03/11/2015 C QĐ số: 972/QĐ-SGD&ĐT ngày 28/11/2016 C QĐ số 1112./QĐ-SGD&ĐT ngày 18/10/2017 21 ... quan trọng tốn tính khoảng cách hình học khơng gian Trong loại khoảng cách khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách quan trọng khoảng cách lại dựa vào để tính trừ khoảng cách từ điểm đến... tài Phương pháp phân loại dạng toán tính khoảng cách hình học khơng gian ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Một mặt giúp học sinh hiểu chất vấn đề, em phát hướng giải tốn tính khỏng cách hình học. .. “Vì vẽ hình đẹp nhìn nhanh vậy” Cung cấp cho học sinh cách tính khoảng cách tốn hình học khơng gian tổng hợp Giới thiệu số ví dụ minh họa giải tốn tính khoảng cách khơng gian Từ giúp học sinh