Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ

Trong quá trình học môn toán ở trường THPT bất cứ một học sinh nào cũng được làm quen với các dạng phương trình và cũng không tránh khỏi một số sai lầm phổ biến khi giải phương trình vô

MỤC LỤC

Trang

1 Mở đầu 2

I.1 Lý do chọn đề tài 2

I.2 Mục đích nghiên cứu 2

I.3 Đối tượng nghiên cứu 2

I.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung SKKN 3

2.1 Cơ sở lý luận 3

2.2 Thực trạng vấn đề 3

2.2.1 Sai lầm khi giải điều kiện 4

2.2.2 Sai lầm khi đặt điều kiện 5

2.2.3 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán 7

2.2.4 Sai lầm khi giải bài toán lên quan đến đạo hàm 12

2.3 Một số giải pháp 13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 15

3 Kết luận và kiến nghị 17

3.1 Kết luận 16

3.2 Kiến nghị 16

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Ở Trường phổ thông dạy toán là một hoạt động toán học Đối với học sinh

có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán Các bài toán

ở trường phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững được tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn

Trong quá trình học môn toán ở trường THPT bất cứ một học sinh nào

cũng được làm quen với các dạng phương trình và cũng không tránh khỏi một

số sai lầm phổ biến khi giải phương trình vô tỉ Vì vậy, tôi tập hợp các sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình dạy học thành tập sáng kiến với tên gọi

“ Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỷ” Từ đó rút ra kinh

nghiệm nhằm giúp các em học sinh học tập môn toán tốt hơn.Tập đúc rút kinh nghiệm này gồm các nội dung sau:

Sai lầm trong khi giải điều kiện.

Sai lầm khi đặt điều kiện.

Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.

Sai lầm khi giải bài toán liên quan tới đạo hàm

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong qua trình học toán ở trường phổ thông học sinh thường hay gặp khó khăn khi giải phương trình vô tỷ Vì vậy đề tài này sẽ chỉ ra ra một số sai lầm

mà học sinh dễ mắc phải khi giải phương trình vô tỉ đồng thời đề xuất một số giải pháp để khắc phục các sai lầm đó

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình vô tỷ( phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức)

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế và dạy học

- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí có liên quan tới dạy và học phương trình vô tỉ

- Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáo trong tổ bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

2. Nội dung SKKN

2.1 Cơ sở lý luận

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt

động học của trò, xuất phát từ mục tiêu” Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lưc,

bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc

biệt là bộ môn toán học rất cần thiết trong đời sống

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững các tri thức khoa học ở môn toán một cách hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào các dạng bài tập Điều đó đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán một cách có hệ thống trong chương trình phổ thông, vận dụng lý thuyết vào bài tập, phân dạng bài tập rồi tổng hợp các cách giải cụ thể để tránh những sai lầm dễ mắc phải

2.2 Thực trạng vấn đề

Trong gặp các bài toán về giải phương trình vô tỷ chưa phân dạng, học sinh chưa định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện, sử dụng các phép biến đổi không tương đương dẫn tới làm mở rộng hoặc thu hẹp miền xác định của phương trình đó và dẫn tới miền nghiệm không chính xác bởi nó có thể mất nghiệm hoặc thêm nghiệm

Khi giải phương trình vô tỷ học sinh thường mắc những sai lầm sau:

2.2.1 Sai lầm thứ nhất : Sai lầm trong khi giải điều kiện.

Ví dụ 1: Giải phương trình

2 1 1 1









x

Có học sinh giải như sau:











































1 1 1 0 0 )1 )(

( 0 0

2

x x x x x x x

x

(1)  (x 1 )(x 1 )  x 1 x 1

Do x  1 nên chia hai vế cho x 1

Ta có: x 1- 1 = x 1

Với x  1  x 1 < x 1  x 1- 1< x 1

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Phân tích sai lầm mắc phải ở đây là do học sinh lầm tưởng rằng







 0 0

A AB











0 0

B A

Cho nên học sinh đã giải sai điều kiện

Lời giải đúng

ĐK:   









 



  





1 1 1 0

1 0 1

2

x x x x

Với x=-1 nghiệm đúng phương trình

Với x  1 giải như trên

Vậy phương trình có nghiệm x=-1

Giáo viên lưu ý cho học sinh







 0 0

A AB



















0 0

nghia có B B

Ví dụ 2: Giải phương trình:

2 1 2

3

3











Có học sinh giải như sau:



























































1 2 1 0 1

0 ) 2 ( ( 0 0

3

x x x x x

x x x

x x

Vậy không tồn tại x để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên phương trình đã

cho vô nghiệm

Phân tích sai lầm học sinh mắc phải khi giải bất phương trình :

0 2 0

) 2 ( ) 1











x

Lời giải đúng:

1 1 1

0 ) 2 ( 1 ( 0 0 2

3

















  









  









x x x x

x x x

x x

Thay x=1 vào phương trình ta có: 2  2

Suy ra x=1 nghiệm đúng phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1.

2.2.2 Sai lầm thứ hai: Sai lầm khi đặt điều kiện.

1 Đối với phương trình dạng f(x) g(x) (1) học sinh thường biến đổi như sau:

(1)  f(x) g2 (x) (2)

Hoặc (1) 







0 ) (

) ( )

x f

x g x f

(3) Sau khi giải được nghiệm học sinh không thử lại với phương trình (1) mà khẳng định ngay nghiệm của (2) hoặc (3) là nghiệm của (1) và kết luận đó là nghiệm của phương trình ban đầu

Để khắc phục sai lầm này cho học sinh giáo viên hướng dẫn cho học sinh học theo phương pháp sau:

) ( ) ( 0 ) ( ) ( )

x g x f x g x g x













Ví dụ 1: Giải phương trình x2  1  2  x (1)

Giải:

5 5 4 2 ) 2 ( 1 0 2

2

























x x x x x

2 Đối với phương trình dạng : 3 f(x)  3 g(x) h(x) (1)

Học sinh cần biến đổi như sau:

(1)  f(x) g(x)  3 3 f(x)g(x) (3 f(x)  3 g(x)) = 3 ( )

x h

 f(x) g(x)  3 3 f(x)g(x) h(x) h3 (x) (2)

Sau khi giải song phương trình (2) học sinh kết luận luôn nghiệm của (2) chính là nghiệm của (1)

Sai lầm của học sinh là coi (1) và (2) là hai phương trình tương đương,

nhưng thực ra đó không tương đương vì ta đã thay thế h(x) bởi 3 f(x)  3 g(x)

Do đó để khắc phục sai cho học sinh ta nhấn mạnh rằng (1) và (2) không tương đương, phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1) nên khi giải xong phải thử lại nghiệm vào phương trình (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình:

3 3

3 x 1  2x 1  3x 1

Giải:

(1) 1 2 1 33 ( 1 )( 2 1 (3 ( 1 ) 3 2 1 ) 3 1























 3 3 (x 1 )( 2x 1 )( 3x 1 )  3

6 3 7 2 0





2 ( 6 7 ) 0

















6 7

0

x x

Thử lại (1) chỉ có x76 là thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm x67

3 Đối với phương trình dạng f(x)  g(x)  h(x) (1), học sinh thường biến đổi như sau:











) ( )

( ) ( 0 ) ( 0 ) (

2

x h x g x f x g x f

Do đó để khắc phục sai lầm cho học sinh ta cần nhấn mạnh rằng muốn bình phương 2 vế được phương trình tương đương thì 2 vế phải không âm Thực chất (1)  f(x)  g(x)  h(x)











2

) ( ) ( )

( 0 ) ( 0 ) (

x h x g x f x h x g

Nhiều học sinh kiến thức còn mắc phải sai lầm về kiến thức cơ bản

f(x)  g(x)  h(x)

 f(x) = g(x) + h(x).

2.2.3 Sai lầm thứ ba: Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.

Trong khi giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ học sinh thường mắc một

số sai lầm sau Thứ nhất, khi đặt ẩn phụ học sinh thường lãng quên đặt điều kiện của ẩn phụ, và cho rằng phương trình f x   0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trìnhg t   0 có nghiệm.Thứ hai, có đặt điều kiện nhưng điều kiện quá hẹp, quá rộng hoặc không sát, đặt ẩn phụ t  x để đưa phương trình về ẩn t, tuy nhiên học sinh chỉ đưa ra một điều kiện cần đối với t chứ không phải là điều

kiện cần và đủ Việc học sinh gặp sai lầm nói trên không chỉ giới hạn trong việc giải những phương trình mà ngay cả rất nhiều dạng toán khác

1 Học sinh không đặt điều kiện của ẩn phụ

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

1



Giải:









x

(1) m t2 1 2t

















Học sinh thường mắc sai lầm: phương trình (1) có nghiệm  phương trình

















Mà thực chất: phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm t 

0

Sử dụng kiến thức về đạo hàm ta có m + 1  0  m  -1

2 Học sinh có đặt điều kiện của ẩn phụ nhưng nó mới là điều kiện cần chứ chưa phải điều kiện đủ.

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

0 1 2











Giải:





 x t x









Học sinh thường mắc sai lầm:

Phương trình (1) có nghiệm suy ra phương trình (2) nghiệm t  0

Học sinh mắc phải sai lầm này là do nhầm tưởng rằng chỉ cần t  0 là

đủ nhưng thực ra t  0 mới chỉ là điều kiện cần

Thực chất ta phải tìm điều kiện đủ của t

2

2 )

2 (

x x x x x

] 1 , 0 [



Vậy phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm

]

1

,

0

[



t  đường thẳng y = 1 – m cắt đồ thị hàm số y = t2 + t tại những điểm có hoành độ thuộc [0, 1]

 0  1 – m  2

 -1  m  1

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2(x2 – 2x) + 2 2 5 0







H.D giải: Đặt t = 2 2 5



 x

x ta có phương trình: 2t2 + t - m – 10 = 0 (2) Giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh :

- Hãy chỉ ra miền xác định của ẩn x? (x2 – 2x +5 0  x|R)

- Với những giá trị của x thuộc miền xác định chỉ ra miền giá trị của t ?

t = x2  2x 5, …

Có thể nói gì về biểu thức dưới dấu căn?

x2 – 2x +5 = (x - 1)2 + 4  4, xR

Biểu thức dưới dấu căn luôn lớn hơn hoặc bằng 4 với mọi giá trị của x|R

- Có thể xác định được giá trị lớn nhất của biểu thức dưới dấu căn hay không?

( Không vì x dẫn tới + thì x2 – 2x + 5 sẽ dẫn tới + )

- Hãy chỉ ra miền giá trị của t?



 x

x = x 12  4  2 Miền giá trị của t là [2, +]

- Với giá trị nào của t thì phương trình t = 2 2 5



 x

x có nghiệm (t 2)

- Để phương trình (1) có nghiệm thì (2) phải như thế nào?

Trong ví dụ trước ta đã phân tích, diễn giải cách thức nhằm giúp học sinh phát hiện ra điều kiện ẩn phụ cũng như mỗi tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu ở đây ta thấy, không phải mọi giá trị của ẩn phụ đều dẫn tới sự tồn tại của

ẩn ban đầu, mà chỉ những giá trị ẩn phụ thoả mãn t 2 thì mới tồn tại của ẩn ban đầu tương ứng

Để giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn sự tương ứng giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, giáo viên đưa ra thêm một số yêu cầu mới, chẳng hạn:

* Tìm m để phương trình (1) có đúng 1 nghiệm

* Tìm m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm, …

Bây giờ học sinh phải xét kỹ hơn là: với một giá trị của t 2 thì sẽ tồn tại bao nhiêu giá trị của x tương ứng chính sự xét sự tương ứng sau đây sẽ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc, đầy đủ hơn về bài toán

+ t = 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tương ứng là x = 1

+ t > 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tương ứng

Giáo viên cần tận dụng những cơ hội thích hợp cho học sinh giải đúng những bài toán bằng phương pháp đồ thị, bảng biến thiên,…

Ví dụ 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm:

HD giải: Đặt t = x 2  4  x với x 2,4

Khi đó bài toán sẽ trở thành:

Tìm m để phương trình t2 – 2t + 2m – 2 = 0 (*)có nghiệm

Nếu dịch chuyển bài toán như thế là không tương đương, bởi vì các em chưa phát hiện được mối liên hệ giữa x và t

Để phát hiện được điều kiện tương ứng của t cũng không phải là dễ !

Học sinh thường mắc sai lầm sau:

- Do t là tổng 2 căn thức nên t 0

- Do t 0, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được t  2 nên điều kiện của t là t 0,2

Ở đây thực ra là phải tìm miền giá trị của t với x[2, 4] Đối với HS cuối cấp (lớp 12) sau khi đã được học kiến thức về hàm số thì phương pháp hay nhất vẫn là tìm miềm giá trị của t là lập bảng biến thiên của hàm số t với ẩn x

t

2 (4 )( 2

x x



Ta có bảng biến thiên:

x ////// 2 3 4 ///

y’ ////// + - ///

y ////// 2 ///

Vậy với x[2, 4] thì t [ ,2]

Khi đó ta có bài toán tương đương: Tìm m để phương trình

t2 – 2t + 2m - 2 = 0 có nghiệm t [ , 2]

Ta biến đổi PT (*) về dạng: t2 – 2t – 2 = -2m

Khảo sát hàm số f(t) = t2 – 2t – 2 với t [ , 2] tìm Max f(t)=-2 và minf(t) = -2 , t [ , 2]

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 1  m

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

4 6  x x 2  3x m  x  2 2 3  x. (1)

Giả sử học sinh đã biết hướng giải của bài toán này là đưa phương trình ban đầu về dạng mf x . Sau đó tìm miền giá trị của f x  (thường bằng cách sử dụng công cụ đạo hàm) Khi đó, phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi

m thuộc miền giá trị của f x .

Học sinh không quá khó khăn để phát hiện phương pháp giải nói trên Trong thực tế giảng dạy, chúng tôi thấy hầu như chỉ có những em có học lực khá trở lên mới tìm ra được kết quả cuối cùng Đa số các em thường gặp phải một trong các trở ngại sau:

Sau khi biến đổi (1) về dạng:   4 6 2 3

2 2 3

  

thì các em gặp khó khăn trong việc tìm miền giá trị của f x  mà trước hết là tìm f x'  bởi biểu thức của f x  khá phức tạp Để học sinh vượt qua chướng ngại này, giáo viên hãy yêu cầu các em nhận xét và phát hiện về mối liên hệ giữa các biểu thức có chứa trong f x :

 

2 2

Do đó, nếu đặt t x  2 2 3  x thì ta có 4 6 2 3 2 14.

2 2 3

t



Các em sẽ phạm sai lầm nếu kết luận rằng, phương trình (1) có nghiệm khi

và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số: g t  t2 14

t



 mà quên tìm điều kiện

của biến t Tuy nhiên, việc tìm miền giá trị của t phải sử dụng công cụ đạo hàm

(hoặc sử dụng bất đẳng thức), khảo sát hàm số:

t x  x  2 2 3  x x,   [ 2;3]

Tìm được miền giá trị của t là  5;5 

Cuối cùng, một lần nữa sử dụng công cụ đạo hàm (hoặc bất đẳng thức),

khảo sát hàm số: g t  t2 14,t 5;5

t



  Tìm được miền giá trị của g t  là

9 11

;

5

5



Điều này cũng có nghĩa: 9 11;

5 5

m  

  Thỏa mãn bài toán

Bên cạnh đó, có những bài toán mà việc tìm ra phương pháp giải không khó, đôi khi đã khá rõ ràng, thế nhưng cái khó chủ yếu lại thuộc về kỹ thuật giải Điều này đòi hỏi người làm toán không những sáng tạo trong quá trình tìm phương pháp giải mà còn phải sáng tạo trong quá trình thực hiện lời giải bài toán

Để khắc phục sai lầm cho học sinh người dạy cần nhấn mạnh các bước giải bài toán như sau:

Bước 1: Đặt ẩn phụ, từ điều kiện của ẩn chính tìm điều kiện của ẩn phụ Bước 2: Chuyển bài toán của ẩn chính về bài toán của ẩn phụ

Bước 3: Giải bài toán của ẩn phụ và kết luận

Khi học sinh làm bài yêu cầu học sinh kiểm tra xem mình có thực hiện đầy đủ các bước chưa?

2.2.4 Sai lầm thứ tư: Sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến đạo hàm

Trong khi giải bài toán bằng phương pháp đạo hàm học sinh hay mắc sai lầm là lấy giá trị chặn dưới ( hoặc chặn trên ) của tập giá trị là giá trị nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất ) của hàm số

Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm.

m x

Giải:

0 5 0















x x

x

Xét f(x)  x x 5 trên (5,  )

5 2

1 2

1 ) ( '







x x

x f

) 5 ( 2

5













x x

x

x x

Ta có bảng biến tiên

x   5 

f’ -

f 5

0

Học sinh thường kết luận phương trình có nghiệm khi 0 m 5 sai lầm

mắc phải là do học sinh lầm tưởng 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm f, thực chất nó

là giá trị chặn dưới

Kết luận đúng: phương trình có nghiệm 0 m 5

2.3.Một số giải pháp

Nhiệm vụ quan trọng của người thầy là hướng dẫn học sinh dự đoán được

những sai lầm, biết phân tích để tự tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháp tích cực để rèn luyện năng lực giải toán

Các sai lầm của học sinh trong giải toán hoàn toàn có thể khắc phục được

Hơn nữa chỉ ra các dạng sai lầm là cần thiết, song điều quan trọng hơn là dự đoán và khắc phục các sai lầm Để hạn chế được vấn đề này theo cá nhân tôi

người thầy giáo cần trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức về bộ môn Toán, các kiến thức về phương pháp giải toán Khắc phục hoàn toàn sai lầm là một vấn đề khó bởi lẽ các nguyên nhân dẫn đến sai lầm rất đa dạng, dưới đây tôi xin đưa ra một số giải pháp sau:

2.3.1 Làm cho học sinh nắm vững các kiến thức về môn toán