Một số sai lầm thường gặp của học sinh trong suy luận tương tự khi giải bất phương trình (SGK đại số 10, chương trình cơ bản)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRONG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ KHI GIẢI TỐN BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Sách giáo khoa Đại số 10, Chương trình bản) Người thực hiện: Vũ Đức Tuấn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học THANH HỐ NĂM 2018 MỤC LỤC MỤC I II 1.1 1.2 III NỘI DUNG MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận Phép suy luận tương tự Các hình thức phép suy luận tương tự Thực trạng vấn đề Giải pháp thực Hiệu sáng kiến kinh nghiệm công tác giảng dạy ôn tập cho học sinh KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO TRANG 2 2 3 3 3 10 10 10 11 I MỞ ĐẦU: Lí chọn đề tài: G.Polya nói: “ Con người phải biết học từ sai lầm thiếu sót mình” [1] Trong thực tế giảng dạy trường phổ thông, thấy nhiều học sinh gặp tình học sinh có xu hướng so sánh đối chiếu với vấn đề tương tự trước đó, từ tìm cách giải vấn đề Đó học sinh sử dụng suy luận tương tự vào giải toán Tuy nhiên có nhiều học sinh mắc sai lầm giải toán sử dụng phép suy luận tương tự Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn với mong muốn hạn chế sai lầm, giúp học sinh phát triển lực giải toán việc phân tích số sai lầm phép suy luận lý thú Vì tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “Một số sai lầm thường gặp học sinh suy luận tương tự giải bất phương trình” Mục đích nghiên cứu: Thơng qua việc phân tích số sai lầm học sinh suy luận tương tự, để hình thành phát triển tư duy, khả suy đoán nhằm phát triển lực giải toán cho học sinh Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu số sai lầm thường gặp học sinh suy luận tương tự giải bất phương trình, phân tích nguyên nhân cách khắc phục Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp khảo sát điều tra - Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Kết hợp kinh nghiệm yêu cầu thực tế việc dạy học ôn tập cho học sinh II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: 1.1 Phép suy luận tương tự: Phép suy luận tương tự phép suy luận vào số thuộc tính giống hai đối tượng để rút kết luận thuộc tính giống khác hai đối tượng [2] 1.2 Các hình thức phép suy luận tương tự: a) Tương tự kiểu giống Hai đối tượng gọi tương tự chúng có nhiều tính chất giống nhau, vai trò chúng vấn đề đó.[1] Ví dụ: Đường thẳng hình học phẳng tương tự với mặt phẳng hình học khơng gian chúng đối tượng bản, đơn giản b) Những đối tượng khái niệm, vấn đề coi tương tự.[1] Ví dụ: Hình tam giác, hình tứ giác, ngũ giác…coi tương tự ( tạo thành đường gấp khúc khép kín) c) Những đối tượng nghiên cứu phương pháp giống coi tương tự [6] Ví dụ: Phương trình bất phương trình; phương trình đường thẳng phương trình mặt phẳng; phương trình đường tròn phương trình mặt cầu… Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: - Trong thực tế giảng dạy nhận thấy thực hành giải toán học sinh thường sử dụng phép suy luận tương tự mà không nắm chất Cụ thể: Thiết lập tương tự đối tượng khơng xác hay suy luận tương tự dẫn đến kết luận sai lầm nghiên cứu chưa sâu thuộc tính đối tượng, hay chưa phân tích kỹ mối quan hệ đối tượng Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Đưa số ví dụ cụ thể tốn giải bất phương trình mà học sinh thường mắc sai lầm suy luận tương tự Những ví dụ đưa có kèm theo phân tích ngun nhân sai lầm, để qua rút kinh nghiệm, khắc sâu kiến thức, hạn chế sai lầm giải tốn Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: ≥ (1) [4] x −1 x −1 ≠ x ≠ ⇔ 1 ≥ x − x ≤ - Sai lầm thường gặp: (1) ⇔  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T = (−∞;1) ∪ (1; 2] - Nguyên nhân sai lầm: Ta thấy x = khơng phải nghiệm bất phương trình Vậy cách giải làm xuất nghiệm ngoại lai Do học sinh làm giống phương trình nhân chéo , bỏ mẫu Học sinh khơng để ý bất phương trình có số điểm khác Sai lầm học sinh chưa xét dấu biểu thức x – trước nhân vế bất phương trình với biểu thức - Lời giải đúng:  x − >  x >   ≥ x − 1  x ≤ ≥1⇔  ⇔ ⇔1< x ≤  x − <  x < x −1    1 ≤ x −   x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T = (1; 2] - Lưu ý học sinh: Đối với bất phương trình nhân vế với số âm với biểu thức nhận giá trị âm bất phương trình đổi chiều * Bài tập đề nghị: x − 3x + < [4] Bài 1: Giải bất phương trình: x2 −1 Bài 2: Giải bất phương trình: x2 + x − ≥1 x2 − Bài 3: Giải bất phương trình: < [5] 2− x Bài 4: Giải bất phương trình: x +1 ≥− x + x − 12 Bài 5: Giải bất phương trình: 2x + 3x − ≥0 x − 5x + Bài 6: Giải bất phương trình: 2x - 16x + 27 ≤ [6] x − 7x + 10 Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau 1 ≥ (2) [6] x + 4x −  x ≠ −3 x + ≠    - Sai lầm thường gặp: (2) ⇔ 4 x − ≠ ⇔  x ≠ ⇔ x ≥ 4 x − ≥ x +    x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình T = [3; +∞) - Nguyên nhân sai lầm: Ta thấy x = nghiệm bất phương trình Vậy cách giải làm nghiệm bất phương trình Do học sinh làm giống phương trình nhân chéo , bỏ mẫu Học sinh không để ý bất phương trình có số điểm khác Sai lầm học sinh chưa xét dấu biểu thức mẫu số trước nhân hai vế với biểu thức x ≥ 4x − − x − 3( x − 3) ≥0⇔ ≥0⇔ - Lời giải đúng: (2) ⇔  −3 < x < ( x + 3)(4 x − 6) ( x + 3)(4 x − 6)  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T = (−3; ) ∪ [3; +∞) - Lưu ý học sinh: Khi gặp bất phương trình dạng trên, học sinh không nhân chéo để bỏ mẫu mà phải chuyển vế, đổi dấu quy đồng mẫu số * Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải bất phương trình: ≤ [4] x −1 2x −1 Bài 2: Giải bất phương trình: 1 ≥ x − 2x + x + Bài 3: Giải bất phương trình: 1 < 2 x − 5x + x − x + 10 2x- < x − 6x- x - x2 − 5x + x + ≥ Bài 5: Giải bất phương trình: [6] x x + 5x+ Bài 4: Giải bất phương trình: Ví dụ 3: Giải bất phương trình x − x > x − (3) [3] x ≥ x − ≥ x − ≥  ⇔ ⇔ - Sai lầm thường gặp: (3) ⇔  ⇔x> 2 2 x − >  x − x > ( x − 3)  x > Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T = ( ; +∞) - Nguyên nhân sai lầm: Ta thấy x = nghiệm bất phương trình Vậy cách giải làm nghiệm bất phương trình Do học sinh làm giống phương trình sau đặt điều kiện bình phương hai vế Tuy nhiên bất phương trình dạng học sinh khơng xét trường hợp dấu biểu thức vế phải âm - Lời giải đúng:  x <   x − <  x ≤  x ≤    x ≥  x − x ≥  (3) ⇔  ⇔ ⇔ x > x−3≥  x ≥       x − x > ( x − 3)   x>    Vậy tập nghiệm bất phương trình T = (−∞;0] ∪ ( ; +∞) - Lưu ý học sinh: Khi gặp bất phương trình dạng trên, học sinh cần xét hai trường hợp trường hợp biểu thức chứa x vế phải âm trường hợp biểu thức chứa x vế phải dương * Bài tập đề nghị:[6] Bài 1: Giải bất phương trình x − x + > x − Bài 2: Giải bất phương trình x − x ≥ 62 x + 13 Bài 3: Giải bất phương trình 2( x − 2)( x − 5) > x − Bài 4: Giải bất phương trình x − x ≥ 2( x + 1) Bài 5: Giải bất phương trình x − x − 12 > x + Bài 6: Giải bất phương trình x − x − 12 ≥ x − Bài 7: Giải bất phương trình x2 − x ≥ − x Ví dụ 4: Giải bất phương trình x − ≤ x − (4) [6] - Sai lầm thường gặp: 1   2 x − ≥ x ≥ x ≥ (4) ⇔  ⇔ ⇔ 2 2  x − ≤ (2 x − 3) 2 x − ≤ x − 12 x + 4 x − 14 x + 10 ≤    x ≥  ⇔ ⇔1≤ x ≤ 1 ≤ x ≤  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T = [1; ] - Nguyên nhân sai lầm: Ta thấy x=1 khơng phải nghiệm bất phương trình Vậy cách giải làm xuất nghiệm ngoại lai Do học sinh không để ý đến điều kiện hai vế phải không âm - Lời giải đúng: 1   x ≥ x ≥ 2 x − ≥   3    (4) ⇔ 2 x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ 2 2 x − ≤ (2 x − 3)   2  2 x − ≤ x − 12 x + 4 x − 14 x + 10 ≤      x ≥  3  ⇔ x ≥ ⇔ ≤x≤ 2   1 ≤ x ≤  2 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T = [ ; ] - Lưu ý học sinh: Nếu giải bất phương trình dạng Ta có f ( x) ≤ g ( x )  f ( x) ≥  f ( x) ≤ g ( x ) ⇔  g ( x) ≥  f ( x ) ≤ g ( x)  * Bài tập đề nghị:[6] Bài 1: Giải bất phương trình x + x − < x + Bài 2: Giải bất phương trình x − 16 ≤ x − Bài 3: Giải bất phương trình 3( x − 1) < x − Bài 4: Giải bất phương trình ( x + 4)(6 − x) ≤ 2( x + 1) Bài 5: Giải bất phương trình x − x − 12 ≤ x − Bài 6: Giải bất phương trình x + 6x + ≤ 2x + Ví dụ 5: Giải bất phương trình: x (−2 x + 3x − 1) ≥ (5)[6]  x ≥ ⇔ −2 x + x − ≥ ⇔ ≤ x ≤ - Sai lầm thường gặp: (5) ⇔  2 −2 x + x − ≥ - Nguyên nhân sai lầm: Ta thấy x=0 nghiệm bất phương trình Vậy cách giải làm nghiệm bất phương trình Do học sinh có lẽ áp dụng máy móc kiến thức phương trình tích thừa số nên bất phương trình nghĩ tích khơng âm cho hai thừa số khơng âm - Lời giải đúng: x =  x2 = x =   x≠0   (5) ⇔   x ≠ ⇔  ⇔ 1  ≤ x ≤1  1   −2 x + x − ≥ ≤ x ≤ 2        Vậy tập nghiệm bất phương trình là: T = { 0} ∪  ;1 2  - Lưu ý học sinh: Nếu giải bất phương trình dạng f ( x).g ( x) ≥  f ( x) =  Ta có f ( x).g ( x) ≥ ⇔   f ( x) ≠   g ( x) ≥ * Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải bất phương trình ( x + 1) ( x − x + 12) ≥ Bài 2: Giải bất phương trình x ( x − 3) ≥ [6] Ví dụ 6: Giải bất phương trình ( x − 3x) x − 3x − ≥ (6)[6] - Sai lầm thường gặp:  x ≥  x ≥ x ≤  x − x ≥  (6) ⇔  ⇔  x ≥ ⇔  x ≤ − 2 x − x − ≥    x ≤ −   2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm T = (−∞; − ] ∪ [1; +∞) - Nguyên nhân sai lầm: Ta thấy x=2 nghiệm bất phương trình Vậy cách giải làm nghiệm bất phương trình Do học sinh có lẽ áp dụng máy móc kiến thức phương trình tích cho thừa số nên bất phương trình nghĩ tích khơng âm cho hai thừa số khơng âm - Lời giải đúng:  x ≥     x ≤  x > x ≥   x − x ≥     (6) ⇔  2 x − x − > ⇔    x < − ⇔  x ≤ −        x − 3x − =  x = x =    x = −  Vậy tập nghiệm bất phương trình T = (−∞; − ] ∪ { 2} ∪ [3; +∞) - Lưu ý học sinh: Nếu giải bất phương trình dạng f ( x) g ( x) ≥  g ( x) =  Ta có f ( x) g ( x) ≥ ⇔   g ( x) >   f ( x ) ≥ * Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải bất phương trình ( x − 2) x − x + ≥ Bài 2: Giải bất phương trình (3x + x) 18 x + ≥ Bài 3: Giải bất phương trình (2 − x + 3x2 ) − x − x2 ≥ Bài 4: Giải bất phương trình (x − 1) x(x + 2) ≥ [6] Tác động sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Sau áp dụng đề tài vào giảng dạy, bước đầu thu số kết khả quan Học sinh có tiến tư duy, thể qua chất lượng kì thi khảo sát Đa số học sinh em bắt đầu nhìn nhận chất vấn đề tránh sai lầm suy luận tương tự nói riêng số sai lầm khác giải tốn nói chung Thơng qua đó, chất lượng giảng dạy mơn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung Nhà trường dần nâng lên Đề tài thảo luận, đánh giá tổ chuyên môn cho thấy việc giải nội dung hạn chế đề tài, nguồn cảm hứng cho đồng nghiệp việc nghiên cứu khoa học Có tác động khơng nhỏ tới phong trào nghiên cứu khoa học nhà trường III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: Kết luận: Qua đề tài này, muốn giúp em học sinh biết cách sử dụng có hiệu phép suy luận tương tự vào giải toán Giáo viên cần cho học sinh thấy 10 tương tự vấn đề, cho em thấy việc sử dụng suy luận tương tự đòi hỏi học sinh phải hoạt động dựa kiến thức cũ để khám phá kiến thức Tuy nhiên việc sử dụng suy luận tương tự không xem xét kỹ vấn đề dễ mắc sai lầm giải toán Việc phân tích nguyên nhân sai lầm suy luận tương tự giúp em khắc sâu kiến thức, phát triển tư duy, rèn luyện tính cẩn thận, xác, phần giúp em có kỹ giải tốn nói chung kỹ giải phương trình, bất phương trình nói riêng Kiến nghị: Nhà trường nên trang bị thêm sách viết sai lầm học sinh giải toán để học sinh tìm tòi sai lầm thường mắc giải tốn để em tránh sai lầm thực hành giải tập Trên kinh nghiệm nhỏ giảng dạy mà tơi đúc kết đồng thời có sử dụng số tài liệu đồng nghiệp, thời gian có hạn nên chắn nhiều hạn chế thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến Quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm có ích việc truyền thụ tri thức cho học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Giáo viên thực đề tài Vũ Đức Tuấn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Suy luận nghe có lý - G Polya, NXB giáo dục [2] Phương pháp dạy học mơn Tốn - Hoàng Chúng, NXB giáo dục 11 [3] Sai lầm phổ biến giải toán - Lê Thống Nhất - Nguyễn Vĩnh Cận – Phan Thanh Quang, NXB giáo dục [4] Đại số 10 - Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên), NXB giáo dục [5] Bài tập Đại số 10 - Vũ Tuấn ( Chủ biên ), NXB giáo dục [6] Tham khảo số tài liệu mạng internet 12 ... phát triển lực giải toán việc phân tích số sai lầm phép suy luận lý thú Vì tơi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: Một số sai lầm thường gặp học sinh suy luận tương tự giải bất phương trình Mục đích... 1: Giải bất phương trình: x2 −1 Bài 2: Giải bất phương trình: x2 + x − ≥1 x2 − Bài 3: Giải bất phương trình: < [5] 2− x Bài 4: Giải bất phương trình: x +1 ≥− x + x − 12 Bài 5: Giải bất phương trình: ... số sai lầm học sinh suy luận tương tự, để hình thành phát triển tư duy, khả suy đoán nhằm phát triển lực giải toán cho học sinh Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu số sai lầm thường gặp học