MỘT số SAI lầm THƯỜNG gặp TRONG các bài TOÁN về GIỚI hạn, GIÚP học SINH đưa RA lời GIẢI một CÁCH CHÍNH xác và HIỆU QUẢ hơn

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Thực tế dạy học trường Trung học phổ thông cho thấy, học sinh thường gặp khơng khó khăn lĩnh hội khái niệm giới hạn dãy số, hàm số Nhiều học sinh nhớ định lý, hệ quả, học thuộc định nghĩa khơng giải thích đầy đủ ý nghĩa chất nó, từ dẫn đến việc vận dụng cách máy móc khơng biết hướng vận dụng Qua nhiều năm trực tiếp dạy lớp khối 11 nhận thấy học sinh sâu vào làm tập giới hạn, đặc biệt loại tập đề thi Đại học có liên quan đến hàm số lượng giác, mũ, logarit cảm thấy lúng túng không định hướng phương pháp giải Giới hạn hàm số nói vấn đề khó, học sinh thường cảm thấy trừu tượng, mơ hồ phần lý thuyết dài mang nhiều khái niệm, định nghĩa, định lý, hệ Tôi nghĩ việc phân loại dạng tập hướng dẫn học sinh khối 11 vận dụng tốt định lý, hệ quả, sai lầm mà học sinh mắc phải việc làm cần thiết, giúp học sinh nắm vững phương pháp khơng cảm thấy khó khăn khai thác toán giới hạn Xuất phát từ thực trạng với số kinh nghiệm nhỏ sau nhiều năm công tác, mạnh dạn nêu sáng kiến “Một số sai lầm thường gặp toán giới hạn, giúp học sinh đưa cách giải xác hiệu hơn” với mong muốn em học sinh THPT có thêm tự tin giải tập giới hạn hàm số 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nắm vững lí thuyết xây dựng cách giải tập liên quan đến giới hạn hàm số - Rèn luyện kĩ nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời tập trắc nghiệm, tự luận phần giới hạn hàm số - Giúp cho học sinh hiểu rõ, nắm vững phân loại dạng tập, biết số sai lầm cần tránh, từ đảm bảo tốt kiến thức phần tập giới hạn kỳ thi Đại học cao đẳng - Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy học môn tốn học THPT, đặc biệt phần tìm giới hạn 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Kiến thức: + Lý thuyết phần giới hạn + đặc biệt kĩ vận dụng dạng giới hạn - Học sinh: lớp 11A3, 11A5 trường THPT Đông Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu lí thuyết sách tham khảo tài liệu mạng từ phân tích tổng hợp kiến thức phân loại hệ thống hoá kiến thức - Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 11 để nắm khả tư lĩnh hội kiến thức học sinh kĩ giải tập có liên quan đến giới hạn hàm số - Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để hướng phát triển theo mục tiêu dự kiến - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu xem xét lại thành thực tiễn khứ để rút kết luận bổ ích cho thực tiễn - Phương pháp thống kê xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử lí số liệu thu thập NỘI DUNG 2.1 sở lí luận Chương trình toán học THPT cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ kiến thức giới hạn Tuy nhiên phần thời gian luyện tập giới hạn theo phân phối chương trình q so với lượng kiến thức học, học sinh khơng có điều kiện luyện tập nhiều giới hạn lại kiến thức hoàn toàn chứa đựng nhiều dạng tập Học sinh trung bình, yếu, hoang mang gặp tốn giới hạn dù bản, học sinh giỏi lo lắng gặp nâng cao hay chứa nhiều hàm số loga, mũ, …, tâm lý dẫn tới em bế tắc mắc sai lầm giải tốn Qua q trình giảng dạy tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm nhận thấy học sinh lúng túng chưa phân loại dạng ẫn đến áp dụng sai phương pháp có dạng khơng định hướng phương pháp giải Một khó khăn mà tơi gặp phải q trình dạy việc phân hóa theo đối tượng học sinh Ở lớp nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh giỏi có, học sinh trung bình, yếu có nên giáo án, ví dụ, tập phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh Trước tiên ưu tiên em diện trung bình, yếu sau nâng cao lên tốn mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu Thêm với vai trò mơn học nòng cốt, mơn tốn trường xếp thêm tuần 01 tiết tự chọn (ở số tuần ) với nội dung tự chọn bám sát chương trình nên tơi có hội thực đề tài 2.2 Thực trạng vấn đề Thực tiễn dạy học trường THPT cho thấy chất lượng dạy học phần giới hạn chưa cao, học sinh nắm kiến thức cách hình thức, lẫn lộn đẳng thức định nghĩa với định lý Bên cạnh học sinh hiếu học, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tòi, khám phá, sáng tạo có phận khơng nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải có tâm huyết, có lực thực sự, đa dạng phương pháp, biết tổ chức, thiết kế trân trọng qua tiết dạy Muốn học có hiệu đòi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học, tức vận dụng kiểu dạy học : “Lấy học sinh làm trung tâm”, hướng tập trung vào học sinh sở hoạt động em Giáo viên phải biết thiết kế giảng cho hợp lý, gọn nhẹ, xếp lại bố cục dạy, định hướng phương pháp, tăng cường ví dụ tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh Việc phân loại dạng tập với phương pháp giải vơ cần thiết, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải tập bản, sở học sinh biết cách khai thác tập mức độ cao 2.3 Các giải pháp sử dụng sử dụng để giải vấn đề Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tơi thực số giải pháp sau : - Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt + Phân tích kỹ khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lý + Đưa ví dụ so sánh khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh thấy giống khác chúng + Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải - Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp - Đổi phương pháp dạy học + Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh + Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không thấy nhàm chán (Ví dụ sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu …) - Phân dạng tập phương pháp giải Hệ thống lại kiến thức bản, phân dạng tập xây dựng phương pháp giải (có thể gợi ý để học sinh phát phương pháp giải ) Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển tốn, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa giới hạn hàm số điểm Định nghĩa + Giả sử (a ; b) khoảng chứa điểm x0 f hàm số xác định tập hợp (a ; b) \  x0  Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần tới x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số ( x n ) tập hợp (a ; b) \  x0  (Tức x n  (a ; b) x n  x0 với n ) mà limxn = x0 , ta có lim f ( xn ) = L f ( x)  L f ( x )  L x  x0 Khi ta viết : xlim x Định nghĩa giới hạn hàm số vô cực Định nghĩa + Giả sử hàm số f xác định khoảng (a ;  ) Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần tới +  với dãy số ( x n ) khoảng (a ;  ) (tức x n  a với n) mà lim x n  ta có : lim f ( x n )  L f ( x)  L f ( x)  L x   Khi ta viết xlim   f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)  L , + Các giới hạn xlim   x   x   lim f ( x)  lim f ( x)  định nghĩa tương tự x   x   Một số định lý giới hạn hàm số f ( x )  L lim g ( x) M ( L , M  R) Khi đó: a/ Định lý 1Giả sử xlim x x x 0  f ( x)  g ( x)  L  M ; xlim  f ( x )  g ( x )  L  M + xlim x x 0  f ( x).g ( x)  L.M ; Nếu M 0 lim f ( x)  L + xlim x x  x g ( x) M 0  c f ( x) cL ; Đặc biệt c số xlim x b/ Định lý f ( x)  L Khi đó: Giả sử xlim x 0 f ( x)  L ; lim f ( x) 3 L ; + xlim x x x 0 + Nếu f ( x) 0 với x  J \  x0  , J khoảng chứa x0 f ( x)  L , L 0 xlim  x0 c/ Định lý kẹp giới hạn hàm số Giả sử J khoảng chứa x0 f , g , h ba hàm số xác định tập hợp J \  x0  Nếu f ( x)  g ( x) h( x) , x  J \  x0  : lim f ( x)  lim h( x )  L x  x0 x  x0 lim g ( x)  L x  x0 Chú ý : Nếu hàm số có giới hạn L giới hạn Giới hạn bên a/ Giới hạn hữu hạn Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định khoảng ( x0 ; b ) ( x0  R ) Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số ( x n ) khoảng ( x0 ; b ) mà lim x n  x0 , ta có lim f ( x)  L Khi f ( x)  L f ( x)  L x  x  ta viết : xlim x Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định khoảng ( a ; x0 ) ( x0  R ) Ta nói hàm số f có giới hạn bên trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số ( x n ) khoảng ( a ; x0 ) mà lim x n  x0 , ta có lim f ( x)  L Khi f ( x)  L f ( x)  L x  x  ta viết : xlim x 0   Nhận xét : f ( x)  L hàm số có giới hạn bên phải giới hạn bên trái + Nếu xlim x f ( x)  lim f ( x)  L điểm x0 xlim x x x   f ( x)  lim f ( x)  L hàm số có giới hạn điểm + Ngược lại : Nếu xlim x x x   f ( x)  L (Nhận xét giới hạn vô cực ) x0 Và xlim  x0 b/ Giới hạn vô cực f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)  , Các định nghĩa: xlim x x x x x    lim f ( x )  phát biểu tương tự định nghĩa định nghĩa x  x0  5/ Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực f ( x)  lim 0 a/ Định lý 1: Nếu xlim x x x f ( x) 0 f ( x ) ; lim g ( x)  L 0 lim  f ( x) g ( x) có dấu sau Quy tắc 1: Nếu xlim x x x x x lim f ( x) lim  f ( x) g ( x) Dấu L x x x x 0 0 + + - - + - - + + + - f ( x )  L 0 , lim g ( x) 0 g ( x)  g ( x)  với Quy tắc 2: Nếu xlim x x x 0 x  J \  x  , J khoảng chứa x0 lim x x bảng sau : Dấu L Dấu g (x) f ( x) cho g ( x) lim x x0 + + - + + - f ( x) g ( x) + - - + B PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN Trong q trình giải tập giới hạn hàm số, ta khơng xét tính chất f ( x) lim hàm số mà nhận dạng giới hạn dạng x cách lấy x  x0 vào x g ( x) f ( x ) ; g ( x) Nếu gặp dạng  ; ; 0. ;    (gọi dạng vơ định) ta cần  thực vài phép biến đổi để sử dụng định lý quy tắc biết Làm gọi khử dạng vô định Ta thường gặp trường hợp tìm giới hạn sau : Loại : Giới hạn vô cực hàm số Loại : Giới hạn hàm số điểm Loại : Giới hạn bên hàm số Trong loại lại có dạng khác xét sau : I Giới hạn vô cực hàm số Dạng : Dạng   Phương pháp giải Cách : Chia tử mẫu cho xk với k lũy thừa cao tử, mẫu số Cách : Đặt x chứa lũy thừa cao tử , mẫu ngồi làm nhân tử Ví dụ : Tính giới hạn sau : x3  a xlim   x  x  2 x  5x  c xlim   x2  x 1 x2  x b lim x    x Bài làm x3  5 1 3 x 5 x lim x lim 1 a * Lời giải có sai lầm : lim = x   x   x  x  3x  x  3x  1  x x x3 x   * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm : Học sinh dùng ký hiệu sai, giáo viên dạy nên ý để hướng dẫn học sinh viết ký hiệu x3  5 1 3 x 5 x lim x  lim 1 * Lời giải : Cách : xlim = x   x     x  x  x  3x  1  x x x3 x (1  ) x 5 x lim 1 Cách 2: xlim = x     x  x  x (1   ) x x x  x 1 2 1 x  x x x   b * Lời giải có sai lầm : lim = lim  xlim   x    x x    2   x x * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Khi chia tử số mẫu số cho x   , học sinh không ý đến dấu biểu thức chứa sau chia cho x x  x ; x  x ; x 3 x 2/ Nếu x   coi x < x  x ; x  x ; x 3 x * Lời giải : Cách : lim x   x  x = lim x    2x  x2  x x2   x  1 lim x   x  x  1   2 1 ) x 1  x 1 x  x x  lim x  lim x   1 Cách 2: lim = xlim   x   x   x    x 1  2 x (  2) x(  2) x(  2) x x x 2  x  5x  x x Cách : xlim = xlim   1   x  x 1   x x x 1 1 1 (2   ) 2  ; lim (   ) 0    0, x  Do xlim   x   x x x x x x x x 2 x  5x  Nên theo quy tắc ta có : xlim =-    x2  x 1 x (1  Đây cách giải sách giáo khoa nhiều học sinh cảm thấy khó hiểu lúng túng xét dấu 1   x   nên nghĩ nên hướng x x x dẫn cho học sinh loại theo cách dễ hiểu : 5  3) x.(2   ) x  5x  x x x x Cách 2: xlim = xlim = xlim     1 1   x  x 1 x (1   ) (1   ) x x x x 1 x  (2   ) 2  ; lim (1   ) 1  ; xlim Do xlim     x   x x x x x  5x  Nên theo quy tắc 1và ta có : xlim =-    x2  x 1 2.Dạng : Dạng  Phương pháp giải : Chủ yếu biến đổi lim f ( x).g ( x)  0. dạng : x (2  x   lim x   f ( x)   sử dụng phương pháp dạng để giải h( x )  Ví dụ 2: Tính giới hạn sau : (1  x) a xlim   4x  x3  ( x  1) b xlim   2x 1 x  x 1 Bài làm a * Lời giải có sai lầm lim (1  x) x   (1  x) ( x  5) 4x   lim = xlim   x   x3  x 4 x (  2) x.(4  ) x x 4 x (1  ) x * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh sử dụng cách máy móc nhìn vào cận x   cho (1-2x) = (1  x) dẫn đến lời giải sai Vì ta nên lưu ý : x     x  nên 1-2x = - (1  x) Từ giáo viên nên tổng quát : Khi x   x   mà p(x)   p( x)  ( p( x)) ; p( x)  p( x) Khi x   x   mà p(x)   p( x)  ( p( x)) ; p( x)  p( x) * Lời giải : lim (1  x) x   ( x  1) b xlim   (1  x) (4 x  5)  lim  x   x3  4x   = xlim   x3  x   xlim   x3  x 1 ( x  1) (2 x  1)  lim x   x3  x 1 x (  2) x.(4  ) x x  4 x (1  ) x 1 x (1  ).x.(2  ) x x 1 x (1   ) = x x 3.Dạng : Dạng (    ) Phương pháp giải ( f ( x )  g ( x ) ) dạng Cách 1: Nhân chia lượng liên hợp để đưa xlim   lim f ( x )  g ( x) f ( x)  g ( x) ( f ( x )  g ( x) ) dạng xlim Hoặc đưa xlim     f ( x )  g ( x) f ( x )  g ( x) Cách 2: Nếu hệ số f(x g(x) khác đặt x chứa mũ cao f(x) ; g(x) ngồi làm nhân tử Ví dụ 3: Tính giới hạn sau : ( x   x  1) ( x  x   x) a xlim b xlim     x   Bài làm ( x   x  1) = xlim a xlim     lim = x  x   ( x  1) x   ( x  1)  1 1  1 x x  x ( x  x   x) = lim  x   b xlim   x    x x(   = xlim   2x = xlim    x   ( x  1)     x  (Do x    x  x ) x   2)  lim  x  x   x2 II Loại : Giới hạn hàm số điểm lim f ( x ) = f ( x ) Dạng : x x Phương pháp giải lim f ( x ) = f ( x ) Thay x0 trực tiếp vào biểu thức f (x) kết luận: x x Ví dụ : Tính giới hạn sau : 0 ( x   1) a xlim 2 b xlim 1 x  5x  x  2x  Bài làm * Lời giải có sai lầm : ( ( x   1) = xlim a xlim 2 2 x 5 x  1 )  lim x  x 4 x2  1 x2    x2 x4 x2 1  lim x  (4 x  1)( x  1) x  5x  lim …  Đi tìm cách rút gọn khơng b xlim = x   ( x  1)( x  3)   x  2x  * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Do không kiểm tra trước dạng giới hạn nên học sinh sử dụng nhầm phương pháp giải dạng (    ) dẫn đến việc giải sai khơng giải Vì giáo viên cần lưu ý học sinh giải tốn tính giới hạn bước phải thay cận để phát xem giới hạn thuộc dạng áp dụng phương pháp giải (Đặc biệt, có dạng  áp dụng  phương pháp chia cho x chứa số mũ cao ) * Lời giải : Đây bốn dạng vô định nên cần cận vào có ln đáp số ( x   1) =   3  2 a xlim 2  1 x  5x  0 = 1  x  2x  f ( x)  Dạng : xlim  x0 g ( x ) b xlim 1 Phương pháp giải lim x x0 f ( x) có dạng Khi ta xét khả sau : g ( x) Khả 1: Nếu f (x) g (x) hàm đa thức tử số mẫu số ln có nghiệm x  x nên ta phân tích để tử mẫu số rút gọn lượng chung mục đích làm dạng Chú ý: + Nếu f(x) = ax2 + bx +c có nghiệm x1, x2 phân tích : f(x )= ax2 + bx +c = a(x-x1)(x-x2) + Nếu f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có nghiệm x0 thực phép chia f(x) cho x–x0 đưa dạng : f(x) = ax3 + bx2 + cx + d = (x- x0) g(x) + Nhắc lại đẳng thức : A2- B2 ; A3 – B3 ; A3+ B3 Ví dụ : Tính giới hạn sau : a lim x x3  x2  b lim x x  3x  x3  x2  x  Bài làm ( x  2)( x  x  4) x  x  12 x3  lim  3 a lim = lim x x x x  ( x  2)( x  2) x2 ( x  1)( x  1) 2x  1 x  3x  lim lim  b lim = x  ( x  1)( x  x  3) x x  x  x x  x  x  Khả Nếu f (x) g (x) biểu thức chứa ta nhân tử số mẫu số cho biểu thức liên hợp Chú ý : Các biểu thức liên hợp thường gặp : + a 1  + + + a a a  1 ; a1 a b a b ; a b a 1 a 1  ; a  a 1 a b a 3 b  ; a  ab  b a 1 a b a b a b a a  1 a  a 1 a b a 3b a  ab  b Ví dụ 6: Tính giới hạn sau : a lim x x x2 b lim x 4x 1  3 x   x 1 2x 1  c lim x x 1 5x   x Bài làm a lim x x 4x 1  = lim x b lim x x2 = lim x ( x  x  2)( x   3) ( x  x  )(4 x   9) ( x  1)( x   3) 4( x  x  ) x   x 1 2x 1  x 1 ( x  1)( x  2)( x   3) ( x  x  ).4( x  2) 18   16 = lim x = lim x = lim x ( x   x  1)( x   x  1) (3 ( x  1)  ( x  1)( x  1)  ( x  1) )( x   x  1) x ( x   x  1) x(3 ( x  1)  = lim x 3 ( x  1)( x  1)  ( x  1) ) 2( x   x  1) ( x  1)  ( x  1)( x  1)  ( x  1)  Đối với loại tập chứa bậc cao ý c (hoặc bậc cao nữa), nhân liên hợp phức tạp học sinh khó tiếp thu nên tơi nghĩ nên hướng dẫn cho em cách đặt ẩn phụ, thay phải nhân liên hợp ta cần thực phép chia đa thức cho đơn thức (có thể sử dụng sơ đồ hoocne) t6  Khi x  t  nên ta có : t1 lim 5x   t  t  = lim lim = = t1 t  t  t  t  t 1 x x c Đặt t = x   x  Khả 10 Nếu f(x) g(x) biểu thức chứa nhiều loại khác ta chưa thể dùng liên hợp ví dụ mà phải thêm, bớt, tách thành nhiều giới hạn sử dụng biểu thức liên hợp Ví dụ : Tính giới hạn sau : a lim x x 1  x 8 x  x  x  x b lim x c lim x  4x   6x x2 Giáo viên nên gợi ý (nếu cần) để giúp học sinh tự tìm lượng thêm bớt Ví dụ ý a thêm bớt với 2; ý b thêm bớt với (1  x)  x , song với ý c mẫu số chứa x2 nên phải thêm bớt với (1+2x) phân tích để khử dạng vô định Bài làm x 1  2 8 x  lim x x x 2( x   1)  (8  x)  lim = lim x  x ( x   1) x x(4   x  (8  x) ) 1 13  lim 1   = lim x 12 12 x   x   23  x  (8  x) a lim x b lim x x 1  x 8 x = lim x  x  x  x  x (  x  1)  6x   lim x x x  x (1  x  1)  6x   lim = lim x x x(  x  1) x(3 (1  x )   x  1) = lim x = lim x 4.3  x  4x 1  lim x (1  x )   x  =  4x   6x  x  (1  x ) (1  x )   x = lim  lim x x x2 x2 x2 (1  x)  (1  x) (1  x)  (1  x) lim  lim = x x (  x   x) x  x (1  x)  (1  x)3  x  (1  x)  12  x  lim 2 = lim x  x   x x  (1  x)  (1  x)3  x  (1  x)  4 c lim x   Khả Nếu f(x) g(x) biểu thức chứa hàm số lượng giác ta phải dùng phép biến đổi lượng giác, thêm bớt sử dụng biểu thức liên hợp nhằm mục đích sử dụng định lý : lim x sin x tan x 1 ; lim 1 (Trong Bài “Đạo hàm hàm số lượng giác” ) x  x x Từ giáo viên tổng quát cho học sinh: p ( x) 0  lim Nếu lim x a x a sin( p( x)) tan( p ( x)) 1, lim 1 x  a p ( x) p( x) Ví dụ : Tính giới hạn sau : 11 a lim  x sin x   x ( x  1) sin b lim x 1 x (1  x) tan c lim x Đối với dạng ta chưa nên biến đổi làm xuất dạng x sin x x tan x biến x không dần Lúc (x-a)  nên ta phải biến đổi để xuất x sin( x  a) tan( x  a ) 1 ; lim 1 đặt giới hạn dạng lim x a x a x a x a x - a = t chuyển giới hạn theo t Bài làm : a Cách 1:   sin x sin(  x ) sin(  x ) cos(  x)  lim 2    lim  lim cos(  x) 2  = = x x     x  x 2 x x  x 2 2   Cách 2: Đặt t =  x Khi x  t  nên ta có 2 sin x sin(  2t ) sin 2t lim   lim lim  = x t  x t t 2t sin x  1 lim ( x  1) sin b * Lời giải có sai lầm : lim = x  x 1 x x lim * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh không để ý cận mà thấy xuất dạng sin t cho t   dẫn đến việc áp dụng định lý x sai Vì nên nhấn mạnh: t  áp dụng định lý sin t tan t lim 1 lim 1 t t t t Trong x  nên * Lời giải Ta phải sử dụng phương pháp đánh giá : x  0  lim( x  1) sin =0  x  , x 1 Mà lim x x x x  1 x (1  x) 1 x 2 x lim x lim  (1  x) tan x lim c lim = x x x   cot   tan( (1  x)) tan( (1  x)) 2 Do ( x  1) sin (Chú ý : Yêu cầu học sinh làm câu theo cách hai tương tự câu 1) 12 Khi học sinh tiếp cận chương trình lớp 12, em làm quen với hàm số mũ, logarit lúc em gặp phải số tập giới hạn có chứa hàm số mũ logarit đề thi vào trường Đại học, Cao đẳng Các em thường tỏ lúng túng, không định hướng phương pháp giải suy nghĩ bỏ lại câu đề thi Mặt khác, câu nói khơng phải loại câu khó đề em lấy điểm nắm phương pháp giải Vì sáng kiến xin đề cập đến số giới hạn có đặc điểm với phương pháp giải Ví dụ : Tính giới hạn sau : e  3x   x a lim x ln(1  x ) b lim x ln(cos x) x3  x Các loại thường nằm dạng c lim x x  5x x  2x , ta phải sử dụng định lý ln(1  x) ex  1 (Trong : “Hàm số mũ logarit”) 1 lim x  x x x e p( x)  ln(1  p( x)) lim p ( x )   lim 1, lim 1 Và tổng quát : Nếu x a x a x a p ( x) p( x) lim Phương pháp giải + Sử dụng phương pháp phân tích, thêm bớt, nhân hay chia với lượng phù hợp với mục đích vận dụng định lý vừa nêu +Nếu xuất hàm số ax biến đổi theo cơng thức học : a x e ln a Bài làm x 2  e  3x  1 1 x2  x2 e  3x   x lim  lim lim  a lim =  x x x x2 x2 ln(1  x )   x  ln(1  x )   e  3x  1 1 x2 x2 10   lim (  )  lim lim  = x = 2 x  3x  x (1   x  (1  x )  x ln(1  x ) ln(cos x) b lim x x  x ln(1  sin 2 x)  sin 2 x ln(1  sin 2 x) sin 2 x   lim  = lim x x  sin 2 x x ( x  1)  sin 2 x (2 x ) ( x  1) x x e ln  e ln e x ln  1  e x ln x  5x lim  lim  lim c lim = x x  x ( x  2) x  x ( x  2) x x  x x ( x  2) e x ln  ln e x ln  ln 1  lim  ln  ln  ln = lim x  x ln x  x  x ln x  2 2 Ví dụ 10 : Tính giới hạn sau : 13 a lim x  cos x tan x b lim x  cos( cos x) c lim x x sin 2 3x   x  1  cos x Bài làm : x   sin  2  x x  cos x   sin lim   = x  tan x lim   lim  2 x  tan x x  tan x     x  a Giáo viên nên nhấn mạnh loại tập chứa hàm số lượng giác, học sinh cần phải xác định biểu thức làm xuất dạng phải biến đổi trực tiếp biểu thức để khử dạng vơ định (các biểu thức khác giữ ngun) tốn trở thành đơn giản b lim x 3x   x  1  cos x 3x   = lim x 3x   2x 1   lim x  cos x  cos x 2x 1  = x + x x x sin (3 (3x  1)  3 x   1) sin ( x   1) 2 x x 3.( ) 4.( ) 2  lim = lim x x  x x sin (3 (3x  1)  3 x   1) sin ( x   1) 2  lim 2  4 = lim x ( (3 x  1)  3 x   1) x  ( x   1) lim lim    x sin  (1  cos x) cos( cos x) sin( sin ) 2  lim  =  c lim lim  x x x  x  x x sin sin  sin 2 2 III Loại : Giới hạn bên hàm số f ( x) L  ( với L 0 ) Bài tập giới hạn bên chủ yếu rơi vào dạng xlim  a g ( x)  dạng ;  Phương pháp giải : f ( x) L  : Cần xét dấu L , dấu biểu thức g(x) * Đối với dạng xlim  a g ( x)   x  a hay x  a sử dụng quy tắc 1, để xét dấu  * Đối với dạng ;  cần ý đến dấu (x-a) gặp số có 14 chứa căn, chứa giá trị tuyệt đối sử dụng phương pháp giải hai loại để khử dạng vô định * Giáo viên nên nhấn mạnh nhận xét sau : f ( x)  L hàm số có giới hạn bên phải giới hạn bên trái + Nếu xlim x f ( x)  lim f ( x)  L điểm x0 xlim x x x   f ( x)  lim f ( x)  L hàm số có giới hạn điểm + Ngược lại : Nếu xlim x x x   f ( x)  L (Nhận xét giới hạn vô cực ) x0 Và xlim  x0 Ví dụ 11: Tính giới hạn sau : a xlim 1  3x  x b lim ( x  2) x  x x  c lim x x x Bài làm Đối với dạng nhiều học sinh viết đáp số  , sai nên dạy, giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ phải dùng dấu biểu thức để xác định rõ đáp số +  -  lim (3x  4) 3    3x   a Ta có :   xlim  1 lim ( x  1) 0 ; x   0, x  1 x x  b Do x  nên x    x   ( x  2) Vì ta có : x  1 lim ( x  2) x x  lim x  x  x ( x  2)  lim x x2  x( x  2) x2 0 c Đối với (x- 2) chưa xác định dấu để phá giá trị tuyệt đối nên giáo viên cần phân tích kỹ để học sinh thấy việc cần thiết phải xét giới hạn bên x x x x x 2 Với x  2, ta có x  2  x nên lim  lim x x  x x  x x x  không tồn lim  lim Do lim x x  x x  x  2 x   x  x  x  Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x)  x     3x Tính lim  f ( x) , lim  f ( x) lim f ( x) (nếu có) Với x  2, ta có x   x  nên lim x  2 x  (  1) x  (  1)  lim x 2 1 x  x  Bài làm f ( x) = lim ( x  x  3) = 1+2+3 = Ta có : xlim (  1) x  (  1)   lim f ( x ) = lim  (3  3x ) = + = x  (  1) x  (  1)  f ( x) = lim f ( x ) =  lim f ( x) = Do xlim (  1) x  (  1) x  Ngồi ra, có số giới hạn chứa hàm số lượng giác mà ta cần phải dùng phương pháp đánh giá   15 Ví dụ 13: Tính giới hạn sau 1  x sin   a lim x (cos x   cos x ) b xlim   x  Bài làm 1 x 0  lim x sin  =  x , x Do lim x x  x x  (cos x   cos x ) = lim  sin( x   x ) sin( x   x ) b xlim   x   2 x 1  x  sin( ) sin( ) = xlim   2( x   x ) a Ta có : x sin x 1  x 1 ) sin( )   sin( ) 2( x   x ) 2( x   x ) 1   lim ( sin( ) 0 Mà x    x   2( x   x ) 2( x   x ) Ta có :  sin( Nên theo định lý kẹp giới hạn hàm số ta có : lim  sin( x   x 1  x (cos x   cos x ) =0 ) sin( ) =0 Vậy xlim   2( x   x ) Ta cần lưu ý cho học sinh Nên dùng biến đổi x   x  x   ta có x 1  x x 1  x  việc tính giới hạn đơn giản nhiều C PHẦN BÀI TẬP ÁP DỤNG : Tính giới hạn sau x2  x   x  1 lim x  x  lim sin x  cos x lim 2 x   x  x 1 x  2x 1 1 (  ) lim x x 1 x 1 x (3 x  1) xlim   ( x  x  x  x) xlim   ( x   x) xlim   x �1 10 xlim 1 13 lim x x  3x  x2  7x  x   11 lim x ( x  2014)7  x  2014 x 16 lim x   cos x tan x 19 lim x   x   x �0 x 22 lim x�0 x 1  x   x 2x 1 x2  x 1 14 lim x 17 lim x 6x  x  2x 1 2x 3 x 5x   x cos x  cos x sin x 20 lim x   x  16  x �0 x 23 lim x  x  x  (  3)  ( x  3) 2 3x  x3 1 1 (  ) lim x x  x  (1  x) xlim    x3  x2  x2  12 lim x 1  x  cos x x2 sin x  cos x 18 lim sin x x 15 lim x x 21 lim  x sin x 24 lim x x2  x3  x  x  16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc phân loại giải dạng tập nêu nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn từ việc nhận dạng đến việc lựa chọn phương pháp giải phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải q trình suy luận, từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập giới hạn em thận trọng làm trình bày lời giải, từ em giải số lượng lớn loại tập Thực nghiệm sư phạm tiến hành hai lớp có trình độ không tương đương lớp 11A5 lớp khối A, Lớp 11A3 lớp đại trà Trong trình giảng dạy, thử nghiệm với hai lớp: 11A3, 11a5 Kết kiểm tra phần tập liên quan đến tìm giới hạn sau: Trước tiến hành thử nghiệm: Lớp Sĩ số Số học sinh giải 11A3 39 (=12,8%) 11A5 41 ( = 19,5%) Sau thử nghiệm: Lớp Sĩ số Số học sinh giải 11A3 39 22 (= 56,4%) 11A5 41 29 (= 70,7%) Sau thời gian áp dụng đề tài giảng dạy thấy : số lượng học sinh giải dạng tập tăng lên, chưa nhiều số học sinh có tư dạng tập tăng lên (có thể em chưa giải đúng) điều quan trọng giúp em thấy bớt khó khăn việc học tập mơn toán, tạo niềm vui hưng phấn bước vào tiết dạy KẾT LUẬN - ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau: Đưa phương pháp cụ thể hệ thống ví dụ hợp lý, số sai lầm thường gặp học sinh Thiết kế cách thức dạy học ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích cực Và đặc biệt tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất 17 Học sinh hứng thú tiếp cận nhiều dạng tập phương pháp giải nó, sai lầm mà chưa nghĩ đến Qua thực tế giảng dạy thân trường THPT với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện tốn giới hạn nói riêng, Tốn học nói chung Tơi hi vọng có điều kiện để trình bày vấn đề năm 3.2 Kiến nghị Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên số sách tham khảo viết theo dạng chuyên đề giới hạn hàm số, đặc biệt chuyên đề viết sai lầm học sinh giải tốn chưa nhiều Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh nắm vững dạng toán phương pháp giải chúng, đồng thời tìm tòi sai lầm thường mắc giải tốn để em tránh sai lầm làm tập Tuy nhiên, khuôn khổ giới hạn sáng kiến kinh nghiệm thời gian viết nên khơng tránh khỏi sai sót, tơi mong nhận góp ý đồng nghiệp nhà chuyên môn để đề tài phát triển tốt nhằm nâng cao hiệu giảng dạy học tập Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nguyễn Thị Thu Thủy Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Vũ Thị Hằng TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH 11 (Cơ bản) NXB GIÁO DỤC Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên) ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH 11 (Nâng cao)- NXB GIÁO DỤC Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) 18 GIẢI TÍCH 12 (Cơ bản)- NXB GIÁO DỤC Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên) GIẢI TÍCH 12 (Nâng cao)- NXB GIÁO DỤC Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn Th.s Lê Hồng Đức- Vương Ngọc Lê Viết Hòa- Lê Hữu Trí- Lê Bích Ngọc Nguồn đề thi từ đề thi Đại học –Cao đẳng năm từ Internet 19 ... đối tượng học sinh Việc phân loại dạng tập với phương pháp giải vơ cần thiết, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải tập bản, sở học sinh biết cách khai thác tập mức độ cao 2.3 Các giải pháp...   * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm : Học sinh dùng ký hiệu sai, giáo viên dạy nên ý để hướng dẫn học sinh viết ký hiệu x3  5 1 3 x 5 x lim x  lim 1 * Lời giải : Cách : xlim = x   x  ... PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TỐN Trong q trình giải tập giới hạn hàm số, ta khơng xét tính chất f ( x) lim hàm số mà nhận dạng giới hạn dạng x cách lấy x  x0 vào x g ( x) f ( x ) ; g ( x) Nếu gặp dạng 