skkn rèn kỹ năng cho học sinh lớp 9 biết phân dạng và tìm lời giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thcs cẩm thủy

Ở trường trung học cơ sở, trong dạy học Toán: cùng với việchình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, cácđịnh lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng

I - PHẦN MỞ ĐẦU 1) Lý do chọn đề tài:

Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng.Các kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp họcsinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnhvực Đồng thời môn Toán còn giúp học sinh phát triển những năng lực

và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực,độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹcủa người công dân

Ở trường trung học cơ sở, trong dạy học Toán: cùng với việchình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, cácđịnh lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và

là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ởtrường phổ thông Đối với học sinh trung học cơ sở, có thể coi việcgiải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán Do đó việchướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải toán

là rất cần thiết và không thể thiếu được

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường trunghọc cơ sở tôi đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tếdạy học tôi thấy: trong chương trình Toán trung học cơ sở "Các bàitoán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất" rất đa dạng, phong phú vàthú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậchọc này nhất là các em trong đội tuyển Ở trung học cơ sở học sinhchưa có các công cụ giải toán cao cấp để giải các bài toán này Chính

vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở trung học cơ sở không theo quy tắchoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi người học phải có một cách suynghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới mộtcách logic có hệ thống

2) Mục đích của đề tài:

Trên thực tế giảng dạy đội tuyển Toán 9 những năm qua tôi nhậnthấy: phần “ Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất" làmột trong những phần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

ở trường trung học cơ sở Thế nhưng thực trạng học sinh trường chúngtôi và những trường tôi đã từng dạy là: học sinh không có hứng thúvới loại toán này, bởi lẽ các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của biểu thức đại số ở trường trung học cơ sở không theo một

phương pháp nhất định nên các em rất lúng túng khi làm toán này, các

em không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào Hầu hết học sinhrất ngại khi gặp các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giảiquyết các bài tập khác

Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào

để học sinh không thấy ngại và có hứng thú với loại toán này" Vớitrách nhiệm của người giáo viên tôi thấy mình cần giúp các em học tốthơn phần này

3) Phạm vi đề tài:

Đề tài này đề cập đến đối tượng học sinh khá giỏi khối 9

4) Phương pháp nghiên cứu:

Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạycủa bản thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thử nghiệm,được sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp Đặc biệt là những bài họcsau những năm ở trường sư phạm

II - PHẦN NỘI DUNG 1) Cơ sở lý luận.

Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặpcác bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, giúp các em họctốt hơn Đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sángtạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khảnăng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩkhoa học luôn mong muốn làm được những việc đạt kết quả cao nhất,tốt nhất

1.1) Lý thuyết cơ bản về dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất :

Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộcmiền S nào đó xác định Nếu với bộ giá trị của các biến (x0 , y0, z0)

S mà ta có: P(x0 , y0, z0)  P(x, y, , z) hoặc P(x0 , y0, z0) P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x0 ,y0, z0) trên miền S

P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0 , y0, z0) S còn gọi là Pđạt cực đại tại (x0 , y0, z0) hoặc Pmax tại (x0 , y0, z0) Tương tự tacó: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x0 , y0, z0) S còn gọi là P đạt cực tiểutại (x0 , y0, z0) hoặc Pmin tại (x0 , y0, z0)

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là cáccực trị của

*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trênmiền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P  k (với k là hằng số) với mọi giá trị của cácbiến trên miền xác định S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miềnxác định S, ta cần chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P  k (với k là hằng số) với mọi giá trị của cácbiến trên miền xác định S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức

Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên

Ví dụ : Cho biểu thức A = x + (x – 2)

Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:

Ta có x  0 ; (x – 2)  0 nên A  0

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0

Lời giải trên có đúng không?

Giải:

Lời giải trên không đúng Sai lầm của lời giải trên là mới chứng

tỏ rằng A 0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳngthức Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời:

b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:

* a  0, tổng quát: a  0 (k nguyên dương)

2)Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy đội tuyển toán 9

ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy cách học của đa số học sinh trongđội tuyển nắm kiến thức rất thụ động mang nhiều tính sách vở

Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiềuhình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật học sinh

trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt chấp hành đúngnguyên bản, quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng củahọc sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học sinh lúng túng không biếtthực hiện như thế nào.

Qua việc khảo sát việc nắm bắt dạng toán “Tìm giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của biểu thức” trên đối tượng 15 học sinh khá giỏi lớp

số học sinh nắm phương pháp và biết phân dạng nhưng kỹ năng cònchậm 2em chiếm tỉ lệ 13,3% ;1em thực sự có hứng thú với dạng toánnày (có năng lực suy luận, tư duy sáng tạo), chiếm tỉ lệ 6,7%

Xuất phát từ những khó khăn của học sinh và qua thực tế giảngdạy tôi tìm tòi nghiên cứu và đã mạnh dạn đưa ra các giải pháp sau:

3) Các giải pháp:

Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôitiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cựctrị trong đại số ở trung học cơ sở rồi hướng dẫn học sinh tìm kiến thức

có liên quan cần thiết để giải từng dạng toán đó Sau đây là một sốdạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thường gặp :

DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A(x) = x– 4x+1 Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phảibiến đổi về dạng A(x) k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến và chỉ

ra trường hợp xảy ra đẳng thức

Lời giải: A(x) = x – 4x + 1

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biếnđổi đưa B(x) về dạng B(x) k (k là hằng số) với mọi giá trị của biếnkhi đó giá trị lớn nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức

Lời giải: B(x) = – 5x – 4x + 1

= –5(x + x) +1

= –5 [ x + 2 x + ()2 – () ] + 1

= –5[(x + ) – ] + 1

= –5(x + ) + + 1

= –5(x + ) + Với mọi giá trị của x: (x + )  0 nên –5(x + )  0

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biếnđổi sao cho P = a.A(x) + k Sau đó xét với từng trường hợp a > 0hoặc a <0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất

Lời giải:

P = a(x+ x) + c = a( x + 2.x + ) + c –

= a(x + ) + k với k = c –

Do (x + )  0 nên:

+ Nếu a > 0 thì a(x + )  0 do đó P  k

+ Nếu a < 0 thì a(x + ) < 0 do đó P  k

Vậy khi x = thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a > 0)

hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a < 0)

DẠNG 2: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT,GIÁ TRI LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO:

Ví dụ 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x+ x + 1) Hướng dẫn giải:

(?) Ta nhận thấy A = (x + x + 1)  0, nhưng giá trị nhỏ nhất của

A có phải bằng 0 hay không? Vì sao?

Trả lời : Mặc dù A  0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phảibằng 0 vì: x+ x +1 ≠ 0

Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng () = với x = –

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

x – 6x + 10x – 6x + 9

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: - Hãy viết biểu thức dưới dạng A(x) + B(x)  0

- Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức bằng bao nhiêu?

Lời giải: x – 6x + 10x – 6x + 9 = x – 2.x.3x + (3x) + x – 2x.3+3

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:

x – 3x = 0 x = 0 x = 0

 x – 3 = 0  x = 3  x =3

x – 3 = 0 x – 3 = 0 x = 3Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3

DẠNG 3: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = +

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng taphải nghỉ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối củamột biểu thức

A Nếu A  0 =

– A Nếu A  0

Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong

các khoảng nghiệm So sánh các giá trị của A trong các khoảngnghiệm đó để tìm ra giá trị nhỏ nhất của A

Đáp số: A = 3 khi và chỉ khi 2  x  5

Cách 2: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một

tổng nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối Từ đó tìm giá trịnhỏ nhất của biểu thức A

DẠNG 4: BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của M =

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Sử dụng tính chất a  b, ab >0  hoặc theo quy tắc

so sánh hai phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương

Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường mắc sai lầm lập

luận rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏnhất) khi mẫu nhỏ nhất (lớn nhất)

Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

Mẫu thức x – 3 có giá trị nhỏ nhất là – 3 khi x = 0

Nhưng với x = 0 thì = – không phải là giá trị lớn nhất của phânthức

Chẳng hạn với x = 2 thì = 1 > –

Như vậy từ –3 < 1 không thể suy ra – >

Vậy từ a < b chỉ suy ra được > khi a và b cùng dấu

DẠNG 5: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC

Ví dụ 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

Cách 1:

Gợi ý: Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi

biến bằng cách viết A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải: Ta có: x + x + 1 = (x + 2x + 1) – (x +1) + 1

= (x +1) – (x +1) + 1

Do đó A = – + = 1 – +

Đặt y = khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 – y + y

Ta có: A = 1 – y + y = y – 2.y + ( ) +

= (y– ) +  Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi và chỉ khi:

y – = 0  y= hay =

x + 1 = 2

x = 1Đáp số: A nhỏ nhất = khi x = 1

Cách 2:

Gợi ý: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu

thức không âm Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A

Đáp số: A nhỏ nhất = khi x =1

DẠNG 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠNG  0 (HOẶC  0)

Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M(x) = (Với

x  R)

Hướng dẫn giải:

Gợi ý: Từ M(x) = ta có:

M(x) = = (?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho x +2x + 3 được không? Vì sao?

Trả lời: Vì x + 2x + 3 = x + 2x + 1 + 2 = (x+1) > 0 với mọi giátrị của x nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x + 2x + 3 ta đượcM(x) = 3 +

(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?

Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của từ đó suy ra giá trị lớn nhấtcủa M(x)

Trả lời: Vì (x+1)  0 Với  x

Nên (x+1) + 2  2 với  x

Do đó 

Từ đó ta có: M(x) = 3 +  3 + = 3

Dấu “=” xảy ra khi x+1= 0 hay x = 1

Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3 khi và chỉ khi x= –1

Đáp số: M(x) Lớn nhất = 3 với x = –1

4) Kết quả nghiên cứu:

Qua một năm thực hiện tôi thấy các em đã hiểu rõ và rèn luyệnđược một số kỹ năng quan trọng trong việc giải các bài toán tìm giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất Học sinh dần dần chú trọng khi giải toánchứ không lúng túng như trước.Quá trình rèn luyện khả năng tư duy

đã giúp các em không những phân dạng được mà còn nắm bắt đượcphương pháp phù hợp để giải từng dạng Chính vì thế mà trong họctập của học sinh do bản thân tôi phụ trách hầu hết các em nắm chắc

năm việc nắm đề tài này trên đối tượng 15 học sinh khá giỏi ban đầutôi nhận thấy đã 10 hs chiếm tỉ lệ 66,7% đã năm chắc chuyên đề tìmgiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (biết phân dạng và tìm ra phươngpháp phù hợp), 5 em chiếm tỉ lệ 33,4 % biết thực hiện nhưng cònchậm (Bước đầu đã biết định hướng được dạng và phương phápnhưng còn thụ động và chậm, đang cần sự gợi ý)

KẾT QUẢ CỤ THỂ

III - PHẦN KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 1) Kết luận

Với đề tài “ Rèn kỹ năng cho học sinh khá giỏi lớp 9 biết phândạng và tìm lời giải cho bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất”Tôi đã cố gắng hệ thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán giátrị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong chương trình toán nâng cao 9.Trong mỗi giờ dạy tôi có đưa ra cơ sở lí thuyết và những ví dụ trongmỗi ví dụ đó có gợi ý và hướng dẫn học sinh cách giải và những chú ýcần thiết để khi gặp các ví dụ khác các em có thể giải được

Các dạng bài tập đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạpnhằm giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải bài toáncực trị trong đại số thcs Bên cạnh đó tôi còn đưa ra các ví dụ là cácbài toán tổng hợp các kiến thức và kĩ năng tính toán, khả năng tư duy

ở cấp học này, qua đó làm cho các em say mê hứng thú học tập bộmôn Toán

Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn còn một số học sinh bỡngỡ trong quá trình giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất, lập luận chưa có căn cứ, suy diễn chưa hợp logic dẫn tới lời giảicòn sai.

2) Đề xuất,đề nghị: Không

Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian không nhiều, dotrình độ năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn hạn chế nêntrong cách trình bày không tránh khỏi những sơ xuất thiếu sót Rấtmong nhận được sự giúp đỡ, góp ý của các thầy, cô và bạn đồngnghiệp để tôi có thể rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy củamình trong thời gian sau

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

HIỆU TRƯỞNG

Cẩm Thủy, ngày 26 tháng 03 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung của

người khác( Ký và ghi rõ họ tên)

…… Bùi Tiến Dũng

PHỤ LỤC

1 - Kinh nghiệm dạy và học toán (Vũ Hữu Bình)

2 - Phương pháp giảng dạy môn Toán (Nguyễn HữuThảo)

3 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 1, tập 2 (Bộ giáo dục)

4 - Nâng cao và phát triển toán 9 tập 1, tập 2 ( Vũ Hữu Bình )

5 - Các dạng toán điển hình 9 tập 1, tập 2 ( ThS Lê Đức )