GIẢI PHÁP
GIÚP HỌC SINH NHẬN
BIẾTMỘT SỐ SAI LẦM
THƯỜNG GẶP KHI GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH
I.Đặt vấn đề:
Hiện nay trong chương trình sách giáo khoa bậc
THPT có nhiều chương liên quan đến việc giải
phuong trình.Trong quá trình giải phương trình
học sinh cứ cảm giác là mình giải đúng nhưng lại
không biết mình giải thừa nghiệm,thiếu nghiệm
thậm chí là giải sai.Bản thân học sinh nếu không
nắm chắc
các quy tắc
biến đổi
tương
đương,không nắm chắc điều kiện xác định của
phương trình thì không thể phát hiện được các sai
lầm của mình để sửa sai.Để giúp học sinh phát
hiện ra những sai lầm của mình,tôi đưa ra giải
pháp giúp học sinh nhận biết một số sai lầm
thường gặp khi giải phương trình thông qua một
số ví dụ cụ thể.
II.Giải quyết vấn đề:
Những sai lầm khi giải phương trình thường mắc
phải khi học sinh hiểu sai quy tắc biến đổi
phương trình tương đương.Đặt thừa hay thiếu các
điều kiện đều dẫn đến sai lầm thậm chí sai đến
mức .... không giải tiếp được nữa.Một số sai lầm
còn do hậu quả của việc biến đổi biểu thức không
đúng.
Ví dụ 1:Giải phương trình:
3 x 3 − 6 x 2 − 9 x = 9( x 2 − 2 x − 3)
(1)
•Lời
giải
có
sai
lầm:
(1)
⇔ 3x ( x 2 − 2 x − 3) = 9( x 2 − 2 x − 3) ⇔ 3 x = 9 ⇔ x = 3
•Phân tích sai lầm:Có thể thấy ngay x=-1 cũng
là nghiệm của PT (1),sai lầm là học sinh chia hai
vế của phương trình cho x2-2x-3.Nên nhớ rằng
muốn chia hai vế cho một biểu thức thì biểu thức
đó phải chắc chắn khác 0.Ở đây nên áp dụng tính
chất ab=cb ⇔ b(a-c)=0.
•Lời giải đúng:
(1) ⇔ ( x
2
− 2 x − 3)(3 x − 9) = 0
x 2 − 2x − 3 = 0
x = −1
⇔
⇔
x = 3
3 x − 9 = 0
Ví dụ 2:Giải phương trình:
− x 3 + 3x − 2 + x + 1 = 2
(2)
•Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình:
− x 3 + 3 x − 2 ≥ 0
x 3 − 3x + 2 ≤ 0
⇔
x + 1 ≥ 0
x ≥ −1
( x − 1) 2 ( x + 2) ≤ 0
x + 2 ≤ 0
x ≤ −2
⇔
⇔
⇔
⇔ x∈
x ≥ −1
x ≥ −1
x ≥ −1
Ø
Vậy không tồn tại giá trị của x để phương trình
xác định nên phương trình vô nghiệm.
•Phân tích sai lầm:Có thể thấy ngay x=1 thì hai
căn thức đều có nghĩa và x=1 chính là nghiệm
duy nhất của PT (2),sai lầm là học sinh chia hai
vế của bất phương trình (x-1)2(x+2)≤0 cho (x-1)2.
•Lời giải đúng:
− x 3 + 3 x − 2 ≥ 0
x 3 − 3x + 2 ≤ 0
⇔
x + 1 ≥ 0
x ≥ −1
x = 1
( x − 1) 2 ( x + 2) ≤ 0
⇔
⇔ x ≤ −2 ⇔ x = 1
x ≥ −1
x ≥ 1
Thử x=1 vào phương trình ta có
2= 2
nên x=1 là
nghiệm duy nhất của phương trình (2)
Ví dụ 3:Giải phương trình:
x2 −1 − x +1 = x +1
(3)
•Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình:
x 2 − 1 ≥ 0
( x − 1)( x + 1) ≥ 0
⇔
x + 1 ≥ 0
x + 1 ≥ 0
x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
⇔
⇔
⇔ x ≥1
x + 1 ≥ 0
x ≥ −1
Với điều kiện trên : PT (3) ⇔
⇔
Với
x ≥1
thì
x −1 < x +1
nên
( x − 1)( x + 1) − x + 1 = x + 1
x −1 −1 = x +1
x −1 −1 < x +1
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
( x − 1)( x + 1) ≥ 0
x + 1 ≥ 0
•Phân tích sai lầm:Sai lầm khi giải hệ
,nhiều học sinh nghi rằng
A.B ≥ 0
A ≥ 0
⇔
A ≥ 0
B ≥ 0
Ở lời giải trên thiếu x =-1 và đó là nghiệm duy
nhất.
•Lời giải đúng: Điều kiện của phương trình:
x ≥ 1
x 2 − 1 ≥ 0
x = −1
⇔ x ≤ −1 ⇔
x ≥ 1
x + 1 ≥ 0
x ≥ −1
◦Với x=-1 :Thay x =-1 vào PT(3) ta có :0=0
.Suy ra x = -1 là nghiệm PT(3).
◦Với
x ≥1
:PT (3) ⇔
( x − 1)( x + 1) − x + 1 = x + 1
⇔
Với
x ≥1
thì
x −1 < x +1
nên
x −1 −1 = x +1
x −1 −1 < x +1
Suy ra PT (3) vô nghiệm.
Vậy PT (3) có duy nhất nghiệm x = -1.
Ví dụ 4:Giải phương trình:
2 x + x − 3 = 16
(4)
•Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình:
x≥3
Với
⇔
điều
kiện
trên,PT(4)
x − 3 = 16 − 2 x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2
x = 7
⇔ 4 x − 65 x + 259 = 0 ⇔
x = 37
4
2
(thỏa điều kiện
x≥3
)
37
Vậy PT (4) có 2 nghiệm x=7 và x= 4
•Phân
tích
sai
lầm:
Sai
lầm
khi
viết
x − 31 = 6 − 2 x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2
Nên nhớ rằng:
B ≥ 0
A=B⇔
2
A = B
.
Nếu không sử dụng công thức trên thì sau khi đặt
điều kiện,giải phương trình hệ quả,sau đó phải
thử lại nghiệm vào PT ban đầu.
•Lời giải đúng:
◦Cách 1:
⇔
16 − 2 x ≥ 0
x − 3 = 16 − 2 x ⇔
2
x − 3 = (16 − 2 x)
x ≤ 8
x ≤ 8
x=7
⇔ 2
⇔
⇔ x=7
37
4 x − 65 x + 259 = 0
x =
4
PT(4)
◦Cách 2:
Điều kiện của phương trình:
x≥3
Với
điều
kiện
trên,PT(4)
⇒ x − 3 = 16 − 2 x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2
x = 7
⇔ 4 x − 65 x + 259 = 0 ⇔
x = 37
4
2
(thỏa điều kiện
x≥3
)
Thử lại ta thấy x=7 là nghiệm PT (4).
Ví dụ 5:Giải phương trình:
•Lời
giải
có
sai
2 x + 2 2 x = 20
lầm:
(5)
PT
(5)
⇔ 2 x (1 + 2 2 ) = 20 ⇔ 2 x .5 = 20 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2
•Phân tích sai lầm: Tuy rằng x=2 thử vào PT(5)
vẫn thấy thỏa mãn nhưng lời giải vẫn sai lầm vì
học sinh nghĩ rằng
Nên nhớ rằng:
2 2 x = 2 2.2 x
.
2 2 x = (2 x ) 2
•Lời giải đúng: Đặt
t = 2x > 0
.PT (5) trở thành:
2
t +t-20=0
Vì t>0 nên t=4
t = 4
⇔
t = −5
⇔ 2x = 4 ⇔ t = 2
Ví dụ 6:Giải phương trình:
log 2 x 2 = 2 log 2 (3 x + 4)
(6)
•Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình:
x ≠ 0
x 2 > 0
⇔
4
3 x + 4 > 0
x > − 3
Khi đó: PT (6) ⇔ 2 log
2
x = 2 log 2 (3 x + 4) ⇔ log 2 x = log 2 (3 x + 4)
⇔ x = 3 x + 4 ⇔ x = −2
(không thỏa điều
kiện)
Vây PT (6) vô nghiệm.
•Phân tích sai lầm: Sai lầm khi biến đổi
log 2 x 2 = 2 log 2 x
Nên nhớ rằng: log
2
x 2 = 2 log 2 x
•Lời giải đúng: PT (6) ⇔ 2 log
2
x = 2 log 2 (3x + 4)
⇔ log 2 x = log 2 (3x + 4)
x = 3 x + 4
x = −2
x = 3x + 4
x = −3 x − 4
x = −1
⇔
⇔
⇔
⇔ x = −1
3
x
+
4
>
0
4
4
x > −
x > −
3
3
Ví dụ 7:Giải phương trình:
•Lời
giải
có
4 log 2 x + x − 6 = 0
sai
(7)
lầm:
PT(7)
x = −3
⇔ (2 log 2 x ) 2 + x − 6 = 0 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔
x = 2
•Phân tích sai lầm: Sai lầm khi biến đổi
4 log 2 x = (2 log 2 x ) 2 = x 2
Nên nhớ rằng:
•Lời
2 log 2 x = x
chỉ khi x>0.
giải
đúng:
PT(7)
x > 0
x > 0
x > 0
⇔ log x 2
⇔ 2
⇔ x = −3 ⇔ x = 2
2
) + x−6 = 0
x + x − 6 = 0
(2
x = 2
Ví dụ 8:Giải
a−5+
2a + 5
=0
x−2
và biện luận phương trình:
(8) theo tham số a.
•Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình:
x≠2
Khi đó :PT(8) ⇔ (a − 5)( x − 2) + 2a + 5 = 0 ⇔ (5 − a) x = 15
Nếu a ≠ 5 thì
x=
15
5−a
Nếu a = 5 thì PT vô nghiệm.
•Phân tích sai lầm: Sai lầm là không để ý
x=
15
5−a
khi nào không là nghiệm của PT (8).Vì nghiệm
phải thỏa
x≠2
nên khi
15
5
=2⇔a=−
5−a
2
thì PT vô
nghiệm.
•Lời giải đúng: Điều kiện của phương trình:
Khi đó :PT(8) ⇔ (a − 5)( x − 2) + 2a + 5 = 0 ⇔ (5 − a) x = 15
Nếu a ≠ 5 thì
x=
15
5−a
và
15
5
≠2⇔a≠−
5−a
2
x≠2
Nếu a = 5 thì PT vô nghiệm.
5
Vậy:Với a ≠ 5 và a ≠ − 2 thì PT có nghiệm
x=
15
5−a
5
Với a = 5 hoặc a = − 2 thì PT vô nghiệm.
II.Kết luận:
Trên đây là một số sai lầm thường gặp khi học
sinh giải phương trình.Trong quá trình giảng dạy
tôi thường nhấn mạnh các sai lầm thường gặp để
học sinh giải ít sai sót hơn,cho các em luyện tập
các bài toán mà các em có thể gặp sai lầm nhiều
hơn,qua đó giúp các em linh hoạt trong quá trình
biến đổi,đặt điều kiện cho phương trình đầy đủ
và chính xác,giúp các em thấy tự tin hơn trong
học tập.
... định phương trình phát sai lầm để sửa sai. Để giúp học sinh phát sai lầm mình,tôi đưa giải pháp giúp học sinh nhận biết số sai lầm thường gặp giải phương trình thông qua số ví dụ cụ thể II .Giải. .. số sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình. Trong trình giảng dạy thường nhấn mạnh sai lầm thường gặp để học sinh giải sai sót hơn,cho em luyện tập toán mà em gặp sai lầm nhiều hơn,qua giúp. .. sai lầm giải phương trình thường mắc phải học sinh hiểu sai quy tắc biến đổi phương trình tương đương.Đặt thừa hay thiếu điều kiện dẫn đến sai lầm chí sai đến mức không giải tiếp nữa .Một số sai