Giải pháp giúp HS nhận biết một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình

GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH NHẬN BIẾTMỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH I.Đặt vấn đề: Hiện nay trong chương trình sách giáo khoa bậc THPT có nhiều chương liên quan đến việc giải phuong trình.Trong quá trình giải phương trình học sinh cứ cảm giác là mình giải đúng nhưng lại không biết mình giải thừa nghiệm,thiếu nghiệm thậm chí là giải sai.Bản thân học sinh nếu không nắm chắc các quy tắc biến đổi tương đương,không nắm chắc điều kiện xác định của phương trình thì không thể phát hiện được các sai lầm của mình để sửa sai.Để giúp học sinh phát hiện ra những sai lầm của mình,tôi đưa ra giải pháp giúp học sinh nhận biết một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình thông qua một số ví dụ cụ thể. II.Giải quyết vấn đề: Những sai lầm khi giải phương trình thường mắc phải khi học sinh hiểu sai quy tắc biến đổi phương trình tương đương.Đặt thừa hay thiếu các điều kiện đều dẫn đến sai lầm thậm chí sai đến mức .... không giải tiếp được nữa.Một số sai lầm còn do hậu quả của việc biến đổi biểu thức không đúng. Ví dụ 1:Giải phương trình: 3 x 3 − 6 x 2 − 9 x = 9( x 2 − 2 x − 3) (1) •Lời giải có sai lầm: (1) ⇔ 3x ( x 2 − 2 x − 3) = 9( x 2 − 2 x − 3) ⇔ 3 x = 9 ⇔ x = 3 •Phân tích sai lầm:Có thể thấy ngay x=-1 cũng là nghiệm của PT (1),sai lầm là học sinh chia hai vế của phương trình cho x2-2x-3.Nên nhớ rằng muốn chia hai vế cho một biểu thức thì biểu thức đó phải chắc chắn khác 0.Ở đây nên áp dụng tính chất ab=cb ⇔ b(a-c)=0. •Lời giải đúng: (1) ⇔ ( x 2 − 2 x − 3)(3 x − 9) = 0 x 2 − 2x − 3 = 0  x = −1 ⇔ ⇔ x = 3 3 x − 9 = 0 Ví dụ 2:Giải phương trình: − x 3 + 3x − 2 + x + 1 = 2 (2) •Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình: − x 3 + 3 x − 2 ≥ 0  x 3 − 3x + 2 ≤ 0 ⇔   x + 1 ≥ 0  x ≥ −1 ( x − 1) 2 ( x + 2) ≤ 0 x + 2 ≤ 0  x ≤ −2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x∈  x ≥ −1  x ≥ −1  x ≥ −1 Ø Vậy không tồn tại giá trị của x để phương trình xác định nên phương trình vô nghiệm. •Phân tích sai lầm:Có thể thấy ngay x=1 thì hai căn thức đều có nghĩa và x=1 chính là nghiệm duy nhất của PT (2),sai lầm là học sinh chia hai vế của bất phương trình (x-1)2(x+2)≤0 cho (x-1)2. •Lời giải đúng: − x 3 + 3 x − 2 ≥ 0  x 3 − 3x + 2 ≤ 0 ⇔  x + 1 ≥ 0  x ≥ −1  x = 1 ( x − 1) 2 ( x + 2) ≤ 0  ⇔ ⇔  x ≤ −2 ⇔ x = 1  x ≥ −1 x ≥ 1  Thử x=1 vào phương trình ta có 2= 2 nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2) Ví dụ 3:Giải phương trình: x2 −1 − x +1 = x +1 (3) •Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình: x 2 − 1 ≥ 0 ( x − 1)( x + 1) ≥ 0 ⇔  x + 1 ≥ 0 x + 1 ≥ 0 x − 1 ≥ 0 x ≥ 1 ⇔ ⇔ ⇔ x ≥1 x + 1 ≥ 0  x ≥ −1 Với điều kiện trên : PT (3) ⇔ ⇔ Với x ≥1 thì x −1 < x +1 nên ( x − 1)( x + 1) − x + 1 = x + 1 x −1 −1 = x +1 x −1 −1 < x +1 Vậy PT đã cho vô nghiệm. ( x − 1)( x + 1) ≥ 0  x + 1 ≥ 0 •Phân tích sai lầm:Sai lầm khi giải hệ ,nhiều học sinh nghi rằng  A.B ≥ 0 A ≥ 0 ⇔  A ≥ 0 B ≥ 0 Ở lời giải trên thiếu x =-1 và đó là nghiệm duy nhất. •Lời giải đúng: Điều kiện của phương trình:  x ≥ 1 x 2 − 1 ≥ 0  x = −1  ⇔  x ≤ −1 ⇔   x ≥ 1 x + 1 ≥ 0  x ≥ −1  ◦Với x=-1 :Thay x =-1 vào PT(3) ta có :0=0 .Suy ra x = -1 là nghiệm PT(3). ◦Với x ≥1 :PT (3) ⇔ ( x − 1)( x + 1) − x + 1 = x + 1 ⇔ Với x ≥1 thì x −1 < x +1 nên x −1 −1 = x +1 x −1 −1 < x +1 Suy ra PT (3) vô nghiệm. Vậy PT (3) có duy nhất nghiệm x = -1. Ví dụ 4:Giải phương trình: 2 x + x − 3 = 16 (4) •Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình: x≥3 Với ⇔ điều kiện trên,PT(4) x − 3 = 16 − 2 x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2 x = 7 ⇔ 4 x − 65 x + 259 = 0 ⇔   x = 37  4 2 (thỏa điều kiện x≥3 ) 37 Vậy PT (4) có 2 nghiệm x=7 và x= 4 •Phân tích sai lầm: Sai lầm khi viết x − 31 = 6 − 2 x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2 Nên nhớ rằng: B ≥ 0 A=B⇔ 2 A = B . Nếu không sử dụng công thức trên thì sau khi đặt điều kiện,giải phương trình hệ quả,sau đó phải thử lại nghiệm vào PT ban đầu. •Lời giải đúng: ◦Cách 1: ⇔ 16 − 2 x ≥ 0 x − 3 = 16 − 2 x ⇔  2  x − 3 = (16 − 2 x) x ≤ 8  x ≤ 8  x=7 ⇔ 2 ⇔  ⇔ x=7 37 4 x − 65 x + 259 = 0  x =  4 PT(4) ◦Cách 2: Điều kiện của phương trình: x≥3 Với điều kiện trên,PT(4) ⇒ x − 3 = 16 − 2 x ⇔ x − 3 = 256 − 64 x + 4 x 2 x = 7 ⇔ 4 x − 65 x + 259 = 0 ⇔   x = 37  4 2 (thỏa điều kiện x≥3 ) Thử lại ta thấy x=7 là nghiệm PT (4). Ví dụ 5:Giải phương trình: •Lời giải có sai 2 x + 2 2 x = 20 lầm: (5) PT (5) ⇔ 2 x (1 + 2 2 ) = 20 ⇔ 2 x .5 = 20 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2 •Phân tích sai lầm: Tuy rằng x=2 thử vào PT(5) vẫn thấy thỏa mãn nhưng lời giải vẫn sai lầm vì học sinh nghĩ rằng Nên nhớ rằng: 2 2 x = 2 2.2 x . 2 2 x = (2 x ) 2 •Lời giải đúng: Đặt t = 2x > 0 .PT (5) trở thành: 2 t +t-20=0 Vì t>0 nên t=4 t = 4 ⇔ t = −5 ⇔ 2x = 4 ⇔ t = 2 Ví dụ 6:Giải phương trình: log 2 x 2 = 2 log 2 (3 x + 4) (6) •Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình: x ≠ 0 x 2 > 0  ⇔ 4  3 x + 4 > 0  x > − 3 Khi đó: PT (6) ⇔ 2 log 2 x = 2 log 2 (3 x + 4) ⇔ log 2 x = log 2 (3 x + 4) ⇔ x = 3 x + 4 ⇔ x = −2 (không thỏa điều kiện) Vây PT (6) vô nghiệm. •Phân tích sai lầm: Sai lầm khi biến đổi log 2 x 2 = 2 log 2 x Nên nhớ rằng: log 2 x 2 = 2 log 2 x •Lời giải đúng: PT (6) ⇔ 2 log 2 x = 2 log 2 (3x + 4) ⇔ log 2 x = log 2 (3x + 4)  x = 3 x + 4   x = −2     x = 3x + 4  x = −3 x − 4  x = −1 ⇔ ⇔  ⇔  ⇔ x = −1 3 x + 4 > 0 4 4  x > − x > −   3 3 Ví dụ 7:Giải phương trình: •Lời giải có 4 log 2 x + x − 6 = 0 sai (7) lầm: PT(7)  x = −3 ⇔ (2 log 2 x ) 2 + x − 6 = 0 ⇔ x 2 + x − 6 = 0 ⇔  x = 2 •Phân tích sai lầm: Sai lầm khi biến đổi 4 log 2 x = (2 log 2 x ) 2 = x 2 Nên nhớ rằng: •Lời 2 log 2 x = x chỉ khi x>0. giải đúng: PT(7) x > 0 x > 0 x > 0  ⇔  log x 2 ⇔ 2 ⇔   x = −3 ⇔ x = 2 2 ) + x−6 = 0 x + x − 6 = 0 (2  x = 2  Ví dụ 8:Giải a−5+ 2a + 5 =0 x−2 và biện luận phương trình: (8) theo tham số a. •Lời giải có sai lầm: Điều kiện của phương trình: x≠2 Khi đó :PT(8) ⇔ (a − 5)( x − 2) + 2a + 5 = 0 ⇔ (5 − a) x = 15 Nếu a ≠ 5 thì x= 15 5−a Nếu a = 5 thì PT vô nghiệm. •Phân tích sai lầm: Sai lầm là không để ý x= 15 5−a khi nào không là nghiệm của PT (8).Vì nghiệm phải thỏa x≠2 nên khi 15 5 =2⇔a=− 5−a 2 thì PT vô nghiệm. •Lời giải đúng: Điều kiện của phương trình: Khi đó :PT(8) ⇔ (a − 5)( x − 2) + 2a + 5 = 0 ⇔ (5 − a) x = 15 Nếu a ≠ 5 thì x= 15 5−a và 15 5 ≠2⇔a≠− 5−a 2 x≠2 Nếu a = 5 thì PT vô nghiệm. 5 Vậy:Với a ≠ 5 và a ≠ − 2 thì PT có nghiệm x= 15 5−a 5 Với a = 5 hoặc a = − 2 thì PT vô nghiệm. II.Kết luận: Trên đây là một số sai lầm thường gặp khi học sinh giải phương trình.Trong quá trình giảng dạy tôi thường nhấn mạnh các sai lầm thường gặp để học sinh giải ít sai sót hơn,cho các em luyện tập các bài toán mà các em có thể gặp sai lầm nhiều hơn,qua đó giúp các em linh hoạt trong quá trình biến đổi,đặt điều kiện cho phương trình đầy đủ và chính xác,giúp các em thấy tự tin hơn trong học tập.  ... định phương trình phát sai lầm để sửa sai. Để giúp học sinh phát sai lầm mình,tôi đưa giải pháp giúp học sinh nhận biết số sai lầm thường gặp giải phương trình thông qua số ví dụ cụ thể II .Giải. .. số sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình. Trong trình giảng dạy thường nhấn mạnh sai lầm thường gặp để học sinh giải sai sót hơn,cho em luyện tập toán mà em gặp sai lầm nhiều hơn,qua giúp. .. sai lầm giải phương trình thường mắc phải học sinh hiểu sai quy tắc biến đổi phương trình tương đương.Đặt thừa hay thiếu điều kiện dẫn đến sai lầm chí sai đến mức không giải tiếp nữa .Một số sai