Phuong trinh luong giac - hay cuc

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCI.. Phương trình lượng giác cơ bản 1... Tìm m để phương trình có nghiệm.. Phương trình đưa về dạng tích : • Một số phương trình cho dưới dạng tổng

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I Phương trình lượng giác cơ bản

1 Phương trình sin x a=

• a 1≤ : đặt a sin= α, phương trình có nghiệm

x= α + π = π − α + πk2 ; x k2

2 Phương trình cos x a=

• a 1≤ : đặt a cos= α, phương trình có nghiệm x= ±α + πk2

3 Phương trình tgx a=

• Đặt a tg= α, phương trình có nghiệm x= α + πk

4 Phương trình cotgx a=

• Đặt a cot g= α, phương trình có nghiệm x= α + πk

II Phương trình lượng giác một ẩn:

Phương pháp chung: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đại số

Ví dụ 1: Cho phương trình cos 2x−(2m 1 cos x m 1 0+ ) + + =

a Giải phương trình với m 3

2

=

b Tìm m để phương trình có nghiệm x ;3

2 2

π π

∈ 

Đáp án:

3

π

= ± + π

b − ≤ <1 m 0

Ví dụ 2: Tìm a để 2 phương trình sau tương đương

( )

2cos x cos 2x 1 cos 2x cos3x= + + 1

2

4cos x cos3x a cos x− = + 4 - a 1 cos 2x+ 2

Đáp án: a 3= hoặc a 4= hoặc a 5> hoặc a 1<

Ví dụ 3: Giải phương trình: cos x cos x 2sin x( ) 3sin x sin x( 2)

1 sin 2x 1

=

−

Bài làm:

2

sin 2x 1

pt

cos x cos x 2sin x 3sin x sin x 2 sin 2x 1

sin 2x 1

2sin x 3 2 sin x 2 0

4

≠





≠





π

⇔ = − + π ∈

Ví dụ 4: Cho phương trình: cos3x cos 2x m cos x 1 0− + − = Tìm m để phương trình có đúng 7 nghiệm trong ; 2

2

π

− π

Bài làm:

( )

2

pt 4cos x 3cos x 2cos x 1 m cos x 1 0

cos x 4cos x 2 cos x m 3 0

 )

Cô lập tham số, xét hàm, thu được 1 m 3< <

Bài tập tương tự:

Bài 1: Giải phương trình: 3cos x cos 2x cos 3x 1 2sin x sin 2x+ − + =

Bài 2: Tìm m để phương trình trên tương đương với phương trình:

m cos3x+ −4 8m sin x+ 7m 4 cos x 8m 4 0− + − =

III Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

a sin x b cos x c+ = a +b >0 (1)

Cách 1: Chia cả 2 vế của phương trình cho 2 2

a +b , đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Cách 2: Giả thiết a 0≠ , phương trình sin x bcos x c

a

b

cosx=

a

c

Đặt tg b

a

α = , đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Chú ý: phương trình (1) có nghiệm ⇔c2 < +a2 b2

Ví dụ 1: Giải phương trình:

a sin x cox− = 2

b 2sin x 5cos x 4− =

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (m 2 sin x m cos x 2+ ) + =

Ví dụ 3: Cho phương trình: sin x m cos x 1+ = (1)

a Giải phương trình với m= 2

b Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của phương trình 2

m sin x cos x m+ =

Đáp án: m 0= hoặc m 1=

Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x( + ) = +

Bài làm:

Pt ⇔ 2 sin 2x+ 2 1 cos 2x 3 cos 2x− = + ⇔ 2 sin 2x+ 2 1 cos 2x 3− = − 2

Vô nghiệm

4sin x cos3x 4cos x sin 3x 3 3 cos 4x 3+ + =

Bài làm:

Pt 3sin x sin 3x cos3x 3 cos x cos3x sin 3x 3 3 cos 4x 3

k x

 = − +



π π

 = +



Ví dụ 6: Giải và biện luận phương trình: ( ) 2 3

2m cos x sin x 2m cos x sin x

2

2

+)m 1: cos x 1

2

+)m 1:

2

≠ vô nghiệm

Bài tập tương tự:

Bài 1: Tìm m để các pt sau có nghiệm :

Bài 2: Cho phương trình (1 m cos x+ ) +(1- m sin x m 2) =

a Tìm m để phương trình có nghiệm

b Tìm các nghiệm của phương trình theo góc 









−

∈

2

; 2

π π ϕ

Bài 3: Cho 2 phương trình: sin x+ 3 cos x 1= và sin x cos x m+ = Tìm m để 2 phương trình có ít nhất 1 nghiệm chung

Bài 4: Tìm max, min của biểu thức y sin x 2cos x 1

sin x cos x 2

=

IV Phương trình đẳng cấp đối với sin x,cos x

• Kiểm tra cos x 0= có là nghiệm của phương trình

• Với cos x 0≠ , chia cả 2 vế của pt cho cos x , đưa về phương trình đại k

số

Ví dụ 1: Giải các phương trình

a 4sin x 3 3 sin 2x 2cos x 42 + − 2 =

b 3 cos x 2sin x cos x2 + − 3 sin x2 − 2 0=

c 6sin x 2cos x3 5sin 4x cos x

2cos 2x

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:

3m 2 sin x− − 5m 2 sin 2x 3 2m 1 cos x 0− + + =

Ví dụ 3: Cho phương trình:

(4 6m sin− ) 3+3 2m 1 sin x 2 m - 2 sin x cos x( − ) + ( ) 2 −(4m 3 cos x 0− ) =

a Giải phương trình khi m 2=

b Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất trên đoạn 0;

4

π

 

 

 

= + π ∈ −∞ ∪ +∞

m cos x 4sin x cos x m 2 0− + − = có nghiệm trong 0;

4

π

 

 

 

Bài làm: Xét trên 0;

4

π

 

 

 có cos x 0≠ , biến đổi được phương trình ( ) 2 ( )

m 1 t− − +4t 2 m 1− =0

Biện luận, thu được 1 m 8

3

< <

cos x 4sin x 3cos x sin x sin x 0− − + =

Bài làm:

Xét cos x , được phương trình 3t3+3t2− − =t 1 0

= − + π = ± + π ∈

4

π

 − =

Bài làm:

Nhân vào 2 vế 2 2 thu được phương trình ( )3

sin x cos x− =4sin x Nghiệm x k (k Z)

4

π

= − + π ∈

V Phương trình đối xứng đối với sin x,cos x

• Đặt t sin x cos x= ± , đưa về phương trình đại số

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a (1+ 2 )(sinx + cosx)- sin2x - (1 + 2 )=0 b 2sinx.cosx - (sin x + cosx) + 1 = 0

c sinx + cosx= 1 d sin3x + cos3x=1 –

2

1 sin2x

e sin4x + cos4x= ¾ g sin3x + cos3x =

x

4 cos sin

1 +

Ví dụ 2: Cho phương trình

sin x cos x tg(x ).tg(x )

+

a Giải phương trình khi m 1

4

= − (vô nghiệm)

b Tìm m để phương trình có nghiệm ( 1 m 1

4

− ≤ ≤ − )

VI Phương trình đưa về dạng tích :

• Một số phương trình cho dưới dạng tổng có thể dùng công thức biến đổi tổng thành tích để đưa về phương trình dạng u(x).v(x).w(x) = 0

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a sin5x - sin3x + sinx = 0

b cos2x – cos6x = sin3x + sin5x

c sin x + sin2x + sin3x = 4 cos

2

x

cosx cos

2

3x

Đáp án:

a x = ±

6

π +k π

hoặc x =

3

π

k

b



















+

=

+

=

=

π π

π π

π

2 2

3

2 6 4

k x

k x

k x

c

















+

=

+

=

+

=

3

2 6 2 2

π π

π π

π π

k x

k x

k x

VII Dùng công thức hạ bậc:

• Đối với phương trình lượng giác bậc cao (bậc chẵn) có thể dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình đã biết cách giải

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a sin4x+cos4x=

2 1

b sin6x + cos6x= sin4x+cos4x

c sin24x +sin23x=sin22x+ sin2x

Đáp án:

a x =

2 4

π

π +k

b x= kπ/2 c













=

= 5

2 π

π

k x

k x

VIII Dùng công thức nhân đôi, nhân ba

• Chọn cung chung, đưa về phương trình chứa một hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải các phương trình:

a cos

3

4x

= cos2x x = kπ hoặc x k3

= ± +

b 2 + sin12x - 2cos8x=0 x= k

4

π

= − + hoặc x 7 k

4

π

= + π c

5

4 cos 3 1 5

3 cos

2 2 x+ = x x = k5π hoặc x= 5 k5

2

α

± + π

IX Đánh giá 2 vế,đưa về hpt lg:

VD: giải các pt sau:

a sin4x( cosx – 2 sn4x) + cos4x(1+sin x-2 cos4x)=0

b sin2x+

4

1

sin23x= sin x sin23x

c sin x+ 2−sin2 x+ sin x 2−sin2 x=3

d 2−cos23x+ cos3x=2( 1+sin2x)

e cos4x+ (cos2x –sin x)2=5

f (cos2x –cos4x)2=6+2sin3x

Đề luyện tập: Giải các pt sau

PT dạng đối xứng:

2

1 2

sin

cos

gx tgx

x

x

x+ = + 5 cos3x+sin3x=cos2x

2 sin3x+cos3x+sin3x cotg x+cos3x tgx= 2sin2x 6 sin x cosx+2sin x+2 cosx=2

3 sin8x+cos8x=2(sin10x+cos10x)+

4

5 cos2x 7 cos3x+sin3x=sin2x+sin x+cosx

x

x x

cos 4 sin

2 cos 1 2

sin

1

= +

+

− 8 cotg x- tg+4sin2x=

x

2 sin 2

9 sin3x- cos3x=sin x+cosx

PT giải bằng các dùng các công thức biến đổi

1 sinx cos4x-sin22x=4sin2(

2 4

x

−

π )-2

7

5 0

2 cos )

4 2 ( sin2 x−π tg2x− 2 x =

2 4 ( cos 2 1 sin 2 cos sin

2

x

x x

6 cosx cos7x=cos3x cos5x

3 1+sin x+cos3x=cosx+sin2x+cos2x 7 3

2 cos cos

2 sin

−

−

x x

x x

x

x

x (cos3 sin sin3 cos ) sin sin 3

4 sin

3

3 sin

Giải pt bằng cách phân tích thành nhân tử

1 (2 sin x+1)(3 cos4x+2 sinx -4)+4 cos2x=3 5 3-tgx(tgx+2sin x)+6 cosx=0

2 sin2x(cotg x+tg2x)=4 cos2x 6 2(1 sin )

cos sin

) 1 (cos cos2

x x

x

x x

+

= +

−

3 sin3x+sin2x=5sin x 7 (2 cosx-1)(2 sin x+cosx)=sin2x-sin x

4

5

5 sin

3

3

=

Đưa về pt một ẩn

1 2 cos2x-8 cosx+7=

x

cos 1

2 a gpt: sin3x+cos2x=1+2sin x cos2x

b Tìm m để pt (1) tương đương với pt: sin3x-m sinx=(4-2|m|)sin2x

3 2 cos22x+cos2x=4sin22x cos2x

4 3sin2x−2cos2 x=2 2+2cos2x

5 Cho pt cos2x=m cos2x 1+tgx

a Gpt với m=1

b Tìm m để pt có nghiệm ∈ [0;

3

π ]

6 cos2x+cosx(2tg2x-1)=2

7 3 cos4x-8 cos6x+2 cos2x+3=0

8 5sin x-2=3(1-sin x)tg2x

9 cos3x+2 cos2x=1-2sin x sin2x

10 3 cos2x+4 cos3x-cos3x=0

11 2sin2

(x-4

π

)=2sin2x-tgx

12 4 cos2x-2 cos22x=1+cos4x

13 1+3tgx=2sin2x

14 2 2 (sin x+cosx) cosx=3+ cos2x

15 sin4x=tgx

Các pt lg khác

1 2sin x+cotg x=2sin2x+1

2 4 cos 3x+3 2 sin2x=8 cosx

3.Tìm các nghiệm nguyên của pt: cosπ (3x− 9x2 +160x+800)=1

4 x ) 1 8sin2xcos 2x

4 3

sin(

sin

) (sin

−

+

x x

tgx

tgx

x

6 Tìm các nghiệm nguyên của pt : (3 9 16 80 1

4 cosπ x− x2 − x− =

1 cos 2

) 4 2 ( sin 2 cos

)

3

2

=

−

−

−

−

x

x

8 cotg x=tgx+

x

x

2 sin

4 cos 2

9 sin(π cosx)=1

10 3 cosx(1- sin )-cos2x=2x sin sinx 2-1

11 cos3xsin2x-cos4x sin x=

2

1 sin3x+ 1+cosx

12 3 cos4x+sin4x-2 cos3x=0

Bài tập về nhà

1 cos2 x.sin4x+cos2x=2 cosx(sin x+cosx)-1

2 sin4xsin2x+sin9xsin3x=cos2x

3 2 cosx+ 2 sin10x=3 2 +2 cos28x sin x

4 sin2x+2 cos2x=1+sin x-4 cosx

5 3sin4x+5 cos4x=3

4 2 cos(

) 4

2

7 tgx+2cotg2x=sin2x

8 3cotg2+2 2 sin2x=(2+3 2 )cosx

ĐỀ TUYỂN SINH 2000-2001:

1.Đại học quốc gia Hà Nội Khối D Giải pt: 1+3tgx=2sin2x (1)

Đk: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π/2+k π

Đặt t=tgx ⇒ 2

1

2 2 sin

t

t x

+

=

Pt (1) ⇔ 1+t2+3t(1+t2)=4t ⇔ 3t3+t2-t+1=0

⇔ (t+1)(3t2-2t+1)=0 ⇔ t=-1 ⇔ x=-π/4+k π(k ∈ Z)

2

1 2

sin

cos

gx tgx

x

x

Giải: Đk : sin2x ≠ 0

Pt

−

⇔ sinx cosx=0 (không tm đk) Vậy pt đã cho vô nghiệm

3.Đại học Sư Phạm Hà Nội

Tìm các nghiệm của pt :

2

7 ) 2 4 ( sin 4 2 sin 4 cos sinx x− 2 x= 2 π − x −

(1) tm đk |x-1|<3

2 cos(

1 ( 4 4 cos 1 4 cos sin

⇔ 2sin x cos4x +cos4x+4sin x+2=0 ⇔ (2sin x+1)(cos4x+2)=0

⇔

1 sin x =

-2 cos4x=-2 (loai)







 ⇔

2 6 7 2 6

 = − +





 = +



Các nghiệm tm |x-1|<3 là:x=-π/6 và x=7π/6

4Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B,D Gpt: 4cos3 x+3 2sin2x=8cosx (1)

Giải: (1) ⇔ 4cos3 x+6 2sinxcosx−8cosx=0

0 ) 2 sin 2 )(

2 (sin cos 2

0 ) 2 sin 2 3 sin 2 ( cos 2

0 ) 4 sin 2 3 cos 2 ( cos 2

2 2

=

−

−

⇔

= +

−

⇔

=

− +

⇔

x x

x

x x

x

x x

x

⇔

2 ( ) 2 2

x

sinx





=







2 2 4 3 2 4

π π

 = +





 = +





 = +



Vậy pt đã cho có 3 họ nghiệm

2 4 ( cos 2 1 sin 2 cos sin

2

x

x x

x

−

= +

(1)

2 cos(

) sin 2

cos 2 (sin

⇔ cos 2) 0

2 (sin sinx x x− = ⇔

sin 0 sin 1,cos 1 2

2

x x

x x

x











⇔ x=k π

Vậy pt đã cho có nghiệm x=kπ

6.Đại học Sư phạm Hà Nội 2-Khối A Tìm tất cả các nghiệm nguyên của pt:

(3 9 160 800) 1

8

cosπ x− x2 + x+ = (1)

8

x

⇔ 3x− 9x2 +160x+800 =16k

⇔ 3x−16k = 9x2 +160x+800

3x-16k 0,2

196k -96kx=160x+800

k Z



⇔ 

16 3

k x k x k

 ≥



 =



ta có :

5 3

25 40 24 9

+

−

−

=

k k

x nên để x ∈ Z thì 3k+5 là ước của 25 ⇒ 3k+5= ±1;±5;±25

Thay vào và thử lại được các nghiệm nguyên của pt là x=-7 hoặc x=-31

7Đại học Kiến Trúc Hà Nội Gpt: sin3x+cos3x+sin3xcotgx+cos3xtgx= 2sin2x(1)

Giải: ĐK: sin2x > 0

Pt(1) ⇔ sin3x+cos3x+sin2xcosx+cos2xsinx= 2sin2x

⇔( sinx+cosx)(sin2x+cos2x)= 2sin2x ⇔ sin x+cosx = 2sin2x

sin x+cosx 02 2

Sin x+cos x+2sin x cosx=4sin x cosx

≥



⇔ 

sin x+cosx 0 sin x = cosx

≥



⇔ 

 ⇔ x=π/4+k 2π(tm các đk) Vậy pt đã cho có nghiệm x=π/4+k2π

8.Đại học Ngoại Thương Hà Nội Gpt: sin8x+cos8x=2(sin10x+cos10x)+

4

5 cos2x (1)

Giải: (1) ⇔ sin8x(1-2sin2x)+cos8x(1-2 cos2x)=

4

5 cos2x

⇔ cos2x(sin8x-cos8x)=

4

5

cos2x=0

5 Sin x=cos x+ (vn)

4





⇔



⇔

2 4

π

π k

x= + (k ∈ Z) Vậy pt đã cho có nghiệm

2 4

π

π k

x= + ( k ∈ Z)

9.Đại học Ngoại Thương –Khối A Gpt: 1+sin x+cos3x=cosx+sin2x+cos2x (1)

Giải: (1) ⇔ 1-cos2x+sin x-2sin x cosx+cos3x-cosx=0

⇔ 2sin2x+sin x-2sin x cosx-2sin xsin2x=0

⇔ sin x(2sin x+1-2 cosx-4sin x cosx)=0

⇔ sin x(1-2 cosx)(2sin x+1)=0

x=k sin x=0

x=± /3+k2 1

cosx=

x=- /6+k2 2

sinx=- 2

π









(k ∈ Z)

Vậy pt đã cho có 5 họ nghiệm

10.Đại học GTVT Gpt: 2 2 (sin x+cosx)cosx=3+cos2x

Giải: Pt ⇔ 2 2 sin x cosx+2 2 cos2x=3(sin2x+ cos2x)+cos2x-sin2x

⇔ (4-2 2 )cos2x-2 2 sin x cosx+2sin2x=0

Nhận thấy cosx=0 không là nghiệm của pt

Với cosx ≠ 0 ,pt ⇔ tg2x- 2 tgx+2- 2 =0 (vn)

Vậy pt đã cho vô nghiệm

11Đại học Kinh tế Quốc dân Gpt: x ) 1 8sin2xcos 2x

4 3 sin(

12.Đại học Tài Chính Kế Toán Gpt: 2cos 2

sin

) (sin

−

x tgx

tgx x

13.Đại học Mỏ Địa Chất: Gpt: sin2x(cotg x+tg2x)=4 cos2x

x

x x

cos 4 sin

sin 2 1 sin 2 1

= +

+

−

15Đại học Y Hà Nội Gpt: a cos3x+sin3=cos2x

b sin4x=tgx

16Đại học Dược Hà Nội Gpt: cos2x+cos4x+cos6x=cosx cos2x cos3x+2

x

x

x (cos3 sin sin3 cos ) sin sin 3

4 sin 3

3 sin

18Đại học Y Hải Phòng Gpt: sin3x+sin2x=5sin x

19Đại học Ngoại Ngữ Gpt: 2 cos2x-8 cosx+7=

x

cos 1

20Đại học Đà Nẵng Gpt: sin2000x+cos2000x=1

21Đại học Thái Nguyên 1 Gpt: sin3x+cos2x=1+2sin xcos3x (1)

2.Tìm m để pt(1) tương đương với pt sin3x-m sinx=(4-2|m|)sin2x

22Đại học An Ninh Tìm tất cả các nghiệm nguyên của pt cos (3 9 2 16 80) 1

23Đại học Cảnh Sát Gpt: cos3x+sin3x=sin2x+sin x+cosx

24Đại học Công Đoàn Gpt: 2 cos22x+cos2x=4sin22x cos2x (1)

Giải: (1) ⇔ 2 cos22x+cos2x-2(1-cos22x) (1+cos2x)=0

⇔ 2 cos32x+4 cos22x-cos2x-2=0

⇔ (cos2x+2)(2 cos22x-1)=0

⇔ Cos 4x=0

⇔

k

x= +π π

25

Đạ i h ọ c Th ươ ng M ạ i Gpt : 3 sin 2x 2cos x 2 2 2cos 2x− 2 = + (1)

Giải : (1) ⇔ 2cox( 3sinx−cosx)=4cosx

⇔ x x ) 4cosx

6 sin(

cos

⇔

















−

=

−

<

=

−

>

=

) ( 1 ) 6 sin(

; 0 cos

) ( 1 ) 6 sin(

; 0 cos

0 cos

vn x

x

vn x

x x

π

Vậy pt đó cã nghiệm x=π/2 + k π

26

§H-C§ Khèi A 2002 5(sin cos3 sin 3 ) cos 2 3

1 2sin 2

x

+

+

27§H-C§ Khèi B 2002 Gpt sin 32 x−cos 42 x=sin 52 x−cos 62 x

28§H-C§ Khèi D 2002 Gpt cos3x−4cos 2x+3cosx− =4 0

29§H-C§ Khèi A 2003 cot 1 cos 2 sin2 1sin 2

x

tgx

+

sin 2

x

21§H-C§ Khèi D 2003 sin2 ( ) 2 cos2 0

34§H-C§ Khèi A 2005 Gpt cos xcos x cos x23 2 − 2 =0

35§H-C§ Khèi B 2005 Gpt 1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0

Gpt cos x+ x cos x+ −π x−π − =

37§H-C§ Khèi A 2006 Gpt :2( 6 sin6 ) sin cos

0

2 2sin

x

=

−

38§H-C§ Khèi B 2006 Gpt : cot sin (1 ) 4

2

x

gx+ x +tgx tg =

39§H-C§ Khèi D 2006 Gpt : cos3x + cos2x cosx 1 =0– –

(1 sin+ x) cosx+ +(1 cos )sinx x= +1 sin 2x

41§H-C§ Khèi B 2007 Gpt: 2

2sin 2x+sin 7x− =1 sinx

42§H-C§ Khèi D 2007 Gpt:

2