Ôn PT Lượng giác TSĐH (LT+BT) hay

Một số công thức lượng giác Công thức cơ bản 1) sin tan cos 2 a a a k a π π   = ≠ +  ÷   2) ( ) cos cot sin a a a k a π = ≠ 3) 2 2 sin cos 1a a+ = 4) tan .cot 1a a = 5) 2 2 1 1 tan cos a a + = 6) 2 2 1 1 cot sin a a + = Công thức nhân 1) sin 2a=2sina.cosa 2) 2 2 2 2 cos 2 2cos 1 1 2sin cos sina a a a a = − = − = − 3) 2 2 tan tan 2 1- tan a a a = 4) 3 sin 3 3sin 4sina a a= − 5) 3 cos3 4cos 3cosa a a= − Công thức cộng, trừ 1) sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb 2) cos(a+b)=cosa.cosb−sina.sinb 3) sin(a−b)=sina.cosb−cosa.sinb 4) cos(a−b)=cosa.cosb+sina.sinb 5) tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = − Công thức biến đổi tổng thành tích 1) sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b + − + = 2) cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b + − + = 3) sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b + − − = 4) cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b + − − = − 5) sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = 6) sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b − − = 7) sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b + + = 8) sin( ) cot cot sin .sin b a a b a b − − = Công thức biến đổi tích thành tổng 1) [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= + + − 2) [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= + + − 3) [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − − + A. Phương trình bậc 1 một hàm số lượng giác Kiến thức cần nhớ về phương trình cơ bản: 1) 2 sin sin 2 x u k x u x u k π π π = +  = ⇔  = − +  2) 2 cos cos 2 x u k x u x u k π π = +  = ⇔  = − +  3) tan tanx u x u k π = ⇔ = + 4) cot cotx u x u k π = ⇔ = + 5) sinx=m và cosx=m vô nghiệm nếu 6) Với giá trị m bất kỳ thỏa 1m ≤ luôn tồn tại :  Góc [ ] 0; : cos m α π α ∈ =  Góc ; : sin 2 2 m π π α α −   ∈ =     7) Với bất kỳ giá trị m luôn tồn tại góc ; : 2 2 tg m π π α α −   ∈ =  ÷   1 Một số phương trình cần nhớ nghiệm: 1) 2 sin 0 tan 0 cos 1 x x x x k π = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 2) 2 cos 0 cot 0 sin 1 2 x x x x k π π = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + 3) sin 1 2 2 x x k π π = ⇔ = + 4) sin 1 2 2 x x k π π =− ⇔ =− + 5) cos 1 2x x k π = ⇔ = 6) cos 1 2x x k π π =− ⇔ = + Ví dụ 1) Giải 2sin 1 0x + = Giải: 1 2sin 1 0 sin sin 2 6 2 6 7 2 6 x x x k x k π π π π π − − + = ⇔ = = −  = +  ⇔   = +   2) Giải 3 tan 3 1 0x − = Giải: 3 tan 3 1 0 tan3x=tan 6 3 6 18 3 x x k x k π π π π π − = ⇔ ⇔ = + ⇔ = + 3) Định m để phương trình sau vô nghiệm cos 4 1 0m x + = Giải:  Với m=0 thì cos 4 1 0m x + = vô nghiệm  Với m≠0 thì 1 cos4x m − = , phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi 0 0 1 1 1 1 1 m m m m m ≠  ≠   > ⇔ ⇔   < − < <    Kết luận: phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi −1<m<1 Bài tập tương tự:  Giải các phương trình sau: 1) 3 tan 2x=1 2) 0 2 0 cos( 30 ) 2cos (15 ) 1x + + = 3) sin 4 cos 6 4 4 x x π π     − = +  ÷  ÷     4) sin tanx x= 5) ( ) 4cos 3 3x π − = 6) cot(2 1) 3x + =  Định m để các phương trình sau vô nghiệm: 1) ( ) 2 1 cos 2m x m+ = 2) ( 1) tan 1 0m x− + = B. Phương trình bậc 2 một hàm số lượng giác Ví dụ: 1) Giải 2 2sin 5sin 3 0x x+ − = Giải: sinx=−3 bị loại ta còn 1 6 sin sin 5 2 6 6 x k x x k π π π π π  = +  = = ⇔   = +   2) Giải 2 cot 3 cot3 2 0x x− − = Giải: * cot3x=−1 12 3 x k π π − ⇔ = + * cot3x=2=cotu ( cot 2) 3 3 u x k u arc π = + = 3) Giải 2 4cos 2(1 2)cos 2 0x x− + + = Giải: t=cosx,−1≤t≤1 2 4 2(1 2) 2 0t t− + + = 1 2 2 2 t t= ∨ = * 1 cos 2 2 3 x x k π π = ⇔ = ± + * 2 cos 2 2 4 x x k π π = ⇔ = ± + Bài tập tương tự: 1) 2cos 2 2cos 2 0x x+ − = 2) 5tan 2cot 3 0x x− − = 2 . C. Phương trình bậc 1 của sinx và cosx Dạng: sin cos 0a x b x c+ + = Chú ý: sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x π π     + = + = −  ÷  ÷     sin cos 2 sin 4 x x x π   − = −  ÷   cos sin 2 cos 4 x x x π   − = +  ÷   Phương pháp giải toán: sin cos 0a x b x c + + = Chia 2 vế cho 2 2 a b+ Tồn tại góc α sao cho 2 2 2 2 cos ,sin a b a b a b α α = = + + Ta được phương trình: 2 2 sin .cos cos .sin c x x a b α α + = + 2 2 sin( ) c x a b α + = + • Nếu a 2 +b 2 <c 2 thì phương trình vô nghiệm • Nếu a 2 +b 2 ≤c 2 thì tồn tại góc β sao cho 2 2 sin c a b β = + . Ta được phương trình sin( ) sinx α β + = . Giải tìm x. Ví dụ: 1) Giải sin cos 1x x+ = Giải: 2 sin 1 4 x π   + =  ÷   1 sin sin 4 4 2 x π π   ⇔ + = =  ÷   2 4 4 3 2 4 4 x k x k π π π π π π  + = +  ⇔   + = +   2 2 2 x k x k π π π =   ⇔  = +  2) Giải 3 sin cos 1x x− = Giải: 3 1 1 sin cos 2 2 2 x x− = sin .cos cos .sin sin 6 6 6 x x π π π ⇔ − = sin sin 6 6 x π π   ⇔ − =  ÷   2 6 6 5 2 6 6 x k x k π π π π π π  − = +  ⇔   − = +   2 3 2 x k x k π π π π  = +  ⇔  = +  3) Giải 2sin3x+ 5 cos3 3x = − Giải: 2 5 sin3x+ cos3 1 3 3 x = − Tồn tại góc 2 5 : cos ,sin 3 3 α α α = = . Phương trình thành sin(3 ) 1x α + = − 3 2 2 x k π α π − ⇔ + = + 2 6 3 3 x k π α π − ⇔ = − + 4) Định m để phương trình sau có nghiệm sin cos 10m x x− = Giải: m 2 +1≥10 ⇔ m≤−3 V m≥3 Bài tập tương tự: 1) Giải sin 2cos 3x x− = 2) Giải 2sin 3 cos3 1x x − = 3) Định m để (m−1)sinx−(m+1)cosx=1 có nghiệm. D. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx,cosx Dạng: 2 2 sin cos sin .cos 0a x b x c x x+ + = Phương pháp giải toán:  Xét riêng cosx=0  Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos 2 x đưa về phương trình bậc 2 của tanx Ví dụ: 1) Giải 4sin 2 x−5sinxcosx−6cos 2 x=0 Giải:  Xét cosx=0, thế vào phương trình ta có sinx=0. Mâu thuẫn với cosx=0. 3 Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos 2 x ta được 4tan 2 x−5tanx−6=0 3 tan 2 tan 4 x x − ⇔ = ∨ = -3 arctan 2+k arctan +k 4 x x π π   ⇔ = ∨ =  ÷   2) Giải 2sin 2 x−5cosxcosx−cos 2 x+2=0 Giải: Do 2=2sin 2 x+2cos 2 x nên ta có: 4sin 2 x−5sinxcosx+cos 2 x=0 Xét cosx=0 không thỏa phương trình. Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos 2 x ta được 4tan 2 x−5tanx+1=0 1 tan 1 tan 4 x x⇔ = ∨ = 1 arctan 4 4 x k x k π π π ⇔ = + ∨ = + 3) Định m để phương trình msin 2 x−cos 2 x+sinxcosx=0 có nghiệm. Giải: Nếu m=0 thì phương trình thành cosx(sinx−cosx)=0 cos 0 tan 1x x⇔ = ∨ = 2 4 x k x k π π π π ⇔ = + ∨ = + Nếu m≠0 xét cosx=0 không thỏa phương trình. Xét cosx≠0 , chia 2vế cho cos 2 x ta có mtan 2 x+tanx−1=0. Phương trình có nghiệm khi 1 1 4 0 4 m m − ∆ = + ≥ ⇔ ≥ Kết luận: 1 4 m − ≥ Bài tập tương tự: 1) Giải 2sin 2 x+cos 2 x+3sinxcosx+5=0 2) Giải 3sin 2 x−sinxcosx+cos 2 x=5 3) Giải 3sin 2 x−sinxcosx+cos 2 x=1 4) Định m để 3sin 2 x−sinxcosx+cos 2 x=m có nghiệm. E. Phương trình đối xứng đối với sinx,cosx Dạng: (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c+ + + = Phương pháp giải toán: Đặt t=sinx+cosx= 2 sin 4 x π   +  ÷   thì 2 t t− ≤ ≤ và 2 1 sinxcosx= 2 t − Đưa được phương trình về dạng bậc 2 theo t Ví dụ: 1) Giải sin cos sin cos 1x x x x+ − = Giải: Đặt t=sinx+cosx= 2 sin 4 x π   +  ÷   , 2 2t− ≤ ≤ ta được: 2 1 1 2 t t − − = 2 2 1 0t t⇔ − + = 1t⇔ = sin sin 4 4 x π π   ⇔ + =  ÷   2 2 2 x k x k π π π ⇔ = ∨ = + 2) Giải sin cos sin cos 1x x x x − − = Giải: Đặt t=sinx-cosx= 2 sin 4 x π   −  ÷   , 2 2t− ≤ ≤ ta được: 2 1 1 2 t t − − = 2 2 1 0t t⇔ − + = 1t ⇔ = sin sin 4 4 x π π   ⇔ − =  ÷   2 2 2 x k x k π π π π ⇔ = + ∨ = + 3) Định m để phương trình sin cos sin cosx x x x m+ − = có nghiệm. Giải: Đặt t=sinx+cosx= 2 sin 4 x π   +  ÷   , 2 2t− ≤ ≤ ta được: 2 1 2 t t m − − = 2 2 1 2t t m⇔ − + + = 2 2 ( 1) 2m t⇔ = − − + Do 2 2t− ≤ ≤ nên ( 2 1) 1 2 1t− + ≤ − ≤ − ( ) 2 1 2 2 2 1 2t⇒ − − ≤ − − ≤ 1 2 2 1 2 m − − ⇒ ≤ ≤ Bài tương tự: 1) Giải sin cos sin cos 2x x x x + − = 2) Giải sin cos sin cos 1x x x x− − = 3) Định m để phương trình sin cos sin cosx x x x m − − = có nghiệm 4 F. Một số phương trình khác 1) sin2xsin5x=sin3xsin4x HD: biến đổi tích thành tổng 2) sin 4 x+cos 4 x=1 HD: 1−2sin 2 xcos 2 x=1 ⇔ sinx=0 V cosx=0 ⇔ 2 x k π = 3) sin 4 x+cos 4 x=2 HD: sin 1, cos 1x x≤ ≤ . Phương trình vô nghiệm. 4) 2 2 2 sin sin 3 2sin 2x x x+ = HD: hạ bậc 1 cos2 1 cos 6 1 cos 4 2 2 x x x − − + = − 2cos 4 cos6 cos 2x x x ⇔ = + cos4 cos 4 .cos2x x x⇔ = cos4 (1 cos 2 ) 0x x⇔ − = cos4 0 cos 2 1x x ⇔ = ∨ = 4 2 2 2 x k x k π π π ⇔ = + ∨ = 8 4 x k x k π π π ⇔ = + ∨ = 5) tan3x=tanx HD: tan3x=tanx 2 3 x k x x l π π π  ≠ +  ⇔   = +  2 2 x k x l π π π  ≠ +   ⇔   =   x m π ⇔ = 6) tan5x=tan3x HD: tan5x=tan3x 3 2 5 3 x k x x l π π π  ≠ +  ⇔   = +  6 3 2 x k x l π π π  ≠ +   ⇔   =   2 , 2 6 2 5 7 2 , 2 6 6 3 11 2 , 2 2 6 x m x m x m x m x m x m π π π π π π π π π π π π   ≠ + ≠ +  ÷  ÷  ÷ ≠ + ≠ +  ÷  ÷  ÷ ≠ + ≠ +  ÷   Vậy ta chỉ nhận x m π = 7) cot 2 cot 2 x x π   = +  ÷   HD: 2 2 x k x l π π π π  ≠ − +     = +   Phương trình vô nghiệm Cách khác: Với điều kiện sinx≠0 và cosx≠0 cot 2 cot 2 x x π   = +  ÷   cot 2 tanx x ⇔ = − cos2 sin in2x cos x x s x − ⇔ = cos2 sin 2 inx x x s ⇔ = − 2 2 1 2sin 2sinx x⇔ − = − Vô nghiệm 8)* sin3x+cos3x+2cosx=0 HD: sin3x+cos3x+2cosx=0 3 3 3sinx-4sin x+4cos x-3cosx+2cosx=0⇔ 3 3 3 3sinx-4sin x+4cos x-cosx =0 cos x ⇔ 2 (3 )( 1) 0t t⇔ − + = (t=tanx) 1 3t t⇔ = ∨ = ± 4 3 x k x k π π π π ⇔ = + ∨ = ± + 9) 2 cos2 1 cot 1 sin sin2x 1 tan 2 x x x x − = + − + HD: ĐK: sinx≠0, cosx≠0, tanx≠−1 2 cos sin cos .cos 2 sin sinx.cosx sin sin cos x x x x x x x x − = + − + cos sin 1 2sinx.cosx sin x x x − ⇔ = − 2 cos 2sin 2sin x.cosxx x ⇔ = − 2 2 2 1 2 tan 2tan cos cos x x x x ⇔ = − 3 2 2 3t 2 1 0t t ⇔ − + − = (t=tanx) 2 ( 1)(2 1) 0t t t ⇔ − − + = 1 4 t x k π π ⇔ = ⇔ = + 10) sin2x+2tanx=3 HD: ĐK cosx≠0 2sinx.cos 2 x+2sinx=3cosx 2 2 2t+2t(t +1)=3(1+t )⇔ (t=tanx) 3 2 2 3 4 3 0t t t⇔ − + − = 2 ( 1)(2 3) 0t t t⇔ − − + = 1 4 t x k π π ⇔ = ⇔ = + 5 G. Những đề TSĐH Các phương pháp sẽ sử dụng: 1) Không nên khai triển các điều kiện quá sớm, nếu các điều kiện phức tạp. VD: Giải phương trình: 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x − + = HD: ĐK sinx≠0, cosx≠0 (Chúng ta không vội khai triển thành 2 x k π ≠ ) 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x − + = 2 2 cos sin 2 4sin 2 sin cos sin 2 x x x x x x − ⇔ + = cos2 1 2sin 2 sin 2 sin 2 x x x x ⇔ + = 2 cos2 2sin 2 1x x⇔ + = 2 2cos 2 cos 2 1 0x x⇔ − − = 1 cos2 1 cos 2 2 x x − ⇔ = ∨ = Khi cos2x=1 thì sinx=0 không thỏa ĐK Khi cos2x=-1/2 thì cos 2 x=1/4 thỏa ĐK Vậy ta nhận 1 cos 2 2 3 x x k π π − = ⇔ = ± + 2) Nắm chắc cách giải phương trình lượng giác cơ bản phương trình bậc I của 1 hàm số lượng giác− bậc II của 1 hàm số lượng giác− đẳng cấp bậc I của sinx và cosx− đẳng cấp bậc II, bậc n của sinx,cosx− phương trình đối xứng đối với sinx,cosx… 3) Lưu ý một số kỹ năng kiểm tra điều kiện của phương trình lượng giác: “Tập hợp 2 .x k m π α = + gồm m tập hợp 2 ( ) .2x i i r m π α π = + + hợp lại.” VD: Giải tan3x=tan5x Xem lại phần trước 4) Quan hệ cosx và 1−sinx: 2 cos cos 1 sin 1 sin cos (1 sin ) cos x x x x x x x + = = − − VD: Giải (1 2sin x)cosx 3 (1 2sin x)(1 sin x) − = + − HD: ĐK: sinx≠1 và 1 sin 2 x − ≠ Nhận xét có 2 cos cos 1 sin 1 sin cos (1 sin ) cos x x x x x x x + = = − − Phương trình thành: (1 2sin x)(1 sin x) 3 (1 2sin x)cos x − + = + sin x cos 2x 3 cos x sin2x − + ⇔ = + Nhận xét có 2 loại biến là x và 2x: ( ) ( ) 3 cos x sin x 3 sin2x cos2x =0+ + − sin sin 2 0 3 6 x x π π     ⇔ + + − =  ÷  ÷     3 2sin cos 0 2 12 2 4 x x π π     ⇔ + − =  ÷  ÷     Hoặc là: 3 2 2 12 18 3 x k x k π π π π + = ⇔ = − + (biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với các cung là 11 23 , , 18 18 18 π π π − , kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu) Hoặc là: 3 2 2 4 2 2 x l x l π π π π π − = + ⇔ = + (khi đó sinx=−1 thỏa điều kiện ban đầu) Đáp số: 2 , 3 2 18 3 2 x k x l π π π π = − + = + 5) Khi có nhiều loại biến tham gia thì ưu tiên cho hạ bậc và biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán. VD: Giài 3 sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x) + + = + HD: 3 sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x) + + = + ( ) 1 sin x sin 3x sin x 3 cos3x 2 3 1 2(cos4x sin x sin3x) 4 4 ⇔ + + + = + − 6 1 3 sin3x sin x 3 cos3x 2 2 3 1 2cos 4x sin x sin 3x 2 2 ⇔ + + = + − sin 3x 3 cos3x 2cos4x ⇔ + = 1 3 sin3x cos3x cos4x 2 2 ⇔ + = cos4x cos 3x 0 6 π   ⇔ − − =  ÷   7x x 2sin sin 0 2 12 2 12 π π     ⇔ − − + =  ÷  ÷     2 7x x k k 42 7 2 12 x m x m2 2 12 6 π π π   = + − = π   ⇔ ⇔   π −π   + = π = + π     6) Biến đổi và rút thừa số chung VD: Giải ( ) 2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx+ + = + HD: ( ) 2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx+ + = + 2 4sinx.cos x 2sinx.cosx 1 2cosx⇔ + = + 2sinx.cosx(1+2cosx) 1 2cosx⇔ = + (1+2cosx)(sin2x 1) 0⇔ − = 1 cos 2 sin 2 1 x x −  =  ⇔  =  2 2 3 4 x k x k π π π π  = ± +  ⇔   = +   7) Nhận xét phương trình đẳng cấp bậc n của sin n x, cos n x: xét riêng cosx=0, khi cosx≠0 thì chia 2 vế cho cos n x VD: Giải 3 3 2 2 sin 3 cos sin .cos 3.sin .cos x x x x x x − = − HD: Xét cosx=0 không thỏa phương trình. Vậy với cosx≠0: Chia 2 vế cho cos 3 x, đặt t=tanx 3 2 t 3 3 0t t+ − − = 2 ( 3)( 1) 0t t⇔ + − = 3 1t t⇔ = − ∨ = ± 3 4 x k x k π π π π ⇔ = − + ∨ = ± + 8) Tính đối xứng của sinx và cosx đặt t=sinx+cosx VD: Giải ( ) 2 2 1 sin x cosx (1 cos )sinx 1 sin2xx+ + + = + HD: ( ) 2 2 1 sin x cosx (1 cos )sinx 1 sin2xx+ + + = + 2 2 2 cos sin cos sin cos sin (sin cos ) x x x x x x x x ⇔ + + + = + 2 cos sin sin cos (sin cos ) (sin cos ) x x x x x x x x ⇔ + + + = + (cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0x x x x x x ⇔ + + − − = sin 0 4 sin cos sin cos 1 0 x x x x x π    + =  ÷  ⇔     + − − =  Với phương trình thứ nhất ta có 4 x k π π − = + Với phương trình thứ hai đặt t=sinx+cosx ta được t 2 −2t+1=0 ⇔ t=1 1 sin 4 2 x π   ⇔ + =  ÷   2 2 2 x k x k π π π =   ⇔  = +  9) Một số biến đổi thường dùng 2 1 sin 2 (sin cos )x x x+ = + 2 1 sin 2 (sin cos )x x x− = − sin 2 sin cos 2 x x x = 3 3 sin cos (sin cos )(1 sin .cos )x x x x x x+ = + − 3 3 sin cos (sin cos )(1 sin .cos )x x x x x x− = − + 4 4 2 2 sin cos 1 2sin .cosx x x x+ = − 4 4 cos sin 2x x cos x− = 6 6 4 4 2 2 sin cos sin cos sin cosx x x x x x+ = + − 6 6 4 4 2 2 cos sin cos2 (sin cos sin cos ) x x x x x x x − = + + VD: Giải 6 6 2(cos sin ) sin cos 0 2 2sin x x x x x + − = − 10) Sử dụng cos cos .cos sin .sin 1 2 2 2 1 tan .tan 2 cos cos .cos cos .cos 2 2 x x x x x x x x x x x x x   − +  ÷   + = = = VD: Giải cot sin 1 . 4 2 x x x tgx tg   + + =  ÷   HD: ĐK sinx≠0, cosx≠0 7 cot sin 1 . 4 2 x x x tgx tg   + + =  ÷   cot tan 4x x⇔ + = 2 tan 4 tan 1 0x x⇔ − + = tan 2 3x⇔ = ± ( ) arctan 2 3x k π ⇔ = ± + Nghiệm thỏa ĐK. 11) Đưa về một loại hàm số lượng giác VD: Giải cos3x cos2x cosx 1 0 + − − = HD: cos3x cos2x cosx 1 0 + − − = 3 2 2cos x cos x 2cosx 1 0 ⇔ + − − = 2 (2cos 1)(cos x 1) 0x ⇔ + − = 1 cos sin 0 2 x x − ⇔ = ∨ = 2 2 3 x k x k π π π ⇔ = ± + ∨ = 12) Do − 1≤sinx,cosx≤1 nên có các kết quả sau: sin 1 cos 1 sin .cos 1 sin 1 cos 1 a b a b a b = ∧ =  = ⇔  = − ∧ = −  sin 1 sin 1 sin .sin 1 sin 1 sin 1 a b a b a b = ∧ =  = ⇔  = − ∧ = −  cos 1 cos 1 cos .cos 1 cos 1 cos 1 a b a b a b = ∧ =  = ⇔  = − ∧ = −  Tương tự cho trường hợp vế phải là −1 sin 1 cos 1 sin .cos 1 sin 1 cos 1 a b a b a b = ∧ = −  = − ⇔  = − ∧ =  sin 1 sin 1 sin .sin 1 sin 1 sin 1 a b a b a b = ∧ = −  = − ⇔  = − ∧ =  cos 1 cos 1 cos .cos 1 cos 1 cos 1 a b a b a b = ∧ = −  = − ⇔  = − ∧ =  VD: Giải 2 2 cos 3x cos2x cos x 0− = HD: 2 2 cos 3x cos2x cos x 0− = ( ) 1+cos6x cos 2 1+cos2x 0 2 2 x ⇔ − = cos6x cos 2 1x⇔ = cos2 1 cos6 1 cos2 1 cos6 1 x x x x = ∧ =  ⇔  = − ∧ = −  Khi cos2x=1 thì 3 cos6 4cos 2 3cos 2x x x= − =1 Khi cos2x=−1 thì 3 cos6 4cos 2 3cos 2x x x= − =−1 Vậy hệ trên tương đương sin2x=0 cho ta nghiệm 2 x k π = 13) Một bài toán hay về kiểm tra điều kiện VD: Giải phương trình: 2 2 2 sin tan cos 0. 2 4 2 x x x π   − − =  ÷   HD: ĐK cosx≠0 2 2 2 sin tan cos 0. 2 4 2 x x x π   − − =  ÷   2 1 cos tan 2 1 cos 0 2 2 x x x π     − −  ÷   +     ⇔ − = [ ] 2 1 sin tan 1 cos 0x x x ⇔ − − − = [ ] 2 2 3 1 sin sin cos cos 0x x x x ⇔ − − − = (sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0x x x x x x ⇔ + − + − = Khi sinx+cosx=0 ta có 4 x k π π − = + Khi 1−sinxcosx+cosx−sinx=0 Đặt t=cosx−sinx, 2 1 sin cos 2 t x x − = Ta được 2 2 1 0t t+ + = 1t⇔ = − 2 3 cos cos 4 2 4 x π π −   ⇔ + = =  ÷   3 2 4 4 x k π π π ⇔ + = ± + 2 2 2 x k x k π π π π ⇔ = + ∨ = − + So với ĐK ta chỉ nhận 2x k π π = − + Đáp số: 4 x k π π − = + , 2x k π π = − + 8 Đề thi và hướng dẫn 1) (A-2009) Giải phương trình (1 2sin x)cosx 3 (1 2sin x)(1 sin x) − = + − HD: ĐK: sinx≠1 và 1 sin 2 x − ≠ Nhận xét có 2 cos cos 1 sin 1 sin cos (1 sin ) cos x x x x x x x + = = − − Phương trình thành: (1 2sin x)(1 sin x) 3 (1 2sin x)cos x − + = + sin x cos 2x 3 cos x sin2x − + ⇔ = + Nhận xét có 2 loại biến là x và 2x: ( ) ( ) 3 cos x sin x 3 sin2x cos2x =0+ + − sin sin 2 0 3 6 x x π π     ⇔ + + − =  ÷  ÷     3 2sin cos 0 2 12 2 4 x x π π     ⇔ + − =  ÷  ÷     Hoặc là: 3 2 2 12 18 3 x k x k π π π π + = ⇔ = − + (biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với các cung là 11 23 , , 18 18 18 π π π − , kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu) Hoặc là: 3 2 2 4 2 2 x l x l π π π π π − = + ⇔ = + (khi đó sinx=−1 thỏa điều kiện ban đầu) Đáp số: 2 , 3 2 18 3 2 x k x l π π π π = − + = + Đây là một bài toán hay,chỉ cần kiến thức cơ bản nhưng phải chặt chẽ. 2) (B-2009) Giải phương trình: 3 sin x cos xsin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x) + + = + HD: Nhận xét: có quá nhiều loại biến tham gia x,2x,3x,4x nên định hướng là hạ bậc và biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán. 3 sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x) + + = + ( ) 1 sin x sin 3x sin x 3 cos3x 2 3 1 2(cos4x sin x sin3x) 4 4 ⇔ + + + = + − 1 3 sin3x sin x 3 cos3x 2 2 3 1 2cos 4x sin x sin3x 2 2 ⇔ + + = + − sin 3x 3 cos3x 2cos 4x ⇔ + = 1 3 sin3x cos3x cos4x 2 2 ⇔ + = cos 4x cos 3x 0 6 π   ⇔ − − =  ÷   7x x 2sin sin 0 2 12 2 12 π π     ⇔ − − + =  ÷  ÷     2 7x x k k 42 7 2 12 x m x m2 2 12 6 π π π   = + − = π   ⇔ ⇔   π −π   + = π = + π     3) (D-2009) Giải phương trình 3 cos5x 2sin3x cos2x sin x 0 − − = HD: Nhận xét: có quá nhiều loại biến tham gia x,2x,3x,5x nên định hướng là hạ bậc và biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán. 4) (A-2008) Giải phương trình : 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x π π   + = −  ÷     −  ÷   HD: 3 3 sin sin 2 sin 2 2 2 cos x x x x π π π π       − = + − = +  ÷  ÷  ÷       = ( ) 7 7 sin sin 2 sin 4 4 4 2 sin cos 2 x x x x x π π π π       − = − + − = − +  ÷  ÷  ÷       − = + Phư ơng trình thành: 1 1 2 2(sin cos ) 0 sin cos x x x x + + + = 1 (sin cos ) 2 2 0 sin .cos x x x x   ⇔ + + =  ÷   9 sin 0 4 1 sin 2 2 x x π    + =  ÷     ⇔  − =   4 8 5 8 x k x k x k π π π π π π  = − +   −  = +    = +   5) (B-2008) Giải phương trình : 3 3 2 2 sin 3 cos sin .cos 3.sin .cos x x x x x x − = − HD: Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3 Xét cosx=0 không thỏa phương trình. Vậy với cosx≠0: Chia 2 vế cho cos 3 x, đặt t=tanx 3 2 t 3 3 0t t+ − − = 2 ( 3)( 1) 0t t⇔ + − = 3 1t t⇔ = − ∨ = ± 3 4 x k x k π π π π ⇔ = − + ∨ = ± + 6) (D-2008) Giải phương trình : ( ) 2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx + + = + HD: Không phải đẳng cấp Không phải hạ bậc Chỉ có x và 2x Không đưa được về 1 loại biến Định hướng biến đổi + rút thừa số chung ( ) 2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx+ + = + 2 4sinx.cos x 2sinx.cosx 1 2cosx⇔ + = + 2sinx.cosx(1+2cosx) 1 2cosx⇔ = + (1+2cosx)(sin2x 1) 0⇔ − = 1 cos 2 sin 2 1 x x −  =  ⇔  =  2 2 3 4 x k x k π π π π  = ± +  ⇔   = +   7) (A-2007) Giải phương trình : ( ) 2 2 1 sin x cosx (1 cos )sinx 1 sin2xx + + + = + HD: Nhận xét tính đối xứng của sinx và cosx, phán đoán đưa về sinx+cosx ( ) 2 2 1 sin x cosx (1 cos )sinx 1 sin2xx+ + + = + 2 2 2 cos sin cos sin cos sin (sin cos ) x x x x x x x x ⇔ + + + = + 2 cos sin sin cos (sin cos ) (sin cos ) x x x x x x x x ⇔ + + + = + (cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0x x x x x x ⇔ + + − − = sin 0 4 sin cos sin cos 1 0 x x x x x π    + =  ÷  ⇔     + − − =  Với phương trình thứ nhất ta có 4 x k π π − = + Với phương trình thứ hai đặt t=sinx+cosx ta được t 2 −2t+1=0 ⇔ t=1 1 sin 4 2 x π   ⇔ + =  ÷   2 2 2 x k x k π π π =   ⇔  = +  8) (B-2007) Giải phương trình : 2 2sin 2 sin 7 1 sinx x x + − = HD: Có x, 2x và 7x Phán đoán hạ bậc và biến đổi lượng giác sin 7 sin cos 4 0x x x− − = 2cos4 .sin3x cos4 0x x ⇔ − = cos4 (2sin3x 1) 0x⇔ − = cos4 0 1 sin 3 sin 2 6 x x π =   ⇔  = =  8 4 2 18 3 5 2 6 3 x k x k x k π π π π π π  = +    ⇔ = +    = +   9) (D-2007) Giải phương trình: 2 sin cos 3cos 2 2 2 x x x   + + =  ÷   HD: sin 3 cos 1x x + = 1 3 1 sin cos 2 2 2 x x ⇔ + = sin sin 3 6 x π π   ⇔ + =  ÷   2 6 2 2 x k x k π π π π  = − +  ⇔   = +   10 [...]... x + cos 2 x − 2cosx − 1 = 0 ⇔ (2 cos x + 1)(cos 2 x − 1) = 0 −1 ⇔ cos x = ∨ sin x = 0 2 2π ⇔ x=± + k 2π ∨ x = kπ 3 13) (A-2005) Giải phương trình: cos 2 3x cos2x − cos 2 x = 0 HD: Phán đoán hạ bậc lượng giác cos 2 3x cos2x − cos 2 x = 0 ( 1+cos6x ) cos 2 x − 1+cos2x = 0 ⇔ 2 2 ⇔ cos6x cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 ∧ cos 6 x = 1 ⇔ cos 2 x = −1 ∧ cos 6 x = −1 Khi cos2x=1 thì cos 6 x = 4 cos3 2 x − 3cos 2... ÷ = 0  x = − 4 + kπ  ⇔  ⇔  −1  x = ±2π + k 2π cos x =   3  2  15) (D-2005) Giải π π 3   cos 4 x + sin 4 x + cos  x − ÷ 3 x − ÷− = 0 sin 4 4 2   HD: Phán đoán hạ bậc và biến đổi lượng giác π  π 3  cos 4 x + sin 4 x + cos  x − ÷sin  3 x − ÷− = 0 4  4 2  2 2 ⇔ −2sin x cos x +  1 1  π  sin  4 x − 2 ÷+ sin ( 2 x ) ÷− 2 = 0 2    ⇔ − sin 2 2 x − cos ( 4 x ) + sin (... − sin 2 x 2 + 4sin 2 x = sin x cos x sin 2 x cos 2 x 1 ⇔ + 2sin 2 x = sin 2 x sin 2 x ⇔ cos 2 x + 2sin 2 2 x = 1 ⇔ 2 cos 2 2 x − cos 2 x − 1 = 0 −1 ⇔ cos 2 x = 1 ∨ cos 2 x = 2 Khi cos2x=1 thì sinx=0 không thỏa ĐK Khi cos2x=-1/2 thì cos2x=1/4 thỏa ĐK −1 π ⇔ x = ± + kπ Vậy ta nhận cos 2 x = 2 3 −π + kπ 4 Khi 1−sinxcosx+cosx−sinx=0 1− t2 Đặt t=cosx−sinx, sin x cos x = 2 2 Ta được t + 2t + 1 = 0 ⇔ t = −1 . Một số công thức lượng giác Công thức cơ bản 1) sin tan cos 2 a a a k a π π   = ≠ +  ÷  . trình lượng giác cơ bản phương trình bậc I của 1 hàm số lượng giác bậc II của 1 hàm số lượng giác đẳng cấp bậc I của sinx và cosx− đẳng cấp bậc II, bậc