Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo CHUN ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A.CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : 1. Cung đối nhau : và - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 ππ − ,…) 2. Cung bù nhau : và - α π α ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 ππ ,…) 3. Cung phụ nhau : và 2 π α α − ( tổng bằng 2 π ) (Vd: 3 & 6 ππ ,…) 4. Cung hơn kém 2 π : và 2 π α α + (Vd: 3 2 & 6 ππ ,…) 5. Cung hơn kém π : và α π α + (Vd: 6 7 & 6 ππ ,…) 1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g α α α α α α α α − = − = − − = − − = − cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g π α α π α α π α α π α α − = − − = − = − − = − 3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 2 π cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g π α α π α α π α α π α α − = − = − = − = cos( ) sin 2 sin( ) cos 2 ( ) 2 cot ( ) t 2 tg cotg g g π α α π α α π α α π α α + = − + = + = − + = − 5. Cung hơn kém π : cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot tg tg g g π α α π α α π α α π α α + = − + = − + = + = VI. Công thức lượng giác: 1. Các hệ thức cơ bản: Trang 1 Cos đối Sin bù Phụ chéo Hơn kém 2 π sin bằng cos cos bằng trừ sin Hơn kém π tang , cotang Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo α α α α α α α α + = 2 2 sin cos cos sin 1; tg = ; cotg = cos sin α α α α α α + + 2 2 2 2 1 1 1 tg = ; 1 cotg = ; tg . cotg = 1 cos sin 2. Công thức cộng : α β α β α β α β α β α β α β α β β α α β α β β α α β α β α β α β α β α β + = − − = + + = + − = − − − − + cos( ) cos .cos sin .sin ; cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos ; sin( ) sin .cos sin .cos tg +tg tg tg tg( + ) = ; tg( ) = 1 . 1 .tg tg tg tg 3. Công thức nhân đôi: α α α α α α α α α α α α α = − = − = − = − = = − 2 2 2 2 4 4 2 cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin cos sin 2 sin2 2sin .cos ; 2 1 tg tg tg 5. Công thức hạ bậc: α α α α α α α 2cos1 2cos1 ; 2 2cos1 sin; 2 2cos1 cos 222 + − = − = + = tg 6.Công thức tính sin ,cos ,tg α α α theo 2 t tg α = 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; 1 1 1 t t t tg t t t α α α − = = = + + + 7. Công thức biến đổi tích thành tổng : α β α β α β α β α β α β α β α β α β = + + − = − − + = + + − 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 8. Công thức biến đổi tổng thành tích : α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + − + − + = − = − + − + − + = − = + + = − = cos cos 2cos .cos ; cos cos 2sin .sin ; 2 2 2 2 sin sin 2sin .cos ; sin sin 2cos .sin ; 2 2 2 2 sin( ) s ; cos cos tg tg tg tg α β α β −in( ) cos cos Trang 2 Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo 9. Các công thức thường dùng khác π π π π α α α α α α α α + = − = + − = + = − −cos sin 2 cos( ) 2 sin( ); cos sin 2 cos( ) 2 sin( ) 4 4 4 4 B.PHU ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. CƠNG THỨC NGHIỆM CẦN NHỚ Cơng thức nghiệm Các trường hợp đặc biệt u = v+k2 sinu=sinv u = -v+k2 u = v+k2 cosu=cosv u = -v+k2 tgu=tgv u = v+k (u;v ) 2 cotgu=cotgv u = v+k (u;v k ) k π π π π π π π π π π ⇔ ⇔ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ ) sin 1 x = 2 2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2 2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k 2 cos 1 x = 2 x k x k x k x k π π π π π π π π π π = − ⇔ − + ⇔ = ⇔ + = − ⇔ + ⇔ = ⇔ B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SAU a) = 1 sin2 2 x b) 2 cos( ) 4 2 x π − = − c) 03) 6 2sin(2 =+− π x d) 03) 3 cos(2 =−+ π x 1) 2sin(3x- 6 π )- 03 = 2) cos −= + xx 4 5 2 cos 3 2 ππ 3) 5 7 tan 2 21 0 6 x π − − = ÷ 4) 2 cot 5 cot 3 3 6 x x π π − = − ÷ ÷ 5) 2 tan cot 2 4 3 x x π π + = − ÷ ÷ << − 4 7 3 ππ x 6) ( ) ( ) xx −−=− 00 54sin273sin 7) sin 2 cos3 0 4 x x π + + = ÷ 8) 0cos32sin =− xx Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước 3 3 )sin 2 , ; ; 3 2 2 a x x π π π − = ∈ − ÷ b) 0 tan(2x 15 ) 1− = , với ( ) 0 0 x 180 ;90∈ − c) sin(2x - 10 o ) = 1 2 víi -120 o < x < 90 o d) cos(2x + 1) = 2 2 víi - π < x < π DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A.LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Dạng phương trình Phương pháp giải + + = + + = + + = + + = 2 2 2 2 sin sin 0 cos cos 0 tan tan 0 cot cot 0 a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c ( ) , , ; 0a b c R a∈ ≠ Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) Ta được phương trình : 2 0at bt c+ + = (1) Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x Chú ý : Nếu sin , cost x t x= = thì điều kiện 1 1t − ≤ ≤ B.BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Giải các phương trình sau 1) 01sin2sin3 2 =++ xx 2) 2 3tan 4 3 tan 3 0x x− + = 3) 02cos2cos2 2 =−+ xx 4) 01sincos 2 =++ xx 5) 01cos2sin2cos 2 =+−+ xxx 6) 012sin4cos3 =+− xx Trang 3 Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo 7) 2 cos 2 sin 2cos 1 0x x x+ + + = 8) 3cos2 2(1 2 sin )sin 3 2 0x x x+ + + − − = 9) 2 2 cos (3 ) cos (3 ) 3cos( 3 ) 2 0 2 2 x x x π π + − − − + = 10) 2 3 3cot 3 sin x x = + Bài 2: Giải các phương trình sau d) 2 cos cos2 1 cos2 cos3x x x x = + + e) 4 4 1 sin cos sin 2 2 x x x+ = − f) 0)2 2 cos()cos(sin2 44 =−−+ xxx π g) 4 4 sin cos 1 2sin 2 2 x x x+ = − h) 0cos.sincossin 44 =++ xxxx Bài 3: Tìm nghiệm của phương trình trên các khoảng cho trước 2 3 3 0sin x sin x+ = , 2 4 3 3 x ; π π ∈ D ẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Dạng phương trình Phương pháp giải + = ≠sin os (1) ( a;b 0)a x bc x c Chú ý: -Phương trình có nghiệm 2 2 2 a b c⇔ + ≥ -Trong trường hợp phương trình cho dưới dạng: + =os sin (1) ac x b x c , với cách đặt như bên, phương trình được đưa về dạng α α α ⇔ + ⇔ + 2 2 2 2 c cosx.cos + sin .sin = a c cos(x- ) = (3) a x b b Vậy tùy theo dạng của phương trình, khi áp dụng cơng thức cộng ta sẽ đưa về các phương trình cơ bản khác nhau. -Ngồi ra ta còn có thể đặt α α = = + + 2 2 2 2 b sin và os a a c a b b . Chia hai vế của phương trình cho 2 2 a b+ thì pt ⇔ + = + + + 2 2 2 2 2 2 (1) sin os a b c x c x a b a b a b (2) Đặt 2 2 2 2 b cos và sin a a a b b α α = = + + với [ ) 0;2 α π ∈ thì : α α α ⇔ + ⇔ + 2 2 2 2 c (2) sinx.cos + cos .sin = a c sin(x+ ) = (3) a x b b Pt (3) có dạng 1. Giải pt (3) tìm x. B.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải các phương trình sau: 3 1) 3sin 3 cos 2 x x − + = 2) 3 cos9 sin 9 2x x+ = 3. 3 cos3x + sin3x = 2 ; 4). 4sinx – 3cosx = 5; 5) 3sin2x + 2cos2x = 3; Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 2) 3sin 2 4cos(3 2 ) 5x x π + + = 3) cos7 cos5 3sin 2 1 sin 7 sin 5x x x x x− = − ( ) ( ) 4) 1 3 sin 1 3 cos 1x x+ + − = DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Dạng phương trình Phương pháp giải + + = ≠ 2 2 sin sin .cos cos (4) (a;c 0)a x b x x c x d Th1: Xét cos 0 2 x x k π π = ⇔ = + thay vào phương Trang 4 Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo Chú ý - Nếu a = d thì 2 x k π π = + là nghiệm của phuơng trình (4),ngược lại nó khơng là nghiệm. - Ngồi cách giải đưa về phương trình bậc 2 theo tanx, ta còn có thể dùng các cơng thức -Hạ bậc: 2 1 os2 sin 2 c x x − = , 2 1 os2 os 2 c x c x + = -Nhân đơi: 1 sin .cos sin 2 2 x x x= Đưa phương trình (4) về dạng (3) : phương trình bậc 1 theo sin2x và cos2x. trình, nếu thõa mãn thì 2 x k π π = + là nghiệm của phương trình ngược lại khơng là nghiệm của phương trình. Th 2: Xét cos 0 2 x x k π π ≠ ⇔ ≠ + , chia 2 vế của phương trình cho 2 cos x ta được 2 2 a tan tan cos d x b x c x + + = 2 2 1 1 tan os x c x = + ÷ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a tan tan 1 tan tan tan 0 * x b x c d x a d x b x c d ⇔ + + = + ⇔ − + + − = (*) là phương trình bậc 2 theo tanx đã biết cách giải KL: Hợp nghiệm của 2 trường hợp. B. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giái các phương trình sau 2 1) 2 3 cos 6sin cos 3 3x x x+ = + ; , 4 12 x k x k k π π π π = + = + ∈ Z; 2 2 2)sin 2 4sin cos cos2 3cos 2 3 0x x x x x+ + − = ; , 2 8 2 k k x x k π π π = = + ∈ Z 2 2 5 3 3)3sin (3 ) 2sin( )cos( ) 5sin ( ) 0 2 2 2 x x x x π π π π − + + + − + = 5 ; arctan( ) , 4 3 x k x k k π π π = − + = + ∈ Z 1 4) 3sin cos cos x x x + = ; , 3 x k x k k π π π = = + ∈ Z Bài 2: Giải các phương trình sau a) 2 2 5sin 2 3sin 2 cos 2 2cos 2 0x x x x− − = , b) 2 2 5sin 10sin cos 4cos 0x x x x− + = c) 2 2 2sin 3 5sin 3 cos3 cos 3 2x x x x− − = − , d) 2 2 3sin 3 cos (3 3)sin cos 0x x x x− − − = , e) 2 2 cos sin 3 sin 2 1x x x− − = f) 4 4 sin cos 3sin cos 0x x x x− − = . g) 1 4cos 6sin sin x x x = + , i) 3 3 2 4sin 3cos sin sin cos 0x x x x x+ − − = . h) 3 3 2 cos 4sin 3cos sin sin 0x x x x x− − + = k) 3 3 cos sin sin cosx x x x− = − Bài 3: Giải các phương trình sau: (***) 3 2 3 1)4sin sin cos 3sin 3cos 0x x x x x− − + = ; , 4 3 x k x k k π π π π = + = ± + ∈ Z 3 3 2)cos sin sin cosx x x x− = − , 4 x k k π π = + ∈ Z 3 3)cos3 2sin 3cos 3sin 0x x x x+ + − = , 4 x k k π π = + ∈ Z 3 4)sin sin 2 sin3 2cos cos3 3cosx x x x x x+ = + + ; arctan 2 , 3 x k x k k π π π = ± + = + ∈ Z 5)1 3sin 2 2tanx x+ = 3 17 ; arctan( ) , 4 4 x k x k k π π π ± = − + = + ∈ Z Trang 5 Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo 3 1 6)2sin 2 3cos cos sin x x x x + = + ; ; 4 6 x k x k k π π π π = ± + = + ∈ Z DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Dạng phương trình 1) (sin cos ) sin cos 0 2) (sin cos ) sin cos 0 3) sin cos sin cos 0 4) sin cos sin cos 0 a x x b x x c a x x b x x c a x x b x x c a x x b x x c + + + = − + + = + + + = − + + = Phương pháp giải 1) (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c+ + + = Đặt sin cos 2 cos( ) 4 x x t x t π + = ⇔ − = Điều kiện: 2 2t− ≤ ≤ 2 2 2 2 sin cos (sin cos ) 1 2sin cos 1 sin cos 2 x x t x x t x x t t x x + = ⇒ + = ⇒ + = − ⇒ = pt 2 2 1 ( ) 0 2 2 0 (1 ) 2 t at b c bt at c b b − ⇔ + + = ⇔ + + − = Giải ra t ( chú ý chọn nghiệm t thỏa mãn điều kiện ) ⇒ giải ra x. Chú ý: -Nghiệm t chon được phải thõa mãn điều kiện 2) (sin cos ) sin cos 0a x x b x x c− + + = Đặt sin cos 2 sin( ) 4 x x t x t π − = ⇔ − = → Giải tương tự như dạng 1 3) sin cos sin cos 0a x x b x x c+ + + = Đặt sin cos 2 cos( ) 4 x x t x t π + = ⇔ − = ĐK: 0 2t≤ ≤ → Giải tương tự như dạng 1 4) sin cos sin cos 0a x x b x x c− + + = Đặt sin cos 2 sin( ) 4 x x t x t π − = ⇔ − = ĐK: 0 2t≤ ≤ → Giải tương tự như dạng 1 B.BÀI TẬP ÁP DỤNG 1)sin cos 2sin cos 1 0 2)(1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2 3)2cos( ) sin cos 1 4 4)sin 2 2 sin( ) 1 4 5)1 tan 2 2 sin x x x x x x x x x x x x x x x π π + − + = + − + = + − − = + − = + = 3 3 3 3 6) sin cos 4sin 2 1 2 7)(1 sin cos )(sin cos ) 2 8)sin cos 1 3sin cos 9)2(sin cos ) 2 cos2 5 10)sin( )sin(2005 ) 2sin 2sin( ) 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x π π π − + = − + = + + = + = + − + + − = ĐÁP ÁN: 1) 2 ; 2 , 2 3 2) 2 ; 2 ; 2 , 2 4 2 2 3) arccos( ) 2 , 4 2 4) ; 2 ; 2 , 4 2 5 11 5) 2 ; 2 ; 2 , 12 12 4 x k x k k x k x k x k k x k k x k x k x k k x k x k x k k π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π = − + = + ∈ = − + = + = + ∈ − = ± + ∈ = + = + = + ∈ = − + = + = + ∈ Z Z Z Z Z 6) , 2 3 1 7) 2 ; arccos( ) 2 , 4 4 2 8) 2 ; 2 , 2 9) , 4 10) 2 ; 2 , 2 k x k x k x k k x k x k k x k k x k x k k π π π π π π π π π π π π π π = ∈ − = + = ± + ∈ = − + = + ∈ = − + ∈ = = + ∈ Z Z Z Z Z Trang 6 Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo GIÁO ÁN CĨ SỬ DỤNG TÀI LIỆU CỦA CÁC ĐỒNG NGHIÊP. Trang 7 . Trường THPT Ngô Gia Tự Tổ Toán Giáo viên: Phan Trần Bảo Bảo CHUN ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A.CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. Hàm số lượng giác của. đối nhau : và - α α (tổng bằng 0) (Vd: 6 & 6 ππ − ,…) 2. Cung bù nhau : và - α π α ( tổng bằng π ) (Vd: 6 5 & 6 ππ ,…) 3. Cung phụ nhau : và 2 π α