Đề cương ôn tập lượng giác lớp 10 khá hay

Đề cương ôn tập lượng giác lớp 10 khá hay

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP PHẦN GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT

CUNG VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LỚP 10 Ph

ần 1: Lý thuyết:

I.Kiến thức cần nhớ:

1.Công thức lượng giác cơ bản :

1) sin2α+cos2α =1 2) tan sin

cos

α α

α

sin

α α

α

=

4) 2

2

1

1 tan

cos

α

α

2 k k Z

π

2

1

1 cot

sin

α

α

+ = (α ≠k k Zπ, ∈ )

6) tan cotα α =1 ,

2

kπ

α ≠ ,k Z∈

Chú ý: sin(α +k2 ) sinπ = α ,∀ ∈k Z

cos(α +K2 ) cosπ = α,∀ ∈k Z

tan(α+kπ) tan= α ; cot(α +kπ) cot= α ; ∀ ∈k Z

− ≤1 cosα ≤1 ; − ≤1 sinα ≤1 ; ∀α

2.Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:

a) Với hai góc (cung) đối nhau: α và -α , ta có:

cos(− =α) cosα sin(− = −α) sinα

tan(− = −α) tanα cot(− = −α) cotα

b) Với hai góc (cung) bù nhau: α và π α− , ta có:

sin(π α− ) sin= α cos(π α− )= −cosα

tan(π α− )= −tanα cot(π α− )= −cotα

c) Với hai góc (cung) hơn kém nhau π: α vàα π+ Ta có:

sin(α π+ )= −sinα cos(α π+ )= −cosα

tan(α π+ ) tan= α cot(α π+ ) cot= α

d) Với hai góc (cung) phụ nhau : α và (

2

π α− ), ta có:

sin( ) cos

2

2

tan( ) cot

2

2

3.Công thức cộng:

cos(a b− =) cos cosa b+sin sina b cos(a b+ =) cos cosa b−sin sina b

sin(a b− =) sin cosa b−cos sina b sin(a b+ =) sin cosa b+cos sina b

tan(a b− =) t ana-tanb tan(a b+ =) tana+tanb

4.Cơng thức nhân đơi:

sin 2a=2sin cosa a

cos 2a=cos2a−sin2a=2 cos2a− = −1 1 2sin2a

tan2a= 2tana2

1-tan a

5.Cơng thức nhân ba:

sin 3α =3sinα−4sin α, 3

cos3α =4cos α−3cosα

6.Cơng thức hạ bậc:

2 1 cos 2

cos

2

a

sin

2

a

tan

1 cos 2

a a

a

−

= +

7.Cơng thức biến đổi tích thành tổng:

cos cos 1[cos( ) cos( ) ]

2

2

a b= a b− − a b+ sin cos 1[sin( ) sin( )]

2

2

1 sin

8.Cơng thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

u v u v

u v u v

sin sin 2sin cos

u v u v

u v u v

PHẦN II Bài tập

I/ GÓC - CUNG LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Đổi ra đơn vị radian các góc (cung) có số đo:

a/ 15o b/ 12o30’ c/ -200o

Bài 2: Đổi ra đơn vị độ ( phút, giây) các góc (cung) có số đo:

-Bài 3: Cho (Ou,Ov) k2 ( k Z )

8

p p

uur uur

a/ Tìm k để ( ) 63

Ou,Ov

8

p

=-uur =-uur

b/ Giá trị - 658p có phải là 1 số đo của (Ou, Ov uur uur)

khơng ? tại sao?

Bài 4: Tìm điểm ngọn của các cung sau:

a / AM¼ k b / AN» k c / AP» k2

p

HD: Bài 1,2 áp dụng cơng thức 00

180

a

α

π =

II/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

HD: Áp dụng các cơng thức Lg cơ bản để biến đổi

Bài 1: Cho sin 0,8 < < Tính cos ,tan ,cot

2

p

a= ỉçççè a pư÷÷÷ø a a a

sin α +cos α =1

c c

α

Vì

2

π α π< < nên cosα <0

nên cosα = −0, 6

tan

c

α α

α

−

cot

c α α

α

−

Bài 2: Tính B 2sin x 3cos x

3sin x 2cos x

+

=

- biết tanx = -2

Giải:

sinx

2

cos

x x

x o





2sinx 3cosx 2cosx 3cosx cosx 1

B

3sinx 2cosx 2cosx 2cosx 4cosx 4

-Bài 3: Đơn giản biểu thức:

2

2cos x 1

sin x cosx

-= +

Giải:

2cos x 1 2cos x (sin x cos x) cos x sin x (cosx sinx)(cosx sinx)

Bài tập

Bài 1: Cho 5cosa + 4 = 0 (180 < a < 270 o o).Tính sina , tana, cota

Bài 2: Cho tan15 o = - 2 3 Tính sin15 ,cos15 ,cot15 o o o

Bài 3: Tính A tan x cot x

tan x cot x

+

=

- biết sinx = 1

3

Bài 4: Tính C sin x2 3sin x cos x2 2cos x2

1 4sin x

-=

Bài 5: Đơn giản biểu thức:

2

sin x tan x cos x.tan x

C sin x 1 cot x cos x 1 tan x ; B sin x.cot x; D cot x.cos x

tan x sin x

+

-III/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÁC CUNG ĐẶC BIỆT

Loại 1: Tính Giá trị lượng giác của 1 cung(gĩc)

*Biết số đo của cung(gĩc):

HD: sử dụng giá trị lg của các cung liên quan: Đối, bù, phụ, hơn kém π, hơn kém 1 bội

2πvà giá trị LG của các cung đặc biệt

Bài 1: Tính GTLG của các cung(góc): 315o

Giải: sin315o= 0 0 0 0 2

sin( 45 360 ) sin( 45 ) sin 45

2

os( 45 360 ) os( 45 ) os45

2

0

sin 315 sin 45

−

0

0

1

tan 315

Bài tập áp dụng: Tính GTLG của các cung(góc): 150o, 240o,3180o, -300o, -1380o

Bài 2: Tính GTLG của các cung (góc): 11π

Giải: sin11π =sin( − + π 12 ) sin( π = − + π 2.6 ) sin( ) π = − = − π sin π = 0

cos11π =c os( − + π 12 ) π = c os( − + π 2.6 ) π = c os( ) − = π c os π = − 1

tan11π =0

cot11π =KXD

Bài tập áp dụng: Tính GTLG của các cung(góc): 29 16 1988 115 159

* Biết 1 HSLG khác:

Ví dụ: Cho sinx = - 0,96 với

3

x 2 2

ç < < ÷

çè ø

a/ Tính cosx (tt bài tập 1 phần II) ,

b/ Tính: sin x

2

p

ç + ÷

B2: tính cosx

Bài tập tương tự:

Bài 1: Tính cos( x ,tan) x ,cot 3( x)

2

p

p- æçç + ö÷÷ p

-÷

çè ø

Bài 2: Cho tan( x) 1 2, 3 < x < 2

2

p

p+ = - æçç pö÷÷

÷

a/ Tính tanx , cotx , sinx , cosx b/ Tính cot x ,tan 5 x ,sin x 3 ,cos( ) 7 x

p

Ví dụ: Tính : A cos0 cos20 cos40 cos160 cos180 = o+ o+ o+ + o+ o

Giải: vì

0 0

= −

= −

= −

Nên A=0

Bài tập tương tự:

Bài 1: Tính

B cos105 cos75 sin105 sin 75

C tan10 tan 20 tan 30 tan 70 tan80

-=

Bài 1: Tính:

A sin825 cos 15 cos75 sin 195 tan155 tan 245

B sin190 4sin 530 cos280 tan170 cos 10

C cot585 2cos1440 2sin1125

Bài 2: Tính:

sin 234 cos216 cot 44 tan 226 cos406

-Bài 3: Tính:

Loại 3 : Đơn giản biểu thức lượng giác

HD: Biến đổi các cung (góc) trong () về cung (góc) có liên quan đặc biệt rồi áp dụng công thức GTLG của các cung liên quan đặc biệt để thu gọn:

Ví dụ: Đơn giản biểu thức:

A sin 13( ) cos 9 cot 12( ) tan 5 ;

p a æça ö÷ p a æç aö÷

Giải: Ta có: sin(13p a+ ) = sin(p a+ + 12 )p = sin(p a+ ) =- sin ;a

9

c α− π =c α− −π π =c α−π =c π −α =c π −α = α

; cot(12π α− )= −cotα ;

5

Nên: A= −sinα −sinα−cotα +cotα = −2sinα

Bài tập:

Bài 1: Đơn giản biểu thức:

D sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a

E cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x

-Bài 2: Đơn giản biểu thức:

19 tan x cos 36 x sin x 5 2sin 2550 cos 188

1 2

sin x cos x 99 2

p

p

ỉ ư÷

-çè ø

ç - ÷

çè ø

Loại 4 : Chứng minh đẳng thức lượng giác

Đẳng thức lượng giác trong tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC.Chứng minh:

a / sin(A + B) = sin C;

Giải: Vì tam giác ABC

Nên ta có: µA B+ =µ 1800 −Cµ

sin(A+B)=sin(1800-C)=sinC(Tính chất sin góc bù)

Bài tập tương tự:

Cho tam giác ABC.Chứng minh:

b / cos A cos(B C) 0; c / sin cos ;

d / cosC cos(A B 2C) 0; e / sin A cos 0

2

+

+ +

IV/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A Cơng thức cộng:

Loại 1: Tính Giá trị lượng giác của 1 cung( gĩc)

Ví dụ: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 15 ,75 ,105 ,285 ,3045o o o o o

2 ( 3 1)

4

2 ( 3 1)

4

Bài 1: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 75 ,105 ,285 ,3045 o o o o

Bài 2: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299, , , ,

12 12 12 12 12

Bài 3: Tính cos x

3

p

ỉ ư÷

ç - ÷

ç ÷

çè ø biết sin x 12, (3 < x < 2 )

13 2

=-Bài 4: Cho 2 góc nhọn a b, có tan 1, tan 1

a= b= a/ Tính tan(a b+ ) b/ Tính a+b

Bài 5: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : x y 4

tan x.tan y 3 2 2

p

ìïï + = ïí

ïï = -ïỵ

a/ Tính tan x( + y ; tan x) + tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y

Bài 6: Tính tan x

4

p

ỉ ư÷

ç - ÷

ç ÷

çè ø biết sin x 40

41

=- và < x <3

2

p p

Bài 7: Tínhtan

4

p a

ỉ ư÷

ç + ÷

ç ÷

çè ø theo tana Áp dụng: Tính tg15o

Loại 2 : Tính Giá trị biểu thức lượng giác

Ví dụ:Tính giá trị của biểu thức A = sin 20 cos10 o o + sin10 cos 20 o o

A sin 20 cos10 sin10 cos 20 sin(20 10 ) sin 30

2

Bài 1: Tính:

tan 25 tan 20 1 tan15

A sin 20 cos10 sin10 cos 20 B C

1 tan 25 tan 20 1 tan15

3 tan 225 cot81 cot 69

D sin15 3 cos15 E sin15 cos15 F

3 cot 261 tan 201

+

Bài 2: Tính:

3

a / A cos x cos x cos x cos x

b / B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x

æ ö÷ æ ö÷ æ ö÷ æ ö÷

= çç - ÷÷ çç + ÷÷+ çç + ÷÷ çç + ÷÷

æ ö÷ æ ö÷ æ ö÷ æ ö÷

= çç + ÷÷+ çç + ÷÷ çç + ÷÷+ çç + ÷÷

Bài 3: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x

æ ö÷ æ ö÷ æ ÷ö æ ö÷

= + çç + + ÷÷ çç - ÷÷ = + çç + + ÷÷ çç - ÷÷

Loại 3: Rút gọn biểu thức

cos a b sin a.sin b A

cos a b sin a.sin b

+ +

=

-

cos a b sin a.sin b cosa.cos b sin a.sin b sin a.sin b cosa.cos b

cos a b sin a.sin b cosa.cos b sin a.sin b sin a.sin b cosa.cos b

-Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

( )

( )

2

sin a b sin a b sin a b 2cos a sin b

sin a b sin a b 2cos a cos b cos a b sin 45 x cos 45 x 2sin a b

cos a b cos a b sin 45 x cos 45 x

+ +

Loại 4 : Chứng minh đẳng thức

4

sinx + cosx = 2sin x +

4

Giải: BĐ sinx cos 2( 2.sinx+ 2.cos ) 2( os sinx+sin cos ) 2 sin( )

x+π = c π − +x π = c π −x

Bài 1: Chứng minh: ( sử dụng như công thức )

æ ö÷ æ ö÷

Bài 2: Chứng minh:

a / cos a b cos a b cos a sin b cos b sin a

b /sin a b sin a b sin a sin b cos b cos a c/ sin a b cos a b sin a cosa sin bcosb

d /sin a sin a 2 sin a

æ ö÷ æ ö÷

ç + -÷ ç - ÷=

Bài 3: Chứng minh:

a / cosa.sin b c cos b.sin c a cosc.sin a b 0

b /sin a b sin b 2sin a b sin bcosa sin a

c / tan a b tan a tan b tan a.tan b.tan a b

d / tan 2a.tan 30 a tan 2a.tan 60 a tan 60 a tan 30 a 1

Bài 4: Chứng minh:

( ) ( )

( ) ( )

tan a tan b tan a tan b

tan a b tan a b tan a b tan b cos a b 1 tan a.tan b

b / tan a b tan b cos a b 1 tan a.tan b

tan a tan b tan c tan a.tan b.tan c

c / tan a b c

1 tan a.tan b tan b.tan c tan c.tan a

-+ -+ =

-Bài 5: Chứng minh rằng:

a/ Nếu a b

4

p

+ = thì (1 tan a 1 tan b + )( + )= 2 b/ Nếu sin(a+ 2b)= 2sina thì tan(a b+ )= 3tanb

c/ Nếu sinx = 2sin(x+y) thì tan x( y) sin y

cos y 2

+ =

d/ Cho cos(a +b) = mcos(a -b)(m ¹ - 1;cosa cosb ¹ 0).Chứng minh:tan a.tan b 1 m

1 m

-= +

B Công thức nhân đôi:

Loại 1: Tính giá trị lượng giác của 1 cung (góc)

Ví dụ: Cho sin x 3

5

= với < x <

2

p

p Tính sin2x, cos2x

Giải: Vì < x <

2

p

5

x= − − x = −

sin 2 2sin cos 2 .( )

c x c= x− x= − =

Bài 1: Cho cos x 6 2

4

+

= và 0 < x <

2

p

.Tính cos2x rồi suy ra x

Bài 2: Cho tan x = - 2 3 và 0 < x <

2

p

.Tính sin2x, cos2x, tan2x rồi suy ra x

Bài 3: Cho sin x + cos x = 2.Tính sin2x, cos2x

Bài 4: Tính GTLG của cung

8

p

, 12

p

, 5

p

Bài 5: Cho sin x 4

5

=- và 3 < x < 2

2

.Tính sin ,cosx x

Bài 6: Cho sin x cos x 1

5

+ = Tính tanx

2

Bài 7: Cho cosx = 0,8 với 0 < x <

2

p

Tính tanx

2

Bài 8: Cho tgx 24

7

= với < x <3

2

p

2

Loại 2: Tính giá trị của biểu thức lượng giác

Ví dụ: tính A=cos36 cos 72 ;o o

Giải: ta có

0 0 o o

sin 36 A sin 36 cos36 cos 72

1

= sin 72 cos72

2

= sin144 sin 36

1

4

=

=

Bài tâp:

Bài 1: Tính

B cos 20 cos 40 cos60 cos80 ; C sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ; D cos coso o o o o o o o 4 .cos5 .

o

E sin cos cos ; F ; G ; H cos36 sin18 ; I 4sin 70

5

J tan tan ; K tan 36 tan 72

12 12

Bài 2: Tính theo cos2x các biểu thức:

1 sin x 1 tan x

A sin x.cos x; B sin x cos x; C ; D

cos x 1 tan x

Loại 3: Đơn giản biểu thức lượng giác

Ví dụ: Đơn giản biểu thức: B=sin x cos x4 - 4

Giải: Vì

B sin x cos x (sin x) (cos x) (sin x cos x)(sin x cos x) (sin x cos x)

=-(cos x sin x) cos 2x

=-Bài 1: Đơn giản biểu thức:

A sin x.cos x.cos 2x; C sin 2x cos 2x; D cot x tan x

sin x cos x cos 2x

Bài 2: Rút gọn

A sin 6x 2 3 cos 3x = - 2 + 3; B 5sin 2x 4sin 2x.cos 2x cos 2x = 4 - 2 2 - 4 + 3cos 4x; C sin a.cos3a cos a.sin 3a = 3 + 3

Bài 3: Rút gọn: A sin 4x . cos 2x B sin 2x 4sin x2 2 2 2

1 cos 4x 1 cos 2x sin 2x 4sin x 4

C Công thức biến đổi:

Loại 1: | BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG

Cách giải: áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ: biến đổi thành tổng biểu thức A cos5x.cos3x=

Giải: A cos5x.cos3x 1(cos8x cos2x)

2

Bài tập:

a / sin sin b / sin x 30 cos x 30

5 5

-Bài 2: a / 2sin x.sin 2x.sin 3x; b / 8cos x.sin 2x.sin 3x; c / sin x sin x cos 2x; d / 4cos a b cos b c cos c a ( ) ( ) ( )

æ ö÷ æ ö÷

-ç ÷ ç ÷

Loại 2: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH

Cách giải: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích.

Ví dụ: Biến đổi: B sin 5x sin x = +

Bài 1:

a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x;

c / sin a b sin a b ; d / tan a b tan a; e / tan 2a tan a

-Bài 2: a / sin a cosb; b /sin 2x cos x; c / sin x sin y; d / cos x cos y; e / tan x tan y+ - 2 - 2 2 - 2 2 - 2

Bài 3: a / 3 4cos x- 2 b / 1 4sin x- 2 c / 3 4sin x- 2

Bài 4: a / 1 sin x; b / 1 cos x; c / 1 2cos x; d / 2 2cos x; e / 2 sin x 1; f / 3 2sin 2x ± ± ± ± ± +

Bài 5:

a / 1 cos x sin x; b / 1 cos x sin x; c/ sin x sin 2x sin3x sin 4x

d / cosx cos2x cos3x cos4x; e/ 1 sin x cosx; f / sina sin3a sin5a sin 7a

Bài 6:

a/ sin a + b + c - sina - sinb - sinc; b/ cos a + b + c + cosa + cosb + cosc; c/( ) ( ) sin a + b( )

sina + sinb sina - sinb sina + sin3a + sin5a sina + sin4a + sin7a

tana - tanb cosa + cos3a + cos5a cosa + cos4a + cos7a

Bài 7: A cos a cos b cos c 2cosa.cosb.cosc 1 = 2 + 2 + 2 +

Loại 3: | TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Cách giải: Biến đổi các biểu thức thành tổng hoặc tích của các cung đặc biệt rồi tính.

Ví dụ: Tính A=cos 75 cos15o o

Giải: A cos 75 cos15o o 1[cos(750 15 ) cos(750 0 15 )]0 1(cos900 cos60 )0 1(0 1) 1

Bài tập:

B sin sin ; C sin cos ; D tan 9 tan 27 tan 63 tan 81

12 12 12 12

Bài 2:

A cos cos cos B cos cos cos C cos cos

Bài 3: C = cos10 cos30 cos 50 cos 70 o o o o

Loại 4: ĐƠN GIẢN MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1:

A 4sin sinx x sin x ; B 4cos cosx x cos x

æ ö æ ö+ ÷ - ÷ æ ö æ ö+ ÷ - ÷

= çç ÷÷ çç ÷÷ = çç ÷÷ çç ÷÷

C cosx cos x cos x cos x cos x

æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷

= + ç ç + + ÷ ÷ ç ç + + ÷ ÷ ç ç + + ÷ ÷ ç ç + ÷ ÷

Bài 2:

A cos4x 4cos2x 3; B sin x.sin 2x sin 2x.sin3x sin3x.sin 4x sin 4x.sin5x

C 1 4cos x 6cos2x 4cos3x cos4x; D sin 4x 4sin3x 6sin 2x 4sin x

-Bài 3:

cos x sin x cos a cos b sin 2x 2 sin x

sin x

Loại 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Chứng minh

a / sin10 sin 50 sin 70 b / cos10 cos50 cos 70 c / tan10 tan 50 tan 70

d / sin 20 sin 40 sin80 e / cos 20 cos 40 cos80 f / tan 20 tan 40 tan 80 3

Bài 2: Chứng minh

sin x sin y x y cos x sin x ( o ) 1 sin 2x 2

cos x cos y 2 cos x sin x 1 sin 2x 4

p

æ ö

Bài 3:

Chứng minh

o

a / 2sin 70 1 b / tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 cos 20

c / tan tan tan tan sin