Bài tập phương trình lượng giác Bài tập phương trình lượng giác A.Phương trình lượng giác cơ bản Bài 1:Giải phương trình a. 2 3 4 cos = + π x b. 0 2 sin 4 3 2cos = +− + xx ππ l. ( ) 0sin82sin3425 2 =+− xxx ππ c. 0 4 sin 4 2cos = ++ − ππ xx d. xx 2cos3sin = y, 05cos 2 1 5sin 2 3 3sin =++ xxx e. 0 3 3sin 4 2sin = ++ − ππ xx f. ( ) 12sinsin =x π m. sinxsin7x = sin3xsin5x g. ( )( ) 03sinsincos2cos =++ xxxx h. ( ) ( ) 00 120cos502cos +=+ xx k 04sin3cos =− xx j. 012tan3 =−x i. ( )( ) 012cos2sin4sincos 2244 =−− xxxx h. 1 4 cot = + π x n, 2 1 2 1 sin =+x l.sin5xcos3x = sin9xcos7x v. − += + + xxxx 6 4 sin 4 sin2 4 cos5 4 sin ππππ Bài 2.Giải các phương trình sau: a. xx 3cos33sin 22 = c. 0) 14 5 3cot() 4 5tan( =−−+ ππ xx b. 2 3cos 1 3tan4 2 2 =− x x d. 0 3 4cot) 6 5 6tan( = ++− ππ xx e. xxxxx 4sin3sincos3cossin 333 =+ f. ( ) xx x xx cottan 2 1 2sin cossin 44 += + (BKHN-2000) g. ( )( ) 1cossin1cos2 =+− xxx h. tan3xtanx = 1 Bài 3.Tìm tất cả các nghiem của phương trình sau: a. −∈=+ 4 5 ; 4 , 2 1 8 sin.sin 8 cos.cos ππππ xxx b. ∈−= − 6 7 ; 6 ,32 3 5tan6 πππ xx @:Chú ý: Nếu pt dạng: sinx = a ,trong đó a không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt thì ta có thể + đặt α sin = a ta có. ( ) Zk kx kx x ∈ +−= += ⇔= , 2 2 sinsin παπ πα α + ( ) Zk kax kax ax ∈ +−= += ⇔= , 2arcsin 2arcsin sin ππ π Các ptlg khác cũng tương tự. + Đặc biệt chú ý: ( ) ( ) αα απα −=− −=− sinsin coscos ( ) ( ) αα αα −=− −=− cotcot tantan B.Phươg trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:at + b=0 (a#0), t:một hàm số lượng giác. @; Đưa pt về PTLG cơ bản. Bài 1. Giải các phương trình sau: a.tan(2x - 45 0 ) – 3 = 0 b. 0 3 1 5 2 7cot =+ − π x c. 0 2 3 5 4sin =− − π x d. 0 2 2 6 3 cos =+ − x π Bài2* Tất cả các nghiệm nguyên của pt: ( ) 180016093 8 cos 2 = ++− xxx π C.Phương trình bậc hai đối với một hàm số lựơng giác: Bài tập phương trình lượng giác * Đặt hàm số l ượng giác làm ẩn phụ và đặt ĐK cho ẩn phụ nếu có(ví dụ :t = sinx hoặc t =cosx, ĐK 1≤t ),rồi giải pt theo ẩn phụ này. Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 023sin43cos3sin2 22 =+−− xxx b. 032cos72sin3 2 =−+ xx e.cos2x+sin 2 x+2cosx +1=0 c. 033cot3tan3 =−−+ xx d. ( ) 3cos1sinsin5 2 =−− xxx f. 6tanx = tan2x g. ( ) 03tan13tan 2 =−−+ xx h. ( ) ( ) 023sinsin2122cos3 =+−+++ xxx i.sin 2 2x-sin 2 x = sin 2 4 π k. 0sin22coscos5 =+− xxx v.sin4x = tanx l.sin3x+2cos2x-2=0 m.3sinx +2 02cos =−x w. ( ) −=−+ 6 2cos52cos32sin 2 π xxx Bài 2: Giải các phương trình sau: a. 3cot3 sin 3 2 += x x b. 023 2 cos33cos 2 3cos 22 =+ −−− + xxx ππ c. 2 2cos2cot 4sin2cot32cos = − ++ xx xxx d. 0 cos 2cos39sin62sin4 22 = −−+ x xxx e. ( ) 1 2sin1 1cos223sin2cos 2 = + −−+ x xxx f. 3cos3sin4 =+ xx g. 01cos2sin2cos 2 =+++ xxx D.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (Pt cổ điển): a sinx + bcosx = c (1) (a 2 +b 2 # 0) *Cách giải: +Cách1. $Bước 1:kiểm tra : 1.Nếu 222 cba <+ thì (1) VN 2.Nếu 222 cba ≥+ thì (1)có nghiệm. $Bước 2.Chia cả hai vế cho 22 ba + ta được : 222222 cossin ba c x ba b x ba a + = + + + Vì 1 2 22 2 22 = + + + ba b ba a nên tồn tại góc α sao cho α cos 22 = + ba a ( hoặc Sin α ) và α sin 22 = +ba b (hoặc cos α ).Khi đó (1)trở thành: 22 cossinsincos ba c xx + =+ αα ( ) 22 sin ba c x + =+⇔ α (ptlgcb) +Cách 2:Nếu 0 ≠ a ,chia cả hai vế cho a ta được : a c x a b xcxbxa =+⇔=+ cossincossin . Đặt β β β cos sin tan == a b ta có: ( ) ββ β β cossincos cos sin sin a c x a c xx =+⇔=+ (ptlgcb)C ác +Cách 3: $Bước 1: xét cos 0 2 = x $ Bước 2: Với cos 0 2 ≠ x .đặt t = tan 2 x suy ra: 2 2 2 1 1 cos; 1 2 sin t t x t x + − = + = .Khi đó (1) trở thành: ( ) 02 1 1 1 2 2 2 2 2 =−+−+⇔= + − + + bcattbcc t t b t t a Bài tập phương trình lượng giác $ Bước 3:Giải pt theo t. *Nhận xét quan trọng: 1. Cách1 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải pt và tìm ĐK của tham số để phương trình có nghiệm,vô nghiệm hoặc giải và biện luận pt theo tham số. 2.T ừ cách 1 ta có kết quả sau: 2222 cossin baxbxaba +≤+≤+− t ừ đó gợi ý cho ta bài toán tìm GTLN,GTNN của hàm số co dạng: xdxc xbxa yxbxay cossin cossin ;cossin + + =+= và phương pháp đánh giá cho một số pt l ượng giác. 3.D ạng đ ặc bi ệt : Zkkxxx Zkkxxx ∈+=⇔=− ∈+−=⇔=+ , 4 0cossin , 4 0cossin π π π π Bài 1. Giải các phương trình sau: a. 22sin2cos3 =+ xx b. 2 1 sin2sin 2 =+ xx c.2sinx - 2cosx = 2 d. 132sin122cos5 =− xx e. ( ) xxxx 2cos3coscossin22 +=+ f. 1sin2sin3cos 32 +=− xxx g. ( ) 1sin42cos32sin4 −=− xxx h. xxx 22 sin12sin3cos +=− i. 02003cos52cos42sin3 =++ xxx l. ( ) 12cos232sin =−+ xx Bài 2: Giải các phương trình sau: a. 34cos333sincos43cossin4 33 =++ xxxxx b. 05cossin162cos34sin2 3 =−++ xxxx c. xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− d. xxxx cos3sin2sin32cos2 +=++ e. ( ) ( ) 2cos31sin31 =−++ xx (pt nay làm theo c1 cho ng 0 k tường minh,c2 thi ng 0 rất chẵn ) Bài 3.Cho phương trình: 12cos2sin3 =− xmx a. Giải phương trình với m=1 b. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m. Bài 4.Chứng minh: a. 1 3cos2 1cos2sin 2 ≤ + ++ ≤− x xx b. x a x xax ∀ ++ ≤ + ++ ; 3 311 3cos2 13sin3cos 2 Bài 5.Tìm GTLN,GTNN của các hàm số: a. 2cossin cos2 −+ + = xx x y b. 1 2 sin 2 cos2 2 cos 1 2 cos 2 sin2 2 cos + − + + = xxx xxx y E.Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx(pt thuần nhất bậc hai đối với sinx v à cox) 1 ĐN:la pt có dạng : 0cossincossin 22 =++ xcxxbxa ( 0 22 ≠+ ca ) (1) *Chú ý: pt dxcxxbxa =++ 22 coscossinsin tuy không phải là pt thuần nhất bậc hai nhưng có thể đưa về pt thuần nhất bậc hai với sinx và cosx bằng cách : ( ) xxdxcxxbxadxcxxbxa 222222 cossincoscossinsincoscossinsin +=++⇔=++ ( ) ( ) 0coscossinsin 22 =−++−⇔ xdcxxbxda 2.Cách giải: * Cách 1: +Xét Zkkxx ∈+=⇔= ; 2 0cos π π xem có là nghiệm của pt này không. +Xét cosx 0≠ .Chia cả hai vế cho x 2 cos và nhớ: 1tan cos 1 2 2 += x x .ta có: ( ) 0tantan 2 =−++− dcxbxda *Cách 2:Sử dung CT hạ bậc,CT nhân đôi đưa Pt (1) về Pt bậc nhất đối với sinx2x và cos2x 3.Bài tập: Bài tập phương trình lượng giác Bài 1. Giải các phương trình sau: a. 0cos2cossin3sin 22 =++ xxxx b. 4cos22sin33sin4 22 =−+ xxx c. xxxx cossin5cos3sin2 22 =+ d. 1cossin3sin 2 =− xxx e. 01sin2cossin3cos 22 =−−− xxxx f. 03cos3cossin2sin 22 =+−+ xxxx g. 03coscossinsin6 22 =−−− xxxx . h. 01cos52sin7sin 22 =+−− xxx i. 012sin2cos 2 =++ xx Bài 2: Giải các phương trình sau: a. xx x 3sin43cos6 3cos 1 =− b. x xx cos 1 cossin3 =+ c. 042sin5sin6cos4 22 =−+− xxx Bài 3.Cho phương trình: 0cos42sinsin3 22 =++ xxmx a.Giải phương trình khi m = 4 b.Tìm m để phương trình có nghiệm. F.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 1. ĐN: là pt mà khi thay sinx bởi cosx và cosx bởi sinx thì phương trình không thay đổi. 2.Dạng đơn giản: ( ) 0cossincossin =+++ cxxbxxa (1) *Cách giải: $Cách 1: +B1: Đặt 2;cossin ≤+= txxt .Ta có : 2 1 cossin 2 − = t xx Pt (1) trở thành: 0220 2 1 2 2 =−++⇔=+ − + bcatbtc t bat (2) +B2:Giải pt (2) chọn nghiệm 2≤t ,sau đó đưa về giải pt lượng giác cơ bản. $Cách 2: Đặt xt −= 4 π khi đó txxxxx cos2cossin 4 cos2cossin =+⇔ −=+ π ( ) 1cos2 2 1 cossin2cos 2 1 cossin 4 2sin 2 1 cossin2sin 2 1 cossin 2 −=⇔=⇔ −=⇔= txxtxxtxxxxx π Đó PT (1) đưa về pt bậc hai đối với hàm số cost *Chú ý:Pt gần đối xứng: ( ) 0cossincossin =++− cxxbxxa (3) giải tương tự. Đặt 2;cossin ≤−= txxt ta có 2 1 cossin 2 t xx − = * Pt đối xứng khác ta biến đổi để làm xuất hiện đại lượng sinx + cosx và sinxcosx sau đó sử dụng phép đặt ẩn phụ như trên. 3.Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau: a. xxx cossin2sin1 +=+ b . ( ) 01cossin22sin2 =++− xxx c. 2cos2sin2cossin =++ xxxx d. 1 4 sin22sin = −+ π xx e. 12sin7cossin =+− xxx f. ( ) ( ) 212sincossin21 +=+−− xxx g. ( ) 02sincossin44 =−−+ xxx h. 12sin4cossin =++ xxx i. xx sin22tan1 =+ j. xxxx cossin1 3 2 cossin +=+ m. 22 sin 1 cos 1 −=− xx n. 5 2cos2sin 1 2cos 1 2sin 1 =++ xxxx r. ( ) 4cottan3 =+ xx k. xxxx cossintancot +=− z. 2 2 cossin 33 =+ xx . Bài tập phương trình lượng giác Bài tập phương trình lượng giác A.Phương trình lượng giác cơ bản Bài 1:Giải phương trình a. 2 3 4 cos = + π x . pt: ( ) 180016093 8 cos 2 = ++− xxx π C.Phương trình bậc hai đối với một hàm số lựơng giác: Bài tập phương trình lượng giác * Đặt hàm số l ượng giác làm ẩn phụ và đặt ĐK cho ẩn phụ nếu có(ví dụ :t = sinx hoặc t. ) αα αα −=− −=− cotcot tantan B.Phươg trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: at + b=0 (a#0), t:một hàm số lượng giác. @; Đưa pt về PTLG cơ bản. Bài 1. Giải các phương trình sau: a.tan(2x