BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC TÍC H PHÂN

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Bạn Tuấn giấu tên - Đại học FPT Hà Nội Ngày tháng 10 năm 2019 Tóm tắt nội dung Giờ 11h47p ngày 2/10/2019 tớ khó ngủ nên định dậy ngồi tổng hợp lại bất đẳng thức tích phân cho cậu ôn Olympic Sinh Viên lấy vũ khí ơn tập hehe!!! Thơi gõ hihi ;P CÁC BÀI TOÁN Mấy chủ yếu tớ sưu tầm, với dịch lại vài nước ngồi, khỏi dài dòng, cậu theo dõi nha ;P Lời giải tớ post ngày đẹp trời :| Còn sớm hay muộn tớ :( Câu Cho số thực a, b thỏa mãn a < b, a + b = ab + Tìm giá trị nhỏ tích phân b I= a x2 − ( a + b) + ab dx Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [0; 1] thỏa mãn f (1) = 1 f ( x ) dx = −7 x3 f ( x ) dx − Tính tích phân f ( x ) dx Câu Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] đồng thời thỏa mãn f (1) = e f (0) = e, f (x) f (x) dx ≤ 1 ? Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [0; 1] , thỏa mãn Tính f 1 [ f ( x )] dx = 4, f ( x ) dx = x f ( x ) dx = 1 [ f ( x )]3 dx Tính giá trị tích phân Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [0; 1] , thỏa mãn đồng thời f ( x ) dx = − ln 2, 2 f (1) = 0, 0 f (x) dx = ln − ( x + 1)2 Tích phân f ( x ) dx? Câu Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm f ( x ) liên tục [0; 1] , thỏa mãn f (1) = e f (0) dx + f (x) f ( x ) dx ≤ Tính giá trị biểu thức f (1) Câu Cho hàm số f ( x ) > có đạo hàm f ( x ) > liên tục [0; 1] , thỏa mãn 1 f (0) = 1, f (x) + f (x) f ( x ) f ( x ) dx dx ≤ 0 Tính I = f ( x ) dx Câu Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương [0; 1] , có đạo hàm dương tục [0; 1] , thỏa mãn f (0) = 1, f (1) = e2 Chứng minh x f (x) dx ≤ f (x) Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [0; 1] , thỏa mãn f (0) = 1, f (1) = √ Chứng minh bất đẳng thức tích phân f ( x ) f ( x ) dx ≥ Câu 10 Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm f ( x ) liên tục [1; 2] , thỏa mãn f (1) = 1, f (2) = 16 Chứng minh bất đẳng thức tích phân [ f ( x )]2 dx ≥ 24 x f (x) Câu 11 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [0; 1] , thỏa mãn f (1) = đồng thời 1 [ f ( x )] dx = x f ( x ) dx = Tính giá trị tích phân f ( x ) dx ? π π Câu 12 Cho hàm số f ( x ) liên tục [0; π ] , thỏa mãn cos x f ( x ) dx = f ( x ) dx = 0 π f ( x ) dx? Tìm giá trị nhỏ tích phân Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [1; 2] , thỏa mãn điều kiện x3 f ( x ) dx = 31 f ( x ) dx? Tìm giá trị nhỏ tích phân Câu 14 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [0; 2] , thỏa mãn x f ( x ) dx = , 15 f (2) = 1, f ( x ) dx = 32 Tính giá trị tích phân f ( x ) dx? Câu 15 Cho hàm số ϕ( x ) khả vi hai lần [0; +∞), biết ϕ( x ) > 0, ϕ ( x ) > ϕ( x ) ϕ ( x ) ( ϕ ( x ))2 ≤ 2, ∀ x ∈ [0; +∞) ϕ (x) Chứng minh lim = [ ϕ( x )]2 Câu 16 Giả sử A lớp hàm f ( x ) khả vi liên tục [0; 1], f (0) = 0, f (1) = Chứng x →+∞ minh inf f ∈A f ( x ) − f ( x ) dx = e Câu 17 Giả sử f ( x ) có đạo hàm liên tục [0; 1] Chứng minh | f ( x )|dx ≤ max 1 f ( x ) dx; 0 f ( x )dx Câu 18 Cho f ( x ) hàm số xác định liên tục đoạn [1;2] thoả mãn điều kiện x2 x1 f ( x )dx ≤ x23 − x13 , ∀ x1 , x2 ∈ [1; 2], x1 ≤ x2 3 f ( x )dx ≤ Câu 19 Chứng minh bất đẳng thức tích phân Chứng minh π π < 16 dx π < 10 + 3cos x Câu 20 Chứng minh bất đẳng thức tích phân < √ dx − x2n < π , (n = 2, 3, 4, ) Câu 21 Chứng minh bất đẳng thức tích phân π < √ π √ < − x2 − x3 dx Câu 22 Chứng minh bất đẳng thức tích phân π 0< √ π2 x tan xdx < 32 Câu 23 Chứng minh bất đẳng thức tích phân √ π 3 < sin x dx < x π Câu 24 Chứng minh bất đẳng thức tích phân sau √ π 3 < 12 cot x dx < x π Câu 25 Chứng minh bất đẳng thức tích phân π sin x cos x (1 + cos4 x ) + sin4 x t Câu 26 Tính giá trị tích phân I (t) = dx > π tan4 x π dx với < t < cos 2x Từ chứng minh tan t + π t +3 tan t > e (tan ) , ∀0 < t < π Câu 27 Chứng minh bất đẳng thức tích phân 5π < π π √ − sin x 5+ √ sin x 1+ √ sin x dx < 9π π Câu 28 Cho tích phân In = x.tann xdx, n ∈ N Chứng minh In > n +2 π n+2 Câu 29 Cho hàm số f , g : [0; 1] → [0; 1] Chứng minh bất đẳng thức tích phân 1 f ( x ) g ( x ) dx 0 f ( x ) dx g ( x ) dx Câu 30 Giả sử f ( x ) hàm liên tục [0; 1], a số nguyên dương cho f ( x ) dx = a, 0 a , x ∈ [0, 1] f (x) Chứng minh bất đẳng thức tích phân f ( x )dx a3 Câu 31 Giả sử f ( x ) hàm nghịch biến liên tục [0; a], a ∈ [0; b] Chứng minh b a b f ( x )dx a f ( x )dx Câu 32 Chứng minh bất đẳng thức n n ∑ coskm x + n sin x k =1 dx < , ∀m, n ∈ N∗ , m Câu 33 Chứng minh x x e2t + e−t < e −1 < ( e x − 1) e x − Câu 34 Chứng minh √ 2π , ∀x > sin x2 dx > Câu 35 Chứng minh e 1 (ln x )2009 dx > 2010.2011.2012 x Câu 36 Tìm giá trị nhỏ biểu thức tích phân 3π f (n) = π sinn+2 x cosn+2 + cosn x sinn x dx, n ∈ Z+ Câu 37 Cho hàm số f ( x ) xác định  sin x   , x ∈ (0; 1] x f (x) = sin x   lim ,x = + x x →0 Chứng minh bất đẳng thức tích phân 17 < 18 1703 1800 f ( x ) dx < Câu 38 Chứng minh bất đẳng thức tích phân I= −1 + x4 + + x3 + + x2 + − x4 + − x3 + − x2 dx < 12 Câu 39 Chứng minh bất đẳng thức tích phân sau π I= 3π ;J = 2 esin x dx > e− x dx < π Câu 40 Chứng minh bất đẳng thức tích phân π e π Câu 41 Cho In = sin x π dx + π etan x dx > e − xe x cos nxdx Chứng minh bất đẳng thức tích phân π2 e −1 | In | Câu 42 Chứng minh bất đẳng thức tích phân π x m e2x dx > π m +2 π m +3 + ( m ∈ N) m+2 m+3 Câu 43 Cho n số tự nhiên, chứng minh bất đẳng thức tích phân π 2eπ n x2 e sin nxdx Câu 44 Chứng minh bất đẳng thức tích phân π 3sin x + 5cos2 xdx Câu 45 Cho tích phân In = π + √ 3cos2 x + 5sin2 xdx < π √ x n − xdx, n ∈ N∗ Tính In chứng minh In < 22n+3 (2ne)− Câu 46 Chứng minh bất đẳng thức tích phân 2π π |sin nx | dx > x π 1 + + + 1+n 2+n 2n Câu 47 Chứng minh bất đẳng thức tích phân 6n2 + 2n + < 6n2 √ n 2n + , ∀n ∈ N, n 2n + xdx < Câu 48 Chứng minh với số n nguyên dương ta ln có bất đẳng thức xn + dx x n + x n −1 + + x + 1 n+1 Câu 49 Với n số nguyên lẻ Tìm tất hàm liên tục f : [0, 1] → R thỏa mãn n−k f xk k , k = 1, n − n dx = x2 Câu 50 Cho hàm số f ( x ) xác định liên [1; 2] thỏa mãn x1 x23 − x13 với [ f ( x )] dx ≤ x1 , x2 ∈ [1; 2] cho x1 ≤ x2 Tìm giá trị lớn biểu thức tích phân Câu 51 Chứng minh bất đẳng thức tích phân In = Câu 52 Cho tích phân In = π √ x n − xdx < √ ( n + 1) n + sinn xdx Chứng minh π < In < 2( n + 1) π 2n Câu 53 Chứng minh bất đẳng thức tích phân π √ < − x2 1+x π dx < Câu 54 Chứng minh với số α > ta có bất đẳng thức 1= π 1+ Câu 55 Cho , bi ≥ 0; 1p + k q sin2 x π α dx + 1+ α cos2 x dx > π.3α−1 = 1; p > Chứng minh k k a n bm π ∑ ∑ m + n ≤ sin π p m =1 n =1 ∑ n =1 p an p k ∑ q bm q m =1 Câu 56 Cho f liên tục [0; 1] , ≤ f ( x ) ≤ 1∀ x ∈ [0; 1] Chứng minh  f x2 dx  f ( x ) dx ≥  0 2 f ( x ) dx Câu 57 Cho số tự nhiên p > f , g hàm số liên tục [ a; b] Chứng minh b a p p b | f ( x ) + g( x )| dx a p p | f ( x )| dx b + a p p | g( x )| dx Câu 58 Cho hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục đoạn [ a; b] thỏa mãn điều kiện g( x ) f (x) f ( x ) = 0, m M, ∀ x ∈ [ a, b] Chứng minh bất đẳng thức tích phân b a b g2 ( x )dx + M.m a b f ( x )dx ( M + m) a f ( x ) g( x )dx Câu 59 Cho f ( x ) , g ( x ) hàm liên tục [ a; b] thỏa mãn đồng thời điều kiện < a ≤ f (x) A; < b B, ∀ x ∈ [ a; b] g (x) Chứng minh b ( ab + AB) 4abAB a b g2 ( x ) dx a f ( x ) dx b a 4abAB ( ab + AB)2 f (x) g (x) Câu 60 Cho hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục đoạn [ a; b] Chứng minh • Nếu f ( x ) , g ( x ) hàm đồng biến nghịch biến ta có bất đẳng thức b−a b f ( x ) g( x )dx a b−a b b−a f ( x )dx a b g( x )dx a • Nếu f ( x ) , g ( x ) hàm có tính đơn điệu ngược chiều ta có bất đẳng thức b−a b f ( x ) g( x )dx a b−a b a b−a f ( x )dx b a g( x )dx Câu 61 Cho hàm số f ( x ), hàm số xác định liên tục [0, 1] thỏa mãn điều kiện | f ( x )| ≤ 1, ∀ x ∈ [0, 1] Chứng minh  1 − f ( x )dx ≤ 1− 2 f ( x ) dx Câu 62 Chứng minh bất đẳng thức tích phân x x dx · (1 + ln x ) dx Câu 63 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn   f ∈ C [0; 1]  x f (y) + y f ( x ) ≤ 1∀ x; y ∈ (0; 1) Chứng minh bất đẳng thức tích phân π f ( x ) dx ≤ Câu 64 Cho hàm số f : [0; 2] → R, có f ( x ) liên tục [0; 2] đồng thời thỏa mãn 2 x f ( x ) dx = k f ( x ) dx = f (2) = , 0 Chứng minh bất đẳng thức tích phân 2 f ( x ) dx ≥ 15 k 16 Câu 65 Cho hàm số f ( x ) hàm số liên tục có đạo hàm đoạn [ a; b] f ( a) = Đặt M = max | f ( x )| Chứng minh a≤ x ≤b M2 ≤ ( b − a ) b a f ( x ) dx Câu 66 Cho hàm số f : [0; 1] → R hàm khả vi cho f (0) = f (1) = thỏa mãn điều kiện | f ( x )| ≤ 1, ∀ x ∈ [0; 1] Chứng minh 1 f (t) dt < Câu 67 Cho [ a; b] ⊂ R hàm f : [ a; b] → R có đạo hàm cấp liên tục [ a; b] cho f ( a) + f (b) = Đặt m = f ( x ) Chứng minh bất đẳng thức tích phân x ∈[ a;b] b a m ( a − b )3 f ( x ) dx ≤ 12 Câu 68 Cho hàm số f : [0; 1] → R khả vi liên tục miền xác định Đặt M = max | f ( x )| , m = f ( x ) Chứng minh x ∈[0;1] x ∈[0;1] m2 12  f ( x ) dx −  f ( x ) dx  2 M2 12 Câu 69 Cho hàm số f ( x ) ≥ hàm giảm f ( x ) + x f ( x ) ≥ với x ∈ [ a, b] Chứng minh  b x f ( x ) dx ≤ a b+a  (b − a) 2 b f ( x ) dx  a Câu 70 Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn thỏa mãn với x, y, α, β ta có αx + βy α+β α f ( x ) + β f (y) ≥ (α + β) f f ( x ) dx = Tìm giá trị nhỏ tích phân Biết f (0) = 0, 0 f ( x ) dx Câu 71 Cho hàm f : [0; 1] → [0, +∞) khả vi liên tục miền xác định Đặt M = max | f ( x )| Chứng minh x ∈[0;1]  f ( x ) dx − f (0) f ( x ) dx ≤ M  2 f ( x ) dx  Câu 72 Xét đa thức P ( x ) đa thức bậc n thỏa mãn P ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ R Chứng minh    x  x −  P ( x ) dx + P ( x ) + P ( x ) + + P(n−1) ( x ) dx ≥ 0 Hãy tổng quát toán thay đoạn [0, 1] đoạn [ a, b] Câu 73 Cho hàm số f ( x ) liên tục, f ( x ) liên tục [0, 1] f (0) = Chứng minh 1 f ( x ) f ( x ) dx ≤ 2 f ( x ) dx Câu 74 Cho hàm số f : [0, 1] → R hàm khả vi liên tục Đặt M = max | f ( x )| Chứng minh bất đẳng thức tích phân x ∈[0,1]  f ( x ) dx −  0≤ 2  f ( x ) dx  ≤ M  max f ( x ) − x ∈[0,1]  f ( x ) dx  Câu 75 Cho f ( x ) hàm liên tục đạo hàm đoạn [0; 1] f (1) − f (0) = Chứng minh bất đẳng thức tích phân f ( x ) dx 10 Câu 147 Chứng minh bất đẳng thức π a2 · √ cos x tan x + b2 sin x dx > πab Câu 148 Chứng minh bất đẳng thức (1 + x )n + (1 − x )n dx −1 2n +1 Câu 149 Chứng minh bất đẳng thức ex 10 sin x dx > 1.36; x 1010 x dx > + ln 10 x Câu 150 Chứng minh bất đẳng thức π e ax (cos x − a sin x )dx > π Câu 151 Chứng minh bất đẳng thức −2 x ln x2 − + √ Câu 152 Cho tích phân I (m) = √ √ √ 2+ 3 √ dx < 4 − ln √ ln x− 2− x+ x2 + m dx Chứng minh I (m) I −1 , ∀m ∈ R Câu 153 Chứng minh bất đẳng thức n− arctan + arctan + + arctan n < arctan n − ln + n ( n ∈ N∗ ) Câu 154 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x ) liên tục [ a; b] thỏa mãn f ( a) = Cho M = max | f ( x )| Chứng minh | f ( x )| ≤ M( x − a), ∀ x [ a, b] x ∈[ a;b] Câu 155 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x ) liên tục [0; 1] Chứng minh | f ( x )|dx max f ( x )dx , f ( x ) dx Câu 156 Giả sử hàm số f ( x ) đạo hàm f ( x ) liên tục đoạn [ a; b] thỏa mãn f ( a) = tồn k > cho | f ( x )| ≤ k| f ( x )|∀ x ∈ [ a, b] Chứng minh f ( x ) ≡ 0∀ x ∈ [ a, b] Câu 157 Cho f ( x ) liên tục [ a; b] f ( x ) > 0∀ x ∈ ( a, b) 21 Chứng minh b a b+a −c (b − a) f (c) + f ( x )dx f (c) , ∀c ∈ ( a, b) Câu 158 Cho Tn ( x ) đa thức Chebyshev bậc n(n ≥ 2) Chứng mỉnh √ π dx < Tn3 ( x ) √ −1 − x2 x Câu 159 Cho hàm f ( x ) f ( x ) liên tục [ a; b] thỏa mãn f ( a) = f (b) = f ( x ) > 0∀ x ∈ ( a, b) Cho M = max f ( x ) x ∈[ a,b] • Chứng minh ∃c1 , c2 ∈ ( a, b) với c1 < c2 cho f (c1 ) − f (c2 ) ≥ 4M b−a • Chứng minh b a | f ( x )| dx f (x) b−a Câu 160 Cho dãy hàm f , f , f n , liên tục [ a; b] cho b a f n2 ( x )dx = 1, ∀n = 1, k Chứng minh tồn p1 , p2 , pk thỏa mãn ∑ p2i = cho i =1 k max ∑ pi f i ( x ) x ∈[ a,b] i =1 > 100 Câu 161 Cho hàm f ( x ) liên tục đồng biến R Chứng mỉnh 2a f b − c2 c+d c− a 2a f a2 + b − c2 ; ∀ a > 0, ∀b, c ∈ R f x2 − 2cx + b dx Câu 162 Cho a > hàm số f ( x ) liên tục [ a, +∞) thỏa mãn t f ( x )dx a t a x2 dx, ∀t a xdx, ∀b a Chứng mỉnh b a b f ( x )dx a Câu 163 Cho f hàm số liên tục R Giả sử f ( x )dx = F ( x ) + c 22 Chứng minh √ F ( a + b) − f ( a) √ a+b √ a+b a F ( a + b) − F ( a) √ ; ∀ a, b > a f x2 dx Câu 164 Cho an = + 1 + + + , n = 1, 2, 2 n n un ( x ) = ∑ coskx k =1 Chứng minh π x2 i an = − 2x un ( x )dx 2π π2 ii lim an = n→∞ π2 π (2n + 1) x iii − an = dx Trong f ( x ) sin 2  x2   x −    2π i f x ∈ (0; π ] x f (x) = sin      if x=0 Câu 165 Cho g liên tục, không tăng [0; 1] thỏa mãn ≤ g( x ) ≤ Chứng minh 1 g x a+b dx 1 g x a dx g x b dx; ∀ a, b ∈ R; ab = 0, a + b = Câu 166 Cho m, k ∈ N∗ P ( x ) = a x m +1 + a x m + + a m x ( a = ) Lập dãy số {un }∞ n=1 với nk un = n+i ∑P i =0 ∀n ∈ N Tìm giới hạn lim un n→∞ Câu 167 Cho hàm số f ( x ) liên tục tăng thực đoạn [0; 1], g( x ) hàm ngược f ( x ) Cho f (0) = 0, f (1) = Chứng minh ∑ k =1 f k 10 +g k 10 < 9.9 Câu 168 Cho hàm số f ( x ) liên tục R thỏa mãn điều kiện b f ( a) + f (b) a f ( x )dx, ∀ a, b ∈ R 23 Chứng minh f ( x ) ≡ 0, ∀ x ∈ R Câu 169 Cho hàm số f liên tục [0; ∞) thỏa mãn x f (x) ≥ [ f (t)]2 dt, ∀x ≥ Chứng minh f ( x ) = với x ∈ [0, ∞) Câu 170 Cho hàm f : [1, 2017] → R khả vi cấp hai thỏa mãn g( x ) = x f ( x ) hàm đơn điệu tăng Chứng minh f √ 2017 ln 2017 2017 f (t) dt t Câu 171 Cho hàm f ( x ) khả vi liên tục [0; 1] Chứng minh f ≤ | f (t)| + | f ( x )| ≤ f (t) dt | f (t)| + f (t) dt, ∀ x ∈ [0, 1] Câu 172 Cho hàm f : [−1, 1] → R liên tục Chứng minh −1 [ f ( x )] dx 2 −1 x f ( x )dx + 2 −1 x f ( x )dx Câu 173 Cho hàm số f : [0; 1] → R khả vi liên tục miền xác định Đặt M = max f ( x ) , m = f ( x ) Chứng minh x ∈[0;1] x ∈[0;1] 2 [ f ( x )] dx − f ( x )dx ( M − m )2 Câu 173 Cho hàm f hàm số khả vi [0; 1] thỏa mãn f (0) = f (π ) = Chứng minh π π f ( x )2 dx ≤ f ( x )2 dx Câu 174 Cho hàm f : [0, 1] → R khả vi liên tục, biết max | f ( x )| = M < ∞ Chứng t∈[0,1] minh với x ∈ [0, 1] ta có f (x) − số f (t)dt ≤ (2x − 1)2 + M tốt (khơng thể thay số nhỏ hơn) Câu 175 Cho f ( x ) hàm liên tục [0; 2], có đạo hàm (0; 2) thỏa mãn f (0) = f (2) = 1, | f ( x )| 1, ∀ x ∈ [0, 2] Chứng minh f ( x )dx > 24 Câu 176 Cho f : [1, 13] → R hàm lồi khả tích Chứng minh 13 f ( x )dx + 11 f ( x )dx ≥ f ( x )dx Câu 177 Cho hàm f : [0, 1] → R liên tục thỏa mãn điều kiện [ f ( x )]3 dx = Chứng minh [ f ( x )] dx 27 4 f ( x )dx Câu 178 Gọi M tập hợp hàm số liên tục f : [0; 1] → R thỏa mãn điều kiện sau b • a f ( x )dx = b−a f ( a) + f a+b + f (b) với số thực a; b thỏa mãn 0≤a C max | f ( x )| [0,1] Câu 179 Cho hàm số f ( x ) khả vi liên tục cấp R Giả sử f (1) = f ( x )dx = Chứng minh với α ∈ (0, 1) ta có max f ( x ) 40 x α 10 f ( x )dx Câu 180 Cho f : [0; 1] → R cho f ( x ) > với x ∈ [0; 1] Chứng minh f (t)dt > f t2 dt − f (0) Câu 181 Cho f ( x ) hàm số liên tục xác định đoạn [0, 1] thỏa mãn ≤ f ( x ) ≤ 1, ∀ x ∈ [0; 1], f (0) = f (1) = 25 Cho x c= f ( x )dx, F ( x ) = f (t)dt Chứng  minh  F ( x ) ≤ x ≤ x ≤ c a  F ( x ) ≤ c c ≤ x ≤ c2 Câu 182 Chứng minh hàm số f khả vi liên tục [0; 2] thỏa mãn điều kiện b F ( x )dx < c − f (0) = 1, f (2) = 3; f ( x ) ≤ 2, ∀ x ∈ [0; 2] f ( x )dx > Câu 183 Cho hàm số f ∈ C2 ([0, 1]), f (0) = f (1) = f (0) = 2014 Tìm giá trị nhỏ f ( x ) dx Câu 184 Cho hàm số liên tục f : [0; 1] → [0; +∞) thỏa mãn thỏa mãn f ( x ) + f (1 − x ) = 1, x ∈ [0; 1] Chứng minh < x f ( x )dx < 8 Có thể thay số lớn số nhỏ để kết luận hay 8 khơng? Câu 185 Chứng minh dx √ 0∀ x ∈ [ a, b] n b f ( x )dx < ∑ ( x i − x i −1 ) i =1 f ( x i ) + f ( x i −1 ) Câu 190 Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [1; 4] thỏa mãn f (1) = −1, f (4) = −8 đồng thời f (x) √ √ √ x3 − f ( x ) = x3 − x − 3x, ∀ x ∈ [1; 4] Tính giá trị tích phân f ( x ) dx Câu 191 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [1; 2] , đồng biến [1; 2] , thỏa mãn 2 f (1) = 0, f ( x ) dx = 2, f ( x ) f ( x ) dx = 1 Tích giá trị tích phân f ( x ) dx ? Câu 192 Cho hàm f : [0, 1] → R liên tục khả tích đồng thời thỏa mãn f ( x )dx = π Chứng minh với x ∈ [0; 1] ta có 1 < f ( x0 ) < + x0 2x0 27 Câu 193 Với hàm liên tục f : [0, 1] → [0, ∞) có đạo hàm giảm thỏa mãn f (0) = 0, f (1) > Chứng minh f (1) f (1) dx f (x) + Câu 194 Cho hàm số f : [ a, b] → R hàm lồi liên tục Chứng minh 3b+ a b a f ( x )dx 3a+b a+b (b − a) f f ( x )dx Câu 195 Cho f ( x ) hàm tích phân xác định [ a; b] φ ( x ) hàm lồi liên tục xác định [m; M] m = inf f ( x ) , M = sup f ( x ) x ∈[ a;b] x ∈[ a;b] Khi ta có bất đẳng thức sau b b−a φ b−a f ( x ) dx a b a φ ( f ( x )) dx Câu 196 Cho hàm f : [0, 1] → (0, ∞) hàm không tăng Chứng minh 1 x f ( x )dx 0 1 x f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx Câu 197 Cho hàm f : [0, 1] → R có đạo hàm liên tục thỏa mãn 1 f ( x )dx = x f ( x )dx = Chứng minh f ( x ) dx 128 3π Câu 198 Cho hàm số f : [0, 1] → R có đạo hàm tới cấp liên tục thỏa mãn 10 x3 f ( x )dx + Câu 199 Cho k số nguyên dương k hàm tới thứ k Giả sử f (k) ( x ) x f ( x )dx 15 x2 f ( x )dx hàm số f : [0, 1] → R liên tục có đạo với x ∈ [0, 1] đồng thời f (i) (0) = với i ∈ {0, 1, , k − 2} Chứng minh x k−1 f (1 − x )dx (k − 1)!k! (2k − 1)! 28 f ( x )dx Câu 200 Cho hàm số f : [0; 1] → R có đạo hàm cấp liên tục [0; 1] thỏa mãn f ( x )dx = Chứng minh 4860 f ( x )dx 11 f ( x ) dx n Câu 201 Cho số nguyên dương n Hn = 1 dx · x+1 1 Chứng minh k k =1 ∑ x+1 dx · · · x2 + x + 1 x n −2 + · · · + x + dx ≥ Hn x n −1 + · · · + x + Câu 202 Cho hàm f có đạo hàm tới cấp n liên tục [0; 1], biết f f (i ) 2 = = với i số chẵn nhỏ n Chứng minh ≤ f ( x )dx 1 (2n + 1)4n (n!)2 f (n) ( x ) dx Câu 203 Cho hàm f có giá trị thực [0, 1] có đạo hàm đạo hàm cấp liên tục = [0; 1] Chứng minh f f ( x ) dx ≥ 320 2 f ( x )dx Câu 204 Cho hàm f liên tục không âm [0; 1] Chứng minh f ( x )dx x2 f ( x )dx x f ( x )dx Câu 205 Cho hàm f : [0; 1] → R liên tục có đạo hàm tới cấp Gọi n số nguyên lớn Biết n −1 ∑ k n f k =1 =− f (0) + f (1) Chứng mỉnh f ( x )dx ≤ 5!n4 Câu 206 Gọi n số tự nhiên hàm f : [0; 1] → R thỏa mãn f ( x )2n+1 dx = 29 f ( x ) dx Chứng minh (2n + 1)2n+1 4n 1 f ( x )dx 2n ( f ( x ))4n dx 0 (2n) Câu 207 Cho f hàm lõm, không âm liên tục [0; 1] thỏa mãn f (0) = Chứng minh x2 f ( x )dx + 1 12 f ( x )dx Câu 208 Cho f ( x ) g( x ) hàm liên tục [0, 1] thỏa mãn f ( x ) g ( x ) dx = 0 Chứng minh f ( x ) dx Và f ( x )2 dx g ( x ) dx + 0 g ( x ) dx g2 ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx 1 g2 ( x ) dx g ( x ) dx Câu 209 Cho f : [1; 1] → R có đạo hàm liên tục tới 2n + 2, biết f (0) = f (0) = · · · = f (2n+2) (0) = Chứng minh (4n + 5)((2n + 2)!)2 2 −1 f ( x )dx −1 f (2n+2) ( x ) dx Câu 210 Chứng minh hàm số f (x) = a0 + cos x + a2 cos 2x + · · · + a2014 cos 2014x với a0 , a2 , · · · , a2014 ∈ R, | a0 | < nhận giá trị dương nhận giá trị âm khoảng [0, 2π ) Câu 211 Cho hàm số f ( x ) liên tục R Chứng minh hàm số x g( x ) = f ( x ) f (t)dt hàm giảm f ( x ) = với x ∈ R π Câu 212 Cho hàm liên tục f : 0; → R thoả mãn điều kiện π f ( x )dx = 30 Chứng minh tồn x0 ∈ 0, π cho x0 − x03 f ( x0 ) x0 Câu 213 Cho f ( x ) hàm khả vi liên tục đoạn [0; 1] cho f ( x ) + (1 − 2x ) f ( x ) dx = Chứng minh tồn c ∈ (0, 1) cho f (c) = 2015 Câu 214 Cho hàm số f liên tục [2013; 2015] 2013 f ( x )dx = Chứng minh tồn số c ∈ (2013; 2015) cho c 2014 2013 f ( x )dx = c f (c) Câu 215 Cho hàm f : [0, 1] → R liên tục cho 1 f ( x )dx = x f ( x )dx Chứng minh tồn c ∈ (0, 1) cho c f (c) = 2014 f ( x )dx Câu 216 Cho hàm số f liên tục đoạn [ a; b] khả vi ( a; b) với a > b a f ( x )dx = Chứng minh tồn số c ∈ ( a; b) cho c 2014c a f ( x )dx − 2013c f (c) + 2012 c a f ( x )dx = Câu 217 Cho hàm số ϕ( x ) có đạo hàm cấp đoạn [1; 2], có đạo hàm cấp hai khoảng (1; 2) ϕ( x )dx = 2ϕ(2) − ϕ(1) − 1, ϕ (1) = Chứng minh phương trình xϕ ( x ) + ϕ ( x ) = ln có nghiệm khoảng (1; 2) Câu 218 Chứng minh ln tồn số thực a ∈ (0; 1) cho a a2016 t2015 dt = (1 + t) (1 + t2 ) (1 + t2016 ) (1 + a) (1 + a2 ) (1 + a2016 ) Câu 219 Giả sử f hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn điều kiện f (0) = f (1) = Chứng minh tồn điểm x0 ∈ [0, 1] cho f ( x0 ) ≥ 31 | f ( x )|dx Câu 220 Tìm tất hàm liên tục f : R → R thỏa mãn a2 + ab + b2 b a b f ( x )dx = a x2 f ( x )dx với a, b ∈ R Câu 221 Xét đa thức Lagrange Pn ( x ) = dn 2n n! dx n x2 − n , n ∈ R∗ Chứng minh rằng, f ( x ) đa thức bậc m(m < n) −1 f ( x ) Pn ( x )dx = Câu 222 Giả sử p( x ) đa thức với hệ số thực có bậc lớn Chứng minh có số hữu hạn giá trị α cho α α p( x ) sin xdx = p( x ) cos xdx = 0 Câu 223 Cho f ( x ) khả vi liên tục [1; +∞), f ( x ) > 0, f ( x ) > 0, ∀ x ≥ Chứng minh hai hàm x F(x) = dt , G(x) = f (t) + f (t) x dt f (t) có giới hạn hữu hạn x → +∞ hàm số lại có giới hạn hữu hạn x → +∞ Câu 224 So sánh tích phân sau 1 sin x √ dx, − x2 cos x √ dx − x2 Câu 225 a Chứng minh với số nguyên dương n tồn đa thức Pn ( x ) cho x4n (1 − x )4n = + x2 Pn ( x ) + (−1)n 4n b Đặt an = (−1)n−1 4n −1 Pn ( x )dx Chứng minh |π − an | < 45n−1 , ∀ n ∈ N∗ Câu 226 Cho f ( x ) liên tục [ a; b] cho với [α; β] ⊂ [ a; b] ta có β f ( x )dx M | β − α|1+δ , M > 0; δ > α 32 Chứng minh f ( x ) ≡ [ a; b] Câu 227 Giả sử f ( x ) liên tục cho b a x n f ( x )dx = 0, n = 0, N đa thức Pn ( x ) bậc n N Chứng minh [ a; b], f ( x ) triệt tiêu N + lần Câu 228 Cho f ( x ) liên tục [0; 1] cho với hàm bậc thang không giảm g( x ) [0; 1] ta có f ( x ) g( x )dx = Chứng minh f ( x ) ≡ Câu 229 Cho A > 0; a ≥ L a,A họ hàm α( x ) không âm; liên tục khúc [0; π ], biết π α( x )dx = a; ≤ α( x ) ≤ A, ∀ x ∈ [0; π ] Tìm giá trị π m = α( x ) sin xdx α∈ L a,A Câu 230 Chứng minh đa thức f ( x ) bậc 1999 ta ln có −1 | f (0)| 30002000 | f ( x )|dx Câu 231 Cho hàm f ( x ) liên tục [0; 1] 1 x f ( x )dx = f ( x )dx Chứng minh tồn số c ∈ (0, 1) cho cf c 2017 = c2 f ( x )dx Câu 232 Cho f ( x ) hàm dương, liên tục, đơn điệu tăng [ a; b], gọi g( x ) hàm ngược f ( x ) Hãy chứng minh f (b) b a f ( x )dx + f ( a) g( x )dx = b f (b) − a f ( a) Câu 233 Cho hàm số f liên tục [0; ∞) thỏa mãn điều kiện f (x) ≥ x [ f (t)]2 dt, ∀x ≥ Chứng minh f ( x ) = với x ∈ [0; ∞) Câu 234 Cho f hàm liên tục [0; 1] 1 f ( x )dx = 33 x f ( x )dx = Chứng minh f ( x ) có hai khơng điểm phân biệt khoảng (0; 1) Câu 235 Tìm tất hàm f : [1, 8] → R liên tục thỏa mãn f t3 2 dt + f t3 dt = f (t)dt − t2 − dt Câu 236 Cho hàm f khả vi tới cấp R f (4) liên tục [0; 1] Giả sử f ( x )dx + f =8 f ( x )dx Chứng minh tồn c ∈ (0, 1) cho f (4) (c) = b Câu 237 Cho f , g : [ a, b] → R hàm khả vi thỏa mãn a f ( x )dx = Chứng minh tồn c ∈ ( a, b) cho b f (c) c b f ( x )dx + g (c) g( x )dx = f (c) g(c) c Câu 238 Cho < a < b hàm f : [ a, b] → R liên tục Chứng minh tồn c ∈ ( a, b) cho √ f (c) = √ c √ √ √ a+ c b+ c + a−c b−c Câu 239 Cho hàm f : [ a, b] → R liên tục thỏa mãn Chứng minh tồn α ∈ f 0, b−a c a f ( x )dx b a f ( x )dx = cho a+b −α + f a+b +α =0 Câu 240 Tìm tất hàm số liên tục f : R → R cho f ( x ) = 2018 + x2 x 1+ f (s)ds + s2 , ∀x ∈ R Câu 241 Cho hàm số f : [0; 1] → [0; 1] liên tục, f ( x ) không đồng thỏa mãn 1 f ( x )dx = f ( x )dx Chứng minh f ( x ) ≡ Câu 242 Cho f ( x ), , f n ( x ) hàm liên tục, không âm [0; 1] với ak = f k ( x )dx, k = 1, n 34 Chứng minh tồn x ∈ [0; 1] cho f ( x ) f n ( x ) ≤ a1 an π π cho tồn c ∈ 0; Câu 243 Giả sử f ( x ) hàm liên tục 0; 2 f ( x ) > 0, ∀ x ∈ (0; c); f ( x ) < 0, ∀ x ∈ c; để π Chứng minh π 2 f ( x ) cos xdx π + >0 f ( x ) sin xdx b Câu 244 Cho hàm f ( x ) không âm, liên tục khúc [ a; b] a f ( x )dx = Chứng minh f ( x ) = [ a; b] trừ số hữu hạn điểm Câu 245 Cho a, b hai số dương cho a + b < 1, f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm không giảm x ax f (t)dt = Chứng minh f ( x ) = 0, ∀ x bx f (t)dt + f (t)dt, ∀ x (∗) Câu 246 Cho hàm f : R → R hàm liên tục với x ∈ R ta đặt x g( x ) = f ( x ) f (t)dt Chứng minh g( x ) không tăng f ( x ) ≡ π π Câu 247 Cho hàm f : − , → (−1, 1) liên tục không âm 2 π π Chứng minh x0 ∈ − , 2 ( f ( x0 ))2 + f ( x0 ) Hic tớ dừng đây, tớ mỏi tay + mỏi mắt rồi!!!! Thôi xin phép cậu, tớ ngủ :( gần 1h sáng :( hẹn cậu lô tập Chúc cậu làm hết hehe!!!! Một đống với phần giới hạn :| 12h53p Thạch Hòa - Thạch Thất - Hà Nội 35 ... tích phân Câu 51 Chứng minh bất đẳng thức tích phân In = Câu 52 Cho tích phân In = π √ x n − xdx < √ ( n + 1) n + sinn xdx Chứng minh π < In < 2( n + 1) π 2n Câu 53 Chứng minh bất đẳng thức tích. .. 22 Chứng minh bất đẳng thức tích phân π 0< √ π2 x tan xdx < 32 Câu 23 Chứng minh bất đẳng thức tích phân √ π 3 < sin x dx < x π Câu 24 Chứng minh bất đẳng thức tích phân sau √ π 3 < 12 cot x dx... bất đẳng thức tích phân π e π Câu 41 Cho In = sin x π dx + π etan x dx > e − xe x cos nxdx Chứng minh bất đẳng thức tích phân π2 e −1 | In | Câu 42 Chứng minh bất đẳng thức tích phân π x m e2x