Ứng dụng phép suy luận quy nạp trong dạy học dạng toán có yếu tố chuyển động ở trường phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ******** ĐẶNG VIỆT HÀ ỨNG DỤNG PHÉP SUY LUẬN QUY NẠP TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Phương pháp dạy học Toán Hà Nội - 2018 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận, em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy tổ phương pháp dạy học bạn sinh viên khoa Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô tổ phương pháp dạy học đặc biệt thầy giáo Nguyễn Văn Hà - người định hướng, chọn đề tài tận tình bảo, giúp đỡ em hồn thiện khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn, khóa luận khơng tránh khỏi có hạn chế thiếu sót định Em kính mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Đặng Việt Hà LỜI CAM ĐOAN Tên em là: Đặng Việt Hà Sinh viên lớp: K40E - Sư phạm Toán Trường: ĐHSP Hà Nội Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu riêng em đạo giáo viên hướng dẫn Và khơng trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Đặng Việt Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lời nói đầu Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giả thuyết khoa học Cấu trúc khóa luận CHƯƠNG 1: LÝ LUẬN CHUNG VỀ GIẢI TOÁN 1.1 Bài toán lời giải toán 1.2 Ý nghĩa việc giải toán 1.3 Phân loại toán 1.4 Phương pháp tìm lời giải tốn: 1.5 Phép suy luận Toán học 10 1.5.1 Phép suy luận toán học 10 1.5.2 Phép suy luận quy nạp (Suy luận có lí) 10 1.6 Ứng dụng phép suy luận quy nạp 14 1.6.1 Ứng dụng suy luận quy nạp để tiếp cận lời giải toán 14 1.6.2 Ứng dụng suy luận quy nạp dự đoán kết toán 17 1.6.3 Ứng dụng suy luận quy nạp việc khai thác toán 21 TIỂU KẾT CHƯƠNG 1: 23 CHƯƠNG 2:ỨNG DỤNG PHÉP SUY LUẬN QUY NẠP TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 24 2.1 Ứng dụng suy luận quy nạp dạy học dạng toán chuyển động tìm điểm cố định 24 2.1.1 Phương pháp dự đoán điểm cố định toán chuyển động 24 2.1.2 Luyện tập tốn chuyển động tìm điểm cố định 27 2.2 Ứng dụng suy luận quy nạp dạy học dạng toán tìm tập hợp trường phổ thơng 41 2.2.1 Một số phương pháp dự đoán tập hợp cần tìm chứng minh tập hợp có tính chất 41 2.2.2 Luyện tập tốn tìm quỹ tích 46 TIỂU KẾT CHƯƠNG 63 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 MỞ ĐẦU Lời nói đầu Tốn học mơn khoa học suy diễn, trình bày chặt chẽ phương pháp tiên đề Trong khái niệm định nghĩa mệnh đề biết trước Nhưng toán học, khoa học khác cần có thí nghiệm nghiên cứu để dự đoán kết quả, dự đoán quy luật trước chứng minh chúng suy luận logic Phép suy luận quy nạp từ riêng đến chung, từ tổng quát đến tổng quát Phép suy luận quy nạp sở sáng tạo Toán học; đồng thời phép suy luận quy nạp có ý nghĩa to lớn việc dạy học tốn trường phổ thơng Đối với dạng tốn hình học chứa yếu tố chuyển động, tìm hình có tính chất qua điểm cố định đó,… khó khăn chung - nhiều khó khăn chủ yếu dự đốn hình cần tìm, dự đốn kết cần chứng minh Chính vậy, tơi lựa chọn đề tài “Ứng dụng phép suy luận quy nạp dạy học dạng tốn có yếu tố chuyển động trường phổ thơng” Mục đích nghiên cứu Cung cấp cho học sinh cấp THCS nói chung, học sinh lớp nói riêng cách giải tốn chứa yếu tố chuyển động đặc biệt hình học, luyện tập phương pháp giải theo chuyên đề toán chứng minh quỹ tích, tìm điểm cố định hình học Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: + Nghiên cứu lý luận chung giải toán + Phép suy luận chứng minh Toán học - Ứng dụng suy luận quy nạp giải tốn nói chung dạy học toán chuyển động trường phổ thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu Dạng tốn chuyển động chương trình mơn tốn trường phổ thông Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận tốn, cách phân tích tiếp cận liệu toán lời giải toán phương pháp chung giải toán Nghiên cứu nội dung chương trình giảng dạy thuận lợi, khó khăn học sinh dạng tốn hình học chứa yếu tố chuyển động trường phổ thông Tổng kết kinh nghiệm dạy học giải dạng tốn có yếu tố chuyển động hình học trường phổ thơng Từ đề xuất phương pháp dạy học dạng toán chứa yếu tố chuyển động hình học trường phổ thơng cho hiệu quả: Dạy học dự đốn quỹ tích, điểm cố định cần tìm; dạy chứng minh thuận đảo tốn tìm tập hợp trường THCS Giả thuyết khoa học Dựa vào phép suy luận quy nạp giúp học sinh củng cố nâng cao kỹ giải tốn chuyển động đặc biệt hình học trường phổ thơng, qua phát triển tư hình học lập luận suy diễn trình chứng minh tốn Cấu trúc khóa luận a Mở đầu b Chương 1: Lý luận chung giải toán c Chương 2: Ứng dụng phép suy luận quy nạp dạy học CHƯƠNG LÝ LUẬN CHUNG VỀ GIẢI TỐN 1.1 Bài tốn lời giải toán a Bài toán: Theo G.Polya: toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trơng thấy rõ ràng, đạt Trên sở định nghĩa khái quát G.Polya cho ta thấy rằng: Bài tốn đòi hỏi phải đạt tới mục đích Như tốn đồng với số quan niệm khác toán: đề toán, tập… Cũng định nghĩa toán ta thấy có hai yếu tố hợp thành tốn là: Sự đòi hỏi tốn mục đích tốn b Lời giải toán Lời giải toán hiểu tập thứ tự thao tác cần thực để đạt tới mục đích đề Như ta thống lời giải, giải, cách giải, đáp án tốn Một tốn có: - Một lời giải - Khơng có lời giải - Nhiều lời giải 1.2 Ý nghĩa việc giải toán a Kiến thức Trong thực tế toán chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận toán học Khi giải tốn u cầu ta phải phân tích kiện toán, huy động kiến thức cho đề kiến thức tích lũy từ trước khác có liên quan đến tốn, tổng hợp lại để đề kiến thức Và vậy, tiếp tục trình trên, kiến thức tìm lại kiến thức biết trước phân tích, tổng hợp lại để đề kiến thức mới… Cuối đến lời giải toán Như giải tốn khơng kiến thức theo u cầu mà hệ thống kiến thức liên quan đến tốn ơn tập, củng cố nâng cao thêm b Kỹ Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức môn khoa học thông hiểu, ghi nhớ vận dụng kiến thức môn khoa học vào việc giải nhiệm vụ đặt ra, cụ thể toán phát sinh trình phát triển khoa học Trong việc giảng dạy mơn tốn tốn lại tham gia tình q trình dạy học mơn tốn Trong giảng dạy khái niệm: toán học từ đến nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp: Bài tốn sử dụng để tổ chức gây tình để dẫn dắt học sinh đến định nghĩa khái niệm; Bài toán sử dụng để nêu làm ví dụ phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài toán sử dụng để luyện tập củng cố vận dụng khái niệm Trong giảng dạy định lí tốn học: Bài tốn sử dụng để tổ chức gây tình huống, đưa nhiệm vụ dẫn dắt học sinh phát nội dung định lí tốn học; Bài tốn sử dụng học sinh tập áp dụng định lí; Đặc biệt việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lí việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm lời giải tốn có nhiều ứng dụng phần hay chương mơn học Trong luyện tập toán học: Bài toán phương tiện chủ yếu tiết luyện tập tốn học Trong người giáo viên phải xây dựng hệ thống tốn có liên quan chặt chẽ với nhằm mục đích giúp học sinh củng cố kiến thức; hình thành phát triển số kĩ đến nâng cao c Tư Đặc điểm bật toán học mơn tốn trường phổ thơng mơn khoa học suy diễn, xây dựng phương pháp tiên đề Do nên lời giải toán hệ thống hữu hạn thao tác, bước làm có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ ràng Vì giải tốn, cho ta động lực, tác động trực tiếp đến việc rèn luyện cho ta lực sử dụng phép suy luận hợp logic: Suy luận có đúng, suy luận theo quy tắc suy diễn… Chúng ta biết khơng thể có phương pháp chung để giải toán Mỗi tốn có liệu khác nhau, muốn tìm lời giải toán phải biết phân tích, tổng hợp, phải biết cách dự đốn hướng đến kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hóa… Như qua việc giải tốn lực tư sáng tạo rèn luyện phát triển d Tư tưởng Đặc điểm tính cách người là: Mọi hoạt động có mục đích định rõ ràng Khi giải tốn ta ln có định hướng mục đích rõ rệt, việc giải tốn góp phần tích cực vào việc rèn luyện, trau dồi lực hoạt động người Để giải toán, toán nâng cao đòi hỏi tư logic phức tạp, vận dụng nhiều kiến thức, người giải phải vượt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì, nhiều người ta phải có động lực tích tự giác cao độ để tìm lời giải tốn Từ (1) (2): IHC + IDC = 180 CD tứ giác nội tiếp b, Xét ∆ ABI ∆ DBA có B chung, BAI = ADB (Vì BAI = ACB phụ với ABC , ADB = ACB chắn AB ) Suy ∆ ABI đồng dạng ∆ DBA  AB BD   BI BA D (đpcm) c, BAI = ADI (CMT) Suy AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ADI với D thuộc AC với A tiếp điểm (tính chất giác tạo tiếp tuyến dây cung) Có AB ⊥ AC C ln qua tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AID Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AID suy M nằm AC mà AC cố định thuộc đường thẳng cố định AC (đpcm) Bài 5: (thpt chuyên Biên Hòa Hà Nam 2013 – 2014) Cho đường tròn (O) đường thẳng d cắt (O) hai điểm C, D Từ điểm M tùy ý d kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B tiếp điểm) Gọi I trung điểm CD a, Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp b, Gỉa sử MO AB cắt H Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác COD c, Chứng minh AB qua điểm cố định M thay đổi d d, Chứng minh: MD = 2HA (Hình 2.24) MC HC Giải: 52 K A M C J I D d H O Hình 2.24 B a, Vì I trung điểm CD nên OI ⊥ CD MA, MB tiếp tuyến Suy ra: MAO = MBO = MIO = 90 Do đó: điểm M, A, I, O, B nằm đường tròn đường kính MO hay tứ giác MAIB nội tiếp b, MAC = MDA ∆MAC đồng dạng ∆MDA (g.g)  MA MC  hay MD MA = MC.MD (1)  OMA = OMB ; MA = MB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Suy ∆MAB cân M có MO tia phân giác Do MO đường cao (t/c tam giác cân) MO⊥AH Áp dụng hệ thức cạnh góc cho tam giác vng MAO, đường cao AH, ta có: = MH.MO (2) Từ (1) (2), suy MO.MH = MC.MD  ∆ MOD ~ ∆ MCH (c.g.c)  MCH = MOD  53 MO MD   MC MH Nên tứ giác ODCH nội tiếp (góc ngồi góc đỉnh đối diện) hay H nằm đường tròn ngoại tiếp ∆ OCD c, Gọi K, J giao điểm AB với OI CD Ta có: ∆OIM ~ ∆ OHK (g.g)  Mà OM.OH = không đổi CD cố định OI ⊥ CD nên OI không = đổi Mà OI.OK = OI OM hay OI.OK = OM.OH  OH OK nên OK không đổi K cố định Vậy M di động nên đường thằng d AB qua điểm K cố định MD MA2   (3) MC MC d, MC.MD = Mà M A MO MO MO MC = = (∆MAH ~ ∆ MOA) = (∆MOD ~ ∆MCH) HA OA OD OD HC Suy ra: MA HA = HA Từ (3) (4): MC HC  MA MC = hay HC MA MC = HA (4) 2 HC 2 MD = HA MC HC Bài 6: Cho cung tròn AmB có tâm O cố định điểm M di động cung Kéo dài dây AM phía M lấy N cho MN = BN Tìm tập hợp điểm N (Hình 2.25) Hướng dẫn: D t C E O - Dự đốn: A M B N Hình 2.25 Lấy điểm C điểm cung lớn A»B Khi M ≡ B: Ta thấy N ≡ B, điểm B thuộc tập hợp cần tìm 54 Khi M ≡ A: Ta thấy N ≡ E, với E thuộc tiếp tuyến At cho AE = AB Vậy điểm E thuộc tập hợp cần tìm Khi M ≡ C: Ta thấy N ≡ D, với D thuộc AC kéo dài cho CD = AC Vậy điểm D thuộc tập hợp cần tìm Dễ thấy B, D, E, N khơng thẳng hàng Do dự đốn tập hợp cần tìm cung tròn qua điểm - Mệnh đề thuận: Lấy điểm M cung lớn A»B Kéo dài AM lấy N cho MN = BN Chứng minh điểm N nằm đường tròn đường kính AD qua A, B Ta có ∆CBD cân C nên suy A·CB 2A·D (1) D·BA 90o = B = Dễ thấy ∆MBN cân M nên suy A·MB 2A·N (2) = B Từ (1) (2) suy A·DB A·NB Vậy điểm A, B, N, D nằm = đường tròn Mà theo có D·BA 90o , nên suy D·NA 90o = = Vậy tập hợp điểm N nằm đường tròn đường kính AD, qua A, B - Mệnh đề đảo: Lấy điểm N cung tròn EDB có đường kính AD Nối AN cắt đường cho điểm M Chứng minh MN = BN (Tương tự chứng minh thuận) Do suy MN qua điểm cố định điểm nửa đường tròn đối xứng qua AB với nửa đường tròn cho Bài 7: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC Gọi E, F hình chiếu M AB AC; H, O, K trung điểm đoạn thẳng BC, EF, AM 55 a) Chứng minh ba điểm H, O, K thẳng hàng 56 b) Gọi Q hình chiếu A đường thẳng OM Chứng minh M chuyển động cạnh BC Q ln thuộc đường tròn cố định (Hình 2.26) A Giải: Q K N G E F Hình 2.26 B a) Có KH = KE = O H M C AM (tính chất trung tuyến tam giác vng) EKH = EAH = 2.30 = 60 (góc nội tiếp góc tâm, ∆ ABC tam giác đều)  ∆ EKH tam giác Tương tự ta có ∆ FKH tam giác  Tứ giác EHFK hình thoi  H, O, K thẳng hàng (dpcm) b) Kẻ AN // HK (N thuộc đường thẳng MO) Ta có xét ∆ ANM: K trung điểm AM (gt) AN // HK  AN = 2.OK (Tính chất đường trung bình)  AN = 2.OH Gọi G giao điểm OM AH nên ta có:  GA = 2.GH  G trọng tâm tam giác ABC nên G điểm cố định  Q thuộc đường tròn đường kính AG cố định 56 Bài 8: Cho ∆ ABC: AB < AC Hai điểm M, N chuyển động AB, AC cho BM = CN Tìm quỹ tích trung điểm MN (Hình 2.27) Giải: Dự đo n: Qũy tích trung điểm J MN M ≡ B : N ≡ C tức MN ≡ BC, J ≡ K : trung điểm BC M ≡ A: N ≡ D thuộc AC, AB = CD Suy MN ≡ AD J ≡ L trung điểm AD Ta thấy K, L thuộc tập cần tìm, J trung điểm MN P d2 R I A L D M N J Q B K d x d1 Dự đoán đoạn KL - Tính chất KL: Kéo dài CA lấy P cho: AP = DC = AB KL: đường trung bình ∆ BCD KL // BP Vì ∆ ABP cân A nên Ax // BP (Ax phân giác A ) 57 C Hình 2.27 KL // Ax Chứng minh thuậ n: ∆ ABC có BM = CN, JM = JN CMR: J  KL, KB = KC, LA = LD ∆ ABC có BM = CN, JM = JN, KB = KC CMR: JK // Ax, Ax phân giác A Kéo dài KJ cắt AC, AB L, R Dễ thấy : ∆ QKJ ~ ∆ ALR ( QKJ = ARL : hai góc so le AR // KQ; QJK = ALR : hai góc so le ngồi AC // JQ) ∆ QKJ cân Q (QJ = QK = BM) Suy ∆ ALR cân A Ax // RL ≡ KJ Chứng mi nh đ ả o: Lấy J thuộc KL Qua J dựng đường thẳng cắt AB, AC MN cho J trung điểm MN CMR: BM = CN Vì J  KL Kéo dài LK cắt AB R Suy KL // Ax: ∆ ARL cân A Gọi Q trung điểm CM Ta có: ∆ QKJ ~ ∆ ARL (các cạnh tương ứng song song) Mặt khác, ∆ RAL cân: ∆ KQJ cân Q ∆ MNC: QJ = NC ∆ MCB: KQ = NC = BM BM Bài 9: Cho đường tròn  O; R có dây cung AB cố định AB  R  Lấy M điểm di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn 58 Gọi H trực tâm tam giác MAB C, D giao điểm thứ hai đường thẳng AH, BH với đường tròn  O  Giả sử N giao điểm đường thẳng BC AD a) Tính số đo góc AOB MCD b) Chứng minh CD đường kính đường tròn  O  đoạn thẳng HN có độ dài khơng đổi c) Chứng minh đường thẳng HN qua điểm cố định (Hình 2.28) Giải: a) Ta có OA2  OB2  2R  AB2 Do tam giác OAB vng O Vậy AOB = 90 Gọi A’, B’ chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B  ABM / Vì AMB = 45 nên tam giác B BM vng cân B’, Do MCD = MBD = 45 M I C O A’ D B’ A H B K E Hình 2.28 N 59 b) Vì tứ giác A’MB’H nội tiếp nên BHC = AMB = 45  Dễ thấy ACB = AMB = 45  nên ∆ BHC vng cân B Vì HBC = 90 nên CD đường kính đường tròn (O) Ta thấy ∆BHC ∆BDN tam giác vuông cân nên BH = BC, BN = BD Do  BHN =  BCD (c.g.c)  HN  CD  2R Vậy HN  2R có độ dài khơng đổi c) Gọi I giao điểm đường thẳng HN CD tứ giác nội tiếp BHIC ta có BIH = BCH = 45 Tương tự: AIH = ADH = 45 Do AIB = 90 tức I thuộc đường tròn (K) đường kính AB Gọi E giao điểm đường thẳng HN với đường tròn (K) (với E khác I) Vì AIE = BIE = 45 nên E điểm cung AB đường tròn (K) Vì A, B cố định nên E điểm cố định Vậy HN qua điểm E cố định Bài 10: Cho góc vng xOy Một điểm A chạy cạnh Ox, điểm B chạy cạnh Oy cho độ dài đoạn thẳng AB đoạn l cho trước Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB (Hình 2.29) Giải: y Bo B’ B O I’ I A’ Io A 60 Ao x Hình 2.29 Phần thuận: Nối OI ∆ AOB vuông mà OI trung tuyến nên OI = AB = l (hằng số) Điểm O cố định, điểm I cách điểm O đoạn khơng đổi l nên nằm đường tròn tâm O bán kính l Giới hạn: Vì điểm A chạy Ox, điểm B chạy Oy đoạn thẳng AB di chuyển xOy nên ta phải giới hạn quỹ tích - Khi điểm A ≡ O điểm B đến vị trí Bo, điểm I đến vị trí , trung điểm đoạn OBo - Khi B ≡ O điểm A đến vị trí Ao điểm I đến Io trung điểm đoạn OAo - Vậy đoạn thẳng AB di chuyển góc xOy điểm I nằm cung tròn thuộc đường tròn tâm O bán kính l, tức cung phần tư đường tròn nằm góc xOy Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư Io Quay cung tròn tâm I’, bán kính l, cắt Ox A’ Oy B’ Ta có: ∆OI’A’ cân nên I'OA' = I'A'O Do OI'A' = 180° - I'OA' Tương tự : OI'B' = 180° - I'OB' OI'A' + OI'B' = 360° - 2.90° = 180° Suy ba điểm A’, I’, B’ thẳng hàng Ta lại có: I’A’= I’B’ = l 61 A’B’ = l I’ trung điểm A’B’ Kết luận: Qũy tích trung điểm I đoạn thẳng AB cung tròn tâm O, bán kính l (phần nằm xOy ) 62 thuộc đường Tiểu kết chương Ứng dụng phép suy luận quy nạp dự đoán điểm cố định tốn chuyển động hình học sau: + Xét hai vị trí đặc biệt phần tử chuyển động hình gốc, trường hợp tìm đường chứa điểm cố định cần tìm + Tìm giao điểm hai đường hai vị trí đặc biệt ta có điểm cố định Ứng dụng phép suy luận quy nạp dự đoán tập hợp cần tìm: + Dùng phương pháp thực nghiệm để tìm số phần tử thuộc tập hợp cần tìm (Tìm ba phần tử thuộc tập hợp cần tìm) + Dựa vào tính đối xứng hình gốc tìm phần tử khác tập hợp cần tìm; Kết hợp nhiều phương pháp dự đoán khác để có kết dự đốn nhanh chóng xác 63 KẾT LUẬN Đề tài đạt số kết sau: - Nghiên cứu lí luận: + Nghiên cứu lý luận chung giải toán + Phép suy luận chứng minh Toán học + Phép suy luận quy nạp giải tốn nói chung giải tốn chuyển động trường phổ thơng, đặc biệt hình học - Vận dụng: + Ứng dụng suy luận quy nạp dạy học dạng toán chứng minh qua điểm cố định, tìm quỹ tích trường phổ thông + Ứng dụng suy luận quy nạp dạy học dạng tốn tìm tập hợp, tìm điểm cố định trường phổ thông… Hạn chế đề tài : - Chưa có điều kiện tổ chức thực nghiệm, dạy học lớp đối chứng lớp thực nghiệm, kiểm tra đánh giá kết - Tiếp tục tổ chức thực nghiệm mở rộng sang vấn đề khác 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Chúng, Rèn luyện khả sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục Hà Nội, năm 1962 [2] Nguyễn Văn Hà, Phương pháp toán sơ cấp, NXB Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, năm 1999 [3] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB ĐHSP Hà Nội, năm 2006 [4] G.Polya, Toán học suy luận có lý, Bản dịch NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2010 [5] G.Polya, Giải toán nào, Bản dịch NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2010 [6] Trần Phương, Hệ thức lượng giác, NXB Hà Nội, năm 2005 [7] Tuyển tập 30 năm Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Hà Nội, năm 1998 [8] Một số sách bồi dưỡng mơn tốn trường Tiểu học, Trung học sở Trung học phổ thông 65 ... giải tốn; việc khai thác mở rộng kết toán CHƯƠNG ỨNG DỤNG PHÉP SUY LUẬN QUY NẠP TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 2.1 Ứng dụng suy luận quy nạp dạy học dạng toán chuyển động tìm điểm cố định 2.1.1... CHƯƠNG 1: 23 CHƯƠNG 2 :ỨNG DỤNG PHÉP SUY LUẬN QUY NẠP TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 24 2.1 Ứng dụng suy luận quy nạp dạy học dạng toán chuyển động tìm điểm cố định ... giải tốn: 1.5 Phép suy luận Toán học 10 1.5.1 Phép suy luận toán học 10 1.5.2 Phép suy luận quy nạp (Suy luận có lí) 10 1.6 Ứng dụng phép suy luận quy nạp