Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC 1. Khái niệm tứ giác nội tiếp 4 2. Định lý. 4 3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp. 4 Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 4 Phương pháp 2: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 4 Phương pháp 3: .Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc 4 Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. (tương tự phương pháp 1) 4 Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme 4 4. Ví dụ minh hoạ 4 5. Phân loại bài tập. 6 A. “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 (hai góc đối diện bù nhau ). 6 Nhận biết: 6 Thông hiểu 6 Vận dụng thấp 6 Vận dụng cao. 7 B. Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm 7 Nhận biết: 7 Thông hiểu: 8 Vận dụng thấp: 8 Vận dụng cao: 9 C. Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau”. 9 Nhận biết: 9 Thông hiểu: 9 Vận dụng thấp: 10 Vận dụng cao: 10 Tài liệu được sưu tầm, tổng hợp các nguôn CẢM ƠN ANH ĐÃ TẶNG EM TÀI LIỆU QUÝ HƯỚNG DẪN GIẢI 12
Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 MỤC LỤC Khái niệm tứ giác nội tiếp Định lý Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Phương pháp 2: Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc α Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện (tương tự phương pháp 1) .4 Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme 4 Ví dụ minh hoạ Phân loại tập A “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 180 (hai góc đối diện bù ) .6 Nhận biết: .6 Thông hiểu Vận dụng thấp .6 Vận dụng cao B Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm Nhận biết: .7 Thông hiểu: Vận dụng thấp: Vận dụng cao: C Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm lại hai góc nhau” Nhận biết: .9 Thông hiểu: Vận dụng thấp: 10 Vận dụng cao: 10 Tài liệu sưu tầm, tổng hợp nguôn! Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội Ủng hộ word: 0986 915 tiếp 960 CẢM ƠN "ANH" ĐÃ TẶNG EM TÀI LIỆU QUÝ! HƯỚNG DẪN GIẢI 12 A “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 12 Nhận biết: .12 Thông hiểu 12 Vận dụng thấp .13 Vận dụng cao .15 B Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm 16 Nhận biết: .16 Thông hiểu: 17 Vận dụng thấp: 18 Vận dụng cao: 20 C CM hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm lại hai góc nhau” .20 Nhận biết: .20 Thông hiểu: 21 Vận dụng thấp: 22 Vận dụng cao: 24 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Khái niệm tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 A OB * Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn C D * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Hình Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔A + C = 180 B + D = 180 Định lý * Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o * Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o tứ giác nội tiếp đường tròn Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp 1: Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Phương pháp 2: Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Phương pháp 3: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc α Phương pháp 4: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện (tương tự phương pháp 1) Phương pháp 5: Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme Thuận: Nếu tứ giác nội tiếp đường tròn tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện Đảo: Nếu tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng tích cặp cạnh đối diện tích hai đường chéo tứ giác nội tiếp đường tròn Ví dụ minh hoạ Bài 1: A Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp B C Giải: Cách 1: Phương pháp 2: Gọi O trung điểm BC Xét ∆BB’C có : BB'C = OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 90 B O C (GT) Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – Thanh Thuỳ - Phương Anh ⇒ OB’ = OB = OC = r (1) Xét ∆BC’C có BC'C = : (GT) 90 Tương tự ⇒ OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r) ⇒ Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn A Cách 2: Phương pháp 3: Ta có: BB’ ⊥ AC (GT) ⇒ CC’ ⊥ AB (GT) ⇒ B' C' BB'C = 90 BC'C = 90 ⇒ B’, C’ nhìn cạnh BC góc vng O B C ⇒ B’, C’ nằm đường tròn đường kính BC Hay tứ giác BC ' B 'C nội tiếp đường tròn đường kính BC Cách 3: (Phương pháp phương pháp 1) Ta có: BB’ ⊥ AC (GT) ⇒ BB'A = 90 CC’ ⊥ AB (GT) ⇒ CC'A = 90 Xét ∆AB′ B Vậy ∆AB′ B ∆AC′ C ∆AC ′C có AB′ B = AC′ C = 90 (g-g) ⇒ AB ' = AB AC ' ⇒ BAC chung AB ' AC ' = AB AC AC Xét ∆AB′ C′ ∆ABC ta có AB ' AB = ∆ABC AC ' AC BAC chung Vậy ∆AB′ C ′ ⇒ AB 'C' = ABC Tứ giác BC ' B 'C có góc đỉnh tứ giác BC ' B 'C nội tiếp (Phương pháp 2) (c-g-c) B ' góc đỉnh B Vậy Để sử dụng theo phương pháp tứ giác BC ' B 'C có C ' BC + C ' B 'C = 180 nên tứ giác BC ' B 'C tứ giác nội tiếp Phân loại tập A “Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 (hai góc đối diện bù ) Nhận biết: Câu 1: Hình chữ nhật; Hình thang cân; Hình bình hành Hình nội tiếp đường tròn? Chứng minh Câu 2: Cho tứ giác ABCD cho: AD cắt BC M tứ giác ABCD nội tiếp MA.MD = MB.MC Chứng minh Câu 3: Cho đường tròn ( O; R) ,đường kính AB Dây BC = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn Thơng hiểu Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I ( I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn Câu 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB ,điểm M nửa đường tròn ( M khác A , B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I ; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E ; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H ,cắt AM K Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp Câu 6: Cho đường tròn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E , F ( F B E ) Chứng minh: ABD = DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Vận dụng thấp Câu 7: Cho đường tròn ( O; R) ; AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn ( O; R) cắt đường thẳng AC , AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Câu 8: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH ⊥ BC Nửa đường tròn đường kính BH , CH có tâm O1 ; O2 cắt AB CA thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R = 25 BH = 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Câu 9: Cho đường tròn ( O, R) đường kính AB Các tia AC , AD cắt Bx E F ( F nằm B E ) Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Vận dụng cao Câu 10: Cho ∆ABC cân A , I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh bốn điểm B, I , C, K thuộc đường tròn tâm O Câu 11: Cho tam giác ∆ABC vuông A ( AB > AC) , đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E , nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh: 1) Tứ giác AFHE hình chữ nhật 2) Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp đường tròn Câu 12: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C điểm nằm O A Đường thẳng vng góc với AB C cắt nửa đường tròn I K điểm nằm đoạn thẳng CI ( K khác C I ), tia AK cắt nửa đường tròn ( O) M , tia BM cắt tia CI D Chứng minh: 1) ACMD tứ giác nội tiếp đường tròn 2) ∆ABD ~ ∆MBC 3) AKDE tứ giác nội tiếp B Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm Nhận biết: Câu 13: Cho hình thang ABCD < (AB / / CD, có C = D = 60 , CD = AD Chứng AB CD) minh bốn điểm A, B,C, D thuộc đường tròn Câu 14: Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M , N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh bốn điểm M , N, R S thuộc đường tròn Câu 15: Cho tam giác ABC có đường cao BH CK Chứng minh B, K, H, C nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn Thơng hiểu: Câu 16: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I ( I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn Câu 17: Từ điểm A nằm ngồi đường tròn ( O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B , C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M , vẽ MI ⊥ AB , MK ⊥ AC , MI ⊥ AB, MK ⊥ AC ( I ∈ AB, K ∈ AC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ MP ⊥ BC ( P ∈ BC) Chứng minh: CPMK tứ giác nội tiếp Câu 18: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB , M thuộc cạnh BC cho: IEM = 90 ( I M khơng trùng với đỉnh hình vng) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng BKCE tứ giác nội tiếp Vận dụng thấp: Câu 19: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = tia tiếp tuyến Ax phía với 2R nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C tiếp điểm) AC cắt OM E ; MB cắt nửa đường tròn ( O) D ( D khác B ) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn Câu 20: Cho hai đường tròn ( O) kính hai đường tròn ( O) (O′ ) cắt A B Vẽ AC , AD thứ tự đường (O′ ) a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O′ ) E ; đường thẳng AD cắt đường tròn ( O) F ( E, F khác A ) Chứng minh bốn điểm C, D, E, F nằm đường tròn Câu 21: Cho đường tròn ( O) (O′ ) cắt hai điểm A B phân biệt Đường thẳng OA cắt ( O) , (O′ ) điểm thứ hai C D Đường thẳng O′ A cắt ( O) , (O′ ) điểm thứ hai E E, F Chứng minh đường thẳng AB , CE DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn (g – g) 3) Lấy E đối xứng với B qua C E cố định EDC = BDC, lại có: BDC = CAK (cùng phụ với B ), suy ra: EDC = CAK Do AKDE tứ giác nội tiếp B Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm Nhận biết: Câu 13: A B I D Gọi I trung điểm CD , ta có Tương tự AD = BI C IC = AB IC / / ⇒ ICBA hình hành⇒ BC = AI (1) (2) ABCD hình thang có C = D = 600 nên ABCD hình thang cân(3); mà Từ (1), (2), (3) ta có hai tam giác ICB; IAD hay IA = IB = IC = hay bốn điểm ID A, B,C, D thuộc đường tròn Câu 14: A M B S O N D R Do ABCD hình thoi nên O trung điểm C AC, BD AC, ; BD phân giác góc A, B,C, D nên ∆MAO = ∆SAO = ∆NCO = ∆PDO ⇒ OM = ON = OP = OS hay bốn điểm M , N, R S thuộc đường tròn Câu 15: A H K I C B Gọi I trung điểm CB , ∆CHB; ∆CKB vuông H , K nên IC = IB = IK = IH hay B, K, H, C nằm đường tròn tâm I C E F I Thông hiểu: Câu 16: O Tứ giác BEFI có: BIF = 90 (gt) B A BEF = BEA = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF D A K I Câu 17: B M H C P O a) Ta có: AIM = AKM = 90 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM b) Tứ giác CPMK có MPC = MKC = 90 (gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp Câu 18: Tứ giác BIEM : IBM = IEM = 90 (gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM a) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: (do ABCD hình vng) b) c) ∆EB I K IME = IBE = 45 N M B ∆ECM có BE = CE , BEI = CEM( C I IEM = BEC = 90 ) E ⇒ ∆EBI =∆ECM (g-c-g) ⇒ MC = IB ⇒ MB = IA Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA MB IA = = Suy IM song song với BN MN MC IB A D (định lí Thalet đảo) ⇒ BKE = IME = 450 (2) Lại có BCE = 450 (do ABCD hình vng) Suy BKE = BCE ⇒ BKCE tứ giác nội tiếp Vận dụng thấp: Câu 19: x N C M D E A Vì MA, MC tiếp tuyến nên: I H O B MAO = MCO = 90 ⇒ AMCO tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO 0 ADB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒ADM = 90 (1) Lại có: OA = OC = R ; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC ⇒ AEM = 90 (2) Từ (1) (2) suy AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA Câu 20: F E N d A I M O/ O D K C B a) ABC ABD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O) ⇒ABC = ABD = 90 (O′ ) Suy C, B, D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có: CFD = CFA = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) CED = AED = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O/) Câu 21: ⇒ CFD = CED = 90 suy CDEF tứ giác nội tiếp I E D A O' O B C H P F Q o Ta có: ABC = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) o ABF = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B , C , F thẳng hàng AB , CE DF đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy Do IEF = IBF = 90 suy BEIF nội tiếp đường tròn Vận dụng cao: Câu 22: y x D N C K I A M O B 0 a) Ta có tứ giác ACNM có: MNC = 90 (gt) MAC = 90 ( tínhchất tiếp tuyến) ⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD b) ∆ANB ∆CMD có: ABN = (do tứ giác BDNM nội tiếp) CDM BAN (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ∆ANB = DCM c) ∆ANB ∆CMD tròn ( O) ) ∆CMD (g.g) o ⇒ CMD = ANB = 90 (do ANB góc nội tiếp chắn nửa đường Suy IMK = INK = 90 ⇒ IMKN tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK C Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm lại hai góc nhau” Nhận biết: Câu 23: Ta có ADB = CDP DA.DP = DB.DC ⇒ DA DB = DC DP A mà nên hai tam giác ADB,CDP đồng dạng Suy ra, DAB nội tiếp DCP Tứ giác ABPC F B 1 K D P E H C Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp Ủng hộ word: 0986 915 960 Câu 24: A K I M H B C P O Ta có: AIM = AKM = 90 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM Câu 25: y x D N C K I M A O B o o Tứ giác ACNM có: MNC = 90 (gt) MAC = 90 ( tínhchất tiếp tuyến) ⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD Thơng hiểu: Câu 26: A a) Ta có: AIM = AKM = 90 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM b) Tứ giác CPMK có MPC = MKC = 90 (gt) Do CPMK tứ giác nội tiếp⇒ MPK = MCK (1) Vì KC tiếp tuyến ( O) K I nên ta có: MCK = MBC (cùng chắn MC ) (2) Từ (1) (2) suy MPK = MBC (3) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI tứ giác nội B M H C P O Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp tiếp Câu 24: Ủng hộ word: 0986 915 960 Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp27: Câu Ủng hộ word: 0986 915 960 Vì AB ⊥ CD nên AC = AD Suy MHB = MKB (vì (sdAD + sdMB) ⇒ tứ giác BMHK nội tiếp đường tròn Câu 28: x CN I o a) Tứ giác ACNM có: MNC = 90 (gt) y K D o MAC = 90 ( tínhchất tiếp tuyến) ⇒ ACNM tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD M A b) ∆ANB ∆CMD có: O B ABN = CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp) ∆CMD (g.g) BAN = DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp) ⇒ ∆ANB c) ∆ANB tròn (O)) ∆CMD ⇒ CMD = ANB = o 90 (do ANB góc nội tiếp chắn nửa đường o Suy IMK = INK = 90 ⇒ IMKN tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK Vận dụng thấp: K Câu 29: N a) Tứ giác BIEM : IBM = IEM = 90 (gt);hay tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM M B b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME = IBE = 45 (do ABCD hình vng) C I E c) ∆EB I ∆ECM có BE = CE , BEI = CEM( IEM = BEC = 90 ) ⇒ ∆EBI =∆ECM (g-c-g) ⇒ MC = IB ⇒ MB = IA A D Vì CN / / BA nên theo định lí Thalet, ta có: MA = MB MN = IA MC Suy IB IM / / BN (định lí Thalet đảo) ⇒ BKE = IME = 450 (2) Lại có BCE = 450 (do ABCD hình vng) Suy BKE = BCE ⇒ BKCE tứ giác nội tiếp Câu 30: 1) CDE = 2) APC = a o de pb q Sđ DC = Sđ BD = BCD ⇒ DE / / BC 2 c sđ (AC - DC) = AQC ⇒ PACQ nội tiếp đường tròn (vì APC = AQC) Câu 31: Ta có: BAH = BCA (cùng phụ với ABC ) MCA = MAC (Tam giác MAC cân M theo tính chất trung tuyến tam giác vng) Suy BAH = MAC b) Giả sử tam giác ABC tam giác vuông Kẻ đường cao CN tam giác ABC B H Ta có MAC = BAH (giả thiết) BAH = BCN (cùng phụ với ABC ) N MCN = (Tam giác MNC cân N ) MNC Suy MAC = MNC Do ACMN tứ giác nội tiếp mà A ANC = 90 ⇒ AMC = 90 ⇒ H ≡ M Suy tam giác ABC cân (mâu thuẫn giả thiết) Vậy BAH = MAC M tam giác ABC tam giác vuông C Vận dụng cao: Câu 32: o 1) Tứ giác ABEH có: B = 90 (góc nội tiếp C BE I HO o nửa đường tròn); H = 90 (giả thiết) nên tứ giác ABEH nội tiếp Tương tự, tứ giác DCEH có nội tiếp o C = H = 90 , nên D A 2) Trong tứ giác nội tiếp ABEH , ta có: EBH = EAH (cùng chắn cung EH ) Trong ( O) ta có: EAH = CAD = CBD (cùng chắn cung CD ) Suy ra: EBH = EBC , nên BE tia phân giác góc HBC Tương tự, ta có: ECH = BDA = BCE , nên CE tia phân giác góc BCH Vậy E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH 3) Ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vng ECD , nên BIC = 2EDC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung EC ) Mà EDC = EHC , suy BIC = BHC + Trong ( O) , BOC = 2BDC = BHC (góc nội tiếp góc tâm chắn cung BC ) Hay năm điểm B, C, I, O, H thuộc đường tròn Câu 33: K N a) Tứ giác BIEM có: IBM = IEM = 90 (gt); suy tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME = IBE = 45 (do ABCD hình vng) M B C I c) ∆EB ∆ECM có: IBE = MCE = 450 , BE = CE I , BEI = CEM( IEM = BEC = 90 ) E A D ⇒ ∆EBI = ∆ECM ( g.c.g ) ⇒ MC = IB ⇒ MB = IA Vì CN / / BA nên theo định lí MA MB IA = Thalet, ta có: = Suy MI / / BN (định lí Thalet đảo) MN MC IB ⇒ BKE = IME = 450 (2) Lại có BCE = 450 (do ABCD hình vng) Suy BKE = BCE ⇒ BKCE tứ giác nội tiếp Câu 34: Suy ra: BKC + BEC = 1800 mà BEC = 900 ; suy BKC = 900 ; hay CK ⊥ BN A D P E K H O B C Do E, D, P nhìn BC góc vuông nên B, E, D, P,C nằm đường tròn đường kính BC Nên BECD , EDPC tứ giác nội tiếp Phương pháp ta chứng minh cách đưa phương pháp Phương pháp ta tam giác đồng dạng đưa chứng minh phương pháp Tài liệu tập trung vào phương pháp hay gặp đề tuyển sinh THPT Chúc em học tốt! ... ABCD < (AB / / CD, có C = D = 60 , CD = AD Chứng AB CD) minh bốn điểm A, B,C, D thuộc đường tròn Câu 14: Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M , N, R S hình chiếu O AB, BC, CD. .. tiếp tuyến ) F o ⇒ AFB + BAF = 90 (vì tổng ba góc tam o giác 180 ) (2) Từ (1) (2) ⇒ ABD = DFB 2) Tứ giác ACDB nội tiếp ( O) ⇒ ABD + ACD = 180o ⇒ ECD + ACD o = 180 ∠ ( Vì hai góc kề bù) ⇒ ECD =... tiếp đường tròn B Câu 2: Xét hai tam giác MAB , MCD MB ⇒ MA.MD = MB.MC MA MC MD = hay ∆MAB ∆MCD hay MCD = MAB ⇒ DAB + BCD = 180o hay tứ giác ABCD nội tiếp Có AMB = CMD C D Câu 3: Ta có E trung