A – LÝ THUYẾT 3 B – CÁC VÍ DỤ 5 DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác. 5 DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh 6 DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác. 7 DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh 8 DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác. 9 DẠNG 6: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài toán chứng minh 10 C – BÀI TẬP ÁP DỤNG 11 DẠNG 1: Vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính cạnh trong tam giác. 11 DẠNG 2: Dựa vào các hệ thức đã học để làm các bài toán chứng minh 11 DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác. 12 DẠNG 4: Sử dụng các tỉ số lượng góc đã học để làm các bài toán chứng minh 12 DẠNG 5: Vận dụng hệ thức giữa cạnh và góc để tính cạnh và góc trong tam giác. 13 DẠNG 6: Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc để làm các bài toán chứng minh 14 D – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ 16
“Hệ thức lượng tam giác vuông” Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ thức lượng tam giác vuông” Nội dung A – LÝ THUYẾT .3 B – CÁC VÍ DỤ DẠNG 1: Vận dụng hệ thức cạnh đường cao để tính cạnh tam giác DẠNG 2: Dựa vào hệ thức học để làm tốn chứng minh .6 DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác DẠNG 4: Sử dụng tỉ số lượng góc học để làm tốn chứng minh DẠNG 5: Vận dụng hệ thức cạnh góc để tính cạnh góc tam giác DẠNG 6: Dựa vào hệ thức cạnh góc để làm tốn chứng minh .10 C – BÀI TẬP ÁP DỤNG 11 DẠNG 1: Vận dụng hệ thức cạnh đường cao để tính cạnh tam giác 11 DẠNG 2: Dựa vào hệ thức học để làm tốn chứng minh 11 DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác .12 DẠNG 4: Sử dụng tỉ số lượng góc học để làm toán chứng minh .12 DẠNG 5: Vận dụng hệ thức cạnh góc để tính cạnh góc tam giác 13 DẠNG 6: Dựa vào hệ thức cạnh góc để làm tốn chứng minh .14 D – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ 16 DẠNG 1: Vận dụng hệ thức cạnh đường cao để tính cạnh tam giác 16 DẠNG 2: Dựa vào hệ thức học để làm toán chứng minh.20 DẠNG 3: Tính góc dựa vào tỉ số lượng giác .22 DẠNG 4: Sử dụng tỉ số lượng góc học để làm toán chứng minh .24 DẠNG 5: Vận dụng hệ thức cạnh góc để tính cạnh góc tam giác 29 DẠNG 6: Dựa vào hệ thức cạnh góc để làm toán chứng minh .32 E MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO PHÁT TRIỂN 35 Hệ thức cạnh đường cao 35 Tỉ số lượng giác góc nhọn 39 Hệ thức cạnh góc tam giác vuông 41 Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ thức lượng tam giác vuông” Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ thức lượng tam giác vuông” CHUYÊN ĐỀ - HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG A – LÝ THUYẾT KIẾN THỨC CƠ BẢN I Hệ thức lượng cạnh đường cao tam giác vuông: Khi giải toán liên quan đến cạnh đường cao tam giác vng, ngồi việc nắm vững kiến thức định lý Talet, trường hợp đồng dạng tam giác, cần phải nắm vững kiến thức sau: Tam giác ABC vuông A , đường cao AH , ta có: Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 Trang “Hệ thức lượng tam giác vuông” 1)a b 2 c A a.b ';c2 a.c ' b '.c 3) h ' 4) a.h b.c 2) b 5) h b' 6) b2 a b2 a2 b c h c’ B b’ H C a c2 Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S ab II Tỉ số lượng giác góc nhọn: đối sin = kề huyền ; cos ; = huyề n tan = đố ; cot = i kề kề đối 1.Các tỉ số lượng giác góc nhọn AB sin + Nếu nhọn 0 sin cos tan ; cos BC góc AC tan BC ; AB cot AC (hình) định nghĩa sau: ; A C A B 1; 1; 0;cot B Cạnh đối Sưu tầm – Tổng hợp: Nguyễn Tiến – 0986 915 960 A Cạnh huyền α Cạnh kề Trang C Nếu hai góc phụ sin góc cos góc tan góc cot góc Nếu + = 900 thì: sin = cos ; cos = sin ; tan = cot ; cot = tan Nếu hai góc nhọn sin sin cos sin có 1; tg cotg cos cos 4.Với số góc đặc biệt ta có: Góc 0 0 0 00 30 45 60 90 120 135 Sin 2 3 Cos 2 2 Tan 3 Cot KXĐ 3 0 150 180 2 2 -1 KXD 3 -1 0 -1 3 KXĐ II Hệ thức lượng cạnh góc tam giác vng: 1.Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cos in góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tan góc đối hay nhân với cot góc kề b c a.sin B a cosC;c a.sinC b = a sinB = a cosC c = a sinC = a cosB b = c tanB = c cotC c = b tanC = b cotB a.cos B;b c.tgB c.cotgC; b.tgC b.cotgC 2.Giải tam giác vng tìm tất cạnh góc chưa biết tam giác vng B – CÁC VÍ DỤ DẠNG 1: Vận dụng hệ thức cạnh đường cao để tính cạnh tam giác Ví dụ 1: Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao 12cm, hai đường chéo AC BD vng góc với nhau, BD = 15cm Giải: Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Gọi BH đường cao hình thang Ta có BE // AC, AC BD nên BE BD Áp dụng định lý Pitago vào tam A B giác vng BDH, ta có: BH2 + HD2 = BD2 122 + HD2 = 152 HD2 = 225 – 144 = 81 HD = (cm) Xét tam giác BDE vuông B: D H C E BD2 = DE DH 152 = DE DE = 225 : = 25 (cm) Ta có: AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25 (cm) Do đó: S ABCD = 25 12 : = 150 (cm2) Ví dụ 2: Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ đường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Tính đường cao hình thang A Giải: B Gọi AH, BK đường cao hình thang Đặt AB = AH = BK = x Dễ dàng D H K C chứng minh 10 x Do HC =10 x 2 DH = CK = Xét tam giác ADC vng A, ta có AH = HD HC Do đó: 10 x 10 x 100 x2 x Từ x = cm Vậy đường cao hình thang cm Ví dụ 3: Tính diện tích tam giác vng có chu vi 72cm, hiệu đường trung tuyến đường cao ứng với cạnh huyền 7cm Giải: A Kí hiệu hình bên Đặt AM = x, ta có BC = 2x, AH = x – x Theo hệ thức tam giác vuông: B AB2 + AC2 = BC2 = 4x2 H M C (1) AB AC = BC AH = 2x(x – 7) (2) Từ (1) (2) suy ra: AB2 + AC2 + 2AB.AC = 4x2 + 4x(x – 7) (AB + AC)2 = 8x2 – 28x (72 – 2x)2 = 8x2 – 28x Đưa phương trình x2 + 65x – 1296 = (x – 16)(x + 81) = Nghiệm dương phương trình x = 16 Từ BC = 32cm, AH = 9cm Vậy diện tích tam giác ABC là: 32 : = 144 (cm2) DẠNG 2: Dựa vào hệ thức học để làm toán chứng minh o Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD có B = C = 90 , hai đường chéo vng góc với AC BC b a A M a a sin cos ... cm 50 b) Tam giác ABC vuông A nên B C 90 , BC AC sin B suy C 90 B 90 50 40 12,59 CD tia phân giác góc C, ta có ACD 1 20 C .40 Trong tam giác vuông ACD vuông A, theo hệ... tính cạnh góc tam giác Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vng A, có AC = 15cm, Hãy tính độ dài: B 50 a) AB, BC ; b) Phân giác CD Giải: a )Tam giác ABC vuông A, theo hệ thức lượng cạnh góc tam giác vng,... góc, ta có: AC CD. cos ACD CD. cos , suy ra: 20 CD A 201 cos C 15,96(cm) 0,9397 Trả lời: CD 15,96cm DẠNG 6: Dựa vào hệ thức cạnh góc để làm tốn chứng minh Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, hai