A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Căn bậc hai số học • Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho . • Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Kí hiệu là và . • Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết . • Với số dương a, số là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng là căn bậc hai số học của 0 • Với hai số không âm a, b, ta có: . 2. Căn thức bậc hai • Với A là một biểu thức đại số, ta gọi là căn thức bậc hai của A. xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm. • 3. Liên hệ phép nhân, chia và phép khai phương • Khai phương một tích: Nhân các căn bậc hai: • Khai phương một thương: Chia hai căn bậc hai: 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai • Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì + Với A < 0 và B ≥ 0 thì • Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì + Với A < 0 và B ≥ 0 thì • Với A.B ≥ 0 và B 0 thì + Với B > 0 thì • Với A ≥ 0 và thì • Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A B thì 5. Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến đổi đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai
CHUYÊN ĐỀ: CĂN BẬC HAI VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA DẤU CĂN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Căn bậc hai số học Căn bậc hai số không âm a số x cho x2 a Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Kí hiệu Số có bậc hai số 0, ta viết Với số dương a, số a a a bậc hai số học a Số bậc hai số học Với hai số khơng âm a, b, ta có: a b � a b Căn thức bậc hai Với A biểu thức đại số, ta gọi A thức bậc hai A A xác định (hay có nghĩa) A lấy giá trị không âm A2 A A A A �0 A Liên hệ phép nhân, chia phép khai phương Khai phương tích: A.B A B ( A �0, B �0) Nhân bậc hai: A B A.B ( A �0, B �0) A B Khai phương thương: A Chia hai bậc hai: A B ( A �0, B 0) A ( A �0, B 0) B B Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai Với A ≥ B ≥ A2B A B Với A ≥ B ≥ A B A2B AB B + Với A < B ≥ A2B A B + Với A < B ≥ A B A2B Với A.B ≥ B A B Với A ≥ A �B2 C C.( A mB) A �B A B2 + Với B > A B A B B C C.( A m B ) A B A� B Rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai Để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp phép biến đổi đơn giản như: đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, khử mẫu trục thức mẫu để làm xuất thức bậc hai có biểu thức dấu Căn bậc ba Căn bậc ba số a số x cho x3 a Với A ≥ 0, B ≥ A B Mọi số a có bậc ba A B� A 3B Với B ta có: A B 3 A B A.B A.3 B B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau) 1) 3x 8) x2 3 2) 2x 9) x2 3) 4) 5) 6) 7) 7x 14 2x 3 x x 3x 11) 2x 5x 12) 7x x 3 7 x 2x x 10) 13) 14) x 5x x 3x 5 x 6x x Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bài 1: Đưa thừa số vào dấu a) ; b) x (víi x 0); x c) x ; d) (x 5) x ; 25 x2 e) x x2 Bài 2: Thực phép tính a) ( 28 14 ) ; d) b) ( 10 )( 0,4) ; e) c) (15 50 200 450 ) : 10; f) g) 3; 20 14 20 14 ; 5; 11 11 7 h) 26 15 2 26 15 Bài 3: Thực phép tính a) ( 3 8 216 ) b) 14 15 ): 1 1 7 c) 15 10 Bài 4: Thực phép tính a) c) (4 15 )( 10 3 3 6) 15 b) 5 d) e) 6,5 12 6,5 12 Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: 1 a) b) 24 24 52 5 5 5 Bài 6: Rút gọn biểu thức: c) d) a) 13 48 c) (3 5) (3 5) 4 7 3 1 a bb a ab : 4 3 1 3 3 3 3 b) 48 10 1 1 1 2 3 99 100 Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: a) a b , víi a 0,b vµ a b a a a a 1 , víi a vµ a 1 b) 1 a a a a 8 2a a ; a d) 5a4 (1 4a 4a2 ) 2a c) 3x2 6xy 3y2 e) x y2 Bài 8: Tính giá trị biểu thức a) A x2 3x y 2y, x 5 ;y b) B x3 12x víi x 3 4( 1) 9 4( 1); c) C x y , biÕt x x2 y y 3; d) D 16 2x x2 2x x , biÕt 16 2x x 2x x2 1 e) E x 1 y2 y 1 x2 , biÕt xy (1 x2 )(1 y2 ) a Dạng 3: Giải phương trình Bài Giải phương trình sau: a 9x2 2x b x2 x 3x c 4x 4x2 d x4 Bài 2: Giải phương trình sau a) (x 3)2 3 x b) 4x2 20x 25 2x c) 1 12x 36x2 d) x x1 e) x x x f) ĐS: a) x �3 b) x � x� Bài Giải phương trình sau: a) 2x 1 x d) 2x x ĐS: a) x b) x � 3 nghiệm Bài Giải phương trình sau: a) x2 x x d) x2 x2 1 ĐS: a) x b) x nghiệm Bài Giải phương trình sau: c) x 1; x d) x 1 x2 x x 16 e) x �2 f) b) x2 x 3 x c) 2x2 4x e) x2 x x f) x2 x 3x c) x d) vô nghiệm e) x b) 1 x2 x e) x2 x c) f) vô x2 4x x f) 1 2x2 x c) vô nghiệm d) x �1; x � e) x f) vô a) x2 2x x2 1 x ĐS: a) x 1; x 2 d) x2 x b) e) 4x2 4x x x4 8x2 16 x e) x 2; x 3; x 1 Bài Giải phương trình sau: a) 3x x f) x4 2x2 x 9x2 6x 11 c) x b) vô nghiệm f) x c) d) vô nghiệm 2 2 ;x 3 b) x2 x c) 9x2 12x x2 x2 4x 4x2 12x 1 ĐS: a) x 0; x b) x 3; x 1; x c) x 1; x d) 2 x 1; x Bài Giải phương trình sau: d) a) x2 x b) c) 1 x2 x d) ĐS: a) x 1 b) vô nghiệm c) x 1 Bài Giải phương trình sau: a) c) x 4x 25x 25 x2 8x 16 x x2 x2 4x d) x 2 b) x1 x 1 9x 24 17 2 64 9x2 18 x2 25x2 50 d) 2x x2 6x2 12x e) (x 1)(x 4) x2 5x ĐS: a) x x 2; x 7 b) 290 c) vô nghiệm d) x 1�2 Dạng 4: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính tốn x Bài 1: Cho biểu thức P x 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 4(2 - ) c) Tính giá trị nhỏ P a2 a 2a a Bài 2: Xét biểu thức A a a 1 a a) Rút gọn A b) Biết a > 1, so sánh A với c) Tìm a để A = A e) d) Tìm giá trị nhỏ A 1 x Bài 3: Cho biểu thức C x 2 x 1 x a) Rút gọn biểu thức C b) Tính giá trị C với x c) Tính giá trị x để Bài 4: Cho biểu thức M C a a : 1 a b2 a b2 a b a b2 a) Rút gọn M a b c) Tìm điều kiện a, b để M < x x (1 x)2 Bài 5: Xét biểu thức P x x x a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < P > c) Tìm giá trị lơn P x9 x x 1 Bài 6: Xét biểu thức Q x x 6 x 3 x a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị x để Q < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng Q số nguyên x y x y3 x y xy : Bài 7: Xét biểu thức H x y x y x y a) Rút gọn H b) Chứng minh H ≥ c) So sánh H với H b) Tính giá trị M a a : Bài 8: Xét biểu thức A 1 a 1 a a a a a a) Rút gọn A b) Tìm giá trị a cho A > c) Tính giá trị A a 2007 2006 Bài 9: Xét biểu thức M 3x 9x x x x 1 x x 1 x a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P 15 x 11 x 2 x x x 1 x x 3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x cho P 2 c) So sánh P với Bài 11 Cho biểu thức: a) Rút gọn A � 1 �� a a 2� A � � �: � a �� a 1� � a 1 � a2 � b) Tìm a để A x � �x x �� B� : �2 � � �x x ��x x x � Bài 12 Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x 3 c) Tìm x để A Bài 13 Cho biểu thức: � y xy �� x y x y� C �x : �� � x y �� xy y xy x xy � � b) Tính giá trị B x 3, y a) Rút gọn B Bài 14 Cho biểu thức: A x3 2x 1 x xy y x x xy y x a) Rút gọn B b) Tìm tất số nguyên dương x để y 625 B 0,2 � �1 � 1� x3 y x x y y3 B � �: � � Bài 15 Cho biểu thức: �x � x y x y� 3 y � x y xy � � � � a) Rút gọn B b) Cho x.y 16 Xác định x, y để B có giá trị nhỏ Bài 16 Cho biểu thức: � � ab �� ab � a b � B� � � � � �: � a b a a b b �� � a b a a b b � a ab b� � �� � � � a) Rút gọn B b) Tính B a 16, b Bài 17 Cho biểu thức: � x y x3 y E � yx �x y � � �: � � x y xy x y a) Rút gọn B b) Chứng minh B �0 Bài 18 Cho biểu thức: � a 1 � ab a �� a ab a F � : �� � � ab �� ab � ab ab � �� � a) Rút gọn B b) Tính giá trị B a b c) Tìm giá trị nhỏ B 31 1 a b 4 ... 14 ) ; d) b) ( 10 )( 0,4) ; e) c) (15 50 200 450 ) : 10 ; f) g) 3; 20 14 20 14 ; 5; 11 11 7 h) 26 15 2 26 15 Bài 3: Thực phép tính a) ( 3 8 216 ... 8 216 ) b) 14 15 ): 1 1 7 c) 15 10 Bài 4: Thực phép tính a) c) (4 15 )( 10 3 3 6) 15 b) 5 d) e) 6,5 12 6,5 12 Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: 1 a) b) 24... 12 x víi x 3 4( 1) 9 4( 1) ; c) C x y , biÕt x x2 y y 3; d) D 16 2x x2 2x x , biÕt 16 2x x 2x x2 1 e) E x 1 y2 y 1 x2 , biÕt xy (1 x2 ) (1