Bồi dưỡng HSG môn Toán 9 Chuyên đề Căn bậc hai

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo vi[r]

ƠN THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN CHUYÊN ĐỀ CĂN BẬC HAI-CĂN BẬC BA A.LÝ THUYẾT

I.CĂN BẬC HAI-ĐỊNH NGHĨA VÀ KÍ HIỆU

1.Căn bậc hai số học số a0 số khơng âm x có bình phương a.Kí

hiệu x= a

 2

0

x

x a

x a a

 

  

 



2.Số gọi bậc hai số học

3.Với hai số a;b khơng âm ta có a b a b

II.CĂN THỨC BẬC HAI-ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI-HẰNG ĐẲNG THỨC

A  A

1.Điều kiện để Atồn A0

2

0

AneuA

A A

AneuA  

    

III.KHAI PHƢƠNG MỘT TÍCH-NHÂN CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

1.Quy tắc khai phương tích: Nếu A0;B0thì A B  A B

2.Quy tắc nhân thức bậc hai: : Nếu A0;B0thì A B  A B

IV KHAI PHƢƠNG MỘT THƢƠNG-CHIA CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

1.Quy tắc khai phương thương: Nếu A0;B 0thì A A

B  B

2.Quy tắc nhân thức bậc hai: : Nếu A0;B 0thì A A

B B  VI.BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI

1.Đưa thừa số dấu căn:

A B  A B Với B 0

2 Đưa thừa số vào dấu căn:

Với A0;B0 ta có

A B  A B

Với A 0;B0 ta có

A B  A B

3.Khử mẫu biểu thức lấy căn: A AB

B  B Với AB0 B0

4.Trục thức mẫu:

a.Với B ta có A A B

mB

m B 

b Với A0; A 12

m B

2

ta có C C m A 2 2B

m A B

m AB 

c Với A0;B0;A

2 n

m B ta có:

 

2

C m A n B

C

m A n B

VII.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH –RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

 

p Aq Ar A m p q r  Am Trong m,p,q,rR A Q;  

VIII.CĂN BẬC BA

1.Căn bậc ba số a lũy thừa bậc ba a 2.Mọi số thực có bậc ba

3.3

0

a a ;

0

a a ;3

0 0

B.CÁC VÍ DỤ:

1.Ví dụ 1::Cho biểu thức 2  1 

1

x x x

x x x x x x

A

x x x x

       

   

  

 

Rút gọn biểu thức A

Tìm x để

7

A 

Điều kiện: 0; 1;

4

x x x

Đặt x a a; 0 x a2, ta có:

  

2

2

1

2

1

a a a

a a a a a

A

a a a

                   

     2    

1 1 1

1 1

a a a a a a a a

A

a a a a a a

                        

       

1 1 1 1

2  

               a a a a a a a a a a A

      

1 1

.(2 1)

1

a a a

a

A a

a a a a

                  1

2 

 

a a

A Vậy:

1     x x A 1 1           x x x x A 1  

x x (do

4 1           

 x x

x )

 x  x  6  x3 x2 0 x 3

 0 x

Đối chiếu với điều kiện ta được:

0 , x x x        

2.Ví dụ 2.T nh

5

2 3 3

;

2 2 2 2

A    B     

   

* A=

*Đặt

5 3 2 2

2 3

; 2;

3

2 2

11

( )( ) ( )

9

x y x y xy

B x y x y x y x y x y

 

     

   

       

3.Ví dụ 3 Cho biểu thức A=x5-6x4+12x3-13x+2014.Tính giá trị A x=

3

 

Khi x=

3



 =

2

2

3

2 5

2

( 1)( 5) 2009 2009

x x x x

B x x x x x

                   

4.Ví dụ 4:Cho đa thức x x3 3ax 2b;với x biến số thực,a b số thực cho trước th a

a3+b20.T nh giá trị đa thức x x a3b2  b a3b2 b

Giải Ta có:

  

3 3

3

3 3 3 3 3

3

3

2 3

x a b b a b b

x a b b a b b a b b a b b a b b a b b

x b ax x ax b

     

 

                  

 

       

ậy giá trị đa thức x 3 3

x a b  b a b b

5.Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức P = x3 + y3 – 3(x + y) + 1972, biết

3 3

3 2 2 ; 17 12 17 12

x    y   

Giải: Ta có x3 = + 3x  x3 – 3x = 6; y3 = 34 + 3y  y3 – 3y 34 Do 34 1972 2012

Bài 9:Chứng minh rằng: 1 1 10

2 50

     

Từ (1) (2)  2< S < 10 đpcm Đặt S = +

2

+

3

+ +

50

Ta có S >

50

+

50

+ +

50

=

50

.50 = (1)

Mặt khác: 1=

1

2

<

0

2

 ;

2

2 2

 

 ; ;

50

=

49 50

2 50

2





Cộng vế theo vế có: S <

49 50

2

1

2

1

     

6.Ví dụ 6: Giả sử a, b, c số hữu tỉ th a mãn điều kiện ab + bc + ca = 2018

Chứng minh A =  2 2 2

2018 a 2018 b 2018 c có giá trị số hữu tỉ

Giải:Vì ab + bc + ca = 2018 nên

A= (abbccaa2)(abbccab2)(abbccac2)= 2

) a c ( ) c b ( ) b a

(   

= (ab)(bc)(ca)

Do a, b, c số hữu tỉ nên (ab)(bc)(ca) có giá trị số hữu tỉ.Vậy A có giá trị số hữu tỉ

7.Ví dụ 7:Cho a,b,c ,d số thực thoả ac=bd ab>0.Chứng minh

 2  2 2 2

ab  c d  a d  b c

Giải:

          

  

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

a b a d b c a b c d a b c d a d b c

ab cd a d b c (1)

c d

                     



Vì ac=bd nên (ac-bd)2=0 2 2 2 2 2 2 2

2abcd a c b d a b c d 2abcd a b c d a c b d

         

 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( )( ) ( )( )

ab cd a d b c ab cd a d b c

          (2)

Mặt khác ac=bd nên abcd=(bd)2 0,mà ab>0 suy cd0 suy ab+cd>0 suy

ab cd ab cd (3) Từ suy điều phải chứng minh

8.Ví dụ 8:Với số nguyên dương n cho 1 5

2

5

n n

n u

     

 

        

 

a)Tính u2; u3

b) Chứng minh u2017+u2018=u2019

Giải:a) u2=1;u3=2

b)

2013 2013 2014 2014

2013 2014

2013 2013 2013

1 5 1 5

2 2

5

1 5 1 5 1 5

2 2 2 2

5 5

u u

             

   

          

         

   

                   

             

           

2013

2015 2015

2015

1

1 5

2

5 u

   

   

   

   

      

 

     

    

9.Ví dụ 9:Cho a b x b a      

 ,trong a>0;b>0.T nh giá trị biểu thức A=

2 2 1 x x x   

Giải: Ta có  

2 2 2 2 1 4 2 a b a b a b

a b ab

x A

a b

b a ab a b a b a b

ab ab                       

Nếu a b A a b

b 

   ; Nếu a b A b a b    

10.Ví dụ 10:Rút gọn biểu thức

 3  3

2

2

2 2

; 2

4

x x x

A x x                  Giải: Đặt

2 2

3 2

2

2 ; b ( , 0) 4;

2 ( ) ( )( )

2 ( )

4

2 ( ) 2

a x x a b a b a b x

ab a b ab a b a b ab

A ab a b

ab ab

A ab a b A a b x A x

               

     

 

         

11.Ví dụ 11:Cho biểu thức 4

2 14 28 16

x x x x

A

x x x x

  



  

a) Rút gọn biểu thức A

b)Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhân giá trị nguyên Giải:

a Để A có nghĩa trước hết x0.Đặt t= x x( 0) Ta có

  

 

2

3

3 2

1

4 1)( 1)( 4)

2 14 28 16 2 12 28 16 2( 1)( 2)( 4)

t t

t t t t t t

A

t t t t t t t t t t

 

     

  

         

Để biểu thức A có nghĩa t0,t1, 2, 4 x 0,x1, 4,16

Khi

   

2 2 2

t x A t x       b)

   

2 2 2

t A t t      

Để A nguyên x nguyên

2 t t          25 t x t x          

12.Ví dụ 12:Với số tự nhiên n,n3

Đặt

      

1 1

3 1

n

S

n n n

   

     Chứng minh

1

n

S 

Ta có

   2

1 1 1 1

2 2

2 1 4 4

n n n n n n n n

n n n n n

n n n n n n n

         

       

  

       

Do 1 1 1 1 1

2 2 2

n

S

n n n

   

           

 

   

Chứng minh A=         

2 2 2

2 2

1 1 1

2

1 1

b c a c a b

a b c

a b c

     

  

  

Giải:

Ta có (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=22(ab bc ca  ) 2 ab bc ca  1

Do A

 2 2  2 2  2 2      

2 2

2 2

1 1 1

1 1

( ) ( ) ( ) 2( )

b c a c a b

a b c a b c b a c c a b

a b c

a b c b c a c a b ab bc ca

     

       

  

         

C.BÀI TẬP

Bài 1: Tính giá trị biểu thức

2 2 2 2

A          B 9 35 10 3 

45 27 45 27 3

5 3

C       

     

 

15 12

6 11

6 6

D    

  

 

 

3

10 3

6 5

E

 



 

 1 1 2 3

F       G= 5 21 5 212 4

Bài 2: Tính giá trị biểu thức P= x3 +3x +2 với

3

1

2

x  



Bài 3:Cho hàm số f(x) = ( x3+12x -31)2014.Tính f(a) 3

16 16

a   

Bài 4: Tính giá trị biểu thức M ab ab

a b a b

 

 

  với a 4 2 2 2 2

3 12 20

3 18 27 45

b  

 

Bài 5: Với a,b,c,d số hữu tỉ th a mãn a+b+c+d = Chứng minh x ab cd bc ad ca bd  số hữu tỉ

Bài 6: Cho x,y,z số dương th a mãn x  y z xyz 4.Tính giá trị biểu thức

4 4  4 4  4 4 

P x y z  y x z  z y x  xyz

Bài 7: Cho a b hai số dương,c khác 0.Chứng minh : 1 a b a c b c

a   b c     

Bài 8: Cho 1

2 8

a   Tính giá trị biểu thức

1

X a  a  a

Bài 9:Chứng minh số x0  2 2  2 

nghiệm phương trình :

16 32

x  x  

Bài 10:Cho số dương x,y,z th a x xy yz z 3 xyz Tính giá trị biểu thức

1 x y z

A

y z x

   

      

 

  

Thì giá trị biểu thức

 x   y   z 

A

x y x z y x y z z x z y

  

     

không phụ thuộc vào biến x,y,z

Bài 12: Cho 100 99

1 2 99 100

x      

   Chứng minh

1

x

Bài 13:Cho a>0

4a a 2 20.Chứng minh

4

1

2

a

a a a



   

Bài 14: Rút gọn biểu thức

2

2

3

2

x x

A

x x

   

  

Bài 15:Cho a,b,c số dương th a bc, a b  c a b,   a b c2

Chứng h rằng:  

 

2

2

a a c a c

b c

b b c

  

 

 

Bài 16:Cho biểu thức : 7

2 1

x x x x

A

x x x x x x x x

    

 

      

      

   

a) Rút gọn A b Tìm x để A= 2,5 c) Tìm GTLN A

Bài 17:Cho biểu thức

2

2 2( 1)

1

x x x x x

P

x x x x

  

  

  

a) Rút gọn P b Tìm x để biêỉ thức Q x

P

 nhận giá tyrị số nguyên

Bài 18:Cho 2

1

x x x x x x x x

A

x x x x

      

   

  

 

a) Tìm giá trị x để 6

5

A 

b) Chứng minh

3

A với x th a 0; 1,

4

x x x

Bài 19:Cho M  x 3 x 1 x 15 x1.Tìm GTNN M với giá trị tương ứng x

Bài 20: Cho -1 < x <1.Tìm GTNN

2

5

x A

x  



Bài 21: Cho a;b;c số dương có tổng 1.Chứng minh: 2 2 2

2

a b  a c  b c 

Bài 22: Cho a, b, c số thực dương th a : 2

2

a   b c abc

Tính giá trị biểu thức:  2 2  2 2  2 2

1 1 1

Pa b c b a c c b a abc HSG Đồng Nai 2017)

Bài 23: Cho a, b, c ba số thực dương th a ab + bc + ca = 1.Tính giá trị biểu thức:

2 2 2

2 2

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

1 1

b c c a a b

P a b c

a b c

     

  

Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH TH T danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ ăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành t ch học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HL đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn ph , kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng h i đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ ăn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia