Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 75 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
75
Dung lượng
3,43 MB
Nội dung
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO DẠNG I: Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P= x RÚT GỌN BIỂU THỨC x x x x3 x x a Tìm điều kiện xác định rút gọn P b Tìm giá trị x P = x x 1 ): x 4x 1 x 4x x 1 Câu 2: (4,0 điểm) Cho biểu thức: A ( a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên; c) Tính giá trị A với x 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) Bài 3: (4,0 điểm) Cho biểu thức: P x2 x x x x 1 x x 1 x x 1 a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ P x , chứng tỏ < Q < P x 9 x 1 x 3 (x �0, x �4, x �9) Cho A x 5 x 6 x 3 2 x c Xét biểu thức: Q Bài 4: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A = x x 1 ): x 4x 1 x 4x x 1 Câu 5: (4,0 điểm) Cho biểu thức: A ( a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên; c) Tính giá trị A với x 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) Bài 6: (4,0 điểm) 2x x 1 2x x x x x x ) 1 x 1 x x x 1 6 a) Tìm giá trị x để A b) Chứng minh A với x thoả mãn x �0, x �1, x � Cho biểu thức A ( Bài 7: (4,0 điểm).Cho biểu thức : x x 8 x 2 x x 3 : P x2 x x x x x x a) Tìm x để P có nghĩa chứng minh P 1 b) Tìm x thoả mãn : x P 1 Bài 8: (4,0 điểm).Cho biểu thức: � x3 �� x � x2 9 x P� : 1 �� � x � x x x x �� � a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên x để P nguyên Bài 9: (4,0 điểm) � 6x 3x � � 3x3 � 3x � � Cho biểu thức: A � �3 x x 3x � � �1 x � � � � � A Rút gọn biểu thức Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 10: (4,0 điểm) a a : Cho biểu thức: A = 1 a 1 a a a a a 1 a.Rút gọn biểu thức A b.Tính giá trị biểu thức A a 2011 2010 � 6x 3x � � 3 x3 � 3x � � Bài 11: (4 điểm) Cho biểu thức: A � �3 3x x 3x � � �1 3x � � � � � a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 12: (4 điểm)Cho biểu thức: xy x x 1 1 : xy 1 xy A = xy x xy x xy a Rút gọn biểu thức 1 b Cho x y 6 Tìm Max A Bài 13 Cho biểu thức : � � x �� x A� 1 : �� � � �� � � x �� x x x x x � a.Rút gọn A b.Tính A biết x c.Tìm x để A > Bài 14 Cho biểu thức : a.Rút gọn P P 3m 9m m 2 m m 2 m 1 m 1 b.Tìm m để P c.Tìm m � N để P � N Bài15 Cho biểu thức : x 1 x x 1 x x 1 P= a.Rút gọn P b.Chứng minh �P �1 Bài 16 Cho biểu thức: M= � x 2 x 1 � � x 1 � : x 3x x x3 � x 1 x 2 � � � a.Tìm điều kiện x để M có nghĩa b.Rút gọn M c.Chứng minh M � D = Bài 17 Cho biểu thức : x 4x2 2 x 2 x x 4 2 x a) Rút gọn biểu thức D b) Tính giá trị D x = � a 1 Bài 18 Cho biểu thức : A= � � � a 1 a.Rút gọn A b.Tính A với : Bài 19 Cho : a = 15 10 A= � a 1 � � 4 a� �a � � a 1 a� � � 15 a 9 a a 1 a 5 a a 2 3 a a.Rút gọn A b.Tìm a để A < b.Tìm a để A � Z �a a �� a a 2 a � : �� � �� a �� a a 2 a2� � a4 � Bài 20 Cho : A= � � a.Rút gọn A b.So sánh : A với Bài 21 Cho : A A= x x 1 x xy y x x xy y x 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Tính A biết : � �1 � 1 � x3 y x x y y �: � � Bài 22 Cho : A = � �x y� xy x y � � � � x y x y� � a.Rút gọn A b.Cho xy = 16 Tìm minA 23: Cho biểu thức : a N= ab b b ab a a b ab a, Rút gọn biểu thức N b, Tính N a = , b = c, CMR a a 1 Thì N có giá trị không đổi b b 5 24: Cho biểu thức : a a2 M= 2 a b b a a2 a3 : 2 a b a b 2ab a, Rút gọn biểu thức M b, Tính M a = b = a M = b 1 x3 x x 1 x x 1 x x1 c, Tìm a, b trường hợp 25: Cho biểu thức : H= a, Rút gọn biểu thức H b, Tính H x = 53 9 c, Tìm x H = 16 HƯỚNG DẪN Câu a ĐK: x �0; x � ; x �1 (2,0đ) 4,0 đ 0,5 đ � � x � x 1 � : A = - �2 x x (2 x 1) x � x � � x x x (2 x 1) A= (2 x 1)(2 x 1) x 1 b (1,0đ) 0,5 đ A= - x 1 x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x A �Z � �Z 1 x 0,5 đ �Z nên x số hữu tỉ 1 x Suy x số phương, x �Z => x �Ư(2) Do x �0; x �1; x �Z x �Ư(2) => x = Do c Với x = 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) (1,0đ) x = - 49(5 2)(5 2) 75 (39 20 2) � x 75.(39 20 5) Vậy A a.(2,0đ) Đk : x 0; x �1 x x2 x x x 1 P x x 1 2 x 1 x x 1 x 1 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ Vậy x = A có giá trị ngun 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ (39 20 5) x 1 x 1 x 1 x 1 0,25 0,5 0,5 x x 1 Vậy P x x , với x 0; x �1 1� 3 � b (1,0đ) P x x � x � � 2� 4 � dấu xảy � x ( thỏa mãn) Vậy GTNN P x 4 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 c (1,0đ).Với x 0; x �1 Q = x > (1) x x 1 2 x 1 Xét x �0 x x 1 x x 1 0,25 Dấu khơng xảy điều kiện x �1 Nên Q < 2.(2) Từ (1) (2) suy < Q < a(2,0đ) A 0,25 0,25 0,25 x 9 x 1 x 3 ( x 3)( x 2) x 3 x 2 x (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 2) x 2x x x x x x 2 ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) 0,5 ( x 2)( x 1) x 1 ( x 3)( x 2) x 3 0,5 0,5 x 1 với (x �0, x �4, x �9) x 3 b(2,0đ) Với (x �0, x �4, x �9) Ta có: Vậy A 0,5 x 1 � x 2 x 3 x 3 � x � x (t / m) 1 Vậy A = � x = A � 0,5 1,0 0,5 4,0 đ 0,5 đ Câu a ĐK: x �0; x � ; x �1 (2,0đ) � � x � x 1 � : A = - �2 x x (2 x 1) x � x � � b (1,0đ) 0,25 0,5 đ A= - x x x (2 x 1) (2 x 1)(2 x 1) x 1 0,5 đ A= - x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 0,5 đ A �Z � �Z 1 x �Z nên x số hữu tỉ 1 x Suy x số phương, x �Z => x �Ư(2) Do x �0; x �1; x �Z x �Ư(2) => x = Do Vậy x = A có giá trị ngun 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ c Với x = 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) (1,0đ) x = - 49(5 2)(5 2) 75 (39 20 2) � x 75.(39 20 5) Vậy A 0,5 đ 0,5 đ (39 20 5) Câu 6.a) � � 2x x 2x x x x x x (2 x 1)( x 1) x (2 x 1)( x 1) � x ( x 1) ) 1 � �(1 x ) x 1 x 1 x x x 1 (1 x )( x x 1) � x � � � x ( x 1) � x x 1 1 � 1 x 1 � x x 1 x x 1 � x x 1 � A 1 ( 6 x 1 6 � � x x Từ giải x 3; x 5 x x 1 x 1 � x x � ( x 1) b)Ta có: A � x x 1 Do x �1 nên x �0 � ( x 1)2 Vậy A ( x ) (8 x 8) ( x 2) ( x x 3) ( x 2) : Câu a) Điều kiện x>0 Ta có : P x ( x 2) x ( x 2) Ta có A P= ( x 1) x 4 x 4 1 0 P-1= x 2 x 5 ( x 1) x 2 x 5 b) ( x 1).P 1 x x x 3x + x -1 = 3 3 32 x (loại) x Vậy P 1 (thỏa nmãnmãn Câu 8.a) Điều kiện để P có nghĩa: x (thỗ mãn điều kiện x>0) x �0 � � � x �۹ � x �9 � x �0 � � x � � x �9 � Ta có: (x 9) (4 x) 9 x (2 x)( x 3) ( x 2)( x 3) P x( x 3) ( x 3)( x 3) � P (x 9) (4 x) (9 x) (2 x)( x 3) b).Theo câu a ta có: P �x � i) � x (lo� 2 x x x3 x 1 � P x 4 x (2 x) x 2 x x Do để P Z ta cần x Z x = 1.Vậy với x = P có giá trị nguyên Bài 9: a)Ta có: 3x 3x 3x 1 0;1 x 0, x �0 , nên điều kiện để A có nghĩa 3x ��۹� x 2۹ 3x 3x � � � 3x 6x 3x � � � A� � � � x 23 x x � � 3x � � � � 3x x A� � 3x 3x 3x � A 3x 0, x A x � � x 3x 3x � 3x � A � � x 3x x � � � � �3x x � � 3x 3x 3x 3x 3x 3x � �3x x x � � ( �x � ) 3x 3x 3x x b).Với số nguyên không âm, để A số nguyên �3x � 3x 3x �1 � � �� � x (vì x �Z 3x � � 3x a : Bài 10: Điều kiện: a 0 A = 1 a 1 a a a a ( : a (a 1)(1 a) a 1 ( a 1) (1 a )(a 1) 1 a (a 1)( a 1) x �0 ) Khi đó: A a a a a a a 1) a 1 a : a 1 (1 a )( a 1) Bài11.a) Ta có: 3x 3x 3x 1 0;1 3x 0, x �0 , nên điều kiện để A có nghĩa 3x ��۹� x 2۹ x x 0, x 3x x 3 � � � � 3x 6x 3x � � � � A� x � � 3x � 3 x x � 3x � � � � � � � � 6x 3x 3x � �3 x x x A� � 3x 3x 3x � � � � 3x x A� � 3x x x � b) A 3x 3x 2 3x A � �3 x x � � 2 3x 3x 3x 3x 3x 2 ( �x � ) 3x � 3x �3x x � � � � � x (vì x �Z x �0 ).Khi đó: A � x � Với , để A số nguyên � 3x �3x Bài 12: a) Đk : x 0; y 0; x.y 1 Quy đồng rút gọn ta được: A = x y b) x y 6 A x y 1 3 x y x y 9 Max A = Híng dÉn *****@***** Bµi 13.a - Cần rõ ĐKXĐ A : x �0; x ��1 - Rót gän A tõng phÇn ta đợc kết : A x 42 b.BiÕn ®ỉi : x x 1 x 1 1 - Thay vµo vµ rót gän A ta cã : A x2 x 1 §Ĩ A > tøc : A - > mµ : x �0 buéc : A 1 c.XÐt hiÖu : Bµi 14.a x � x §K : m �0; m �1 P - BiÕn ®ỉi rót gän : m 1 m 1 b P Ta cã : m9 � � m 1 m 1 � � m � c ViÕt P díi d¹ng : m 1 P 1 Suy : m ớc Từ tìm m = Bài 15 Điều kiện x Rút gän P = b.Chøng tá : x x x 1 P �0 vµ 1-P �0 Bµi 16 a.BiĨu thøc cã nghÜa vµ chØ khi: x b.Rót gän : �0 vµ x �1 M = xx c.Ta cã : Bµi 17 M= xx = � 1� � x �� � 2� Giải Ta có (5) 3( x +2x+8)- 4= x x Vì x2+2x+8=(x+1)2 +7 => TXĐ : Mọi x Dặt t= x x => t Khi ta có : 3t2 - 4= t 3t t 0 t = -1 loại t= 16 63 loại 9 b) Đặt ẩn phụ để có phương trình hữu tỷ bậc cao Ví dụ : Giải phương trình x x 12 x 36 Giải ĐK : x+1>0 x Đặt x t t 0 => x+1 =t2 => x=t2-1 => x2 =t4 -2t2 +1 Khi ta có : t4 -2t2 +1 +t2 -1+ 12t -36=0 t t 12t 36 0 t 2t 2t 4t 3t 6t 18t 36 0 t t 2t t 3t t 18 t 0 t t 2t 3t 18 0 t 2 vô nghiệm t 0 t 2t 3t 18 18 t 2t 3t 18 0 t=2 => x+1=4 => x=3>-1 Vậy nghiệm phương trình x=3 c) Đặt ẩn phụ để có hệ phương trình hữu tỷ đơn giản Ví dụ 7: Giải phương trình x x 2 Giải Điều kiện: x 6 Đặt a= x ; b= x ( a, b khơng âm) Từ ta có hệ: a b 2 a b 2 a 3 a b b a b phương trình Ví dụ 8: Giải phương trình : x 3 x 9 x 7 (TMĐK) nên nghiệm x 1 x 1 x 1 x 3 Giải Đặt a = x ; b = x Từ ta có hệ: 3 a b 3 a b 3 a b 3 a b 3 a 0 a 3 a b 2 a ab b 3 a b 3ab 3 ab 0 b b 0 Nếu a=0; b=- => x=1 a= ; b=0 =>x=3 Vậy phương trình có hai nghiệm : x=1 ; x=3 Bài tốn 5: Giải phương trình: x x Giải: (1) 0 Điều kiện x �0 � x 1 x x 1 �0 Do x x �0 với x nên x �۳ Đặt a x ; b x x với a �0 ; b Nên phương trình (1) trở thành : 5ab a b 2 x a a �a � �a � � � � � � Giải phương trình b b �b � �b � a phương trình (1) vơ nghiệm b �x �1 a Với x x x � �2 Phương trình có hai nghiệm thoả điều b �x x Với kiện x1 37 ; x2 37 Bài tốn 8: Giải phương trình: x x x x 10 (1) Đặt a x � a x ; b x � b x nên b a x x Do � b2 a2 phương trình (1) trở thành: � (*) (b a )(1 ab) � 2 Từ hệ (*) suy b a b a ab � b a a b ab 1 ab � ba 0 � � � a b ta có x = -1 � � a b ab a 1 b 1 � � Cách giải khác: Điều kiện x > -2 x x 10 x x Nhân hai vế phương trình (1) với x x ta được: � x 2 x 5 � � �1 x 2 x 5 � 1 x 2 x 5 x2 x5 � x2 x5 � x 1 x 1 x � x2 x5 x x 5 x 1 x � x 1 x 1 x 4 � � �� �� �� Do x > -2 nên x = -4 (loại) Vậy nghiệm phương x 1 � x 1 1 x � � trình x = -1 Bài tốn 9: Giải phương trình: (1) 25 x 10 x � � 25 x �0 � �x �25 � �� Giải: Điều kiện � �2 10 x �0 � �x �10 x 10 10 x 10 (*) Đặt a 25 x ; 10 x b � a b 25 x 10 x 15 Nên phương trình (1) trở a b � a b a4 � � �� �� a b � b 1 a b 15 � � Nếu b = 10 x � x � x �3 so với điều kiên (*) x �3 thoả Nếu a = 25 x 16 � x � x �3 so với điều kiên (*) x �3 thoả Vậy phương trình có nghiệm x �3 thành � 2 Bài tốn 10: Giải phương trình: x x 5x Lập phương hai vế phương trình (*) ta được: (*) 3 3 � x x x 3 x 1 x 1 � � x x �� x x x x � x x x � x x x � x 5x � x x � Thử lại ta thấy phương trinh có ba nghiệm Bài tốn 11: Giải phương trình x x (1) Điều kiện: x �0 Đặt x a ; x b � a3 x ; � b3 x nên phương trình (1) trở thành a b a 2b � � ab ab � � � � �� � � �3 � � a b a ab b �a ab b � b b b b a b � � a 2b � a 2b a 2b � � � �� � � � a b 1 � � 2 2 b b b b b b b b � � � Nếu a = x � x � x Nếu b = x � x � x Vậy x = nghiệm phương trình Bài tốn 12: Giải phương trình x x (1) x Đặt x a ; x b �0 Nên phương trình cho trở Giải: TXĐ x �۳ a 1 b �a b � a b �a b a 1 b � � � � � � � thành: �3 � � � � a b �a b � b b �1 3b 3b b3 b2 �b b 4b � Nên b � 0;1;3 Do a; b 1;0 ; 0;1 ; 2;3 Nếu a x � x � x ; b x � x � x Nếu a x � x � x ; b x � x � x Nếu a 2 x 2 � x 8 � x 10 ; b x � x � x 10 Vậy phương trình có ba nghiệm x � 1; 2;10 Bài tốn 14: Giải phương trình : 3x x 2001 3 x x 2002 x 2003 2002 Giải: Đặt : 3x x 2001 a � a 3x x 2001 3 x x 2002 b � b3 3 x x 2002 x 2003 c � c3 6 x 2003 Suy a3 b3 c3 2002 Do phương trình cho a b c a b3 c nên a b c (a b3 c ) Khai triển thu gọn được: a b b c c a Nếu a b � 3x x 2001 3x x 2002 � 3x x 2001 3x x 2002 � 6x � x Nếu b c � 3x x 2002 x 2003 � 3x x 2002 6 x 2003 � 13 13 � ; � x x Phương trình có nghiệm x �� � � � Nếu a c � 3x x 2001 x 2003 � 3x x 2001 x 2003 � x x 4004 Phương trình vơ nghiệm �1 13 13 � ; Vậy phương trình có ba nghiệm x �� ; � 6 � �6 Bài tốn 16: Giải phương trình: x x 1000 8000 x 1000 Giải: Đặt 8000 x y � 8000 x y � 8000 x y y � y y 8000 x � y y 2000 x Do phương trình cho trở thành hệ phương trình: �x x 2000 y � (1).Từ hệ phương trình (1) ta suy �2 �y y 2000 x x x y y 2000 y x � x y x y x y 2000 x y (2) � x y x y 2000 � x y x y 1999 Từ hệ phương trình (1) 2 2 suy ra: x y x y 2000 x y � 2001 x y x y � x y Nên x y 1999 Do từ (2) suy x y hay x = y Thay vào hệ (1) ta x x 2000 x � x x 2001 � x x 2001 Nhưng x = không nghiệm phương trình nên phương trình có nghiệm x = 2001 Bài tốn 30: Tìm x, y, z biết x y z x y z Điều kiện: x; y; z �0 ; x y z �0 Đặt x a ; y b ; z c Do a.b.c �0 nên ta có a b2 c a b c � a b c a b c � a b c a b2 c 2ab 2ac 2bc � 2b2 2ab 2ac 2bc � 2b a b 2c a b � a b b c a b � �� � bc � ab � � bc � Hoặc cách giải khác: Do x = y z tuỳ ý ; y = z x tuỳ ý x yz x y z � x yz y x z � x y z y y x y x x z xz � y x y z xz � y x y z xz � y x y yz xz � y x y z x y � x y y z Do x = y z tuỳ ý y = z x tuỳ ý Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm chứng minh nghiệm Ví dụ 9: Giải phương trình : x x 1 x x 2 x x 3 (9) Giải Ta thấy với x=0 giá trị vế trái= 0 1 0 2 0 Giá trị vế phải = 2 3 0 => x=0 nghiệm Giả sử phương trình có nghiệm x>0 Tiến hành chia hai vế (9) cho x x 2 x (9’) x ta có Mà x 1 x 3 x x x x x (9’) vô nghiệm=> phương trình (9) khơng có nghiệm x>0 Giả sử phương trình có nghiệm x x x x x x (9’’) vô nghiệm => phương trình (9) khơng có nghiệm x giá trị vế trái nhận giá trị âm Mà x 0 => giá trị vế phải lại khơng âm Do phương trình cho vơ nghiệm b) Chứng tỏ tập giá trị hai vế không giao giá trị Khi phương trình có nghiệm giá trị ẩn Ví dụ 11: Giải phương trình : x x 3x x 2 x x Giải 2 Ta có : x x x 1 Dấu “=” xảy x=-1 3x x 3 x 1 Dấu “=” xảy x=-1 => Giá trị vế trái 3 Dấu “=” xảy x=-1 Mà 2- 2x- x2 =-(x2 +2x+1)+3=- (x+1)2 +3 Dấu “=” xảy x=-1 Vì x=-1 nghiệm phương trình cho c) Sử dụng dấu xảy bất đẳng thức: Ví dụ 12: Giải phương trình : x x 4 Giải ĐK: x>2 Ta có 0 ; x x áp dụng bất đẳng thức cơ-sy cho hai số khơng âm ta có: 4 x 4 x áp dụng a+b 2 ab a, b 0 Dấu “=” xảy a=b x =4 Ta có x x x x 4 x x 2 => x x x x x 2 x x x 2 x x 4 x 4 4 x 6 (TM) Vậy nghiệm phương trình x=6 Bài tốn 1: Giải phương trình x 10 x x 12 x 40 2 Bổ đề : Với a �0; b �0 a b a b � a b a b � a b � a b Giải: Điều kiện : �x �10 , Ta có x 10 x � x 10 x mà x 12 x 40 x 12 x 36 x �4 Dấu xảy �x 10 x � x Vậy phương trình có nghiệm x = � �x Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số khơng âm ta có x 10 x x 10 x � 2 4 �x � x6 Dấu xảy � 10 x � x 10 x Bài tốn 2: Giải phương trình: x x x x x x Vì x x �0 x x �0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si số hạng vế trái ta x2 x 1 x2 x được: x x 1 � (1) 2 x x2 x x2 x x 1 � (2) 2 x2 x x x2 x nên theo đề Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: x x x x � 2 ta có : x x �x � x 1 �0 Đẳng thức xảy x = Thử lại ta thấy x = thoả m·n Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tốn 3: Giải phương trình: x x x 12 x 14 (1) � x� � x � � � � � Điều kiện tồn phương trình: � x �0 � �x �5 � x (*) Vế phải (1): 3x 12 x 14 x x x �2 Đẳng thức xảy x = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki thoả mãn (*) vế trái phương trình (1): x x � 12 12 x x Đẳng thức xảy 2 x x � x Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm phương trình Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho hai số khơng âm ta có: 2x 1 2x 1 Đẳng thức xảy 2 x 3 x � �2 x � x Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm � x � phương trình Bài tốn 4: Giải phương trình: x x x x x x (1) � x x �0 � Giải: Điều kiện � (2) x x �0 � Vế trái phương trình (1): x x x 1 �2 với x �R đẳng thức xảy x = Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với x thoả mãn (2) vế phải phương trình (1) thoả: 2 x x x 3x 1 12 2x x x 3x x x x 1 �2 đẳng thức xảy x x 3x 3x Để đẳng thức xảy phương trình (1) hai vế phương trình (1) Nên x = Thử lại thấy x = nghiệm phương trình Tốn BDHSG phương trình hệ phương trình (lớp 9) Bài tốn 1: Giải phương trình x 10 x x 12 x 40 2 Bổ đề : Với a �0; b �0 a b a b � a b a b � a b � a b Giải: Điều kiện : �x �10 , Ta có x 10 x � x 10 x mà x 12 x 40 x 12 x 36 x �4 Dấu xảy �x 10 x � x Vậy phương trình có nghiệm x = � �x Hoặc: Áp dung bất đẳng thức Cơ si cho hai số khơng âm ta có x 10 x x 10 x � 2 4 �x � x6 Dấu xảy � 10 x � x 10 x Bài tốn 2: Giải phương trình: x x x x x x Vì x x �0 x x �0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si số hạng vế trái ta x2 x 1 x2 x được: x x 1 � (1) 2 x x2 x x2 2 x x 1 � (2) 2 x2 x x x2 x nên theo đề Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: x x x x � 2 ta có : x x �x � x 1 �0 Đẳng thức xảy x = Thử lại ta thấy x = thoả m·n Vậy phương trình có nghiệm x = Bài tốn 3: Giải phương trình: x x x 12 x 14 (1) � x� � x �0 � � � � x Điều kiện tồn phương trình: � (*) x �0 2 � �x �5 � Vế phải (1): 3x 12 x 14 x x x �2 Đẳng thức xảy x = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki thoả mãn (*) vế trái phương trình (1): x x � 12 12 x x Đẳng thức xảy 2 x x � x Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm phương trình Hoặc Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho hai số khơng âm ta có: 2x 1 2x 1 Đẳng thức xảy 2 x 3 x � �2 x � x Đẳng thức xảy phương trình (1) nên x = nghiệm � 2x � phương trình Bài tốn 4: Giải phương trình: x x x x x x (1) � x x �0 � Giải: Điều kiện � (2) x x �0 � Vế trái phương trình (1): x x x 1 �2 với x �R đẳng thức xảy x = Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki với x thoả mãn (2) vế phải phương trình (1) thoả: 2 x x x 3x 1 12 2x x x 3x x x x 1 �2 đẳng thức xảy x x 3x 3x Để đẳng thức xảy phương trình (1) hai vế phương trình (1) Nên x = Thử lại thấy x = nghiệm phương trình Bài tốn 5: Giải phương trình: x x (1) Giải: 0 Điều kiện x �0 � x 1 x x 1 �0 Do x x �0 với x nên x �۳ Đặt a x ; b x x với a �0 ; b Nên phương trình (1) trở thành : 5ab a b 2 x a a �a � �a � � � � � � Giải phương trình b b �b � �b � a phương trình (1) vơ nghiệm b �x �1 a Với x x x � �2 Phương trình có hai nghiệm thoả điều b �x x Với kiện x1 37 ; x2 37 42 60 (1) 5 x 7 x � 42 � � 60 � � � � Phương trình (1) có nghĩa x < nên 1 � � � � 5 x � 7x � � �� � � � � 42 � 42 � � 60 � 60 � 42 60 3 3 3 3 9 9 � � � �� � � � 5 x � 5 x � � 7x � 7x � � 5 x 7x 0 � � �� 0 � 42 � � 60 � � � 42 � 60 � 3 3 � �� � 3 3 � � � � 5 x � � 7x � x x � � � � � x 42 x 60 � 0 � � 42 � 60 � 3 x �3 � x � � 5 x � 7x � � � Bài toán 6: Giải phương trình: � � � � 1 � � � 3x � � � 3x � � 42 � 60 � � � 3 x �3 � x � � x x � � � � � � � � 1 � � 42 � 60 �> nên x Thử lại nên nghiệm phương 3 x �3 � x � � 5 x � 7x � � � trình x Bài tốn 7: Giải phương trình: x x x x x x 3 (1) Điều kiện để phương trình có nghĩa : 3 x ;0 x Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: x x x x 5 x x x x x 3 � x x x 5 10 x x � x x x 10 x x � x x x 100 x 20 x x � x x x 10 100 x 20 x x � x x 60 x � 10 � � x 3x x 60 Giải phương trình x �� ;0;6 � Thử lai có hai � nghiệm x = 0; x = thoả mãn đề cho Bài toán 8: Giải phương trình: x x x x 10 (1) Điều kiện x > -2 x x 10 x x Nhân hai vế phương trình (1) với x x ta được: � x 2 x 5 � � �1 x 2 x 5 � 1 x 2 x 5 x2 x5 � x2 x5 � x 1 x 1 x � x2 x5 x x 5 x 1 x � x 1 x 1 x 4 � � �� �� �� Do x > -2 nên x = -4 (loại) Vậy nghiệm phương x 1 � x 1 1 x � � trình x = -1 Cách giải khác: Đặt a x � a x ; b x � b x nên b a x x Do � b2 a2 phương trình (1) trở thành: � (*) (b a )(1 ab) � 2 Từ hệ (*) suy b a b a ab � b a a b ab 1 ab � ba 0 � �� � a b ta có x = -1 � a b ab �a 1 b 1 � Bài tốn 9: Giải phương trình: � � 25 x �0 � �x �25 � �� � 10 x �0 � �x �10 (1) 25 x 10 x x 10 Giải: Điều kiện � 10 x 10 (*) Đặt a 25 x ; 10 x b � a b 25 x 10 x 15 Nên phương trình (1) trở a b � a b a4 � � �� �� a b � b 1 a b 15 � � 2 Nếu b = 10 x � x � x �3 so với điều kiên (*) x �3 thoả Nếu a = 25 x 16 � x � x �3 so với điều kiên (*) x �3 thoả Vậy phương trình có nghiệm x �3 thành � 2 Bài toán 10: Giải phương trình: (*) x x 5x Lập phương hai vế phương trình (*) ta được: 3 3 � x x x 3 x 1 x 1 � � x x �� x x x x � x x x � x x x � x 5x � x x � Thử lại ta thấy phương trinh có ba nghiệm Bài tốn 11: Giải phương trình x x (1) Điều kiện: x �0 Đặt x a ; x b � a3 x ; � b3 x nên phương trình (1) trở thành a b a 2b � � ab ab � � � � � � � �3 � � a b a ab b � a b a ab b � b b b b2 � � � a 2b � a 2b a 2b � � � �� � � � a b 1 � � 4b b 2b b2 b b 2b b 1 � � � Nếu a = x � x � x Nếu b = x � x � x Vậy x = nghiệm phương trình Bài tốn 12: Giải phương trình x x (1) x Đặt x a ; x b �0 Nên phương trình cho trở Giải: TXĐ x �۳ a 1 b �a b � a b �a b a 1 b � � � � � � � thành: �3 � � � � a b �a b � b b �1 3b 3b b3 b2 �b b 4b � Nên b � 0;1;3 Do a; b 1;0 ; 0;1 ; 2;3 Nếu a x � x � x ; b x � x � x Nếu a x � x � x ; b x � x � x Nếu a 2 x 2 � x 8 � x 10 ; b x � x � x 10 Vậy phương trình có ba nghiệm x � 1; 2;10 x x x2 (*) x x2 1 x �0 hay x �1 Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa x �0 x 1 x x 1 x nghiệm phương trình (*) 1 * � Thử thấy x 1 x 1 x 2x 1 1 Với x x x x Suy x x2 1 x 2x 1 1 Với x �1 �1 x x x Suy x x2 Vậy x = nghiệm phương trình Bài tốn 13:Giải phương trình Bài tốn 14: Giải phương trình : 3x x 2001 3 x x 2002 x 2003 2002 Giải: Đặt : 3x x 2001 a � a 3x x 2001 3 x x 2002 b � b3 3 x x 2002 x 2003 c � c3 6 x 2003 Suy a3 b3 c3 2002 Do phương trình cho a b c a b3 c nên a b c (a b3 c ) Khai triển thu gọn được: a b b c c a Nếu a b � 3x x 2001 3x x 2002 � 3x x 2001 3x x 2002 � 6x � x Nếu b c � 3x x 2002 x 2003 � 3x x 2002 6 x 2003 13 13 � � ; � x x Phương trình có nghiệm x �� � � � Nếu a c � 3x x 2001 x 2003 � 3x x 2001 x 2003 � x x 4004 Phương trình vô nghiệm �1 13 13 � ; � 6 � �6 � Vậy phương trình có ba nghiệm x �� ; Bài tốn 15: Tính giá trị biểu thức: a 1 a4 a a2 a nghiệm d¬ng phương trình x x Giải : Phương trình x x có ac = - nên có hai nghiệm phân biệt với a nghiệm dương phương trình nên ta có: 4a 2a (1) Vì a > nên từ (1) có : a2 1 a 1 a a 2a a � a4 2.2 2 Gọi S a 1 a a 1 a a 1 a4 a a2 a4 a a4 a 1 a4 a 1 a2 a a 1 a 4 a4 a a2 2a a 1 a 2a a 8a a a 6a a a a a 1 8 2 2 2 2 2 2 Bài toán 16: Giải phương trình: x x 1000 8000 x 1000 Giải: Đặt 8000 x y � 8000 x y � 8000 x y y � y y 8000 x � y y 2000 x Do phương trình cho trở thành hệ phương trình: � �x x 2000 y (1).Từ hệ phương trình (1) ta suy �2 �y y 2000 x x x y y 2000 y x � x y x y x y 2000 x y (2) � x y x y 2000 � x y x y 1999 Từ hệ phương trình (1) 2 2 suy ra: x y x y 2000 x y � 2001 x y x y � x y Nên x y 1999 Do từ (2) suy x y hay x = y Thay vào hệ (1) ta x x 2000 x � x x 2001 � x x 2001 Nhưng x = khơng nghiệm phương trình nên phương trình có nghiệm x = 2001 Bài tốn 17: Giải phương trình Điều kiện phương trình: x �2 x 3x x x x x Ta có x 3x x x x x � x x x x x x � � x 1 x2 x3 x2 x3 � x2 x3 x 1 1 x x x � x x x � x 1 x � x nghiệm phương trình Bài tốn 18: Giải phương trình 1 2 5x x x 36 x x 16 Giải : ĐKXĐ: x �0 Với x �0 nên chia 2 5x x 36 x 12 x 36 x 122 2 hai vế phương trình cho x mẫu ta : 36 �12 � 36 �12 � Đặt � � � � x �x � x �x � Từ phương trình ta có 12 � 36 � t Khi ta có Quy đồng khử mẫu ta được: � � 4t 9t �x � x t 12t 36 � t � t 2 12 � 36 � Do � � Quy đồng khử mẫu ta x x 24 �x � x Giải phương trình x x 24 ta nghiệm: x1,2 3 � 33 Vậy phương trình có hai nghiệm x1,2 3 � 33 Tìm x, y, z biết x y z x y z Điều kiện: x; y; z �0 ; x y z �0 Đặt x a ; y b ; z c Do a.b.c �0 nên ta có Bài tốn 30: a b2 c a b c � a b c a b c � a b c a b2 c 2ab 2ac 2bc � 2b2 2ab 2ac 2bc � 2b a b 2c a b � a b b c a b � �� � bc � ab � � bc � Hoặc cách giải khác: Do x = y z tuỳ ý ; y = z x tuỳ ý x yz x y z � x yz y x z � x y z y y x y x x z xz � y x y z xz � y x y z xz � y x y yz xz � y x y z x y � x y y z Do x = y z tuỳ ý y = z x tuỳ ý Bài toán 33: Cho phương trình x 2mx (*) Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x14 x24 x34 x44 32 Giải: Đặt x t phương trình (*) trở thành t 2mt (1) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 ngh ĩa l à: �m � ' m2 m �m 2 � � � t1 t2 2m � � m0 � � � m 2 � m0 � � � t1.t2 t1.t2 � � Khi m