Chuyên đề I: Các toán tỷ lệ thức A.Kiến thức Học sinh nắm vững định nghÜa, tÝnh chÊt cđa tû lƯ thøc, tÝnh chÊt cđa dÉy tû lƯ thøc b»ng Bỉ xung: NÕu: e a c = = =K f b d K a + K c + K e =K K b + K d + K f Thì B.Các toán Dạng 1: Tìm thành phần cha biết tỷ lệ thức (hoặc dẫy tỷ số nhau) Ví dụ 1: Tìm số x,y,z biÕt 5.x=8.y=20.z vµ x – y - z=3 **Cã thể định hớng học sinh giải theo cách *Để tìm đợc số x, y, z cần sử dụng tÝnh chÊt cđa tû lƯ thøc, tÝnh chÊt cđa dÉy tỷ số Muốn cần sử dụng giả thiết toán, từ giả thiết toán, biến đổi để xuất tỷ lệ thức, c¸c tû sè b»ng C¸ch 5x = 8y ⇒ x y = (1) 8y = 20z V× ⇒ y z = 20 ⇒ ⇒ x = Tõ (1) vµ (2) y y = z (2) z = *Sư dơng tÝnh chÊt cđa dÉy sè b»ng biÕn ®ỉi ®Ĩ sư dụng điều kiện lại toán Cách 2: V× 5.x = 8.y = 20.z x y z = = = 1 20 ⇒ Cách 3: 5x=8y=20z Cùng chia tích cho BCNN ( 5, 8, 20 ) 40 ta đợc x y 20 z = = 40 40 40 ⇒ x = y = z =… Trong cách giải trên:Cách đơn giản, dễ hiểu nhng dài Cách 2: Ngắn song bớc biến đổi lại phức tạp ( Cộng phân số khác mẫu) Cách 3:Đối với học sinh khá, giỏi phù hợp Ví dụ 2: Tìm x, y biết 2x + 3y − 2x + 3y − = = 6x *Híng dÉn häc sinh nhËn xÐt mèi quan hƯ c¸c biĨu thøc tỷ số từ có cách làm hợp lý: Một số toán: Bài Tìm số x, y, z biÕt = = x +1 y − z + vµ x.y.z = 12 Bài Tìm x, y biết y2 x2 x2 + y2 = vµ x10 y10 = 1024 Bài Tìm tỷ lệ cạnh tam giác biết cộng lần lợt độ dài hai đợng cao tam giác tỷ lệ kết 5:7:8 Dạng Chứng minh tû lƯ thøc Tõ mét tû lƯ thøc cã thĨ chuyển thành đẳng thức hai tích Học sinh nắm vững phơng pháp chứng minh tỷ lệ thức, sau giải tốt dạng toán chứng minh đẳng thức lớp Do dạy tỷ lệ thức cần yêu cầu học sinh khá, giỏi hiểu chứng minh đợc tính chất tû lƯ thøc vµ tÝnh chÊt cđa dÉy tû sè b»ng VÝ du 1: Cho tû lÖ thøc Chøng minh r»ng : a c = b d ≠ Víi a, b, c, d ≠ a−b c−d = a c Giáo viên định hớng cho học sinh cách chứng minh Cách Dựa vào tính chất tû lÖ thøc a c = b d ⇔ a.d = b.c Để có đợc tỷ lệ thức ( Điều cÇn chøng minh ) cÇn cã hai tÝch b»ng Ta biến đổi tích thứ để có kết b»ng tÝch thø hai XÐt tÝch (a-b) c = a.c - b.c = a.c - a.d = a.(c-d) VËy (a-b).c = a.(c-d) ⇒ (V× a c = ⇒ a.d = b.c b d Đặt thừa số chung) ab cd = a c Cách Để chứng minh tỷ lệ thøc ( Hai tû sè b»ng ) ta chøng minh hai tû sè ®ã b»ng tû sè thø a c = =K b d Đặt a = b.K c = d K ⇒ a − b b.K − b b( K − 1) K − = = = a b.K b.K K (1) c − d d K − d d ( K − 1) K − = = = c d K d K K NÕu cã: (2) a−b c−d = a c Từ (1) (2) **GV hình thành cho học sinh cách chứng minh đẳng thức biến đổi hai vế để chúng có giá trị a c = b d Vì b d = a c ⇒ C¸ch a−b c−d = a c ⇒ 1- b d = 1− a c *Hớng dẫn học sinh giải toán nhiều cách khác nhau, cho học sinh nhận xét cách giải Giáo viên chốt lại cách hay vận dụng giải đ ợc nhiều toán Tuỳ theo mà có cách giải hợp lý a c = b d VÝ dô Cho CMR: d ) ( c ≠ µ 5a + 3b 5a − 3b = 5c + 3d 5c − 3d C¸ch Sư dơng tÝnh chÊt cđa dÉy sè b»ng C¸ch Chøng minh tû sè cã cïng giá trị Đặt a c = b d = K Khi hai tỷ số b d Các toán: Bài Cho b2 = a.c Bµi Cho a c = b d CM r»ng: Chøng minh r»ng a2 + b2 a = b2 + c2 c ≠ µ vµ c ≠ a.b a−b = c.d c−d Bµi CM r»ng nÕu ta cã dÉy tû sè b»ng a a1 a a3 = = = = 2005 a a3 a a 2006 Thì suy đợc biểu thức a + a + a3 + + a 2005 a1 = a 2006 a + a3 + a + + a 2006 2005 Dạng Tính giá trÞ cđa biĨu thøc Sao cho a + b + c + d ≠ VÝ dô 1: Cho sè a, b, c, d; b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c = = = =K a b c d BiÕt Tính giá trị K Cách áp dụng tính chất dẫy tỷ số ta đợc 3(a + b + c + d ) =K a+b+c+d ⇒ K = Cách Cộng thêm vào tû sè ⇒ a = b = c = d K=3 Các toán: Bài 1: Biết a b c = , = , =4 , a b c Tính giá trị biểu thức Bài Cho M= Vµ P = a, + 3b, - 2c, ≠ a + 3b − 2c a , + 3b , − 2c , x + y − 3z x y + 3z Tính giá trị M biÕt c¸c sè x, y, z tû lƯ víi 5; 4; Bài Cho số A, B, C tû lƯ víi c¸c sè a, b, c Chøng minh giá trị biểu thức Q = A.x + B y + C ax + by + c Không phụ thuộc vào giá trị x,y Chuyên đề II: Phơng pháp tam giác Đối với học sinh lớp bớc đầu làm quen với toán chứng minh hình học Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc Cách làm thông thờng cách làm đợc coi là: Gắn vào c¸c tam gi¸c, chøng minh c¸c tam gi¸c chøa c¸c yếu tố cần chứng minh Các tam giác tam giác có sẵn phải tạo cách vẽ thêm đờng phụ Đờng phụ đoạn thẳng nối hai trung điểm, hạ đờng vuông góc, song song,vẽ tia phân giác VÝ du1: Cho ABC VÏ vỊ phÝa ngoµi tam giác tam giác vuông cân A ABE vµ ACF a.CM r»ng BF = CE vµ BF CE b.Gọi M trung điểm BC CM r»ng AM = EF C©u a GV hớng dẫn học sinh định hớng ban đầu Thờng đặt hệ thống câu hỏi theo sơ đồ phân tích lên Giúp học sinh thấy đợc mối liên hệ kết luận giả thiết toán Những câu hỏi học sinh đợc rèn, tập dợt nhiều lần Sau suy nghĩ, t học sinh làm toán Sơ đồ phân tích lên: BE = CE ABF = AEC AB = AE (gt) ∠BAF = ∠EAC ( = 90 o + ∠BAC) AF = AC (gt) C©u b: Häc sinh vẽ tách riêng hình, định hớng cho học sinh cách chứng minh thờng cách: Cách 1: Gấp đôi đoạn thẳng nhỏ đợc đoạn thẳng CM đoạn đoạn thẳng lớn Cách 2: Chia đôi đoạn thẳng lớn CM nửa đoạn thẳng nhỏ Với toán làm theo cách ( Hình vẽ ) Khai thác toán: Vẽ thêm đờng cao AH cña ABC ( H ∈ BC ) Chøng minh đờng thẳng AH qua trung điểm EF Gọi I, K lần lợt trung điểm BE, CF Tính góc MIK Các toán: Bài 1: Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM Trên cạnh AB lấy điểm E, cạnh AC lÊy ®iĨm F cho ∠ EMF = 90 o Chøng minh AE = AC Bµi 2: Cho ABC cã ®êng cao AH vµ ®êng trung tuyÕn AM chia gãc A thành góc Lấy điểm E thuộc c¹nh AC cho AE = AH a CM r»ng ME = BC b TÝnh c¸c gãc cđa EMC c BiÕt AB = 4cm TÝnh AC Bµi Cho tam giác ABC Gọi H, G, O lần lợt trực tâm, trọng tâm, giao điểm đờng trung trực tam giác Chứng minh a AH hai lần khoảng cách từ O đến BC b Ba điểm H, G, O thẳng hàng Chuyên đề III Phơng pháp tam giác *Phơng pháp tam giác thể cách vẽ hình phụ nhằm tạo thêm hình vẽ cạnh nhau, góc Giúp cho việc giải toán đợc thuận lợi Nhất dạng toán tính số đo góc Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A, A = 80o Gọi O điểm tam giác cho ∠OBC = 30o , ∠ OCB=100 TÝnh ∠ COA *Híng dÉn häc sinh dùa vµo mèi quan hƯ góc ABC cân A, A=800 B = C = 500 *Liên quan đến góc tam giác 500 + 100 = 600 Vậy để dựng tam giác ®Ịu: Nh h×nh vÏ Nèi D víi A : CBO = CDA (c.g.c) CA=CO *Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ góc cần tìm số đo thờng góc đặc biệt góc đợc gắn vào tam giác đặc biệt ( Cân, Vuông cân, nửa đều) gắn vào tam giác đà biết đợc số đo góc Các toán Bài Cho ABC cân A, A=1000 Gọi O điểm tia phân giác cña ∠C Sao cho ∠CBO = 300 TÝnh ∠ CAO Bài Cho ABC Cân A, A=1000 Trên tia AC lÊy ®iĨm D Sao cho AD = BC Tính CBD Bài Cho ABC Cân A, A=800 Trên cạnh BC lấy điểm I cho BAI =500 Trên cạnh AC lấy điểm K cho ABK=300 Hai đoạn thẳng AI BK cắt H : CM HIK Cân biểu thức đại số Giá trị biểu thức đại số Bài 1:Tính giá trị biểu thức : A = x2 + 4xy – 3y3 víi x = 5; y = 4x − 4y + Bµi 2: Cho x y = 9, tính giá trị biểu thức : B = x + y − y + x ( x ≠ - 3y ; y ≠ - 3x) Bài 3: Tính giá trị biểu thøc sau : x ( x + y )( x − y )( x + y )( x + y ) víi x = vµ y = x 16 + y 16 a) A = b) B = 2m2 – 3m + víi m = c) C = 2a2 – 3ab + b2 víi a = b = Bài 4: Xác định giá trị biến để biểu thức sau cã nghÜa : ax + by + c xy − y Bài 5: Tính giá trị biểu thøc : N= x + x − 2x − a) x +1 x2 − b) x x2 +1 c) Bài : Tìm giá trị biến để : a)A= (x + 1)(y2 6) có giá trị Bài : Tính giá trị biểu thức sau : 5x + y A= 10 x − y víi víi x = b) B = x2 12x + có giá trị x y = Bµi 8: Cho x, y, z ≠ vµ x – y – z = Tính giá trị biểu thức z x y B = 1 − 1 − 1 + Bµi 9: x y z a) T×m GTNN cđa biĨu thøc C = ( x+ 2)2 + ( y - ) – 10 b) T×m GTLN cđa biĨu thøc sau : D = Bµi 10: Cho biĨu thøc E = ( x − 3) + 5− x Tìm giá trị nguyên x để : x2 a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ Bài 11: Tìm GTNN c¸c biĨu thøc sau : a) (x – 3)2+ b) (2x + 1)4 – c) (x2 – 16)2 + y - Bài 12: Tìm GTNN cđa biĨu thøc :A = x − + x 10 Bài 13: Tìm giá trị nguyên x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên : A= 10 x + 15 5x + Bµi 14: Cho f(x) = ax + b ®ã a, b Z Chứng minh đồng thời cã f(17) = 71 vµ f(12) = 35 Bµi 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c Chøng minh số nguyên a, b, c lµm cho f(x) = x = 1998 vµ f(x) = x = 2000 Bµi 16: Chøng minh r»ng biÓu thøc P = x8 – x5 + x2 x + nhận giá trị dơng với giá trị x Bài 17: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thøc : B = x − − x + víi x ≤ 11 Bµi 18: Chøng minh đẳng thức sau : a) x2 y2 = (x+ y) (x- y) b) x3 + y3 = (x+ y) ( x2 – xy + y2) c) a(a – b) – b(b- a) = a2 – b2 d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bc e) a( 1- b) + a( a2 – 1) = a (a2- b) f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x) Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau : a) A = ( 15x + 2y) - [ ( x + 3) − ( x + y ) ] b) B = - (12x + 3y) + (5x – 2y) - [13x + ( y − 5) ] Bài 21: Đặt thừa số chung để viết tổng sau thành tích : a) ab + bd – ac – cd b) ax + by – ay – bx c) x2 – xy – xy + y2 2+ 5x + d) x Bµi 22: Chøng tá r»ng : a) BiÓu thøc x2 + x + luôn có giá trị dơng với giá trÞ cđa x b) BiĨu thøc – 2x2 + 3x không nhận giá trị dơng với giá trị x Bi 23*: Tỡm x, y l số hữu tỷ biết rằng: x a) x + = x b) x + = c) x + = y − x N) Bài 24: Tìm x, y số nguyên biết: x+2 x −1 2x − x +1 d) (x-2) 25n + + y- 2= (n ∈ x−2 c*) y = x − Bµi tËp båi dìng häc sinh giái - Tam gi¸c b»ng -Bài 1: Cho ABC cân A, = 108 Gọi O điểm nằm tia phân giác cña gãc C cho = 12 VÏ tam giác BOM ( M A nằm phía ®èi víi BO) Chøng minh r»ng: a/ Ba ®iĨm C, A, M thẳng hàng b/ AOB cân Bài 2: Cho ABC cân A, = 80 Trên cạnh BC lấy điểm I cho =50 Trên cạnh AC lấy điểm K cho = 30 Hai đoạn AI BK cắt H Chứng minh HIK cân Bài 3: Cho ABC AB vẽ = 75 , =60 Trên nửa mặt phẳng bờ BC có tia Bx cho =15cóTừ A= a,đờng thẳng vuông góc với AB cắt Bx D chứa điểm A vẽ a/ Chøng minh DC ⊥ BC b/ TÝnh BC +CD theo a Bài 4: Cho ABC, kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB Trên tia đối cđa tia BD lÊy ®iĨm H cho BH = AC Trên tia đối tia CE, láy điểm K cho CK = AB Chøng minh r»ng AH = AK a) y = b*) y = Bµi tËp båi dìng häc sinh giái - Tam gi¸c b»ng -8 Bài 1: Cho ABC cân A, = 108 Gọi O điểm nằm tia phân giác gãc C cho = 12 VÏ tam gi¸c ®Ịu BOM ( M vµ A n»m cïng phÝa ®èi víi BO) Chøng minh r»ng: a/ Ba ®iĨm C, A, M thẳng hàng b/ AOB cân Bài 2: Cho ABC cân A, = 80 Trên cạnh BC lấy điểm I cho =50 Trên cạnh AC lấy ®iĨm K cho = 30 Hai ®o¹n AI BK cắt H Chứng minh HIK cân Bµi 3: Cho ∆ABC AB vÏ = 75 , =60 Trên nửa mặt phẳng bờ BC có tia Bx cho =15cóTừ A= a,đờng thẳng vuông góc với AB cắt Bx D chứa điểm A vẽ a/ Chøng minh DC ⊥ BC b/ TÝnh BC +CD theo a Bài 4: Cho ABC, kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB Trên tia đối tia BD lÊy ®iĨm H cho BH = AC Trên tia đối tia CE, láy điểm K cho CK = AB Chøng minh r»ng AH = AK Phòng giáo dục Ngọc lặc Trờng THCS quang trung đề thi học sinh giỏi tuyến huyện Năm học: 2006 - 2007 Môn thi : Toán Thời gian: 120 phút Câu (3 điểm): Tìm x, biết: a) x-1 + = 2006 c) b) (x + 3)2 = 144 x x x x 2006 + + + + = 1.2 2.3 3.4 2006.2007 2007 Câu (2 điểm): Cho M = + 52 + 53 + 54 + …+ 52006 N= ( 52007 - 129) Chứng tỏ M- N số nguyên Câu (2 ®iÓm): Cho A= 1+2 +22 + 23 +24 +…+22003 Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 21 C©u (2 ®iÓm): Cho a x b y = ; = k a x b a2 x Chøng minh r»ng: = y b 3 ; vµ 0,9 Câu (2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A= + -x C©u (2 điểm): Chia số 195 thành ba phần tỉ lệ thuận với Câu (2 điểm): Tìm số nguyên n lín nhÊt cho n200 < 5300 C©u (5 điểm): Cho tam giác ABC có A = 900, M trung điểm BC Trên tia AM lấy ®iĨm N cho M lµ trung ®iĨm cđa AN Chøng minh: a) CN = AB ; CN AB b) AM = BC ………………………………………….HÕt…………………………………………… C©u C©u (3 điểm) đáp án đề thi học sinh giỏi Huyện toán ý a (1điểm) b (1điểm) c (1điểm) Câu (2 ®iĨm) Néi dung BiĨu ®iĨm x − +5 = 2006 => x − = 2006 -5 => x − = 2001 x-1 = 2001 => x= 2002 Hc x-1 = - 2001 => x= - 2002 (x+3)2 = 144 => (x+3)2 = 122 x+3 = 12 => x = Hc x+3 = -12 => x = -15 0.5 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.5 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm x x x x 2006 + + + + = 2 3 2006.2007 2007 1 1 2006 + + + => x + = 2006.2007 2007 1.2 2.3 3.4 1 1 1 1 2006 − => x1 − + − + − + − + = 2006 2007 2007 2 3 4 2006 ⇒ x1 − = 2007 2007 2006 2006 ⇒ x= 2007 2007 => x = Ta cã: M= 5+ 52 + 53 +…+ 52006 => 5M = 52+ 53 + 54 +…+ 52006 + 52007 => 4M = 5M - M = 52007 -5 2007 ( − 5) 1 VËy M-N= 2007 − − 2007 − 129 4 124 => M-N = (129 − 5) = = 31 ∈ Z 4 => M = ( ) ( 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.5 ®iĨm ) 0.25 ®iĨm 0.25 ®iĨm VËy M- N lµ số nguyên Câu (2 điểm) Ta có: A = 1+ 2+ 22 + 23 + … +22003 = (1+ 22 + 24) + (2 + 23 + 25) +…+ (21999 + 2001 + 22003) = (1+ 22 + 24) + (1+ 22 + 24) +… + 21999(1+ 22 + 24) = 21 + 21+ 26 21+…+ 21999 21) = 21(1 + + 26 +…+ 21999) chia hÕt cho 21 VËy A chia hÕt cho 21 10 0.5 ®iĨm 0.25 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.25 ®iĨm C©u (2 ®iĨm) Ta cã: a x = => a = kx k k b y = => b = ky k b VËy C©u (2 điểm) a kx x = = (Điều phải chøng minh) b ky y 0.75 ®iĨm 0.75 ®iĨm 0.5 điểm Gọi ba phần đợc chia x; y; z Vì phần tỉ lệ thuận 3 với ;1 0,9 áp dụng dÃy tỉ số b»ng ta cã: x y z x+ y+z x + y + z 195 = = = = = = 60 0,9 65 65 + + 5 10 20 20 Suy ra: x = 60 = 36 y = 60 = 105 z = 60.0,9 = 54 Câu (2 điểm) Câu (2 điểm) 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm Vậy ba phần đợc chia lần lợt là: 36; 105; 54 x ≥ víi mäi x 1 VËy: A = + − x nhá nhÊt ó nhá nhÊt mµ 3− x 1 nhá nhÊt ó =0 ó x= 3− x 3− x VËy A nhá nhÊt b»ng vµ chØ x = Ta cã: ®iĨm x ≥ víi mäi x, Suy Ta cã: n200 = (n2)100; 5300 = (53)100 = 125100 §Ĩ n200 < 5300 Hay (n2)100 < 125100 ó n2 < 125 (1) VËy sè nguyên lớn thoả mÃn điều kiện (1) là: n= 11 11 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm điểm 0.5 điểm 0.5 điểm Câu (2 điểm) a (3 ®iĨm) B N M A C XÐt ∆AMB vµ ∆NMC chóng cã: AM = NM (gt) AMB = NMC (hai gãc ®èi ®Ønh) BM = CN (gt) Suy ∆AMB = ∆NMC (c.g.c) AB = CN (hai c¹nh t¬ng øng) ABM = N CM (hai gãc t¬ng øng) Mà chúng lại vị trí so le Suy ra: CN AB a (2 điểm) Vì CN AB mà AB ⊥ AC nªn NC ⊥ AC Hay ANC = 900 ∆ABC = ∆CNA (c.g.c) Suy AN = BC = AN (gt) Do ®ã AM = BC (Đpcm) mà AM điểm 0.5 điểm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm …… ……………………………………HÕt…………………………………………… 12 ... thuộc vào giá trị x,y Chuyên đề II: Phơng pháp tam giác Đối với học sinh lớp bớc đầu làm quen với toán chứng minh hình học Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc Cách làm thông thờng cách làm đợc coi là:... cho học sinh cách chứng minh đẳng thức biến đổi hai vế để chúng có giá trị a c = b d Vì b d = a c ⇒ C¸ch a−b c−d = a c ⇒ 1- b d = 1− a c *Híng dẫn học sinh giải toán nhiều cách khác nhau, cho học. .. C©u a GV híng dẫn học sinh định hớng ban đầu Thờng đặt hệ thống câu hỏi theo sơ đồ phân tích lên Giúp học sinh thấy đợc mối liên hệ kết luận giả thiết toán Những câu hỏi học sinh đợc rèn, tập