Tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh toán lớp 7 theo các dạng, chuyên đề (5)

Chuyên đề Đại Số bồi d ỡng HSG Lớp Chuyên đề DÃy Số viết theo qui luật - DÃy phân số viết theo qui luật A- Kin thức cần nắm vững: I Dãy số viết theo qui luật: 1) Dãy cộng 1.1) Xét dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên: 0; 1; 2; 3; 4; (1) b) Dãy số lẻ: 1; 3; 5; 7; (2) c) Dãy số chẵn: 0; 2; 4; 6; (3) d) Dãy số tự nhiên lớn chia cho dư 1: 4; 7; 10; 13; (4) Trong dãy số trên, số hạng kể từ số hạng thứ 2, lớn số hạng đứng liền trước số đơn vị: +) Số đơn vị dãy (1) +) Số đơn vị dãy (1) (2) +) Số đơn vị dãy (4) Khi ta gọi dãy "dãy cộng" 1.2) Cơng thức tính số hạng thứ n dãy cộng (khi biết n d) - Xét dãy cộng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an a2 = a1 + d Ta có: a3 = a1 + 2d ; a4 = a1 + 3d ; Tổng quát: an = a1 + (n − 1)d (I) Trong : n gọi số số hạng dãy cộng d hiệu hai số hạng liên tiếp Từ (I) ta có: n = an − a1 +1 d (II) Công thức (II) giúp ta tính số số hạng dãy cộng biết : Số hạng đầu a1 , số hạng cuối an hiệu d hai số hạng liên tiếp 1.3) Để tính tổng S số hạng dãy cộng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an Ta viết: S = a1 + a2 + L + an −1 + an S = an + an −1 + L + a2 + a1 GV: Nguyễn Đình Tiếp -1- Chuyên đề Đại Sè båi d ìng HSG Líp Nên 2S = (a1 + an ) + (a2 + an−1 ) + L + (an−1 + a2 ) + (an + a1 ) = (a1 + an )n Do đó: S = ( a1 + an ) (III) Chú ý: Trường hợp đặc biệt tổng n số tự nhiên liên tiếp bắt đàu từ S = 1+ + + +L + n = n(n + 1) B- BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm chữ số thứ 1000 viét liên tiếp liền số hạng dãy số lẻ 1; 3; 5; 7; Bài 2: a) Tính tổng số lẻ có hai chữ số b) Tính tổng số chẵn có hai chữ số c) Tính: S = + + + L + 2n + với (n ∈ N ) d) Tính: S = + + + L + 2n với (n ∈ N * ) Bài 3: Có số hạng dãy sau tận hay không? 1;1 + 2;1 + + 3;1 + + + 4; Híng dÉn: Sè h¹ng thø n cđa d·y b»ng: n(n + 1) NÕu sè h¹ng thø n dÃy có chữ số tận n(n + 1) tận Điều vô lÝ v× n(n + 1) chØ tËn cïng b»ng 0, hc 2, hc Bài 4: a) Viết liên tiếp số hạng dãy số tự nhiên từ đến 100 tạo thành số A Tính tổng chữ số A b) Cũng hỏi viết từ đến 1000000 Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số vào vị trí dãy số (không làm thay đổi kết quả) Tạm chưa xét số 100 Từ đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp: 99; 98; 97;… cặp có tổng chữ số 18 Tổng chữ số 50 cặp bằng: 18.50 = 900 Thêm số 100 có tổng chữ số ĐS: 901 b) Tương tự: ĐS: 27000001 GV: Nguyễn Đình Tiếp -2- Chuyên đề Đại Số båi d ìng HSG Líp S1 = + 2, S = + + 5, Bài 5: Cho S3 = + + + 9, S = 10 + 11 + 12 + 13 + 14, Tính S100 ? Hướng dẫn: Số số hạng S1, , S99 theo thứ tự 2; 3; 4; 5; …100 ĐS: S100 = 515100 Bài 6: Khi phân tích thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố với số mũ băng bao nhiêu? Bài 7: Tính số hạng thứ 50 dãy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; b) 1.4; 4.7; 7.10; Bài 8: Cho A = + + 32 + 33 + + 320 ; B = 321 : Tính B − A Bài 9: Tính tổng sau: a ) A = + + 22 + 23 + + 2007 b) B = + + 22 + 23 + + n c) C = + 22 + 24 + + 22008 d ) D = + 22 + 24 + + 22 n e) E = + 23 + 25 + + 22007 f ) F = + 23 + 25 + + 22 n +1 Bài 10: Tổng quát Tính : a) S = + a + a + a + + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N ) b) S1 = + a + a + a + + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N ) c) S2 = a + a + a + + a n +1 , với ( a ≥ 2, n ∈ N * ) Bìa 11: Cho A = + + 42 + 43 + + 499 , B = 4100 Chứng minh rằng: A < B Bài 12: Tính giá trị biểu thức: a ) A = + 99 + 999 + + 999 123 50 ch÷ sè b) B = + 99 + 999 + + 999 123 200 chữ số GV: Nguyễn Đình Tiếp -3- Chuyên đề Đại Số bồi d ỡng HSG Lớp (NCPTT6T1) SUY NGHĨ TRÊN MỖI BÀI TOÁN Giải hàng trăm tốn mà cốt tìm đáp số dừng lại kiến thức thu lượm chẳng bao Cịn giải tập mà lại ln suy nghĩ đó, tìm thêm cách giải, khai thác thêm ý tốn, đường tốt để lên học toán Dưới thí dụ Bài tốn : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 B = A.3 Tính giá trị B Lời giải : Theo đề ta có : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 Trước hết, ta nghĩ rằng, tốn u cầu tính tổng A, ta có : A = B/3 = 330 Bây giờ, ta tạm thời quên đáp số 990 mà ý tới tích cuối 9.10.11, 9.10 số hạng cuối A 11 số tự nhiên kề sau 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Ta dễ dàng nghĩ tới kết sau : Nếu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n - 1).n giá trị B = A.3 = (n - 1).n.(n + 1) Các bạn tự kiểm nghiệm kết cách giải tương tự Bây ta tìm lời giải khác cho tốn Lời giải : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + (8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương số lẻ liên tiếp 1, liên hệ với lời giải 1, ta có : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Hồn tồn hợp lí ta nghĩ đến toán tổng quát : Bài toán : Tớnh tng : GV: Nguyễn Đình Tiếp -4- Chuyên đề §¹i Sè båi d ìng HSG Líp P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 Kết : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Kết chứng minh theo cách khác, ta xem xét sau Loạt toán sau kết liên quan đến toán toán Bài tốn : Tính tổng : Q = 112 + 132 + 152 + … + (2n + 1)2 Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 C = A + 10.11 Tính giá trị C Theo cách tính A toán 1, ta kết : C = 10.11.12/3 Theo lời giải toán 1, ta đến kết : C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) Tình cờ, ta lại có kết tốn tổng qt : tính tổng bình phương số tự nhiên chẵn liên tiếp, Bài toán : Chứng minh : 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Từ đây, ta tiếp tục đề xuất giải tốn khác Bài tốn : Tính tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502 Bài toán : Cho n thuộc N* Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2 Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn n lẻ ; áp dụng kết toán 2, toán cách giải tốn Bài tốn có kết nhất, khơng phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n Bài toán : Chứng minh : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Lời giải : Xét trường hợp n chẵn : 12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n – 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2) = [(n – 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có đpcm Lời giải : Ta có : 13 = 13 23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13 ……… (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13 Cộng vế đẳng thức : GV: Nguyễn Đình Tiếp -5- Chuyên đề Đại Số båi d ìng HSG Líp 13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + … + n3) + 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (n + 1)3 – 3(1 + + + … + n) – (n + 1) = (n + 1)2.(n + 1) – 3.n.(n + 1)/2 – (n + 1) = (n + 1)[2(n + 1)2 – 3n + 2]/2 = (n + 1).n.(2n + 1)/2 => 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6 Bài toán : Tính giá trị biểu thức : A = - 12 + 22 – 32 + 42 - … - 192 + 202 Lời giải : Đương nhiên, ta tách A = (22 + 42 + … + 202) – (12 + 32 + …+ 192) ; tính tổng số ngoặc đơn tìm kết tốn Song ta cịn có cách giải khác sau : A = (22 -12) + (42 – 32) + … + (202 -192) = (2 + 1)(2 – 1) + (4 + 3)(4 – 3) + … + (20 + 19)(20 – 19) = + + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 = 210 Trở lại toán Phải tốn cho B = A.3 số tự nhiên liền sau nhóm : 1.2 Nếu ta giải tốn sau : Bài tốn 10 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] : = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : = 8.9.10.11/4 = 1980 Tiếp tục hướng suy nghĩ trên, ta có kết tổng quát toán 10 : Bài tốn 11 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1) Đáp số : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 ) TỪ MỘT BÀI TỐN TÍNH TỔNG Chúng ta tốn tính tổng quen thuộc sau : Bài tốn A : Tính tng : Li gii : GV: Nguyễn Đình Tiếp -7- Chuyên đề Đại Số bồi d ỡng HSG Lớp Vì = ; = ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có tốn khó chút xíu Bài : Tính tổng : Và tất nhiên ta nghĩ đến toán ngược Bài : Tìm x thuộc N biết : Hơn ta có : ta có tốn Bài : Chứng minh : Do vậy, cho ta tốn “tưởng khó” Bài : Chứng tỏ tổng : số nguyên Chúng ta nhận a1 ; a2 ; ; a44 số tự nhiên lớn khác Giúp ta đến với tốn Hay Khó sau : Bài : Tìm số tự nhiên khác a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 cho Ta cịn có toán “gần gũi” với toán sau : Bài : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn Chứng minh rằng, 44 số này, tồn hai số bng GV: Nguyễn Đình Tiếp -8- Chuyên đề Đại Sè båi d ìng HSG Líp Bài : Tìm số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < < a44 < a45 Các bạn cịn phát điều thú vị ? Bài tốn 2: Tính nhanh: 1 1 1 + + +L + + 3 3 3 a) A = + 1 1 1 + + + L + 2007 + 2008 3 3 3 b) B = + 1 1 1 + + + L + n −1 + n ; n ∈ N ∗ 3 3 3 c) C = + Bài toán 3: (Bài toán tổng quát toán 2) a Tính nhanh: S = + 1 1 + + + L + n −1 + n ; ( n ∈ N ∗ ; a ≠ 0) a a a a a Bài toán 3: Tính tổng 100 số hạng dãy saug: a) 1 1 ; ; ; ; 1.2 2.3 3.4 4.5 b) ; 1 ; ; , 66 176 336 Hướng dẫn: b) Ta thấy = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,… Do số hạng thứ n dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1) Bài tốn 4: Tính tổng: a) S = 1 1 + + +L + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 b) S = 1 1 + + +L + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008 1 1 ∗ c) S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + L + n.(n + 1).(n + 2) ; (n ∈ N ) Bài tốn 5: Tính giá trị biểu thức: 1 1 1+ + +L + + 97 99 a) A = 1 1 + + +L + + 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 GV: Nguyễn Đình Tiếp -9- Chuyên đề Đại Số bồi d ỡng HSG Líp 1 1 + + +L + + b) B = 299 98 97 99 100 + + +L + 99 Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: (1 + 1 1 1 100 100 100 100 ) + ( + ) + ( + ) +L + ( + ) = + + +L 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 100 − 100 − 100 − 100 − 99 + + +L + = 99 100   99   100 100 100  ÷ b) Biến đổi số chia: =  + + + L + 99 ÷−  + + + L + 99  =    1  1 1 = 100 + 100  + + L + ÷− 99 = + 100  + + L + + ÷ 99  99 100  2 2 Biểu thức 100 lần số bị chia Vậy B = 100 Bài tốn 6: Tìm tích 98 số hạng dãy: 1 1 1 ; ; ; ; ; 15 24 35 Hướng dẫn: số hạng dãy viết dạng: 16 25 36 ; ; ; ; ; 15 24 35 22 32 52 62 ; ; ; ; ; Hay 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 Do số hạng thứ 98 có dạng Ta cần tính: A= 992 98.100 22 32 42 52 62 992 99 × × × × L = 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 50 Bài toán 7: Cho A = + + +  + Hãy chứng minh A số 100 tự nhiờn GV: Nguyễn Đình Tiếp - 10 - Chuyên đề §¹i Sè båi d ìng HSG Líp Hướng dẫn: Để qui đồng mẫu phân số A ta chọn mẫu chung tích 26 với thừa số lẻ nhỏ 100 Gọi k1, k2, …, k100 thừa số phụ tương ứng, tổng A có dạng: B= k1 + k +  + k n Trong 100 phân số tổng A, có phân số 1/64 6.3.5.7.9 99 có mẫu chứa 26 nên thừa số phụ k1, , k100 có k64 số lẻ, cịn thừa số phụ khác chẵn n Bài toán tổng quát toán 7: Cho A = + + +  + Hãy chứng minh A số tự nhiờn GV: Nguyễn Đình Tiếp - 11 - ... -4- Chuyên đề Đại Số bồi d ỡng HSG Lớp P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 Kết : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Kết chứng minh theo cách khác, ta xem xét sau Loạt toán sau kết liên quan đến toán. .. quanh toán Các bạn tiếp tc suy ngh nhộ GV: Nguyễn Đình Tiếp -6- Chuyên đề Đại Số bồi d ỡng HSG Lớp II- Dãy phân số viết theo qui luật: * Các cơng thức cần nhớ đến giải tốn dãy phân số viết theo. .. + (2n + 1)2 Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6 .7 + 7. 8 + 8.9 + 9.10 C = A + 10.11 Tính giá trị C Theo cách tính A toán 1, ta kết : C = 10.11.12/3 Theo lời giải toán 1, ta đến kết