Tính ổn định của hệ thống tuyến tính

Chương 3: Tính ổn định hệ thống tuyến tính Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Nội dung 3.1 Khái niệm 3.2 Mối quan hệ nghiệm phương trình đặc tính tính ổn định 3.3 Tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz 3.4 Phân tích quỹ đạo nghiệm số Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.1 Khái niệm c a b d Cho cầu vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé cầu tiến tới trạng thái cân mới: - Vị trí a  vị trí cân biên giới ổn định - Dao động quanh vị trí cân vị trí b d  vị trí cân ổn định - Không trạng thái ban đầu vị trí c  vị trí cân khơng ổn định Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.1 Khái niệm c a b d Nếu cầu dao động với vận tốc lớn khơng trở vị trí cân ổn định b d  trạng thái b d ổn định phạm vị hẹp  Giới hạn khảo sát tính ổn định cho hệ tuyến tính bất biến theo thời gian Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.1 Khái niệm u(t) ( ) = ( ) y(t) Đáp ứng toàn phần = Đáp ứng trạng thái không + Đáp ứng đầu vào không Đáp ứng trạng thái không: Đáp ứng hệ thống phụ thuộc vào đầu vào, tất điều kiện ban đầu Đáp ứng đầu vào không: Đáp ứng hệ thống theo điều kiện ban đầu tác động vào hệ thống, đầu vào Phương trình đặc tính: Phương trình đa thức mẫu số hàm truyền đạt Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.1 Khái niệm u(t) ( ) = ( ) y(t) Đáp ứng xung: tín hiệu đầu thu đầu vào xung đơn vị (t)  Hệ thống đặc trưng đáp ứng xung Hàm truyền đạt: Biến đổi Laplace đáp ứng xung thống, với điều kiện ban đầu = ℒ( ( )) = Automatic Control Systems ( − ) ( ) CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.1 Khái niệm Ổn định BIBO (Bounded Input, Bounded Output): Bỏ qua điều kiện ban đầu, hệ thống tuyến tính gọi ổn định BIBO, hay đơn giản ổn định với đầu vào tín hiệu bị chặn u(t) tín hiệu đầu bị chặn If | u(t) | < M <  then | y(t) | < N <  Ổn định đầu vào không (hay ổn định tiệm cận) Một hệ thống bất biến theo thời gian ổn định đầu vào không,nếu với giá trị xác định y(k)(t0), tồn giá trị dương M, phụ thuộc vào y(k)(t0), cho | y(t) | < M <  for all t > t0 với Và =∑ ( ) ( ) lim | y(t) | = t  Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.2 Mối quan hệ phương trình đặc tính tính ổn định u(t) ( ) = ( ) y(t) Đáp ứng tồn phần = Đáp ứng trạng thái khơng + Đáp ứng đầu vào không Đối với hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian, điều kiện ổn định BIBO, ổn định đầu vào không ổn định tiệm cận có chung điều kiện nghiệm phương trình đặc tính phải nằm nửa bên trái mặt phẳng phức s Nếu hệ thống ổn định BIBO, phải ổn định đầu vào khơng ổn định tiệm cận Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.2 Mối quan hệ phương trình đặc tính tính ổn định u(t) y(t) ( ) = ( ) Xét biểu thức hàm truyền đạt: ( ) = = = Automatic Control Systems ( ) ≤ ( ) ( ) CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.2 Mối quan hệ phương trình đặc tính tính ổn định Điều kiện ổn định Giá trị nghiệm A(s) = Ổn định tiệm cận hay ổn |si| < i=1,2…n (Tất nghiệm nằm bên trái định mặt phẳng phức) Giới hạn ổn định Re(si)=0 với si nghiệm đơn, |si| < i=1,2…n Không ổn định  I thỏa:|si| > hay Re(si)=0 với si nghiệm kép Automatic Control Systems 10 CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số Quy tắc 8: Giao điểm quỹ đạo nghiệm số với trục ảo xác định hai cáh sau đây: - Áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz : tìm Kgh, thay vào pt đặc tính để xác định giá trị giao điểm - Thay s = j vào phương trình đặc tính, cân phần thực phần ảo tìm giao điểm với trục ảo giá trị K Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số Quy tắc 9: Góc xuất phát quỹ đạo nghiệm số cực phức pj xác định bởi: = + − − − Dạng hình học cơng thức j = 1800 + ( góc từ zero đến cực pj) - ( góc từ cực lại đến cực pj) Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.4 phương pháp quỹ đạo nghiệm số Quy tắc 10: Tổng nghiệm số K thay đổi từ  + Quy tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số xác định từ điều kiện biên độ ( ) = ( ) Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập R(s) C(s) G0 (s) K G(s)  s(s  2)(s  3) Hãy vẽ QĐNS hệ thống K =  + Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập C(s) R(s) G0 (s) K G(s)  s(s  2)(s  3) Phương trình đặc trưng hệ thống: K  G(s)    0 s(s  2)(s  3) Automatic Control Systems (1) CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập Các cực: p1 = - 3, p2 = - ; p3 = Các zero: khơng có  QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ cực K = Khi K  +, ba nhánh quỹ đạo nghiệm số tiến đến vô theo tiệm cận xác định bởi: - Góc tiệm cận trục thực: (2 + 1) (2 + 1) = = − 3−0 = ⇒ =− = Automatic Control Systems 3 ( = 0) ( = −1) ( = 1) CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập - Giao điểm tiệm cận trục thực: cùc  zero [0  (2)  (3)   OA    nm 3- dK - Điểm tách nhập nghiệm phương trình 0 ds Ta có (1)  k  s(s  2)(s  3)  (s3  5s  6s) dK   (3s 10s  6) ds dK s1  2,549 0  (3s  10s  6)    ds s2  0,785 Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập - Giao điểm QĐNS với trục ảo xác định hai cách sau đây: Cách 1: Áp dụng tiêu chuẩn Routh  s3  5s  6s  K  Ta có (1) s3 s2 K K s1 s0 Automatic Control Systems 6 K (2) CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập Điều kiện để hệ thống ổn định:  6  K    K  30  K  Vậy, hệ số khuếch đại giới hạn Kgh = 30 Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta giao điểm QĐNS với trục ảo s1  5  s  5s  6s  30   s2  j s   j 3 Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập Cách 2: Giao điểm (nếu có) QĐNS trục ảo phải có dạng s = j Thay s = j vào phương trình (1) ta được: ( j)3  5( j)2  6( j)  K    j3  5  j  K     6    5  K  Automatic Control Systems    K        K  30 CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập Im s j Re -3 -2 j Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hàm truyền hở là: K G(s)  s(s  8s  20) Hãy vẽ QĐNS hệ thống K =  + Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập Im s j 20 -63,50 +j2 Re -4 -3 -2 -1 - j2  j 20 Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hàm truyền hở là: K (s  1) G(s)  s(s  3)(s  8s  20) Hãy vẽ QĐNS hệ thống K =  + Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập Im s j5,893  33,7o 3 1 -4 -3 -2 -1 4 +j2 2 Re - j2  j5,893 Automatic Control Systems ... TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập ứng dụng Xác định K để hệ thống ổn định Automatic Control Systems 25 CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH Bài tập ứng dụng Cho hệ thống. .. Nếu hệ thống ổn định BIBO, phải ổn định đầu vào không ổn định tiệm cận Automatic Control Systems CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.2 Mối quan hệ phương trình đặc tính tính ổn định. .. ) ≤ ( ) ( ) CHƯƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH 3.2 Mối quan hệ phương trình đặc tính tính ổn định Điều kiện ổn định Giá trị nghiệm A(s) = Ổn định tiệm cận hay ổn |si| < i=1,2…n (Tất