CHƯƠNG 4 - TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ppsx

C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 1 Chương 4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 2 4.1 Khái Niệm • Hệ thống ĐKTĐ phải giữ được trạng thái ổn đònh dưới tác động của tín hiệu đầu vào và ảnh hưởng của nhiễu. 4.1.2 Ổn đònh của hệ tuyến tính • Ptvp tổng quát mô tả một hệ thống ĐKTĐ : 11 11 11 () () () () ( ) ( ) nn mm ono m nn mm dct d ct drt d rt aa actbb brt dt dt dt dt −− −− +++=+++ (4.1) • Hàm truyền : 1 1 1 1 () () () () () mm om nn on bs bs b Cs Bs Gs R sasas aAs − − +++ == = +++ (4.2) • Nghiệm của (4.1) : () () () oqd ct c t c t=+ () o ct : nghiệm riêng khi có vế phải – đặc trưng cho quá trình xác lập () qd ct : nghiệm tổng quát khi không có vế phải – đặc trưng cho quá trình quá độ. Dạng tổng quát của nghiệm quá độ : 1 () i n p t qd i i ct e λ = = ∑ Với i p là nghiệm của phương trình đặc tính (còn gọi là pt đặc trưng): 1 1 0( ) nn on As as as a − =+ ++= ii i p j α β =± : được gọi là cực (pole) Nghiệm của 1 1 0() mm om Bs bs bs b − = +++= được gọi là zero Kết luận quan trọng : • Hệ thống ổn đònh nếu tất cả nghiệm của pt đặc tính A(s)=0 đều có phần thực âm (nằm bên trái mặt phẳng phức) : { } 0Re i p < , hay 0 i α < C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 3 • Hệ thống không ổn đònh nếu chỉ có một nghiệm có phần thực dương • Hệ thống ở biên giới ổn đònh nếu chỉ có một nghiệm có phần thực bằng 0 (nghiệm nằm trên trục ảo) 4.2 Tiêu Chuẩn Ổn Đònh Đại Số 4.2.1 Điều kiện cần : Điều kiện cần để hệ thống ổn đònh là tất cả các hệ số của ptđt phải khác 0 và cùng dấu. Ví dụ : 32 3210sss+−+= → không ổn đònh 42 2530sss+++= → không ổn đònh 432 45210ssss++++= → chưa kết luận 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn đònh Routh • Ptđt : 1 11 0 nn onn as as a s a − − ++++= • Thành lập bảng Routh - Bảng Routh có 1 n + - Hàng 1 : hệ số chẵn - Hàng 2 : hệ số lẻ - Phần tử hàng i cột j : theo công thức 21 11,, . ij i j i i j cc c α −+ −+ = − với : 21 11 , , i i i c c α − − = C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 4 • Phát biểu tiêu chuẩn Routh : Điều kiện cần & đủ để hệ thống ổn đònh là tất cả phần tử nằm ở cột 1 đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 bằng số nghiệm bên phải. Ví dụ : Xét tính ổn đònh của hệ thống có ptđt 432 45210ssss + +++= 01 2 3 4 14521,,,,aaa a a== = = = → các hệ số khác 0 và cùng dấu → nên chưa kết luận được → dùng tiêu chuẩn Routh 4 s 0 1a = 2 5a = 4 1a = 3 s 1 4a = 3 2a = 0 0 3 1 1 4 a a α == 2 s 31 2 3 3 .ca a α = − 19 52 42 . = −= 32 4 3 5 .ca a α = − 1 101 4 . = −= 33 6 3 7 .ca a α =− 1 000 4 .=− = 1 4 31 48 92 9/ a c α == = 1 s 41 3 4 32 .ca c α = − 810 21 99 . = −= 0 31 5 41 92 81 10 9 20 / / c c α == = 0 s 1 C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 5 • Các trường hợp đặc biệt 1. Nếu hệ số ở cột 1 bằng 0 → thay vào số 0 ε > Ví dụ : Xét ổn đònh hệ thống có ptđt 432 24830ssss + +++= 2. Nếu một hàng có tất cả hệ số bằng 0 : • Thành lập đa thức phụ () p As bao gồm các hệ số của hàng trước đó. • Thay vào hàng 0 bởi hàng có hệ số của () p dA s ds rồi tính tiếp tục. • Nghiệm của đa thức phụ () p As cũng là nghiệm của ptđt Ví dụ : Xét tính ổn đònh của hệ thống có ptđt : 5432 488740sssss+++++= C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 6 2 44() p As s=+ → 80 () p dA s s ds =+ Nghiệm của đa thức phụ 2 440() p As s = += → sj = ± Kết luận : có 2 nghiệm nằm trên trục ảo → hệ thống ở biên giới ổn đònh 4.2.3 Tiêu chuẩn ổn đònh Hurwitz Ptđt : 1 11 0 nn onn as as a s a − − ++++= • Thành lập ma trận Hurwitz : - Ma trận vuông nxn - Đường chéo ma trận là các hệ số từ 1 a đến n a - Lần lượt ghi các hàng lẻ và chẵn • Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz Điều cần và đủ để hệ thống ổn đònh là tất cả các đònh thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương 4.3 Phương Pháp Quỹ Đạo Nghiệm Số 4.3.1 Khái niệm • Hệ thống có ptđt : 2 40ssK++= • Nghiệm của ptđt ứng với các giá trò K • Đònh nghóa : Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của ptđt khi có một thông số nào đó trong hệ thống thay đổi từ 0 →∞ 1357 0246 135 024 0 0 00 00 0 n aaaa aaaa aaa aaa a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ MMMM M C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 7 4.3.2 Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số • Hàm truyền : 1 () () () k Gs G GsHs = + • Phương trình đặc tính : 10() ()GsHs+= • Để vẽ quỹ đạo nghiệm → biến đổi tương đương ptđt về dạng : 10 () () N s K Ds += (K là thông số thay đổi) (4.12) Đặt 0 () () () N s Gs K D s = , Gọi n là số cực, m là số zero của 0 ()Gs (4.12) 0 10()Gs⇔+ = Điều kiện biên độ Điều kiện pha • Qui tắc 1 : Số nhánh QĐN = bậc của ptđt = số cực của 0 ()Gs = n • Qui tắc 2 : Khi K = 0 các nhánh của QĐN xuất phát từ các cực của 0 ()Gs. Khi K →∞ , m nhánh tiến đến m zero, n-m nhánh còn lại →∞ theo các tiệm cận (xác đònh bởi qui tắc 5,6) • Qui tắc 3 : QĐN đối xứng qua trục thực • Qui tắc 4 : Một điểm trên trục thực thuộc về QĐN nếu tổng số cực và zero bên phải nó là một số lẻ. • Qui tắc 5 : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của QĐN với trục thực : 21 012 () ( , , , ) l l nm π α + ==±± − • Qui tắc 6 : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ: 11 nm ii ii p z OA nm == − = − ∑∑ ( i p và i z là các cực & zero của 0 ()Gs) 0 0 1 21 () () ( ) Gs Gs l π ⎧= ⇔ ⎨ ∠=+ ⎩ C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 8 • Qui tắc 7 : Điểm tách nhập (nếu có) của QĐN nằm trên trục thực và là nghiệm của pt : 0 dK ds = • Qui tắc 8 : Giao điểm của QĐN với trục ảo xác đònh theo 2 cách sau : - Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz - Thay sj ω = vào ptđt (4.12), cân bằng phần thực & ảo → tìm được giao điểm & giá trò K • Qui tắc 9 : Góc xuất phát của QĐN tại cực phức j p tính theo : 0 11 180 arg( ) arg( ) mn j ji ji ii ij p zpp θ == ≠ =+ −− − ∑∑ Dạng hình học của công thức trên : 0 180 j θ =+ ( ∑ góc từ các zero đến cực j p ) - ( ∑ góc từ các cực còn lại đến cực j p ) • Qui tắc 10 : Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 →+∞ • Qui tắc 11 : Hệ số khuếch đại dọc theo QĐN xác đònh từ điều kiện biên độ 1 () () N s K Ds = Ví dụ 4.7 : Vẽ QĐN hệ thống • Phương trình đặc tính : 10 1 0 23 () ()() K Gs ss s += ⇔ + = ++ (1) Cực : 12 3 023,, p pp==−=− → n = 3 Zero : không có → m = 0 • n = 3 → có 3 nhánh tiến ra ∞ • Tiệm cận : 23 () ()() K Gs ss s = ++ C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 9 1 2 3 0 3 21 21 1 30 3 1 () ()() () () l ll l nm l π α ππ π αα απ ⎧ == ⎪ ⎪ ++ ⎪ == ⇒=−=− ⎨ −− ⎪ == ⎪ ⎪ ⎩ • Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực • Điểm tách nhập là nghiệm của pt : 0 dK ds = 10 23 ()() K ss s += ++ → 32 23 56()()( )Kss s ss s=− + + =− + + 2 31060() dK ss ds =− + + = → 1 2 2549 0 785 , , s s =− ⎧ ⎨ =− ⎩ → chọn điểm 2 s • Giao điểm của QĐN với trục ảo : Cách 1 : Áp dụng tiêu chuẩn Routh 10 23 ()() K ss s += ++ → 32 56 0sssK + ++= (2) Điều kiện để hệ thống ổn đònh 1 60 030 5 0 K K K ⎧ −> ⎪ ⇔<< ⎨ ⎪ > ⎩ → 30 gh K = Thay 30 gh K = vào (2) → giải phương trình : 12 3 56 6,,ssjsj=− = =− 3 s 1 6 2 s 5 K 3 1 5 α = 1 s 1 6 5 .K− 0 0 s K cực zero 02 305 30 3 [()()] OA nm − +− +− − == =− −− ∑∑ C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 10 Cách 2 : Thay sj ω = vào pt (1) : 32 56 0() () ()jjjK ωωω +++= 32 56 0jjK ωω ω −− + += 3 2 60 50 jj K ωω ω ⎧ −+ = ⎨ −+= ⎩ → 0 6 0 30 , K K ω ω ⎧ = ⎧ =± ⎨⎨ = = ⎩ ⎩ Ví dụ 4.8 : Hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, hàm truyền hở : 2 820 () () K Gs ss s = ++ • Phương trình đặc tính : 10() ()GsHs+= → 110().Gs + = • Biến đổi dạng tương đương : 10 () () N s K Ds + = → 2 10 820() K ss s + = ++ • Cực : 123 042 , , p pj==−±, n = 3 • Zero : không có, m = 0 • QĐN có 3 nhánh tiến ra ∞ theo các đường tiệm cận • Góc tiệm cận 1 2 3 0 3 21 21 1 30 3 1 () ()() () () l ll l nm l π α ππ π αα απ ⎧ == ⎪ ⎪ ++ ⎪ == ⇒=−=− ⎨ −− ⎪ == ⎪ ⎪ ⎩ • Giao điểm giữa các tiệm cận & trục thực • Điểm tách nhập là nghiệm pt 0 dK ds = cực zero 042 42 08 30 3 [( )( )]jj OA nm − +−+ +−− − == =− −− ∑ ∑ [...]... Góc xuất phát của QĐN tại cực phức p2 θ 2 = 1800 + (β1 + β 2 ) − (β 3 + β 4 ) = 1800 + (71, 60 + 36, 70 ) − (26, 60 + 900 ) = 171, 70 C4 Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 15 4. 4 Tiêu Chuẩn Ổn Đònh Tần Số 4. 4.3 Tiêu chuẩn ổn đònh Nyquist Bài toán : Biết đặc tính tần số của hệ hở G(s) → Xét tính ổn đònh của hệ thống kín Gk (s) Tiêu chuẩn Nyquist Hệ thống kín Gk (s) ổn đònh nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s)... G(s) bao l điểm (-1 , j0) vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω 2 thay đổi 0 → ∞ , trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức Ví dụ 4. 16 : Cho hệ thống hở không ổn đònh có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn đònh ? Ổn đònh C4 Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống Không ổn đònh 16 Không ổn đònh Ổn đònh Không ổn đònh 4. 4 .4 Tiêu chuẩn ổn đònh Bode... Không ổn đònh Ổn đònh Không ổn đònh 4. 4 .4 Tiêu chuẩn ổn đònh Bode Bài toán : Biết đặc tính tần số của hệ hở G(s) → Xét tính ổn đònh của hệ thống kín Gk (s) C4 Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 17 Tiêu chuẩn Bode Hệ thống kín Gk (s) ổn đònh nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương ⎧GM > 0 ⎨ ⎩Φ M > 0 ⇒ hệ thống ổn đònh • Tần số cắt biên ωc : tại đó M (ωc ) = 1 hay L (ωc ) = 0 • Tần số cắt pha... hoặc tính theo dB • Độ dự trữ pha ( ΦM - Phase Margin) : ΦM = 180o + ϕ (ωc ) C4 Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 18 Ví dụ 4. 18 : Cho hệ thống hở có biểu đồ Bode như hình vẽ Hỏi hệ kín có ổn đònh ? Trên biểu đồ Bode xác đònh được : ωc = 5.1 (rad/sec) ω−π = 2 (rad/sec) L (ω−π ) = 35dB → GM = − L (ω−π ) = −35dB ϕ (ωc ) = −2700 → ΦM = 180o + ϕ (ωc ) = 1800 + (−2700 ) = −900 GM < 0 , ΦM < 0 → hệ thống kín không ổn. .. 3s4 + 26s3 + 77 s 2 + 88s + 60 =− ds (s + 1)2 • Điểm tách nhập là nghiệm của pt ⎧s1,2 = −3, 67 ± j1, 05 3s4 + 26s3 + 77 s2 + 88s + 60 = 0 → ⎨ ⎩s3 ,4 = −0, 66 ± j 0.97 QĐN không có điểm tách nhập (không nằm trên trục thực) dK =0 ds ⇔ C4 Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 12 • Giao điểm của QĐN với trục ảo Thay s = jω vào s(s + 3)(s 2 + 8s + 20) + K (s + 1) = 0 ω 4 − 11 jω 3 − 44 ω 2 + (60 + K ) jω + K = 0 ⎧ω 4. .. a=− = ds ( s 2 + 6 s) 2 s 2 + 6s da =0 ⇔ s 4 + 12s3 + 36s2 − 800s − 240 0 = 0 ds → s1 = +6, 9 s2 = −2, 9 s3 ,4 = −8 ± j 7, 48 1+ Chọn điểm tách nhập : s2 = −2, 9 C4 Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 14 • Giao điểm QĐN với trục ảo : Thay s = jω vào ptđt : s3 + 6s2 + 40 0 + as(s + 6) = 0 → s3 + (6 + a)s2 + 6as + 40 0 = 0 → − jω 3 − (6 + a)ω 2 + 6ajω + 40 0 = 0 ⎧−(6 + a)ω 2 + 40 0 = 0 → ⎨ 3 ⎩−ω + 6aω = 0 ⎧ω = 0 ⎧ω = ±5,85... 2) − ( 4 − j 2)]} 2 ⎧ ⎫ = 1800 − ⎨tg −1 ( ) + 900 ⎬ = 1800 − {153, 50 + 900 } = −63, 50 4 ⎩ ⎭ C4 Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 11 Ví dụ 4. 9 : Vẽ QDN hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, hàm truyền hở là : K (s + 1) G ( s) = s(s + 3)(s 2 + 8s + 20) K (s + 1) • Ptđt : 1 + G(s)H (s) = 0 → 1 + =0 (1) s(s + 3)(s 2 + 8s + 20) N ( s) =0 Nhận xét có dạng 1 + K D ( s) • Cực : p1 = 0, p2 = −3, p3 ,4 = 4 ± j 2 → n = 4 • Zero... 44 ω 2 + K = 0 ⇔ ⎨ 3 ⎩−11ω (60 + K )ω = 0 ⎧ω = 0 ⎧ω = ±5,893 ⎧ω = ± j1, 3 14 (loại) ⇔ , , ⎨ ⎨ ⎨ K =0 K = 322 K = −61, 7 ⎩ ⎩ ⎩ Vậy giao điểm là s = ± j5,893 , K gh = 322 • Góc xuất phát tại cực phức p3 m n i =1 i =1 i≠ j θ j = 180 + ∑ arg( p j − zi ) − ∑ arg( p j − pi ) 0 θ3 = 1800 + β1 − (β 2 + β 3 + β 4 ) = 1800 + 146 , 30 − (153, 40 + 116, 60 + 900 ) = −33, 70 C4 Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 13 Ví dụ 4. 10... = −35dB ϕ (ωc ) = −2700 → ΦM = 180o + ϕ (ωc ) = 1800 + (−2700 ) = −900 GM < 0 , ΦM < 0 → hệ thống kín không ổn đònh Chú ý : Hệ thống kín có hồi tiếp âm H (s) vẫn có thể áp dụng tiêu chuẩn Nyquist và Bode, xem tương đương hàm truyền vòng hở là G(s).H(s) C4 Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 19 ... C4 Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 13 Ví dụ 4. 10 : Vẽ QDN hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, hàm truyền hở là : 40 0 G ( s) = s(s + 6)(s + a) 40 0 • Ptđt : 1 + G(s)H (s) = 0 → 1 + =0 s(s + 6)(s + a) N ( s) Nhận xét : tham số a nằm dưới mẫu số → cần đưa về dạng 1 + K =0 D ( s) s(s + 6)(s + a) + 40 0 = 0 s 2 (s + 6) + 40 0 + as(s + 6) = 0 as(s + 6) 1+ 3 =0 2 s + 6s + 40 0 • Cực : p1 = −10, p2,3 = 2 ± j 6 → n=3 • Zero : . ()Gs → Xét tính ổn đònh của hệ thống kín ( ) k Gs Không ổn đònh Ổn đònh Không ổn đònh C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 18 Tiêu chuẩn Bode Hệ thống kín () k Gs ổn đònh nếu hệ thống hở ()Gs. nghiệm của ptđt Ví dụ : Xét tính ổn đònh của hệ thống có ptđt : 543 2 48 8 740 sssss+++++= C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 6 2 44 () p As s=+ → 80 () p dA s s ds =+ Nghiệm của. C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 1 Chương 4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG C4. Tính Ổn Đònh Của