I- Khái niệm chung về tính ổn địnhHệ thống được gọi là ổn định nếu hệ thống là hệ ổn định BIBO hoặc hàm truyền của hệ thống là hàm bền.. -Hệ được gọi là ổn định BIBO nếu tín hiệu vào của
Trang 1Chương 3
ĐÁNH GIÁ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
Trang 2ĐÁNH GIÁ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
HỆ THỐNG
NỘI DUNG
1 Khái niệm chung về tính ổn định
2 Các tiêu chuẩn ổn định đại số
3 Tiêu chuẩn ổn định tần số
Trang 3I- Khái niệm chung về tính ổn định
Hệ thống được gọi là ổn định nếu hệ thống là hệ ổn định BIBO hoặc hàm truyền của hệ thống là hàm bền -Hệ được gọi là ổn định BIBO nếu tín hiệu vào của hệ thống là hữu hạn thì tín hiệu ra cũng là hữu hạn
- Hàm truyền của hệ thống là hàm bền nếu hệ có tất cả các điểm cực nằm bên trái trục ảo
Trang 4I- Khái niệm chung về tính ổn định
Trực quan khái niệm ổn định hệ thống
Trang 5Khái niệm Cực và zero
Cho hệ thống có hàm truyền là:
Đặt:
Cực: là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình A(s)=0
Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phương trình B(s)=0
n n
n n
m m
m m
a s
a s
a s
a
b s
b s
b s
b s
U
s
Y s
G
1
1 1
0
1
1 1
0
) (
)
( )
(
n n
n
n a s a s a s
a s
m m
m
s b s
B ( ) 0 1 1 1
Trang 6 Giản đồ cực - zero là đồ thị biểu diễn vị trí các cực và các zero của hệ thống trong mặt phẳng phức (khi gán s=δ+jω vào
hàm truyền).
Trang 7Điều kiện ổn định
Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào vị trí các cực.
Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm thì
hệ thống là hệ ổn định.
Hệ thống có ít nhất 1 cực có phần thực bằng 0, các cực còn lại có phần thực âm thì hệ thống ở biên giới ổn định.
Hệ thống có ít nhất 1 cực có phần thực dương thì hệ thống không ổn định
Trang 8II Tiêu chuẩn ổn định đại số
1. Điều kiện cần
Xét hệ có PTĐT như sau:
F(s) = an sn + an-1 sn-1 +…+a0 = 0 (an ≠ 0)
Điều kiện cần để hệ ổn định: aj phải cùng dấu với nhau
2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các
phần tử ở cột 1 bảng Routh đều cùng dấu
Nếu có sự đổi dấu thì số lần đổi dấu chính là số nghiệm
nằm ở bên phải mặt phẳng phức
Trang 9II Tiêu chuẩn ổn định đại số
Phương pháp thành lập bảng Routh:
PTĐT: F(s) = an sn + an-1 sn-1 +…+a0 = 0 (an ≠ 0)
a0 a2 a4 a6 …
a1 a3 a5 a7 …
b0 b2 b4 b6
b1 b3 b5 b7
… … … … …
z0
z1
Trang 10II Tiêu chuẩn ổn định đại số
Xét ví dụ sau: khảo sát tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng :12p 5 +6p 4 +18p 3 +6p 2 +6p+1=0
Điều kiện cần:Ta thấy các ai(i=0,5)>0 nên thoả mãn điều kiện cần để
hệ ổn định.
Điều kiện đủ:
Trang 11II Tiêu chuẩn ổn định đại số
3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
PTĐT: F(s) = an s n + an-1 s n-1 +…+a0 = 0 (an ≠ 0).
Điều kiện cần và đủ để hệ ổn định là tất cả các định thức con Hurwitz
Dk, k= 0, …, n, đều cùng dấu, trong đó : Do = an , D1 = an-1 và Dk là định thức của ma trận con cấp k của ma trận vuông Dn.
Dn
D3
D2
0
2
3 1
4 2
5 3
1
0 0
0 0
0 0
0 0
a
a a
a a
a a
a
a a
a
D
n n
n n
n n
n
n n
n
n
Trang 12II Tiêu chuẩn ổn định đại số
Ví Dụ:
Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng:
s 3 +4s 2 +3s+2=0
Ta có ma trận Hurwitz :
Các định thức:
Trang 13III Tiêu chuẩn ổn định tần số
Khái niệm đặc tính tần số
Đường đặc tính tần số được xác định nhờ hàm truyền G(s) của hệ thống bằng cách thay s=jω
G(jω) là một hàm phức nên có thể biểu diễn dưới dạng đại số hoặc dạng cực:
Trong đó:
Ý nghĩa vật lý: đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số.
Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số
) ( )
( )
( )
) (
)
( )
( arctan )
(
P
Q j
G
) (
)
( )
( )
( )
j
Trang 14III Tiêu chuẩn ổn định tần số
Biểu đồ Nyquist
Biểu đồ Nyquist: là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số G(jω)
trong hệ tọa độ cực khi ω thay đổi từ 0 đến ∞.
Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín G(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở bao điểm (-1,j0) l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến +∞, trong đó l
là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức của hệ hở G(s)
Trang 15 Ví dụ: vẽ biểu đồ Nyquist để kiểm tra tính
ổn định của hệ thống có hàm truyền sau:
2
1 ( )
G s
Trang 16 Biểu đồ Nyquist:
