Dạy Giải toán hình cho HS năng khiếu bậc tiểu học

Bài 8: Dạy giải toán hình ở tiểu học A/ Kiến thức khái quát: Đối với tiểu học kiến thức hình học chỉ dừng lại ở mức độ kiến thức mở đầu. Bớc đầu cung cấp các công thức cơ bản về các hình: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình tròn, hình tam giác, hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phơng. Cha có và cha sử dụng các công thức phát triển và các định lý, các quy tắc biểu diễn trong hình. Do vậy, khi giải các bài toán hình ở tiểu học, đặc biệt là các bài toán hình nâng cao trong các kỳ thi học sinh năng khiếu Toán thì cẩm nang duy nhất chỉ có là các công thức cơ bản của các hình. Bên cạnh cẩm nang này để giải đợc các bài toán hình phức tạp rất cần ở đội ngũ giáo viên cũng nh ở học sinh một nhanh nhạy trong việc xem xét, đánh giá mối liên quan giữa các yếu tố đã cho trong bài. Song song với đó là yêu cầu cao ở ngời giải toán một trí thông minh, một t duy liên tởng sáng tạo. Điều cần có trớc hết là ở sự say mê hứng thú giải toán hình. Sau mỗi bài giải ta nhận đợc ở chính nội dung bài đó một niềm vui học toán, một kết quả của t duy liên tởng sáng tạo. Điều quan trọng mang tính chất mở đầu và cốt lõi là cần vẽ đúng hình với đầy đủ các điều kiện của đề toán. Tiếp theo là suy nghĩ thiết lập hớng giải toán có thể vận dụng 3 phơng pháp thông thờng trong giải toán hình ở tiểu học. Đó là: + Phơng pháp lật hình + Phơng pháp kẻ thêm đờng thẳng + Phơng pháp dịch chuyển hình (Riêng nội dung này sẽ nói kỹ hơn ở phần sau) Tóm lại: Việc giải toán hình tiểu học đòi hỏi một sự lao động trí thức nghiêm túc và nhiệt tình cộng với hứng thú học tập. Sau đây là một số kiến thức cơ bản về một số hình thông thờng bậc tiểu học. 1/ Hình thang: 1 b Hình thang là một hình tứ giác có 2 cạnh đáy song song với nhau. Chiều cao là đoạn thẳng vuông góc với 2 đáy hình thang. Nh vậy, hình thang có vô số đờng cao. * Công thức tính: S = 2 )( ba + x h; h = (S x 2) : (a + b); a + b = (S x 2) : h Trong đó: S - Diện tích; h - Chiều cao; a- Đáy lớn; b - Đáy nhỏ Khi giải các bài tập về hình thang ta thờng áp dụng tính chất kẻ thêm đờng cao hoặc phát triển trên nền cơ sở là cắt ghép hình đẳng lập. * Có các loại hình thang đặc biệt: + Hình thang vuông: Là hình thang có 1 cạnh bên vuông góc với 2 đáy. Khi đó chiều cao của hình thang chính là cạnh bên vuông góc của hình thang. + Hình thang cân: Là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau. * Nâng cao: Hai hình thang có tổng 2 đáy bằng nhau, chiều cao bằng nhau thì có S bằng nhau. Hai hình thang có tổng 2 đáy bằng nhau hình thang nào có chiều cao gấp 2, 3, 4. lần thì có S gấp 2, 3, 4. lần và ngợc lại. Hai hình thang có tổng 2 đáy bằng nhau hình nào có S gấp 2, 3, 4. lần thì có chiều cao gấp 2, 3, 4 lần và ngợc lại. 2/ Hình tam giác: A B CD H h a 2 A Hình tam giác có 3 đáy, 3 đỉnh, 3 cạnh, 3 đờng cao. ở bậc tiểu học các yếu tố trong tam giác chỉ sử dụng nhiều đến đờng cao và đáy, còn các yếu tố khác nh: Góc, đờng phân giác, đờng trung tuyến, đờng trung trực thì ít dùng và không thông dụng. * Lu ý: Tổng các góc trong của một tam giác là 180 0 Trong tam giác vuông thì tổng 2 góc còn lại là 90 0 * Có các loại tam giác đặc biệt: + Tam giác cân: Tam giác có 2 cạnh bằng nhau, 2 góc cùng đáy bằng nhau. + Tam giác đều: Tam giác có 3 cạnh, 3 đáy bằng nhau. + Tam giác vuông: Tam giác có 1 góc vuông. + Tam giác vuông cân: Tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau. * Công thức tính: S = (a x h) : 2; a = (S x 2) : h ; h = (S x 2) : a Trong đó: S Diện tích; h Chiều cao; a - Đáy tơng ứng * Nâng cao: Trong tam giác tổng 2 cạnh bao giờ cũng lớn hơn 1 cạnh. Hai tam giác có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) và có chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều cao) thì S của 2 tam giác đó bằng nhau. Hai tam giác có 2 đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) thì tam giác nào có chiều cao gấp 2, 3, 4. lần thì có S cũng gấp 2, 3, 4 lần và ngợc lại. Hai tam giác có 2 đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) tam giác nào có S gấp 2, 3, 4 lần thì có chiều cao cũng gấp 2, 3, 4 lần và ngợc lại. Hai tam giác có diện tích bằng nhau, nếu chúng có 1 phần chung thì các phần còn lại của 2 tam giác đó bằng nhau. 3/ Hình chữ nhật: 3 B C H h a Hình chữ nhật là một hình thang đặc biệt có 2 cạnh bên bằng nhau và vuông góc với 2 đáy. * Các công thức tính: + Tính chu vi: P = (a + b) : 2 + Tính diện tích: S = a x b. a = (P : 2) b; b = (P : 2) a; a = S : b; b = S : a. Trong đó: S Diện tích; P Chu vi; a chiều dài; b Chiều rộng * Nâng cao: Hai HCN có diện tích bằng nhau. Nếu chiều dài của chúng bằng nhau thì có chiều rộng bằng nhau, và ngợc lại. Hai HCN có chiều rộng (hoặc chiều dài) bằng nhau hình nào có diện tích gấp 2, 3, 4 lần thì có chiều dài (hoặc chiều rộng) gấp 2, 3, 4 lần và ngợc lại. Khi diện tích không thay đổi thì chiều dài và chiều rộng là 2 đại lợng tỷ lệ nghịch. 4/ Hình vuông: Hình vuông là một hình chữ nhật đặc biệt có chiều dài bằng chiều rộng. Chu vi hình vuông: P = a x 4 Diện tích hình vuông: S = a x a Trong một số trờng hợp, khi biết đợc diện tích ta có thể biết ngay đợc cạnh của nó. Đó là các trờng hợp S hìng vuông là bình phơng của 1 số. Cắt đôi hình vuông từ trung điểm của 2 cạnh ta đợc hai hình chữ nhật có chu vi và diện tích bằng nhau. Cắt đôi hình vuông bằng đờng chéo ta đợc 2 hình tam giác vuông cân bằng nhau. B CD b a 4 A 4/ Hình tròn: Các yếu tố trong hình tròn: Đờng kính: d; Bán kính: r; Chu vi: C; Diện tích: S Số = 3,14. Công thức tính: C = d x 3,14; S = r x r 3,14 = r x 2 x 3,14; d = C : 3,14; r = d : 2 = r x 2 = C : 2 : 3,14 B/ Các phơng pháp cơ bản khi giải toán hình ở tiểu học: Nh phần trên đã trình bày việc giải toán hình ở tiểu học đòi hỏi ngời thầy, ng- ời trò và nói chung là những ngời giải toán cần có một sự tinh tế và nhạy bén với các yếu tố mà đề bài cho, làm sao đa đợc các yếu tố đó về sự lôgíc trong toán học. Song đều dựa trên các nguyên tắc hay phơng pháp cơ bản nhất định. Từ thực tế trực tiếng giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi toán nay là học sinh năng khiếu toán tiểu học tôi rút ra đợc 3 phơng pháp giải toán hình thông thờng ở tiểu học nh sau: 1/ Phơng pháp thứ nhất: Phơng pháp lật hình Phơng pháp này dùng để giải quyết các bài toán hình có nội dung mở rộng hình về 1 phía, 2 phía, 3 phía đối với các hình: Tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông Khi giải các bài toán này ta lật hình để đa đợc về dạng các hình cơ bản: Hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác đối với các phần mở thêm. r 5 * Ví dụ 1: Một thửa ruộng hình vuông nếu tăng số đo cạnh thêm 3m thì diện tích tăng thêm 99m2. Tính diện tích của thửa ruộng đó? Bài giải Ta lật hình chữ nhật (phần mở thêm chiều ngang) ghép vào phần mở thêm chiều dọc ta đợc hình chữ nhật có diện tích 99m 2 (nh hình vẽ) Thấy: Hình chữ nhật có chiều rộng là 3m. Chiều dài là 2 lần cạnh hình vuông và 3m. Ta có: Chiều dài hình chữ nhật là: 99 : 3 = 33 (m) Cạnh của hình vuông là: (33 3) : 2 = 15 (m) Diện tích hình vuông là: 15 x 15 = 225 (m 2 ) Đ/s: 225m 2 * Ví dụ 2: Một thửa ruộng hình thang có diện tích 460m2. Trên các cạnh AB; BC; DA; CD ngời ta lấy các điểm chính giữa M; N; P; Q. Nối M với N; N với P; P với Q. Tính diện tích MNPQ? Bài giải (Hình vẽ trang bên) Kéo dài MQ cắt CD tại F (nh hình vẽ) Kéo dài MN cắt DC tại E (nh hình vẽ) Lúc này S ABCD = S MEF . Nối MP ta có: S MNP = S NEP (Vì 2 tam giác này có MN = NE và chung đờng cao hạ từ P) Tơng tự ta có: S MPQ = S QPF Từ đó có: S MNP = S MPQ = S NEP = S QPF = 2 1 S MPF = 2 1 S MPE S MPQ + S QPF = S MNP + S NPE = S MPF = S MPE = 2 1 S MEF = 2 1 S ABCD Mà S MNP + S MPQ = S MNPQ 3 3 6 Vậy ta có: S MNPQ = 2 1 S ABCD = 460 : 2 = 230 (m 2 ) Đ/s: 230m 2 2/ Phơng pháp thứ hai: Phơng pháp dịch chuyển hình. Phơng pháp này giải các bài toán có dạng Hòn đảo hoặc xuất hiện phần d trong hình. Khi giải toán ta tởng tợng ra và dịch chuyển hòn đảo hoặc phần d đó vào 1 góc hoặc 1 cạnh để tiện ích cho việc giải toán áp dụng công thức của các hình cơ bản. * Ví dụ 1: Ngời ta đào 1 cái ao hình vuông trong một khu đất cũng hình vuông. Tổng chu vi của cái ao và khu đất là 144m. Diện tích khu đất lớn hơn diện tích cái ao là: 1008m2. Tìm cạnh của ao và khu đất? Bài giải C D P Q N F E 1 2 7 A M B Ta giả sử cái ao hình vuông đó đợc đào sát vào 1 góc của khu đất. Đã đợc dịch chuyển hình vuông đó vào 1 góc của khu đất (nh hình vẽ). Ta thấy: Có 2 cạnh trùng với cạnh của khu đất, thì phần diện tích khu đất lớn hơn diện tích cái ao đợc chia thành 2 phần bằng nhau. Đó là 2 hình thang mà mỗi hình có tổng 2 đáy chính là tổng 2 cạnh của cái ao và khu đất. Vậy có: Tổng 2 đáy của hình thang là: 144 : 4 = 36 (m) Diện tích một hình thang là: 1008 : 2 = 504 (m 2 ) Chiều cao của mỗi hình thang là: (504 x 2) : 36 = 28 (m) 28m chính là hiệu của cạnh khu đất và cạnh ao. Vậy cạnh ao là: (36 28) : 2 = 4 (m) Cạnh khu đất là: 28 + 4 = 32 (m) Đ/s: 32m. 3/ Phơng pháp thứ 3: Phơng pháp kẻ thêm đoạn thẳng. Do hình học ở tiểu học cha có các định lý và các quy tắc bổ trợ nên ta rất cần có sự tơng quan giữa các yếu tố đã cho trong đề bài. Muốn vậy ta cần kẻ thêm một số đờng thẳng ngoài các yếu tố mà đề bài đã cho. Nhng kẻ thêm nh thế nào thì ta phải xem xét và thiết lập đợc sự tơng quan giữa các yếu tố của đề toán. * Ví dụ: Cho hình tam giác ABC. Có BE = EC; AD = 3 2 AB; AF = 5 2 AC. Hãy so sánh S ADEF với S ABC . Bài giải Nối AE. Ta thấy: S ABE = S AEC = 2 1 S ABC 8 A C B E D F E (Vì có: BE = EC và chung đờng cao hạ từ A) S AEF = 5 2 S AEC (Vì có: AF = 2/5 AC, có chung đờng cao hạ từ E xuống) Do đó: S AEF = 5 1 S ABC Tơng tự ta có: S ADE = 3 2 S ABE (Vì có: AD = 2/3 AC; chung đờng cao hạ từ đỉnh E) Do đó: S ADE = 3 1 S ABC Mà S ADEF = S ADE + S AEF . Nên có: S ADEF = 3 1 S ABC + 5 1 S ABC = 15 8 S ABC Đ/s: 15 8 S ABC C/ Bài tập vận dụng: 1/ Bài 1: Sân trờng là một HCN có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nay mở rộng sân về 3 phía, mỗi phía rộng thêm 4m. Phần mở rộng đã lát gạch hình vuộng, cạnh 0,2m hết 4.410 viên. Diện tích trát vữa hết 3,6m2. Tính diện tích sân trờng trớc khi mở rộng? (Đ/s: 164,28m2) 2/ Bài 2: Cho hình vuông ABCD có chu vi là 32 cm. M, N là trung điểm của AB, BC. Các đờng thẳng AN bà BM cắt nhau tại K. Tính S AMK ? (Đ/s: 5 16 cm 2 ) 3/ Bài 3: Cho hình thang ABCD có S = 1.000cm2. Đoạn thẳng BE chia hình thang thành 2 phần. a) Tính S ABED và S BEC. . Biết: S BEC - S ABED = 80cm2. b) Trên BE lấy điểm M sao cho EM = 1/3 EB. Từ M kẻ đờng thẳng song song với EC cắt BC tại N. Biết Mn dài 36 cm. Tính tổng 2 đáy hình thang ABCD? (Đ/s: a) 540cm2; b) 100cm) 4/ Bài 4: ngời ta làm một cái vờn ha hình vuông chính giữa một cái sân cũng hình vuônca. Tổng chu vi của của cái sân và vờng hoa là 128m, diện tích vờn hoa kém diện tích sân là 512m2. Tính cạnh của vờn hoa và cạnh của sân/ (Đ/s: 8m; 24m) 9 5/ Bài 5: Một thửa ruộng hình thang có TBC 2 đáy là 30,15m. Nếu tăng đáy lớn thêm 5,6m thì diện tích thửa ruộng sẽ tăng thêm 33,6m2. Hãy tính diện tích của thửa ruộng đó? (Đ/s: 361,8m2) 6/ Bài 6: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A. Có cạnh AB = 28m; AC = 24m. Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy điểm D sao cho khi nối E với D ta đợc hình thang vuông ABDE có chiều cao AE = 6m. Tính đoạn ED? (Đ/s: 21m) 7/ Bài 7: Một thửa ruộng hình thang vuông ABCD có đáy bé AB = 20m, đáy lớn CD = 40m và chiều cao AD = 32m. Nay vì mở rộng đờng nên bị cắt mất 1 hình thang có đáy lớn là CD và chiều cao là 8m. Tính diện tích còn lại? (Đ/s: 660m2) 8/ Bài 8: Một khu vờn hình chữ nhật có chiều dài 31,5m. Khu vờn đó đợc mở thêm theo chiều rộng làm cho chiều rộng so với trờng tăng gấp 1,5 lần và do đó diện tích tăng thêm 252m2. Tính chiều rộng và diện tích khu vờn mở thêm? (Đ/s: 24m; 756m2) 9/ Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên BC sao cho BC gấp 5 lần BM. Điểm N nằm trên AC sao cho AN = 4 3 AC. Điểm P nằm trên MN sao cho NP = 3 2 MN. Hãy so sánh S AMP và S ABM ? (Đ/s: S AMP = S ABM ) 10 . giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi toán nay là học sinh năng khiếu toán tiểu học tôi rút ra đợc 3 phơng pháp giải toán hình thông thờng ở tiểu học nh. khi giải toán hình ở tiểu học: Nh phần trên đã trình bày việc giải toán hình ở tiểu học đòi hỏi ngời thầy, ng- ời trò và nói chung là những ngời giải toán