Đang tải... (xem toàn văn)
Đối với tiểu học kiến thức hình học chỉ dừng lại ở mức độ kiến thức mở đầu. Bước đầu cung cấp các công thức cơ bản về các hình: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình tròn, hình tam giác, hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phương. Chưa có và chưa sử dụng các công thức phát triển và các định lý, các quy tắc biểu diễn trong hình. Do vậy, khi giải các bài toán hình ở tiểu học, đặc biệt là các bài toán hình nâng cao trong các kỳ thi học sinh năng khiếu Toán thì cẩm nang duy nhất chỉ có là các công thức cơ bản của các hình.
A/ Kiến thức khái quát: Đối với tiểu học kiến thức hình học dừng lại mức độ kiến thức mở đầu Bước đầu cung cấp công thức hình: Hình chữ nhật, hình vng, hình thang, hình trịn, hình tam giác, hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phương Chưa có chưa sử dụng công thức phát triển định lý, quy tắc biểu diễn hình Do vậy, giải tốn hình tiểu học, đặc biệt tốn hình nâng cao kỳ thi học sinh khiếu Tốn cẩm nang có cơng thức hình Bên cạnh cẩm nang để giải tốn hình phức tạp cần đội ngũ giáo viên học sinh nhanh nhạy việc xem xét, đánh giá mối liên quan yếu tố cho Song song với yêu cầu cao người giải tốn trí thơng minh, tư liên tưởng sáng tạo Điều cần có trước hết say mê hứng thú giải tốn hình Sau giải ta nhận nội dung niềm vui học tốn, kết tư liên tưởng sáng tạo Điều quan trọng mang tính chất mở đầu cốt lõi cần vẽ hình với đầy đủ điều kiện đề toán Tiếp theo suy nghĩ thiết lập hướng giải tốn vận dụng phương pháp thơng thường giải tốn hình tiểu học Đó là: + Phương pháp lật hình + Phương pháp kẻ thêm đường thẳng + Phương pháp dịch chuyển hình (Riêng nội dung nói kỹ phần sau) Tóm lại: Việc giải tốn hình tiểu học địi hỏi lao động trí thức nghiêm túc nhiệt tình cộng với hứng thú học tập Sau số kiến thức số hình thơng thường bậc tiểu học 1/ Hình thang: 1b A B h D H C a Hình thang hình tứ giác có cạnh đáy song song với Chiều cao đoạn thẳng vng góc với đáy hình thang Như vậy, hình thang có vơ số đường cao * Cơng thức tính: S= ( a + b) x h; Trong đó: S - Diện tích; h = (S x 2) : (a + b); h - Chiều cao; a + b = (S x 2) : h a- Đáy lớn; b - Đáy nhỏ Khi giải tập hình thang ta thường áp dụng tính chất kẻ thêm đường cao phát triển sở cắt ghép hình đẳng lập * Có loại hình thang đặc biệt: + Hình thang vng: Là hình thang có cạnh bên vng góc với đáy Khi chiều cao hình thang cạnh bên vng góc hình thang + Hình thang cân: Là hình thang có cạnh bên * Nâng cao: Hai hình thang có tổng đáy nhau, chiều cao có S Hai hình thang có tổng đáy hình thang có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần có S gấp 2, 3, 4… lần ngược lại Hai hình thang có tổng đáy hình có S gấp 2, 3, 4… lần có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần ngược lại 2/ Hình tam giác: A2 h C H a B Hình tam giác có đáy, đỉnh, cạnh, đường cao Ở bậc tiểu học yếu tố tam giác sử dụng nhiều đến đường cao đáy, yếu tố khác như: Góc, đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực dùng khơng thơng dụng * Lưu ý: Tổng góc tam giác 1800 Trong tam giác vng tổng góc cịn lại 900 * Có loại tam giác đặc biệt: + Tam giác cân: Tam giác có cạnh nhau, góc đáy + Tam giác đều: Tam giác có cạnh, đáy + Tam giác vng: Tam giác có góc vng + Tam giác vng cân: Tam giác vng có cạnh góc vng * Cơng thức tính: S = (a x h) : 2; a = (S x 2) : h ; h = (S x 2) : a Trong đó: S – Diện tích; h – Chiều cao; a - Đáy tương ứng * Nâng cao: Trong tam giác tổng cạnh lớn cạnh Hai tam giác có đáy (hoặc chung đáy) có chiều cao (hoặc chung chiều cao) S tam giác Hai tam giác có đáy (hoặc chung đáy) tam giác có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần có S gấp 2, 3, 4… lần ngược lại Hai tam giác có đáy (hoặc chung đáy) tam giác có S gấp 2, 3, 4… lần có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần ngược lại Hai tam giác có diện tích nhau, chúng có phần chung phần cịn lại tam giác 3/ Hình chữ nhật: A B b D a C Hình chữ nhật hình thang đặc biệt có cạnh bên vng góc với đáy * Các cơng thức tính: + Tính chu vi: P = (a + b) : + Tính diện tích: S = a x b a = (P : 2) – b; b = (P : 2) – a; a = S : b; b = S : a Trong đó: S – Diện tích; P – Chu vi; a – chiều dài; b – Chiều rộng * Nâng cao: Hai HCN có diện tích Nếu chiều dài chúng có chiều rộng nhau, ngược lại Hai HCN có chiều rộng (hoặc chiều dài) hình có diện tích gấp 2, 3, … lần có chiều dài (hoặc chiều rộng) gấp 2, 3, 4… lần ngược lại Khi diện tích khơng thay đổi chiều dài chiều rộng đại lượng tỷ lệ nghịch 4/ Hình vng: Hình vng hình chữ nhật đặc biệt có chiều dài chiều rộng Chu vi hình vng: P = a x Diện tích hình vng: S = a x a Trong số trường hợp, biết diện tích ta biết cạnh Đó trường hợp S hìng vng bình phương số Cắt đơi hình vng từ trung điểm cạnh ta hai hình chữ nhật có chu vi diện tích Cắt đơi hình vng đường chéo ta hình tam giác vng cân 4/ Hình trịn: r Các yếu tố hình trịn: Đường kính: d; Bán kính: r; Chu vi: C; Diện tích: S Số ∏ = 3,14 Cơng thức tính: C = d x 3,14; S = r x r 3,14 = r x x 3,14; d = C : 3,14; r=d:2 =rx2 = C : : 3,14 B/ Các phương pháp giải tốn hình tiểu học: Như phần trình bày việc giải tốn hình tiểu học đòi hỏi người thầy, người trò nói chung người giải tốn cần có tinh tế nhạy bén với yếu tố mà đề cho, đưa yếu tố lơgíc tốn học Song dựa nguyên tắc hay phương pháp định Từ thực tế trực tiếng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán học sinh khiếu tốn tiểu học tơi rút phương pháp giải tốn hình thơng thường tiểu học sau: 1/ Phương pháp thứ nhất: Phương pháp lật hình Phương pháp dùng để giải tốn hình có nội dung mở rộng hình phía, phía, phía hình: Tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vng… Khi giải tốn ta lật hình để đưa dạng hình bản: Hình chữ nhật, hình vng, hình tam giác… phần mở thêm * Ví dụ 1: Một ruộng hình vng tăng số đo cạnh thêm 3m diện tích tăng thêm 99m2 Tính diện tích ruộng đó? Bài giải 3 Ta lật hình chữ nhật (phần mở thêm chiều ngang) ghép vào phần mở thêm chiều dọc ta hình chữ nhật có diện tích 99m2 (như hình vẽ) Thấy: Hình chữ nhật có chiều rộng 3m Chiều dài lần cạnh hình vng 3m Ta có: Chiều dài hình chữ nhật là: 99 : = 33 (m) Cạnh hình vng là: (33 – 3) : = 15 (m) Diện tích hình vng là: 15 x 15 = 225 (m2) Đ/s: 225m2 * Ví dụ 2: Một ruộng hình thang có diện tích 460m2 Trên cạnh AB; BC; DA; CD người ta lấy điểm M; N; P; Q Nối M với N; N với P; P với Q Tính diện tích MNPQ? Bài giải (Hình vẽ trang bên) Kéo dài MQ cắt CD F (như hình vẽ) Kéo dài MN cắt DC E (như hình vẽ) Lúc SABCD = SMEF Nối MP ta có: SMNP = SNEP (Vì tam giác có MN = NE chung đường cao hạ từ P) Tương tự ta có: SMPQ = SQPF 1 SMPF = SMPE 2 1 = SMPE = SMEF = SABCD 2 Từ có: SMNP = SMPQ = SNEP = SQPF = SMPQ + SQPF = SMNP + SNPE = SMPF Mà SMNP + SMPQ = SMNPQ Vậy ta có: SMNPQ = SABCD = 460 : = 230 (m2) Đ/s: 230m2 M A Q B N E F D P C 2/ Phương pháp thứ hai: Phương pháp dịch chuyển hình Phương pháp giải tốn có dạng “Hịn đảo” xuất “phần dư” hình Khi giải tốn ta tưởng tượng dịch chuyển “hòn đảo” “phần dư” vào góc cạnh để tiện ích cho việc giải tốn áp dụng cơng thức hình * Ví dụ 1: Người ta đào ao hình vng khu đất hình vng Tổng chu vi ao khu đất 144m Diện tích khu đất lớn diện tích ao là: 1008m2 Tìm cạnh ao khu đất? Bài giải Ta giả sử ao hình vng đào sát vào góc khu đất Đã dịch chuyển hình vng vào góc khu đất (như hình vẽ) Ta thấy: Có cạnh trùng với cạnh khu đất, phần diện tích khu đất lớn diện tích ao chia thành phần Đó hình thang mà hình có tổng đáy tổng cạnh ao khu đất Vậy có: Tổng đáy hình thang là: 144 : = 36 (m) Diện tích hình thang là: 1008 : = 504 (m2) Chiều cao hình thang là: (504 x 2) : 36 = 28 (m) 28m hiệu cạnh khu đất cạnh ao Vậy cạnh ao là: (36 – 28) : = (m) Cạnh khu đất là: 28 + = 32 (m) Đ/s: 32m 3/ Phương pháp thứ 3: Phương pháp kẻ thêm đoạn thẳng Do hình học tiểu học chưa có định lý quy tắc bổ trợ nên ta cần có tương quan yếu tố cho đề Muốn ta cần kẻ thêm số đường thẳng yếu tố mà đề cho Nhưng kẻ thêm ta phải xem xét thiết lập tương quan yếu tố đề tốn * Ví dụ: Cho hình tam giác ABC Có BE = EC; AD = sánh SADEF với SABC Bài giải 2 AB; AF = AC Hãy so A F D C E B E Nối AE Ta thấy: SABE = SAEC = SABC (Vì có: BE = EC chung đường cao hạ từ A) SAEC (Vì có: AF = 2/5 AC, có chung đường cao hạ từ E xuống) Do đó: SAEF = SABC Tương tự ta có: SADE = SABE (Vì có: AD = 2/3 AC; chung đường cao hạ từ đỉnh E) Do đó: SADE = SABC 1 Mà SADEF = SADE + SAEF Nên có: SADEF = SABC + SABC = SABC 15 Đ/s: SABC 15 SAEF = C/ Bài tập vận dụng: 1/ Bài 1: Sân trường HCN có chiều dài gấp lần chiều rộng Nay mở rộng sân phía, phía rộng thêm 4m Phần mở rộng lát gạch hình vuộng, cạnh 0,2m hết 4.410 viên Diện tích trát vữa hết 3,6m2 Tính diện tích sân trường trước mở rộng? (Đ/s: 164,28m2) 2/ Bài 2: Cho hình vng ABCD có chu vi 32 cm M, N trung điểm AB, BC Các đường thẳng AN bà BM cắt K Tính SAMK? (Đ/s: 16 cm2) 3/ Bài 3: Cho hình thang ABCD có S = 1.000cm2 Đoạn thẳng BE chia hình thang thành phần a) Tính SABED SBEC Biết: SBEC - SABED = 80cm2 b) Trên BE lấy điểm M cho EM = 1/3 EB Từ M kẻ đường thẳng song song với EC cắt BC N Biết Mn dài 36 cm Tính tổng đáy hình thang ABCD? (Đ/s: a) 540cm2; b) 100cm) 4/ Bài 4: người ta làm vườn hình vng sân hình vnca Tổng chu vi của sân vường hoa 128m, diện tích vườn hoa diện tích sân 512m2 Tính cạnh vườn hoa cạnh sân/ (Đ/s: 8m; 24m) 5/ Bài 5: Một ruộng hình thang có TBC đáy 30,15m Nếu tăng đáy lớn thêm 5,6m diện tích ruộng tăng thêm 33,6m2 Hãy tính diện tích ruộng đó? (Đ/s: 361,8m2) 6/ Bài 6: Cho tam giác vuông ABC vuông A Có cạnh AB = 28m; AC = 24m Trên AC lấy điểm E, BC lấy điểm D cho nối E với D ta hình thang vng ABDE có chiều cao AE = 6m Tính đoạn ED? (Đ/s: 21m) 7/ Bài 7: Một ruộng hình thang vng ABCD có đáy bé AB = 20m, đáy lớn CD = 40m chiều cao AD = 32m Nay mở rộng đường nên bị cắt hình thang có đáy lớn CD chiều cao 8m Tính diện tích cịn lại? (Đ/s: 660m2) 8/ Bài 8: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 31,5m Khu vườn mở thêm theo chiều rộng làm cho chiều rộng so với trường tăng gấp 1,5 lần diện tích tăng thêm 252m2 Tính chiều rộng diện tích khu vườn mở thêm? (Đ/s: 24m; 756m2) 10 9/ Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm M nằm BC cho BC gấp lần BM AC Điểm P nằm MN cho NP = Điểm N nằm AC cho AN = MN Hãy so sánh SAMP SABM ? (Đ/s: SAMP = SABM) 11 ... hình có nội dung mở rộng hình phía, phía, phía hình: Tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vng… Khi giải tốn ta lật hình để đưa dạng hình bản: Hình chữ nhật, hình vng, hình tam giác… phần mở... chuyển hình Phương pháp giải tốn có dạng “Hịn đảo” xuất “phần dư” hình Khi giải toán ta tưởng tượng dịch chuyển “hịn đảo” “phần dư” vào góc cạnh để tiện ích cho việc giải tốn áp dụng cơng thức hình. .. chiều cao hình thang cạnh bên vng góc hình thang + Hình thang cân: Là hình thang có cạnh bên * Nâng cao: Hai hình thang có tổng đáy nhau, chiều cao có S Hai hình thang có tổng đáy hình thang