UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN:TỐN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 1 x 2) Biết 4a b2 5ab với 2a b Tính giá trị biểu thức: C ab 4a b Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 1) x 3x x 9x x 8 2x2 x 2x2 x Câu (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x xy x y y 10 2) 2) Cho đa thức f ( x) x3 3x 3x Với giá trị nguyên x giá trị đa thức f ( x) chia hét cho giá trị đa thức x Câu (3,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D 1) Chứng minh AB2 AC.BD 2) Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC CM 3) Từ M kẻ MH vng góc AB I Chứng minh BC qua trung điểm MH Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 16 x y z ĐÁP ÁN Câu 1.1 x x 1 x x x 1 x 1 x x x x x x4 x2 x4 x2 x x 1 1.2 4a b 5ab a b 4a b a b a b 4a b 4a b Do 2a b nên 4a b loại ab a2 Với a b C 2 2 4a b 4a a Câu 2.1 * Với x 1* ta có phương trình x2 3x x x x x 1 x (Thỏa *) *Với x 1** ta có phương trình x2 3x x x x x 1 x 3 + x x (không thỏa mãn điều kiện **) x x ( không thỏa mãn điều kiện **) Vậy nghiệm phương trình x 2.2 Xét x nghiệm Xét x 9x x 8 2x x 2x x 8 3 2x 2x 1 x x Đặt x t , ta có phương trình: x 8 t 1 t 1 PT 8t 8t 2t 1 t 2 x x2 x 2x 95 2x 0 16 Suy phương trình vơ nghiệm Câu 3.1 Ta có: x xy x y y 10 x xy 28 x 28 y y 40 x y y * Ta thấy x y nên y y y nguyên nên y 0;1 y 01; 1 Với y thay vào * ta được: x tìm x 2; 5 Với y thay vào * ta có: x , khơng tìm x nguyên Với y 1 thay vào * ta có x 5 khơng tìm x nguyên Vậy x; y 2;0 ; 5;0 3.2 Chia f x cho x thương x dư x Để f ( x) chia hết cho x x chia hết cho x x x chia hết cho x x chia hết cho x x2 chia hết cho x x x ước Mà x x 3;6 x 1; 2 Thử lại ta thấy x 1; x 2 thỏa mãn Vậy với x 1; x 2 f ( x) chia hết cho x Câu y x I D M C K A H O 1) Chứng minh OAC DBO g.g B OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB AC.BD AB AC.BD(dfcm) 2 OC AC 2) Theo câu a ta có OAC DBO g.g OD OB OC AC OC OD Mà OA OB OD OA AC OA Chứng minh OCD ACO c.g.c OCD ACO Chứng minh OAC OMC ch gn AC MC (dfcm) 3) Ta có: OAC OMC OA OM ; CA CM OC trung trực AM OC AM Mặt khác : OA OM OB AMB vuông M OC / / BM (Vì vng góc với AM ) hay OC / / BI Chứng minh C trung điểm AI MK BK KH Do MH / / AI theo hệ Ta let ta có: IC BC AC Mà IC AC MK HK BC qua trung điểm MH (đpcm) Câu 1 1 1 y x z x z y 21 P x y z 16 x y z 16 x y z 16 x y 16 x z y z 16 y x Dấu " " xảy y x Theo BĐT Cơ si ta có: 16 x y z x Tương tự: , dấu “=” xảy z x 16 x z z y 1, dấu " " xảy z y 4y z 49 P Dấu " " xảy x ; y ; z 16 7 49 Vậy MinP với x ; y ; z 16 7