UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN- LỚP Thời gian làm bài:150 phút ( Đề gồm có: câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2(x4 - 1)(x2 + 2) + 2) Biết 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > Tính giá trị biểu thức: C ab 4a b 2 Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 1) x 3x x ; 2) 9x x 8 2x x 2x x Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thoả mãn: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 2) Cho đa thức f(x) = x - 3x + 3x - Với giá trị nguyên x giá trị đa thức f(x) chia hết cho giá trị đa thức x + Câu 4: (3,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D 1) Chứng minh AB2 = AC.BD; 2) Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC = CM; 3) Từ M kẻ MH vng góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH Câu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1 16 x y z Hết UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN- LỚP ( Hướng dẫn chấm gồm: câu, trang) Câu Đáp án Điểm (1điểm) x2 (x4 - 1)(x2 + 2) + = x2 (x2 - 1)(x2 + 1)(x2 + 2) + = (x4 + x2)(x4 + x2 – 2) + 0,25 0,25 = (x4 + x2)2 – 2(x4 + x2) + 1 = (x4 + x2 – 1)2 (2 (1điểm) điểm) 4a2 + b2 = 5ab � (a – b)(4a – b) = 0,25 0,25 a b ab � � �� �� 4a b 4a b � � 0,5 Do 2a > b > nên 4a = b loại Với a = b C 0,25 ab a 2 4a b 4a a (1điểm) * Víi x (*) ta có phơng trình: (2 x2 -3x + + x-1 = điểm) � x x � x 1 � x ( Thoả mãn điều kiện *) 0,25 0,25 0,25 * Với x < (**) ta có phơng trình: x2 -3x + + - x = � x x � x 1 x 3 + x - = � x ( Không thỏa mãn điều kiện **) + x - = x ( Không thoả mãn điều kiện **) Vậy nghiệm phơng trình (1) là: x = (1điểm) 0,25 0,25 - Xét x = nghiệm - Xét x khác 9x x 8 2x x 2x x � 8 3 2x 1 2x 1 x x 0,25 Đặt : t , ta có phương trình: x 8 t 1 t 1 2x 0,25 ĐKXĐ x khác 1;-1 0,25 PT � 8t 8t � 2t 1 � t � 2x x 2 � 4x x 95 � (2 x ) 0 16 0,25 => PT vô nghiệm (1điểm) Ta có: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 = � (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = (*) 0,25 Ta thấy (2x + 2y + 7)2 �0 nên 4y2 �9 � y � y nguyên nên y � 0;1 � y � 0;1; 1 Với y = thay vào (*) ta được: x tìm x � 2; 5 Với y = thay vào (*) ta có : (2x + 9)2 = - khơng tìm x nguyên Với y = -1 thay vào (*) ta có (2x + 5)2 = - khơng tìm x nguyên Vậy (x;y) nguyên tìm (-2 ; 0) ; (-5 ; 0) (1điểm) (2 Chia f ( x) cho x thương x - dư x + điểm) để f ( x) chia hết cho x x + chia hết cho x 2 => (x + 2)(x - 2) chia hết cho x + 2 => x - chia hết cho x + 2 => x + - chia hết cho x + 2 => chia hết cho x + 2 => x + ước mà x �2 => x � 3;6 0,25 1; 2 => x α� Thử lại ta thấy x = 1; x = -2 thỏa mãn Vậy với x = ; x = -2 f ( x) chia hết cho x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vẽ hình ghi GT, KL 0,25 (1điểm) Chứng minh: ΔOAC : ΔDBO (g - g ) 0,25 0,25 OA AC � OA.OB AC.BD DB OB AB AB � AC.BD � AB2 4AC.BD (đpcm) 2 � 0,25 (3 điểm) (1điểm) Theo câu a ta có: ΔOAC : ΔDBO (g - g) � Mà OA OB � OC AC OD OB 0,25 OC AC OC OD � OD OA AC OA � ACO � +) Chứng minh: ΔOCD : ΔACO (c - g - c) � OCD +) Chứng minh: ΔOAC = ΔOMC (ch - gn) � AC MC (đpcm) (1điểm) Ta có ΔOAC = ΔOMC � OA OM; CA CM � OC trung trực AM OC AM Mặt khác OA = OM = OB ∆AMB vuông M OC // BM (vì vng góc AM) hay OC // BI Chứng minh C trung điểm AI Do MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có: � MK BK KH IC BC AC Mà IC = AC MK = HK BC qua trung điểm MH (đpcm) �1 1 1 � �y x � �z x � �z y � 21 x y z � � � � � � � � 16x y z 16x y z � � 16 x y � � 16 x z � �4 y z � 16 � y x � dấu “=” y = 2x; Theo BĐT Cơ Si ta có: 16 x y z y z x (1điểm) Tương tự: 16 x z �2 dấu “=” z = 4x; y z �1 dấu “=” z = 2y; 49 P � Dấu “=” xảy x = ; y = ; z = 16 7 49 Vậy Min P = với x = ; y = ; z = 16 7 P= 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 *Chú ý: Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa ...UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017- 2018 MÔN: TOÁN- LỚP ( Hướng dẫn chấm gồm: câu, trang) Câu