TOÁN 12 TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ VÀ DỄ HIỂU

TOÁN 12 TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ VÀ DỄ HIỂU TOÁN 12 TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ VÀ DỄ HIỂU TOÁN 12 TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ VÀ DỄ HIỂU TOÁN 12 TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ VÀ DỄ HIỂU TOÁN 12 TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ VÀ DỄ HIỂU TOÁN 12 TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ VÀ DỄ HIỂU TOÁN 12 TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ VÀ DỄ HIỂU TOÁN 12 TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ VÀ DỄ HIỂU

h c vi n KTQS_nguy nbun.ae.mta@gmail.com Tích phân Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân Các giới hạn đặc biệt: sin x =1 a) lim x ®0 x x =1 x ®0 sin x Hệ quả: lim sin u(x) =1 u(x)®0 u(x) u(x) =1 u(x)®0 sin u(x) ln(1 + x) =1 x® x lim lim lim x ổ 1ử b) lim ỗ + ữ = e, x ẻ R x đƠ ố xứ Heọ quaỷ: lim (1 + x) x = e x®0 lim ex - =1 x® x Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp hệ quả: (c)’ = (c số) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' ổ1ử ỗ ữ' = - ốxứ x ( x )' = x x (e )' = ex u' ổ1ử ỗ ữ' = - u ốuứ ( u ) ' = u' u u (e )' = u'.e u (ax )' = a x ln a (a u )' = a u ln a u ' u' (ln x )' = (ln u )' = x u u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu u' (tgx)' = = + tg x (tgu)' = = (1 + tg u).u' 2 cos x cos u -1 - u' (cot gx)' = = -(1 + cot g x) (cot gu)' = = - (1 + cot g u).u' 2 sin x sin u Vi phaân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a ; b) có đạo hàm x Ỵ (a; b) Cho số gia Dx x cho x + Dx Ỵ (a; b) Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) vi phân hàm số y = f(x) x, ký hiệu dy (hoặc df(x)) dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa vào hàm số y = x, dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Tích phân h c vi n KTQS_nguy nbun.ae.mta@gmail.com NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 1: NGUYÊN HÀM Đònh nghóa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a ; b) đoạn [a ; b] phải có thêm: F '(a+ ) = f(x) vaø F '(b - ) = f(b) Đònh lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) : a/ Với số C, F(x) + C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng b/ Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) viết dạng: F(x) + C với C số Người ta ký hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f(x) ò f(x)dx Do viết: ò f(x)dx = F(x) + C Bổ đề: Nếu F¢(x) = khoảng (a ; b) F(x) không đổi khoảng Các tính chất nguyên hàm: · · · · ( ò f(x)dx ) ' = f(x) ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0) ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x)) Sự tồn nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] có nguyên hàm đoạn Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Tích phân Nguy n Thành Nam BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp thường gặp (dưới u = u(x)) ò dx = x + C ò du = u + C x a+1 ò x dx = a + + C (a ¹ -1) ua+1 ò u du = a + + C dx = ln x + C x (x ¹ 0) ò a ò ò e dx = e x x ò a dx = x du = ln u + C u ò e du = e u +C ax +C ln a (a ¹ -1) a u ò a du = (0 < a ¹ 1) u (u = u(x) ¹ 0) +C au +C ln a (0 < a ¹ 1) ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C dx ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C du ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C dx ò sin x = ò (1 + cot g x)dx = - cot gx + C dx = x +C x ò2 du ò sin du = u +C u ò2 (x > 0) ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ¹ 0) sin(ax + b)dx = cos(ax + b) + C ò a (a ¹ 0) dx u = ò (1 + cot g u)du = - cot gu + C (u > 0) ò ax + b = a ln ax + b + C òe ò ax + b dx = eax + b + C a (a ¹ 0) dx = ax + b + C ax + b a (a ¹ 0) Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Tích phân h c vi n KTQS_nguy nbun.ae.mta@gmail.com Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) Xác đònh F’(a+) Xác đònh F’(b–) ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b) ï + Bước 2: Chứng tỏ íF '(a + ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x + a) với a > nguyên hàm hàm số f(x) = x2 + a R Giải: Ta có: F '(x) = [ln(x + x + a)]' = (x + x + a)' x + x2 + a 2x 1+ x2 + a x + x2 + a = = x2 + a + x x + a(x + x + a) = x2 + a = f(x) Vậy F(x) với a > nguyên hàm hàm số f(x) R ìïex Ví dụ 2: CMR hàm số: F(x) = í ïỵ x + x + x ³ x < ìex x ³ Là nguyên hàm hàm số f(x) = í R 2x + x < ỵ Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: a/ Với x ¹ , ta có: ìe x x > F '(x) = í ỵ2x + x < b/ Với x = 0, ta có: Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Nguy n Thành Nam · Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = F '(0 - ) = limx®0 · Tích phân F(x) - F(0) x + x + - e0 = lim= x ®0 x-0 x Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = F '(0 + ) = lim+ x®0 F(x) - F(0) ex - e0 = lim+ = x®0 x-0 x Nhận xét F '(0 - ) = F '(0 + ) = Þ F '(0) = ìe x x ³ Tóm lại: F '(x) = í = f(x) ỵ2x + x < Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R Bài toán 2: Xác đònh giá trò tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Dùng đồng hàm đa thức Þ giá trò tham số Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) Xác đònh F’(a+) Xác đònh F’(b–) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b) ï + Þ giá trò tham số íF '(a ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) ỵ Bài toán 3: Tìm số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề cho để tìm số C Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm Trang `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Tích phân Nguy n Thành Nam Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 3dx - x2 Giải: · Cách 1: Đặt: x = sin t, Suy ra: dx = cos tdt & Khi đó: I = p p Þ í 2 2 ỵï cos t = - sin t = - x · Caùch 2: Đặt t = - x Þ x = - t x 3dx x xdx x xdx (1 - t )( -tdt) Suy ra: 2xdx = 2tdt & = = = = (t - 1)dt 2 t 1- x 1- x 1- x 1 Khi đó: I = ò (t - 1)dt = t - t + C = (t - 3)t + C = - (x + 2) - x + C 3 Dạng 4: Xác đònh nguyên hàm hàm số hữu tỉ x a2 + x có dạng: I = ò R(x, a2 + x )dx, với ad - bc ¹ PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: · Bước 1: Thực phép đổi biến: p p é x = | a | tgt vớ i < t < 2 ê 2 (hoặc có theå t = x + a + x ) ê ë x =| a | cot gt với < t < p · Bước 2: Bài toán chuyển về: I = ò S(sin t, cos t)dt Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: I = ò + x dx Giải: Trang 70 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Nguy n Thành Nam · Tích phân Cách 1: Đặt: x = tgt, Khi đó: I = ò Suy ra: dx = dt dt & + x dx = cos t cos3 t dt cos tdt cos tdt = = ò ò cos3 t cos4 t (1 - sin t)2 Đặt: u = sint Khi đó: I = ò = p p Þ í x 2 ïsin t = tgt.cos t = + x2 ỵ Cả ba phương pháp (tốt phương pháp 2) áp dụng để giải toán tổng quát: ò x + adx = a x dx ln x + x + a + x + a + C; ò = ln x + x + a + C 2 x +a Với tích phân bất đònh sau tốt sử dụng phương pháp 1: dx ò (a2 + x2 )2 k +1 , với k Ỵ Z Với tích phân bất đònh: Đặt: t = x + ò (x + a)(x + b)dx ta thực sau: a+b (b - a)2 &A=2 suy ra: dt = dx & (x + a)(x + b)dx = t + Adt Khi đó: I = ò t + Adt = A t ln t + t + A + t +A +C 2 (b - a)2 a+b 2x + a + b = ln x + + (x + a)(x - b) + (x + a)(x + b) + C Dạng 5: Tính tích phân bất đònh hàm hữu tỉ x x - a2 có dạng: I = ò R(x, x - a2 )dx, với ad - bc ¹ Trang 72 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Nguy n Thành Nam Tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: · Bước 1: Thực phép đổi biến: é |a| é p pù x = vớ i t Ỵ ê êë - ; úû \ {0} sin t ê (hoặc t = x - a2 ) |a| p ê x = vớ i t Ỵ [0; p ] \ { } êë cos t · Bước 2: Bài toán chuyển về: I = ò S(sin t, cos t)dt Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: I = ò xdx 2x - + x - Giải: · Cách 1: Đặt: t = x - Þ t = x - Suy ra: 2tdt = 2xdx & Khi đó: I = ò Ta có: xdx 2x - + x - = xdx 2(x - 1) + 3( x - + = tdt 2t + 3t + tdt 2t + 3t + t t a b (a + 2b)t + a + b = = + = (2t + 1)(t + 1) 2t + 3t + (2t + 1)(t + 1) 2t + t + ìa + 2b = ì a = -1 Đồng đẳng thức, ta được: í Û í ỵa + b = ỵb = Khi đó: t 1 =+ 2t + 3t + 2t + t + 1 ö 1 (t + 1)2 ỉ Do dó: I = ũ ỗ + ữ dt = - ln | 2t + | + ln | t + | +C = ln | 2t + | + C è 2t + 1) t + ø = · ( x - + 1)2 ln 2 x2 - + Caùch 2: Vì điều kiện |x| > 1, ta xét hai trường hợp: – Với x > 1: Đặt: x = p , t Ỵ [0; ) cos t Suy ra: dx = sin tdt , cos2 t sin t dt (1 + tg t)tgt.dt (1 + tg2 t)tgt.dt = cos t cos t = = 2(1 + tg t) - + 3tgt 2tg t + 3tgt + 2x - + x - 1 + 3tgt cos2 t xdx Trang 73 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Tích phân Nguy n Thành Nam Khi đó: I = ò Đặt: u = tgt (1 + tg2 t)tgt.dt 2tg t + 3tgt + dt (1 + tg t)tgt.dt u.du Suy ra: du = = (1 + tg t)dt & = 2 cos t 2tg t + 3tgt + 2u + 3u + 1 ö 1 (u + 1)2 ổ Khi ủoự: I = ũ ỗ + +C ÷ dt = - ln 2u + + ln u + + C = ln 2 | 2u + | è 2u + u + ø = (tgt + 1)2 ( x - + 1)2 ln + C = ln + C 2tgt + 2 x2 - + – Với x < –1 (tự làm) Dạng 6: Tính tích phân bất đònh hàm hữu tỉ x ax + bx + c có dạng: I = ò R(x, ax + bx + c)dx, với ad - bc ¹ PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta lựa chọn hai cách sau: · Cách 1: Đưa I dạng nguyên hàm biết Ta xét trường hợp sau: Ÿ Trường hợp 1: Nếu a > D < D é ỉ 2ax + b ù – Bước 1: Ta có: ax + bx + c = - ờ1 + ỗ ỳ 4a ë è -D ÷ø û – Bước 2: Thực phép đổi biến: t = 2ax + b -D – Bước 3: Bài toán chuyển về: I = ò S(t, + t )dt Ÿ Trường hợp 2: Nếu a < D > D é ỉ 2ax + b ù – Bước 1: Ta coù: ax + bx + c = - ờ1 - ỗ ữ ỳ 4a ố D ứ û – Bước 2: Thực phép đổi biến: t = 2ax + b D – Bước 3: Bài toán chuyển về: I = ò S(t, - t )dt Ÿ Trường hợp 3: Nếu a > D > ù D éỉ 2ax + b – Bước 1: Ta có: ax + bx + c = ờỗ ỳ ữ 4a ởố D ø û – Bước 2: Thực phép đổi biến: t = Trang 74 2ax + b D `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Nguy n Thành Nam Tích phân – Bước 3: Bài toán chuyển về: I = ò S(t, t - 1)dt · Cách 2: Sử dụng phép Euler: Ta xét trường hợp sau: Nếu a > 0, đặt ax + bx + c = t - x a hoaëc t + x a Nếu c > 0, đặt ax + bx + c = tx + c hoaëc tx - c Nếu tam thức ax + bx + c có biệt số D > ax + bx + c = a(x - x1 )(x - x ) Khi đặt: ax + bx + c = t(x - x1 ) Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh: I = ò x + 2x + 2dx · Giải: Cách 1: Sử dụng phép đổi biến: t = x + Þ dt = dx Khi đó: I = ò t + 1dt · Tích phân biết cách xác đònh ví dụ Cách 2: Sử dụng phép đổi biến: x + 2x + = t - x Þ x + 2x + = (t - x)2 Û x = t2 - (t + 2t + 2)dt Þ dx = 2(t + 1) 2(t + 1)2 é t - ù (t + 2t + 2)dt (t + 4)dt Khi đó: I = ò x + 2x + 2dx = ò ê t = ò ú 2(t + 1) 2(t + 1) (t + 1) ë û Sử dụng đồng thức: t + = [(t + 1) - 1]4 + = (t + 1)4 - 4(t + 1)3 + 6(t + 1)2 - 4(t + 1) + Do đó: I = t2 [t + - + ]dt = [ - 3t + ln | t + | + ]+C ò t + (t + 1) t +1 ( x + 2x + + x)2 = [ - 3( x + 2x + + x) + +6 ln x + 2x + + x + + Dạng 7: Tính tích phân bất ñònh I = ò x + 2x + + x + ] + C dx (lx + m) ax + bx + c PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: – Bước 1: Thực phép đổi biến: t = lx + m – Bước 2: Bài toán chuyển về: I = ò dt at + b t + g Chú ý: Phương pháp áp dụng cho dạng tổng quát là: Trang 75 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ Tích phân Nguy n Thành Nam I=ò (Ax + B)dx (lx + m)n ax + bx + c Ví dụ 9: Tính tích phân bất ñònh: I = ò dx (x + 1) x + 2x + Giải: Đặt: t = 1 Þ x = -1 x +1 t dt ì t > ï t(- )dt dx dt 1 + t ï t suy ra: dx = - dt, = ==í dt t 1 (x + 1) x + 2x + t < +1 t + ï ïỵ + t t t Khi đó: Ÿ Với t > 0, ta được: I = -ò dt 1+ t = - ln t + + t + C = - ln 1 + 1+ +C x +1 (x + 1)2 + x + 2x + x +1 - x + 2x + = - ln + C = ln + C = ln + C x +1 x +1 + x + 2x + Ÿ Với t < 0, ta được: I=ò 1 - x + 2x + = ln t + + t + C = ln + 1+ + C = ln + C x +1 x +1 (x + 1)2 + t2 dt - x + 2x + Tóm lại với t ¹ Û x ¹ -1 ta có: I = ln + C x +1 SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 3: Tính tích phân hàm vô tỉ phương pháp tích phân phần PHƯƠNG PHÁP CHUNG Với hàm vô tỉ, phạm vi phổ thông phương pháp tích phân phần sử dụng, nhiên cần xem xét Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: I = ò x + adx Giải: xdx ì ìï u = x + a ïdu = Đặt: ị x2 + a ùợdv = dx ùv = x ỵ Trang 76 `ˆÌi`Ê܈̅Ê̅iÊ`i“œÊÛiÀȜ˜ÊœvÊ ˜vˆÝÊ*ÀœÊ* Ê `ˆÌœÀÊ /œÊÀi“œÛiÊ̅ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°ˆVi˜ˆ°Vœ“É՘œVŽ°…Ì“ ... liên tục x = 1, : lim- F(x) = lim+ F(x) = f(1) Û a + b = Û b = - a (1) x ®1 x ®1 · Đạo hàm bên trái hàm số y = F(x) điểm x = F '(1) = lim x ®1 f(x) - F(1) x2 - = lim= x ®1 x - x -1 · Đạo hàm bên... = lim+ x ®1 F(x) - F(1) ax + b - ax + - a - = lim+ = lim+ = a x ®1 x ®1 x -1 x -1 x -1 Hàm số y = F(x) có đạo hàm ñieåm x = Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = (2) Thay (2) vaøo (1), ta b = –1 Vậy hàm... (2) vaøo (1), ta b = –1 Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = 1, a = 2, b = –1 Khi đó: F (1) = = f(1) Tóm lại với a = 2, b = F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số: