I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = 2. f(x) = ĐS. F(x) = . f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C 4. f(x) = ĐS. F(x) = 5. f(x) = ĐS. F(x) = 6. f(x) = ĐS. F(x) = 7. f(x) = ĐS. F(x) = 8. f(x) = ĐS. F(x) = 9. f(x) = ĐS. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx cotx – 4x + C 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx cotx + C 14. f(x) = ĐS. F(x) = cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số thường gặp dx x C kdx kx C x ndx x n 1 C n 1 n 1 x dx ln x C x 0 1 x 2dx x C 1 C n dx x n 1 x n 1 e xdx e x C ax C a 1 ln a cos xdx sin x C a xdx 10 sin xdx cos x C dx (1 tan x )dx tan x C cos x 12 dx (1 cot x )dx cot x C sin x 11 Nguyên hàm hàm số thường gặp 1 13 n dx n 1 c x n 1 x 14 dx x c x 15 f(ax + b)dx = F(ax + b) + C a 16 ax b ax b dx a C 1 1 17 dx ln ax b C x ax b a 18 e ax bdx e ax b C a 19 cos ax b dx sin ax b C a 20 sin ax b dx cos ax b C a 1 dx tan ax b C 21 cos ax b a 1 dx cot ax b C 22 a sin ax b 1 CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁCH TÍNH A - TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC: Dạng P ( x) Q( x) Dạng 1: Bậc tử lớn (hay bằng) bậc mẫu: Cách giải: Ta thực phép chia đa thức cho đa thức Ví dụ 1: I = ∫ b Chú ý: I = ∫ a x + 3x + 19 dx = ∫ x + + dx = x−2 x−2 0 (x + x + 19 ln | x − |) |10 dx (Rất quan trọng tích phân hữu tỉ) ax + bx + c A B giải tìm A, B = + ax + bx + c x − x1 x − x2 TH1: Mẫu có nghiệm Đặt Ví dụ 2: I = ∫ 1 dx = ∫ dx x + 3x + ( x + 1)( x + 2) Làm ngài nháp: A+ B = A =1 A B A( x + 2) + B( x + 1) ( A + B ) x + A + B ⇒ = + = = ⇔ ( x + 1)( x + 2) x + x + ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 2) A + B = B = −1 1 1 1 1 dx = ∫ dx = ∫ − Khi I = ∫ dx = ( ln | x + 1| − ln | x + |) |0 ( x + 1)( x + 2) x + 3x + x +1 x + 0 0 TH2: Mẫu có nghiệm Phân tích ax + bx + c = a ( x − x0 ) Tính trực tiếp Ví dụ 3: I = ∫ −1 1 dx = ∫ dx = |0 2 x + 4x + x+2 ( x + 2) b ∆ b ∆ TH3: Mẫu vô nghiệm Phân tích ax + bx + c = a x + − Đặt x + = − tan t 2a 4a 2a 4a Ví dụ 4: I = ∫ 1 dx = ∫ dx 2 x + 4x + x + + ( 2) Đặt x + = tan t ⇒ dx = 3(1 + tan t )dt đổi cận x = ⇒ t = Arc tan arctan 3/ I = , x = ⇒ t = Arc tan 3 arctan 3/ arctan 3/ 1 1 arctan 3/ 2 (1 tan ) (1 tan ) t dt t dt dt t |arctan 2/ + = + = = ∫ ∫ 3(tan 1) 3 t + ( tan ) t + arctan 2/ arctan 2/ ∫ arctan 2/ Đặc biệt: + I = ∫ 1 dx Đặt x +a a tan t = x + I =∫ 3 dx dạng TH1 (a > 0) x −a dx Đặt x = tan t Giải hoàn toàn tương tự Ví dụ x +5 Ví dụ 5: a) I = ∫ b) I = ∫ 1 dx = ∫ dx Giải tương tự Ví dụ 2 x −5 ( x − 5)( x + 5) Dạng 2: Một số phép biến đổi thường dùng (phải nhớ dạng cách biến đổi) (ax + b) n ax + b ax + b dx = ∫ dx Từ đặt t = n+2 cx + d (cx + d ) cx + d (cx + d ) n + I =∫ (2 x + 3)3 2x + −10 2x + ⇒ dt = dx Ví dụ 6: a) I = ∫ dx = ∫ dx Đặt t = 2 (4 ) (4 1) (4 1) x + x + x x x + + + 0 1 ( x + 2)5 (3 x − 5)7 (5 x − 2) (3 x + 1) 1 * Tương tự: 1/ I = ∫ 2/ I = ∫ b) Áp dụng phương pháp trên: 1 1 1 1 dx = ∫ dx = ∫ dx 3 (2 x + 3) (4 x + 1) (4 x + 1) (4 x + 1)2 0 2x + 2x + (4 x + 1) 4x +1 4x +1 I =∫ 1 2x + 2.(2 x + 3) − (4 x + 1) dx = ∫ =∫ − 1 dx 4x + x + (4 x + 1) (4 x + 1) 2x + 2x + 4x + 4x +1 2x + 4x +1 1 1 dx I = dx * Tương tự: 1/ I = ∫ 2/ ∫ x + x − x − x − (3 4) (3 2) (2 1) (3 1) 0 6 Đặt t = Ví dụ 7: Các phép biến đổi hay 3 3 dx dx x − ( x − 3)dx x2 x2 − 1 x dx dx =∫ = = − = − a) I = ∫ ∫1 x dx x − 3x x( x − 3) ∫1 x( x − 3) ∫1 x( x − 3) x( x − 3) ∫1 x − 3 + I1: Đặt t = x2 - + I2: ln|x| 3 dx * Tương tự: 1/ I = ∫ x + 3x5 2/ I = ∫ dx x + 3x dx x − (x + k) xm xm + k dx = ∫ n m dx − ∫ n m dx = Tổng quát: I = ∫ n m x ( x + k ) k ∫a x n ( x m + k ) x (x + k) x (x + k) a a a b b m b m b 1 1+ 1+ x2 + 1 x dx = x dx Từ đặt t = x − (ở bước đầu chia cho x2) b) I = ∫ dx = ∫ ∫ 1 x x +1 1 x2 + ( x − )2 + x2 x 3 x −1 x2 −1 2/ I = ∫ dx * Tương tự: 1/ I = ∫ dx 5 x x x x x + − − − + 1 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ x3 + 1/ I = ∫ dx x − 5x + x 3x + 3x + 2/ I = ∫ dx ( x + 2)( x − 1) 2 3x + 4/ I = ∫ dx ( x + 2)( x + 1) 3x + dx 5/ I = ∫ ( x + 1)3 1 7/ I = ∫ 3 3x dx x − 3x + 3/ I = ∫ 3 x dx ( x + 1) 8/ I = ∫ 6/ I = ∫ 9/ I = dx dx x( x + 1) x3 dx x2 + dx ∫ x+x dx 2 10/ I = ∫ 1 dx dx x + x3 x dx (1 + x)3 13/ I = ∫ 11/ I = ∫ dx dx x +1 (3 x − 5) dx (1 + x)9 14/ I = ∫ 12/ I = ∫ x5 dx x2 + 1 dx ( x − 1)( x + 1)( x + 3) 15/ I = ∫ B – TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC www.Dethithu.Net b Dạng 1: I = ∫ sin n x.cos m xdx a + Nếu n m lẻ: Đặt hàm số mũ chẵn t (Tức sinx = t cosx = t) + Nếu n, m lẻ: Đặt t = sinx t = cosx + Nếu n, m chẵn dùng công thức hạ bậc: sin x = − cos x + cos x , cos x = 2 Dạng 2: I = ∫ f [cos x].sin xdx - Hàm số ta đưa hết cosx lại sinx phần dư sau (cách nhận dạng số mũ sinx lẻ) Đặt t = cosx Các phép biến đổi: A1 = sin x = sin x.sin x = (1 − cos x) sin x ⇒ Tổng quát lên sin k +1 x.cos batki x = sin k x.cosbatki x.sin x = (1 − cos x) k cosbatki x.sin x (nhận dạng: sinx mũ lẻ) s inx s inx s inx = = 2k +2 k +1 sin x sin x (sin x) (1 − cos x) k +1 A3: Hàm số có chứa sin x = 2sin x cos x A2 = k +1 = π π 4 sin x dx 3sin sin x − x + dx sin x áp dụng: 1/ I = ∫ 2/ I = ∫ π sin x + sin x dx + cos x 3/ I = ∫ Dạng số 3: I = ∫ f [sin x].cos xdx - Hàm số ta đưa hết sinx lại cosx phần dư sau (cách nhận dạng số mũ cosx lẻ) Đặt t = sinx Các phép biến đổi: A1 = cos3 x = cos x.cosx = (1 − sin x)cosx ⇒ Tổng quát lên cos k +1 x.sin x batki x = cos k x.sin xbatki x.cos x = (1 − cos x) k sin x batki x.cos x (nhận dạng: cosx mũ lẻ) cos x cos x cos x = = k +1 2k +2 cos x cos x (cos x) (1 − sin x)k +1 A3: Hàm số có chứa sin x = 2sin x cos x A2 = k +1 = π π 4 2/ I = ∫ dx cos x áp dụng: 1/ I = ∫ sin x.cos5 xdx π sin x + cos x dx sin x + 3/ I = ∫ Dạng số 4: I = ∫ f [sin x, cos x].sin xdx - Hàm số chứa sin x, cos x sin2x tách rời Cách biến đổi: Đặt t = f [sin x, cos x] - Chú ý: + (sin x) ' = sin x, (cos x) ' = − sin x + Đôi người ta không cho sin2x mà cho sinx.cosx ta biến đổi sinx.cosx = Ví dụ 8: a) I = π /2 sin x ∫ + cos x dx sin x Ta nhận thấy hàm số có chứa cos2x sin2x Đặt t = + cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ dx = dt đổi cận: x = pi/2 t = 1, x = t = − sin x sin x dt = − ln | t ||12 = ln t − sin x Khi đó: I = ∫ b) I = π /2 ∫ sin x cos x + 4sin x 2 dx Ta nhận thấy hàm số có chứa đồng thời sin x, cos x sin2x Đặt t = cos x + sin x ⇒ t = cos x + 4sin x ⇒ 2tdt = (− sin x + sin x)dx ⇒ dx = 2tdt 3sin x Đổi cận: x = pi/2 t = 2, x = t = 1 sin x 2tdt 2 = t |12 = t 3sin x 1 tách rời Dạng 5: I = ∫ f (tan x) dx - Hàm số chứa tanx cos x cos x Khi đó: I = ∫ Cách biến đổi: Đặt t = tanx π /4 (tan x + 1) ∫0 cos2 x dx Đặt t = tan x ⇒ dt = dx ⇒ dx = cos x.dt Đổi cận x = ⇒ t = 0, x = π / ⇒ t = cos x 1 (t + 1) Khi đó: I = ∫ cos xdt = ∫ (t + 1)2 dt = cos x 0 Ví dụ 9: a) I = Nhưng đề thi không cho cách đơn giản vậy, có nghĩa phải qua phép biến đổi nhận dạng lúc đầu chưa thấy có tanx π /4 (yêu cầu kỹ làm nhiều) cos x sin x dx Mới nhìn vào ta thấy có tanx có thêm sin x, cos x Ta b) I = ∫ cos x(tan x - tan x + 5) −π / cố gắng tìm cách đưa dạng, Ở ví dụ sau ta thấy điều đó: I= π /4 π /4 sin x sin x = dx dx 4 ∫ ∫ cos x(tan x - tan x + 5) cos x tan x - tan x + −π / −π / π /4 π /4 sin x 1 = ∫ dx = ∫ tan x dx 2 cos x cos x tan x - tan x + cos x tan x - tan x + −π / −π / π /4 tan x = ∫ dx tan x - tan x + cos x −π / Từ ta tổng quát số mũ sin tử nhỏ số mũ cos mẫu ta tách Chú ý: Các phép biến đổi thường dùng để đưa dạng A1 = 1 1 = = (1 + tan x) Từ làm cho thầy ??? 2 cos x cos x cos x cos x cos x Tổng quát lên cosx mũ chẵn ta giải hết cách (Nếu cosx mũ lẻ ta giải A2 dạng 3) ta chia tử mẫu cho cos2x a sin x + b sin x.cos x + c cos x + d 1/ cos x / cos x = = d sin x sin x.cos x cos x a tan x + b tan x + c + d (1 + tan x) + + + a b c cos x cos x cos x cos x A2 = 1 (Chia tử mẫu cho = asinx + b cos x + c asin x cos x + b(cos x − sin x ) + c(cos x + sin x ) 2 2 2 x co s ) 1 A4 = = 2 (phải dạng A2 chưa?) (a s inx + bcosx) a sin x + 2ab sin x cos x + b cos x 1 = = (Chia tử mẫu A5 = a + cosx a (sin x + cos x ) + (cos x − sin x ) (a − 1)sin x + (a + 1) cos x 2 2 2 A3 = cho?) A6 = 1 = = (Chia tử mẫu a + sinx a (sin x + cos x ) + 2sin x cos x asin x + 2sin x cos x + a cos x 2 2 2 2 cho?) Dạng 6: I = ∫ f (cot x) 1 dx - Hàm số chứa cotx tách rời sin x sin x Cách biến đổi: Đặt t = cotx Ví dụ 10: a) I = π /4 ∫ π /6 3cot x + 1 dx theo cách máy móc thấy hàm số chứa cotx ta sin x sin x đặt t = cotx Nhưng tinh ý ta đặt nguyên t toán đơn giản nhiều Không tin thử? Cũng giống dạng đề cho sẵn dạng, mà phải qua phép biến đổi A1 = 1 1 = (1 + co t x) Từ làm cho thầy = ??? sin x sin x sin x sin x sin x A2, A3, A4, A5, A6 Ở dạng ta giải cách cách không chia cho cos mà ta chia tử mẫu cho sin Thử coi? Từ ta có nhận xét: hầu hết tích phân hàm lượng giác mà tử số số giải cách dạng dạng asinx + b cos x + c dx - Hàm bậc sinx, cosx chia hàm bậc sinx,cosx a 'sin x + b 'cos x + c ' Hướng giải quyết: Tử = asinx + b cos x + c = A(a 'sin x + b 'cos x + c ') + B(a 'cos x − b 'sin x) + C Dạng 7: I = ∫ Ví dụ 11: I = π /2 ∫ sin x + cos x + dx sin x + 3cos x + Ta phân tích tử số: sin x + cos x + = A(4sin x + 3cos x + 5) + B (4 cos x − 3sin x) + C = (4 A − 3B )sin x + (3 A + B ) cos x + A + C A − 3B = Khi ta có hệ phương trình: 3 A + B = (tức ta cho hệ số sinx, cosx đầu cuối) 5A + C = giải hệ phương trình ta được: A = 1, B = 1, C = Khi đó: I = π /2 ∫ = π /2 ∫ sin x + cos x + dx = sin x + 3cos x + π /2 4sin x + 3cos x + dx + 4sin x + 3cos x + π /2 ∫ ∫ (4 sin x + 3cos x + 5) + (4 cos x − 3sin x) + sin x + 3cos x + cos x − 3sin x dx + sin x + 3cos x + π /2 ∫ dx 4sin x + 3cos x + I1 = π /2 ∫ I3 = π /2 ∫ sin x + 3cos x + dx = sin x + 3cos x + π /2 ∫ dx = π I2 = π /2 ∫ cos x − 3sin x dx đặt t = mẫu sin x + 3cos x + dx quay lại A3 dạng 4sin x + 3cos x + MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG TRONG TÍNH TÍCH PHÂN / sin x = sin x.cos x 2/ cos x = cos x − sin x = cos x − = − 2sin x − cos x + cos x − cos x / sin x = / cos x = ⇒ tan x = 2 + cos x 3sin x − sin x 3cos x + cos x / sin x = / cos x = 1 7/ 8/ = + co t x = + tan x cos x sin x 1 / sin x + cos x = − sin 2 x = + cos 2 x = + cos x 2 4 11 /1 + sin x = (sin x + cos x) 10 / sin x + cos x = − sin 2 x = + cos x 8 CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM QUAN TRỌNG / (sin x) ' = sin x / (cos x) ' = − sin x / (tan x) ' = = + tan x cos x / (co t x) ' = = + co t x sin x BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1/ I = 4/ I = π /2 ∫ 2/ I = π /2 ∫ π /2 π /2 ∫ 10/ I = 13/ I = sin x.cos x dx + cos x cos3 x dx + sin x π /2 ∫ π /4 ∫ 5/ I = 8/ I = π /2 ∫ 11/ I = (tan x + esin x cos x)dx 14/ I = 19/ I = ∫e sin x dx x sin x sin xdx 17/ I = 6/ I = ∫ π /2 ∫ π /2 ∫ cos x dx + cos x π /4 ∫ 20/ I = π /2 ∫ tan xdx 3sin x + cos x dx 9/ I = 3sin x + cos x 0 I= 4sin x sin x + sin x dx + 3cos x π /12 π /3 ∫ sin x.tan xdx 12/ I = (esin x + cos x) cos xdx π /2 ∫e cos x sin xdx 15/ I = π /2 ∫ 0 ∫ + cos π /2 ∫ 0 16/ I = ∫ + cos x dx sin x dx + cos x π /4 π /2 0 ∫ 3/ I = tan xdx π /2 7/ I = sin x.cos x(1 + cos x) dx − sin x dx + sin x cos x dx + cos x 18/ I = π /3 ∫ sin x dx − cos x cos x dx + cos x 21/ π /2 ∫ sin x(1 + sin x)3 dx 22/ I = π /2 ∫ cos x + cos x dx 23/ I = π /2 ∫ cos x(sin x + cos x)dx 24/ I = π /2 ∫ sin x.cos3 x dx + cos x 25/ I = π /2 ∫ I= sin x dx + cos x 26/ I = π /2 sin x ∫ + cos x 27/ dx π /2 ∫ sin x(1 + sin x)3 dx 28/ I = π /2 ∫ 34/ I = π /4 ∫ π /4 ∫ 37/ I = 40/ I = 43/ I = 46/ I = π /6 ∫ ∫ π I= ∫ dx dx dx sin x + 2sin x cos x − cos x tan x dx cos x 4π /3 sin x dx π /2 ∫π /4 sin xdx π /3 − π /4 cos x + sin x dx cos x 31/ I = sin x dx + sin x cos x /3 ∫ π 29/ I = π /2 ∫ 32/ I = 35/ I = 41/ I = cos x + s in x 2 dx π /4 ∫ tan π /4 ∫ 38/ I = sin x cos x xdx sin x dx (tan x + 1) c os5 x π /2 ∫ + sin x dx 30/ I = 33/ I = 36/ I = ∫ tan π /6 ∫ 39/ I = π /4 ∫ 0 π /2 π /2 dx ∫ π 3cot x + dx sin x π /2 cot x /4 47/ I = π /4 π /2 ∫ + cos x e ∫ π sin /4 x dx ∫ + tan x dx 42/ I = ∫ 0 44/ I = π /2 45/ I = tan x dx cos x dx (sin x + cos x) dx − cos x π /4 ∫ π sin /6 xdx dx x cot x 48/ cos x dx (sin x + cos x + 2)3 49/ I = π /4 ∫ 52/ I = π /2 ∫ π /4 55/ I = π /2 ∫ π /2 cos x dx sin x + cos x + sin x + cos x dx sin x − cos x cos x dx (sin x − cos x + 3)3 sin x dx 57/ I = ∫ 6 π /4 sin x + cos x π /2 sin x − cos x 50/ I = ∫ dx π /4 sin x + cos x 53/ I = 56/ I = π /3 sin x + cos x dx + sin x /4 ∫ π 51/ I = π /2 dx ∫ π + sin x /4 54/ I = π /2 sin x − cos x dx + sin x /4 ∫ π π /2 sin x − cos x dx sin x + /4 ∫ π π /2 sin x dx 58/ I = ∫ 3 π /4 sin x + cos x 59/ I = π /2 ∫ π /4 sin x dx sin x + cos x C - TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ (CHỨA CĂN) www.Dethithu.Net b Dạng 1: I = ∫ f ( x; x − k )dx - Hàm số có chứa x2 − k a x − k = t − x ⇒ x − k = (t − x)2 ⇒ x − k = t − xt + x ⇒ x = Hướng giải quyết: đặt x2 Ví dụ 1: I = ∫ dx Nếu đặt t = việc giải khó khăn x2 − t2 + k 2t Khi ta định hướng đặt x2 − = t − x x − = t − x ⇒ x − = (t − x) ⇒ x − = t − xt + x ⇒ x = t2 + t2 − ⇒ dx = ( )dt 2t 2t t2 + 3+ 3+ 3+ 2t t − (t + 3)2 2t (t − 3) (t + 3)(t − 3) I= ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt t + 2t 2t −(2t ) (t + 3) −(2t ) t 3 t− 2t Đến việc giải tiếp dành cho em!!! Dạng 2: I = ∫ ( x + a)( x + b)dx - Hàm số có chứa ( x + a)( x + b) Hướng giải quyết: t = x + a+b Ví dụ 2: I = ∫ ( x + 1)( x + 3)dx Đặt t = x + 1+ = x + ⇒ dt = dx , x + = t − 1, x + = t + 3 2 I = ∫ (t − 1)(t + 1)dx = ∫ t − 1dx Hình quay dạng hehe!!! Dạng 3: I = ∫ dx, a < b ( x − a )(− x + b) π Hướng giải quyết: x = a + (b − a) sin t , (0 < t < ) dx = 2(b − a ) sin t cos tdt x − a = (b − a ) sin t , − x + b = (b − a )(1 − sin t ) = (b − a )cos t I= ∫ 2(b − a ) sin t cos t (b − a ) sin t cos t Ví dụ 3: I = ∫ dt = ∫ 2dt = 2t − x + 3x + Ta phân tích: I = ∫ dx − x + 3x + dx = ∫ dx Trình bày lời giải cho thầy ( x + 1)(− x + 4) Nhưng phương trình vô nghiệm chắn cách không giải được!!!! c Dạng I = ∫ f ( x; a − x )dx - Hàm số có chứa a − x Hướng giải quyết: Đặt x = a sin t 1 Ví dụ 4: I = ∫ dx đặt x = sin t , trình bày lời giải tiếp − x2 Ta quay lại với trường hợp phương trình vô nghiệm, coi cách có giải không? 1 Ví dụ 5: I = ∫ dx phương trình vô nghiệm có hệ số a < 2 − x + x + Thử biến đổi: − x + x + = −( x − x + 1) + = − ( x + 1) I =∫ 1 dx = I = ∫ x2 + x + − ( x + 1)2 dx đặt x + = sin t thử coi không? Từ đặt câu hỏi: vô nghiệm hệ số a dương toán giải nào? Dạng 5: I = ∫ f ( x; x + a )dx Hướng giải quyết: có cách Cách 1: đặt x = a tan t Cách 2: đặt x + a + x = t 1 Ví dụ 6: I = ∫ x +3 dx cách 1: đặt x = tan t ⇒ dx = 3(1 + tan t )dt đổi cận x = 0, t = 0: x = 1, t = π / 1 đó: I = ∫ x +3 dx = π /6 ∫ 3(1 + tan t )dt ( tan t ) + = π /6 ∫ 3(1 + tan t )dt 3(tan t + 1) = π /6 ∫ x + + x = t ⇒ x + = t − x ⇒ x + = (t − x)2 ⇒ x = cách 2: đặt + tan tdt = π /6 ∫ cosx dx = ??? t2 − t2 + ⇒ dx = dt 2t 2t đổi cận: x = 0, t = : x = 1, t = t2 + dx = ∫ dt = t − 2t x2 + 3t− 2t đó: I = ∫ 2t t + ∫ t + 2t dt = 3 ∫ t dt = ln t | 3 = ln 3 Ví dụ 7: Đề không cho sẵn trên, bước tính cuối tích phân I =∫ x + 2x + dx - vô nghiệm hệ số a dương Ta biến đổi: x + x + = ( x + 1)2 + I = ∫ x + 2x + dx = ∫ ( x + 1) + cách 1: x + = tan t Giải tiếp cách 2: ( x + 1) + + ( x + 1) = t Giải tiếp (ta xem x + x ví dụ 6) Dạng 6: I = ∫ (a ' x + b ') ax + bx + c dx 10 Hướng giải quyết: đặt t = a'x + b' dx or ax + b + ax + c Dạng 7: I = ∫ ∫ dx ax + b − ax + c Hướng giải quyết: nhân cho lượng liên hợp (nếu cộng nhân tử mẫu cho dấu trừ ngược lại) Dạng 8: I = ∫ xn xm + k dx xm + k (cách sử dụng hiệu đặt t = không được) x hướng giải quyết: đặt t = Tổng kết lại - Hướng thứ nhất: đặt t = - Hướng thứ hai: đặt t = x - Hướng thứ ba: dựa vào bảng sau Dấu hiệu Cách chọn π π Đặt x = |a| sint; với t ∈ − ; 2 x = |a| cost; với t ∈ [0; π ] a2 − x2 π π ; với t ∈ − ; \ {0} sint 2 a π x = ; với t ∈ [0; π ] \ Đặt x = x2 − a2 a 2 π π Đặt x = |a|tant; với t ∈ − ; 2 x = |a|cost; với t ∈ ( 0; π ) cost a2 + x2 a+x a−x a−x a+x Đặt x = acos2t ( x − a )( b − x ) Đặt x = a + (b – a)sin2t π π Đặt x = atant; với t ∈ − ; 2 a + x2 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 1/ I = ∫x ∫ 4/ I = 3/ 7/ I = ∫ dx x2 + dx (1 + x )3 dx x4 + x2 2/ I = ∫ x3 3 5/ I = x2 + ∫x −1 8/ I = ∫ −3 dx dx 33 3/ I = ∫ x3 − x dx − x3 dx x + + ( x + 4)3 6/ I = ∫ 9/ I = ∫ dx x(1 + x ) x − dx x+2 x+2 11 10/ I = ∫ x−4 dx x + (2 − x)2 13/ I = ∫ x (1 + x )5 dx 14/ I = ∫ 16/ I = ∫ x +1 dx 19/ I = ∫ x − xdx 17/ I = ∫ x 1− x dx 25/ I= ∫ 28/ I = ∫ 31/ I = ∫ x -3x+2 dx -x - 2x + dx 3x + + 3x + dx dx −1 x4 + x2 23/ I = ∫ x + x +1 29/ I = ∫ x + x + 1.dx 32/ I = ∫ x x2 + dx 18/ I = ∫ x5 − x dx x +2x+1 ∫ 21/ I = ∫ dx 26/ I= ∫ 15/ I = dx ( x + 1) x +1 dx dx dx x(1 + x ) x3 16 12/ I = ∫ 3 20/ I = ∫ 3/ ∫ x + 2x x +1 x4 2 0 22/ I = x −1 dx x + ( x − 1) 11/ I = ∫ 24/ dx x + x3 dx ∫ ( 2x + 4) 27/ I = ∫ x2 + x dx x2 + x + 1 30/ I = ∫ − x − x + 3.dx dx 2x + − 2x + 12 [...]... + 3 3t− 2t 1 3 1 khi đó: I = ∫ 0 2t t 2 + 3 ∫ t 2 + 3 2t 2 dt = 3 3 3 1 ∫ t dt = ln t | 3 3 = ln 3 3 Ví dụ 7: Đề thì sẽ không cho sẵn như trên, hoặc đó chỉ là bước tính cuối cùng của 1 bài tích phân 1 I =∫ 0 1 x + 2x + 4 2 dx - vô nghiệm và hệ số a dương Ta có thể biến đổi: x 2 + 2 x + 4 = ( x + 1)2 + 3 1 khi đó I = ∫ 0 1 x + 2x + 4 2 1 dx = ∫ 0 1 ( x + 1) 2 + 3 cách 1: x + 1 = 3 tan t Giải tiếp cách... Hướng giải quyết: Đặt x = a sin t 1 1 Ví dụ 4: I = ∫ dx đặt x = 3 sin t , trình bày lời giải tiếp 3 − x2 0 Ta quay lại với trường hợp phương trình trong căn vô nghiệm, coi cách này có giải quyết được không? 1 1 Ví dụ 5: I = ∫ dx đúng là phương trình trong căn vô nghiệm và có hệ số a < 0 2 2 4 − x + x + 0 Thử biến đổi: − x 2 + 2 x + 4 = −( x 2 − 2 x + 1) + 5 = 5 − ( x + 1) 2 1 I =∫ 0 1 1 dx = I = ∫ x2... ax + b − ax + c Hướng giải quyết: nhân cho lượng liên hợp (nếu cộng nhân tử và mẫu cho dấu trừ và ngược lại) Dạng 8: I = ∫ 1 xn xm + k dx xm + k (cách này sẽ sử dụng rất hiệu quả khi đặt t = căn không được) x hướng giải quyết: đặt t = Tổng kết lại - Hướng thứ nhất: đặt t = căn - Hướng thứ hai: đặt t = x - Hướng thứ ba: dựa vào bảng sau Dấu hiệu Cách chọn π π Đặt x = |a| sint; với t ∈ − ; 2... 2 2 hoặc x = |a|cost; với t ∈ ( 0; π ) cost a2 + x2 a+x hoặc a−x a−x a+x Đặt x = acos2t ( x − a )( b − x ) Đặt x = a + (b – a)sin2t π π Đặt x = atant; với t ∈ − ; 2 2 1 a + x2 2 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 4 1/ I = ∫x 7 3 ∫ 4/ I = 3/ 2 4 7/ I = ∫ 1 dx x2 + 9 dx (1 + x 2 )3 dx x4 1 + x2 7 2/ I = ∫ x3 3 0 3 5/ I = x2 + 1 3 ∫x 1 −1 8/ I = ∫ −3 1 dx 0 4 dx 33 3/ I = ∫ x3 1 − x 2 dx 2 − x3 dx