Chuyen de_Tich vo huong cua hai vecto

Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ Giá trị lợng giác của một góc bất kỳ Bài 1 : Chứng minh rằng với mọi góc bất kỳ từ 0 0 đến 0 180 ta luôn có 2 2 sin cos 1x x+ = Bài 2 : Cho biểu thức 4cos 5sin cos sin P + = + a.Với giá trị nào của góc thì biểu thức không xác định b. Tìm giá trị của P biết tan 2 = Bài 3 : Tính giá trị các biểu thức sau 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . cos 0 cos 20 cos 40 .cos160 cos180 . tan 5 tan10 tan15 .tan 80 .tan 85 a A b B = + + + + + = 0 0 0 0 0 0 . cos1 .cos 2 .cos3 .cos178 .cos179 .cos180c C = Bài 4 : Tìm . sina x khi biết 1 cos 3 x = . cosb x khi biết sin 0,3x = . cosc x và sin x khi 2 sin cos 3 x x = Bài 5 : a. Chứng minh rằng với mọi góc khác 90 0 , ta có 2 2 1 1 tan cos + = b. Chứng minh rằng với mọi góc 0 0 và 0 180 , ta có 2 2 1 1 cot sin + = Bài 6 : Cho 3 2 sin 2 = ( 0 0 0 90 < < ). Tính tan Bài 7 : Cho 2 1 sin cos 2 x x + + = Tính : 4 4 6 6 . sin .cos . sin cos . sin cos a x x b x x c x x + + Bài 8 : Biết tan cot m + = Tìm : 2 2 4 4 6 6 . tan cot . tan cot . tan cot a b c + + + Bài 9 : Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra các số bằng nhau trong các số sau đây Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ cos ; cot ; tan ;cos ;sin ;cot ; tan ;cos ; sin ;sin ; cos 2 2 2 2 2 2 A A A A B C B C A A A A A + + tan ; 2 B C+ cot ; 2 B C+ ;sin( );cos( ) ; tan( ); cot( )B C B C B C B C+ + + + Bài 10 : Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào , x 2 0 8 8 0 6 6 4 0 2 2 2 . cot 30 (sin cos ) 8 cos 60 (sin cos ) 6cos (90 ) cot cos sin cos . cot cot a P x x x x b Q x x = + + = + ữ Bài 11 : Rút gọn các biểu thức sau 6 6 4 4 . 2(sin cos ) 3(sin cos )a A = + 2 2 2 1 . tan sin cos c C x x x = 2 2 . (tan cot ) (tan cot )b B x x x x= + 1 1 1 . . 2 sin 1 cos 1 cos d D x x x = + + 2 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 . sin 54 3sin 126 sin 36 cos 126 3cos 126 cos 36e E = + + + Bài 12 : Chứng minh các hằng đẳng thức 2 2 2 2 . tan sin tan sin 1 sin cos . cos 1 sin a x x x x x x b x x = = + 4 2 4 4 2 4 1 cot 1 tan . 1 cot 1 tan . sin 6cos 3cos cos 6sin 3sin 4 x x c x x d x x x x x x + + = + + + + + = Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Dạng1 : Bài toán tính tích vô hớng của hai vectơ Bài 1 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi G là tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác. Tính các tích vô hớng sau : . ; . ; . ; . ; .AB AC AB BC AG AC AG CD AG BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông ở A và có hai cạnh AB=7, AC=10 a. Tìm cosin của các góc ( , );( , );( , )AB AC AB BC AB CB uuur uuur uuur uuur uuur uuur b. Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Tính .HB HC uuur uuur Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB=7, AC=5, A=120 0 a. Tính các tích vô hớng . ; .AB AC AB BC uuur uuur uuur uuur b. Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác (M là trung điểm của BC) Bài 4 : Tam giác ABC có ; ;AB c BC a AC b= = = Tính các tích vô hớng . ; .AB AC AB BC uuur uuur uuur uuur Bài 5 : Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AB = 2, đáy lớn BC = 3, đáy nhỏ AD = 2 Tính các tích vô hớng . ; . ; . ; .AB CD BD BC AC BD AI BD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur (I là trung điểm của CD) Bài 6 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn nội tiếp hình vuông và N là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Tính . .MA MB MC MD+ uuur uuur uuuur uuuur ; .NA AB uuur uuur ; .NO BA uuur uuur Dạng 2 : Chứng minh các đẳng thức về tích vô h ớng hoặc độ dài của vectơ Bài 7 : Cho hai điểm A và B. O là trung điểm của AB, M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng 2 2 .MA MB OM OA= uuur uuur Bài 8 : Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Có AC và BD kà hai dây thuộc nửa đờng tròn cắt nhau tại E. Chứng minh rằng : 2 . .AE AC BE BD AB+ = uuur uuur uuur uuur Bài 9 : Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng : a. MA MC MB MD+ = + uuur uuuur uuur uuuur b. . .MA MC MB MD= uuur uuuur uuur uuuur c. 2 2 2 2 MA MC MB MD+ = + Bài 10 : Cho tam giác ABC. Gọi J là điểm thoả mãn 0JA JB JC + + = uur uur uuur r (Khi đó J đợc gọi là tâm tỉ cự của A, B, C theo bộ số ( , , )) với 0 + + . Chứng minh với mọi điểm M ta có : 2 2 2 2 2 2 2 ( )MA MB MC JA JB JC MJ + + = + + + + + Từ đó suy ra, nếu tam giác ABC có trọng tâm G thì với mọi điểm M ta có : 2 2 2 2 2 2 2 3MA MB MC GA GB GC MG+ + = + + + Phát biểu bài toán tổng quát cho nếu J là tâm tỉ cự của hệ n điểm { } 1 2 3 , , , ., n A A A A theo bộ số { } 1 2 3 , , , ., n Ap dụng : Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB, I là điểm xác định bởi : 3 2 0IA IB IC+ = uur uur uur r a. Chứng minh BCDI là hình bình hành Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ b. M là một điểm tuỳ ý, chứng minh : 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2MA MB MC MI IA IB IC+ = + + Bài 11 : Cho tứ giác ABCD. Gọi I và I lần lợt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 2 4AB BC CD DA AC BD IJ+ + + = + + Bài 12 : Cho tam giác ABC với AD, BE, CF là các trung tuyến. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 . . . . 0 3 . ( ) 4 a BC AD CA BE AB CF b AD BE CF BC CA AB + + = + + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Dạng 3 : Chứng minh tính vuông góc và thiết lập điều kiện vuông góc Bài 13 : Chứng minh trong tam giác ba đờng cao đồng quy Bài 14 : Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM DE Bài 15 : Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng 2 2 2 2 AB CD AC BD AD BC + = + Bài 16 : Tứ giác ABD có hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M, P là trung điểm của đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng : . .MP BC MA MC MD MB = uuur uuuur uuuur uuur Bài 17 : Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho 4 AC AM = , N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân Bài 18 : Cho hình vuông ABCD, trên DC lấy điểm E, kẻ ( )EF AC F BC , M và N lần lợt là trung điểm AE và DC. Chứng minh rằng : MN DF Bài 19 : Cho tam giác cân ABC, AB = AC nội tiếp đờng tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của cạnh AB và G là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh : OG CD Dạng 4 : Tìm quỹ tích điểm thoả mãn điều kiện về tích vô h ớng hay độ dài của vectơ Bài 20 : Cho hai điểm cố định A, B có khoảng cách bằng a a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : .MA MB k= uuur uuur b. Tìm tập hợp các điểm N sao cho 2 . 2AN AB a= uuur uuur Bài 21 : Cho điểm A cố định nằm ngoài đờng thẳng , H là hình chiếu của A trên . Với mỗi điểm M trên , lấy điểm N trên tia AM sao cho 2 .AN AM AH= uuur uuuur . Tìm tập hợp các điểm N Bài 22 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp những điểm M sao cho : 2 . . . 4 a MA MB MB MC MC MA+ + = uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur Bài 23 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2 . ( )( ) 0 . 2 . ( ) a MA MB MA MC b MB MB MC a a BC + + = + = = uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur Bài 24 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho 2 2 2 2 . . . . 0 a AM AB AC AB b MA MB CA CB = + = uuuur uuur uuur uuur Bài 25 : Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Tìm tập hợp những điểm M sao cho Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ 2 2 2 . . ( )AM AB AC AB a MB MC a BC = + = uuuur uuur uuur uuur Bài 26 : Cho tam giác ABC, góc A nhọn, trung tuyến AI. Tìm tập hợp những điểm M di động trong góc BAC sao cho : 2 . .AB AH AC AK AI+ = trong đó H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC Bài 27 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho 2 2 MA MB k = Bài 28 : a. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn : 2 2 MA MB k + = với A, B cố định, 0 + và k không đổi. b. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M sao cho 2 2 2 MA MB MC k + + = với k là số cố định cho trớc khi : 1) 0 + + = 2) 0 + + Dạng 5 : Sử dụng tích vô hớng để giải các bài toán định l ợng, định tính Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai trung tuyến BE và CF Bài 30 : Cho hai hình vuông ABCD và BMNP sắp xếp sao cho P thuộc cạnh BC, B thuộc cạnh AM. Tính góc giữa hai vectơ AP uuur và DN uuur Bài 31 : Cho tứ giác ABCD. M, N lần lợt là trung điểm của AC và BD. Tính MN theo các cạnh và hai đờng chéo của tứ giác Bài 32 : Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng : 3 1 cos cos cos 2 A B C< + + Bài 33 : Tam giác ABC vuông có cạnh huyền 3BC a= , M là trung điểm của cạnh BC. Biết rằng : 2 . 2 a AM BC = uuuur uuur . Tính độ dài cạnh AB và AC. Bài 34 : Cho tứ giác ABCD, biết : . . . . 0AB AD BA BC CB CD DC DA+ + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Chứng minh rằng : ABCD là hình bình hành Bài 35 : Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có : 2 2 2 2 MA MB MC MD+ = + . Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật. Dạng 6 : Sử dụng tích vô hớng để giải các bài toán cực trị Bài 36 : Cho tam giác ABC, G là trọng tâm và M là điểm tuỳ ý. a. Chứng minh rằng . . . 0MA BC MB CA MC AB+ + = uuur uuur uuur uuur uuuur uuur r b. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 2 3MA MB MC GA GB GC MG+ + = + + + , từ đó suy ra vị trí của điểm M sao cho 2 2 2 MA MB MC+ + đạt giá trị nhỏ nhất Bài 37 : Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là một điểm tuỳ ý a. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2( )MA MB MC MD OB OA + = b. Xác định vị trí điểm M để 2 2 2 MA MB MC + đạt giá trị nhỏ nhất Bài 38 : Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác, M là một điểm tuỳ ý a. Chứng minh rằng vectơ 2v MA MB MC= + r uuur uuur uuuur không phụ thuộc vào vị trí điểm M b. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh rằng : Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây Bài tập hình học 10 Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ 2 2 2 2 2 .MA MB MC MO v+ = uuuur r c. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn 2 2 2 2 0MA MB MC+ = d. Giả sử M di động trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm vị trí điểm M sao cho 2 2 2 2MA MB MC+ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Dạng 7 : Biểu thức tọa độ của tích vô h ớng Bài 39 : Cho hai vectơ (0; 4) ; (4; 2)a b r r a. Tính cos góc giữa hai vectơ a r và b r b. Xác định tọa độ của vectơ c r biết ( 2 ). 1a b c+ = r r r và ( 2 ). 6b c a + = r r r Bài 40 : Cho hai điểm A(3;1) và B(4;2). Tìm tọa độ điểm M sao cho 2AM = và 0 ( , ) 135AB AM = uuur uuuur Bài 41 : Cho tam giác ABC biết A(1;2) ; B(-1;1) ; C(5;-1) a. Tính .AB AC uuur uuur b. Tính cos và sin góc A c. Tìm tọa độ chân đờng cao 1 A xuất phát từ A của tam giác ABC d. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC e. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC f. Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, từ đó chứng minh I, G, H thẳng hàng Bài 42 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn . . . 0MA MB MB MC MC MA+ + = uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur Trần Thị Quỳnh Trờng THPT Nguyễn Tất Thành Sơn Tây . vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Tích vô hớng của hai vectơ Tích vô hớng của hai vectơ và ứng dụng Dạng1 : Bài toán tính tích vô hớng của hai vectơ Bài. Tính góc giữa hai trung tuyến BE và CF Bài 30 : Cho hai hình vuông ABCD và BMNP sắp xếp sao cho P thuộc cạnh BC, B thuộc cạnh AM. Tính góc giữa hai vectơ AP