Môc lôc Trang Më ®Çu 1 1. Lý do chän ®Ò tµi 1 2. Môc ®Ých nghiªn cøu 2 3. NhiÖm vô nghiªn cøu 2 4. Gi¶ thuyÕt khoa häc 3 5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu 3 6. §ãng gãp cña luËn v¨n 3 7. CÊu tróc cña luËn v¨n 4 Néi dung 5 Ch¬ng 1: C¬ së lý luËn ®Ó x©y dùng c¸c biÖn ph¸p s ph¹m nh»m tÝch cùc hãa ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh 5 1.1. Ho¹t ®éng 5 1.2. Ho¹t ®éng häc tËp 6 1.3. TÝnh tÝch cùc häc tËp cña häc sinh 11 1.4. VÒ ph¬ng ph¸p d¹y häc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh 16 1.5. D¹y häc gi¶i bµi tËp 21 1.5.1. VÞ trÝ vµ chøc n¨ng cña bµi tËp to¸n häc 21 1.5.2. Nh÷ng yªu cÇu chñ yÕu cña lêi gi¶i bµi tËp 22 1.5.3. D¹y häc sinh ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n 22 1.6. KÕt luËn ch¬ng 1 23 Ch¬ng 2: C¸c biÖn ph¸p s ph¹m nh»m tÝch cùc hãa ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh trong d¹y häc gi¶i bµi tËp to¸n phÇn lîng gi¸c líp 11 THPT 24 2.1. §Þnh híng x©y dùng vµ thùc hiÖn c¸c biÖn ph¸p 24 2.1.1. §Þnh híng 1 24 2.1.2. §Þnh híng 2 25 2.1.3. §Þnh híng 3 25 2.1.4. §Þnh híng 4 25 2.2. C¸c biÖn ph¸p s ph¹m nh»m tÝch cùc hãa ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh trong d¹y häc gi¶i bµi tËp to¸n phÇn lîng gi¸c líp 11 THPT 26 2.2.1. BiÖn ph¸p 1 26 2.2.2. BiÖn ph¸p 2 32 2.2.3. BiÖn ph¸p 3 40 2.2.4. BiÖn ph¸p 4 46 2.2.5. BiÖn ph¸p 5 53 2.2.6. BiÖn ph¸p 6 66 2.3. KÕt luËn ch¬ng 2 78 Ch¬ng 3: Thùc nghiÖm s ph¹m 79 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm 79 3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 79 3.3. KÕt qu¶ thùc nghiÖm 81 3.3.1. KÕt qu¶ ®¸nh gi¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh ë líp häc 81 3.3.2. KÕt qu¶ kiÓm tra 82 3.3.3. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm s ph¹m 84 KÕt luËn 85 Tµi liÖu tham kh¶o 86
1 Mở Đầu Lý chọn đề tài Để đáp ứng yêu cầu nghiệp công nghiệp hóa đại hóa đất nớc, việc dạy học không cßn chØ bã hĐp víi viƯc trun thơ tri thøc, mà phải trang bị cho học sinh khả tìm tòi khám phá tri thức Cái cốt lõi hoạt động học học sinh làm cho em vừa ý thức đợc đối tợng cần lĩnh hội, vừa biết cách chiếm lĩnh lĩnh hội Chính tính tích cực học sinh hoạt động học định chất lợng học tập Nhà s phạm Đức-Diestsrwer nhấn mạnh: Ngời thầy giáo tồi ngời thầy giáo mang chân lý đến sẵn, ngời thầy giáo giỏi ngời thầy giáo biết dạy học sinh tìm chân lý Nghị TW2 (khoá VIII,1997) khẳng định: Phải đổi phơng pháp giáo dục- đào tạo khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp t sáng tạo cho ngời học, bớc áp dụng phơng pháp tiên tiến đại vào trình dạy học Luật Giáo dục nớc Cộng hoà Xà hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998) quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thó häc tËp cho häc sinh ” ë nớc ta, cách dạy phổ biến theo kiểu thuyết trình tràn lan; thầy nói- trò nghe giảng giải xen kẽ đáp minh hoạ Tính tự giác, tích cực ngời học từ lâu đà trở thành nguyên tắc giáo dục Nguyên tắc không nhng cha đợc thực cách dạy học thầy nói trò nghe Mâu thuẫn yêu cầu đào tạo ngời xây dựng xà hội công nghiệp hóa, đại hóa với thực trạng lạc hậu phơng pháp dạy học Toán đà làm nảy sinh thúc đẩy vận động đổi PPDH Toán với định hớng đổi tổ chức cho ngời học học tập hoạt động hoạt động, tự giác, tích cực, sáng tạo Nhiều công trình tác giả nớc đà nghiên cứu tính tích cực hoạt động học tập học sinh Các kết nghiên cứu công trình đà bổ sung thêm lý luận PPDH đà có số ứng dụng vào thực tiễn Tuy nhiên cha có công trình đề biện pháp s phạm cụ thể để vận dụng vào dạy học môn toán Lợng giác phân môn có nhiều thuận lợi việc xây dựng biện pháp s phạm nhằm phát huy tính tích cực học tập học sinh Trong chơng trình Hình học lớp lớp 10 học sinh đà làm quen với tỷ số lợng giác góc hình học, nhng môn lợng giác đợc tập trung chủ yếu chơng trình lớp 11 THPT Vì lý chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: Một số biện pháp s phạm nhằm tích cực hoá hoạt động học tập học sinh dạy học giải tập toán phần lợng giác lớp 11 THPT Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn hệ thèng hãa c¬ së lý ln vỊ tÝnh tÝch cùc hoạt động học tập Từ đó, xây dựng biện pháp s phạm nhằm làm rõ khả tích cực hoá hoạt động học tập học sinh lớp 11 dạy học lợng giác Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1 Nghiên cứu sở lý luận, phân tích chất hình thức PPDH phát huy tính tích cực học tập học sinh 3.2 Những định hớng làm sở cho việc xây dựng thực biện pháp s phạm 3.3 Xây dựng thực biện pháp s phạm nhằm tích cực hoá hoạt động học tập học sinh dạy học giải tập toán phần lợng giác lớp 11 THPT 3.4 Thực nghiệm s phạm Giả thuyết khoa học Trên sở tôn trọng nội dung chơng trình SGK Đại số Giải tích lớp 11, xây dựng đợc số biện pháp s phạm thích hợp nh»m ph¸t huy tÝnh tÝch cùc häc tËp cđa häc sinh trình dạy học giải tập toán phần lợng giác góp phần nâng cao chất lợng học môn Toán trờng THPT Phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận: tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu nớc vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn 5.2 Điều tra, quan sát: dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh THPT 5.3 Thực nghiệm s phạm: tiến hành dạy thực nghiệm số tiết trờng THPT để xét tính khả thi hiệu đề tài Đóng góp luận văn 6.1 Về mặt lý luận: 6.1.1 Làm rõ đợc phơng pháp dạy học ph¸t huy tÝnh tÝch cùc häc tËp cđa häc sinh 6.1.2 Đề đợc định hớng biện pháp s phạm cụ thể nhm tích cực hóa hoạt động häc tËp cđa häc sinh 6.2 VỊ mỈt thùc tiƠn: Luận văn dùng tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán trờng THPT Cấu trúc luận văn Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thiết khoa học Phơng pháp nghiên cứu Đóng góp luận văn Chơng 1: Một số sở lý luận để xây dng biện pháp s phạm nhằm tích cực hóa hoạt động học tập học sinh 1.1 Hoạt động 1.2 Tính tích cực học tập học sinh 1.3 Hoạt động häc tËp 1.4 VỊ PPDH ph¸t huy tÝnh tÝch cùc học sinh 1.5 Dạy học giải tập Chơng 2: Các biện pháp s phạm nhằm tích cực hóa hoạt động học tập học sinh dạy học giải tập Toán lợng giác lớp 11 THPT 2.1 Định hớng xây dựng thực biện pháp 2.2 Các biện pháp s phạm nhằm tích cực hoá hoạt động học tập học sinh dạy học giải tập Toán lợng giác lớp 11 THPT Chơng 3: Thực nghiệm s phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm 3.2 Tỉ chøc thùc nghiƯm 3.3 Néi dung thùc nghiƯm 3.4 Kết thực nghiệm Kết luận Tài liệu tham khảo Chơng Cơ sở lý luận để xây dựng biện pháp s phạm nhằm tích cực hoá hoạt động học tập học sinh 1.1 Hoạt động Hoạt động khái niệm tâm lý học đại Một hoạt động nhằm vào đối tợng định Hai hoạt động khác đợc phân biệt hai đối tợng khác Và đối tợng động thực hoạt động + Về phía đối tợng: Động đợc thể thành nhu cầu.Các nhu cầu đợc sinh thành từ đối tợng ban đầu trừu tợng, ngày phát triển rõ ràng, cụ thể đợc chốt lại hệ thống mục đích Mỗi mục đích, lại phải thoả mÃn lot điều kiện (hay gọi phơng tiện) Mi quan hệ biện chứng mục đích điều kiện đợc coi nhiƯm vơ + VỊ phÝa chđ thĨ: chđ thĨ dïng sức căng c bắp, thần kinh, lực, kinh nghiệm thực tiễn, để thỏa mÃn động gọi hoạt động Quá trình chiếm lĩnh tng mục đích gọi hành động Mỗi điều kiện để đạt mục đích, lại quy định cách thức hành động gọi thao tác Những điều mô tả biểu diễn sơ đồ sau: Phía đối tợng Phía chủ thể Động Hoạt động Mục đích Hành động Nhiệm vụ Điều kiện Thao tác (phơng tiện) Tác giả Nguyễn Tài Đức đà đánh giá mối quan hệ biện chứng hành động thao tác: Hành động trình thực hóa mục đích (tạo đợc sản phẩm), thao tác lại điều kiện quy định Nh khác mục đích điều kiện quy định khác hành động thao tác Nhng khác tơng đối, để đạt mục đích ta dùng phơng tiện khác Khi đó, hành động thay đổi mặt kỹ thuật tức cấu thao tác, ch không thay đổi chất (vẫn làm sản phẩm) Về mặt tâm lý, hành động sinh thao tác, nhng thao tác lại phần riêng lẻ hành động Sau đợc hình thành thao tác có khả tồn độc lập tham gia vào nhiều hành động Hoạt động có biểu bên hành vi Vì vậy, hai phạm trù h tr cho nhau; hoạt động bao gồm hành vi lẫn tâm lý ý thức (tức công vic tay chân nÃo) Sự phân tích giúp ta nhận đợc ý nghÜa quan träng sau: - Thùc chÊt cđa ph¬ng thøc Giáo dục tổ chức hoạt động liên tục cho trẻ em theo chuỗi thao tác, cấu có tham gia động nhiệm vụ ngời - Vì hành động sinh thao tác nên giáo dục ta huấn luyện gián tiếp thao tác thông qua hành động - Giáo viên nên biết rõ đối tợng lúc mục đích cần đạt, lúc phơng tiện để đạt mục đích khác 1.2 Hoạt động học tập 1.2.1 Quá trình dạy học trình thống nhất, biện chứng hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, hoạt động học trung tâm a) Đối tợng hoạt động dạy nhân cách học sinh với hệ thống mục đích đợc xếp theo thứ tự: thái độ, kỹ năng, kiến thức Để thực đợc chỉnh thể mục đích cần loạt điều kiện không thay đổi theo cho phù hợp nh: nội dung thay đổi cho phải hớng vào học sinh; trình học tập đợc tổ chức cho phát huy đợc tính tích cực học sinh môi trờng phải đảm bảo có dụng ý s phạm; phơng tiện dạy học ngày đợc đại hóa; chủ thể (giáo viên) tiến hành hoạt động tơng ứng nh điều khiển trình xây dựng kiến thức, vận dụng kiến thức vào thực tế, ôn tập, kiểm tra, đánh giá b) Hoạt động học hoạt động ngời tuân theo cấu trúc tổng quát hoạt động nói chung bàn đến hot động häc cđa häc sinh Häc sinh tiÕn hµnh hoạt động nhằm lĩnh hội kinh nghiệm xà hội, đợc thể dới dạng tri thức, kỹ Theo tác giả Phạm Minh Hạc có hai cách học, có hai dạng hoạt động khác nhau: cách thứ nhằm nắm lấy kinh nghiệm, kỹ xem nh mục đích trực tiÕp; c¸ch thø hai nh»m tiÕp thu c¸c kinh nghiƯm kỹ thực mục đích khác Thông thờng việc học học sinh đợc diễn theo hai cách, hoạt động học mà ta nói hoạt động có mục đích theo cách thứ Một số khía cạnh hoạt động học tập: - Về cấu trúc hoạt động: + Động cơ: Nắm lấy tri thức, kỹ năng, kỹ xảo hay tự hoàn thiện thân + Mục đích: Học sinh phải vợt khỏi giới hạn kiến thức đà có để đạt tới mà em cha có Vì nhiệm vụ học tập thờng đợc đề dới hình thức toán có vấn đề + Học sinh giải nhiệm vụ nhờ vào hành động học tập cụ thể nh: tách vấn đề từ nhiệm vụ; vạch phơng hớng giải sở phân tích mối quan hệ tài liệu học tập; mô hình hóa, cụ thể hóa mi quan hệ đó; kiểm tra tiến trình kết học tập + Các hành động đợc thực thao tác t đặc trng nh phân tích, tổng hợp, so sánh, đối chiếu, quy nạp, suy luận lôgíc, Tuy nhiên toàn trình không tự diễn mà đòi hỏi phải có điều kiện kích 10 thích định giai đoạn: phát vấn đề; nhận thấy có mâu thuẫn, hình thành động cơ; tìm tòi khái quát hóa; - Về hình thức: hoạt động học điển hình đợc diễn thời gian lớp, mà giáo viên thực vai trò đạo, hớng dẫn thời gian hoạt động độc lập lớp, làm tập nhà c) Hoạt động dạy hoạt động học có mối quan hệ khăng khít, chặt chẽ, trình tự bớc hoạt động học hoàn toàn thống với trình tự bớc hoạt động dạy giáo viên vạch nhiệm vụ, hành động học tập tới học sinh biện pháp thích hợp kích thích chúng học sinh tiếp nhận nhiệm vụ đó, thực hành động học tập đề ra; giáo viên kiểm tra hành động học sinh điều chỉnh hành động dạy dới ảnh hởng giáo viên, học sinh điều chỉnh hành động mình; Sự thống trình dạy học đợc thể tơng ứng giai đoạn hoạt động thầy lẫn trò Sự thống tạo nên tợng hoàn chỉnh mà ta gọi trình dạy học Kết thống chỗ học sinh nắm kiến thức theo mức độ: - ý thức đợc vấn đề (vạch đợc nội dung, có biểu tợng chung kiện, nắm đợc trình hình thành phát triển kiện đó) - Nắm đợc vấn đề (vạch đợc chất bên tợng quan hệ chúng) 63 việc cách cho học sinh thấy rõ cách làm việc thờng diễn thực tế Thứ hai, cần thay đổi vai trò ngời thực ngời kiểm tra, thay đổi phân công phân nhiƯm ®Ĩ tËp cho mét ngêi cã thĨ thùc hiƯn nhiều chức khác nhau, hoàn thành nhiều nhiệm vụ khác Thứ ba, cần gây cho thành viên cặp nhóm có ý thức vµ thãi quen tù kiĨm tra vµ rót kinh nghiƯm hoạt động (iii) Phân hóa tập nhà Cũng nh lớp, tập nhà có nhiều khả phân hoá Trong việc làm ngời thầy cần lu ý: - Phân hoá số lợng tập loại phù hợp với loại đối tợng để đạt yêu cầu - Phân hoá nội dung tập để tránh đòi hỏi qúa cao học sinh yếu thấp học sinh giỏi - Phân hoá yêu cầu mặt tính độc lập: tập cho diện yếu chứa nhiều yếu tố dẫn dắt tập diện khá, giỏi; - Ra riêng tập nhằm đảm bảo trình độ xuất phát cho học sinh yếu để chuẩn bị cho học sau; - Ra riêng tập nâng cao cho học sinh giỏi Trong dạy học phân hoá, ngời thầy giáo cần tính tới đặc điểm cá nhân học sinh, ý tới đối tợng hay loại đối tợng trình độ tri thức, kỹ năng, kỹ xảo đà đạt, khả tiếp thu, nhu cầu luyện tập sở thích, 64 hứng thó, khuynh híng nghỊ nghiƯp ®Ĩ tÝch cùc hãa hoạt động học sinh học tập Một khả dạy học phân hoá thờng dùng phân hoá nội Ví dụ 1: Bài tập phân hoá nhằm củng cố công thức biến đổi tổng thành tích: 1) Biến đổi tổng thành tích biểu thức sau: A = cos 2x +cos x B = sin 2a − sin 4b C = sin x sin x + sin 3x D = cos a + sin b E = cos a +cos b + cos(a + b) + 2) Chøng minh r»ng: Trong mäi tam gi¸c ABC, ta cã: cos A + cos B + cos C = cos 3) TÝnh: A =cos B = cos A B C cos cos 2 π 5π 7π + cos + cos 9 π 3π 5π 17 π + cos + cos + + cos 19 19 19 19 §èi víi häc sinh u trung bình yêu cầu em làm hai 1,2 Trong học sinh giỏi bỏ qua 1, sử dụng thời gian dôi để làm tập Ví dụ 2: Bài tập phân hoá nhằm cố " Phơng trình lợng giác bản" 1) Giải phơng trình sau: 65 a) sin x = b) cos 3x = − 2 c) sin x + = 66 2) Giải phơng trình sau: a) sin( x 15 ) = víi -1200< x < 900 b) sin 3x = cos x c) tgx − sin x = 2π x ) = cos ( + π) e) cos 3x.tg5x =sin x d) sin (5x + f) 1 + = cos x sin 2x sin 4x 3) Giải biện luận: a) (m - 1) sin x + - m = b) sin α cos x = c) (m - 4) tg 2x - m=0 Yêu cầu học sinh yếu trung bình làm tập tập Học sinh giỏi bỏ qua tập Trong học sinh giải tập, giáo viên cần ý đến hoạt động loại học sinh có giúp đỡ, động viên bảo cần thiết cụ thể 2.2.5 Biện pháp 5: Xây dựng hệ thống toán gốc nh sở kiến thức kỹ để giải toán Theo quan điểm luận văn, toán gốc toán thoả mÃn ba điều kiện sau: - Kết toán đợc sử dụng nhiều việc tìm tòi lời giải toán khác 67 - Phơng pháp giải toán đợc sử dụng việc tìm tòi lời giải toán khác - Nếu thay đổi giả thiết kết luận đợc toán Trong tác phẩm tiếng giải toán nh nào, G Pôlia cho rằng: Ví nh dòng sông bắt nguồn từ suối nhỏ, toán dù khó đến đâu bắt nguồn từ toán đơn giản, có rÊt quen thc víi chóng ta.V× vËy, hƯ thèng toán gốc giúp học sinh tìm đợc chìa khóa để giải vấn đề trình giải toán 2.2.5.1 Xây dựng toán gốc nhờ khai thác đẳng thức: sin2a + cos2a = với a Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức: sin4a + cos4a = cos 4a + 4 Gi¶i: sin a + cos a = [ (sin a ) + (cos a ) +2 sin a cos a ] − sin a cos a = (sin a + cos a ) − sin 2a 1 − cos 4a =1− ( 2 = cos 4a + 4 Bµi toán 2: Chứng minh đẳng thức: sin6a + cos6a = cos 4a + 68 Gi¶i: sin a + cos a = (sin a + cos a )(sin a + cos a − sin a cos a ) = sin a + cos a − sin 2a 1 − cos 4a = cos 4a + − ( ) 4 = cos 4a + 8 Bµi toán3: Chứng minh đẳng thức: sin8a+cos8a= 35 cos 8a + cos 4a + 64 16 64 Gi¶i: sin8a +cos8 a = (sin4 a +cos4 a)2 − 2sin4 acos4 a = (1 − sin a cos a ) − sin a cos a = − sin a cos a + sin a cos a = −sin 2a + 2( sin 2a ) =1− − cos 4a 1 − cos a + ( ) + cos 4a 1 − cos 4a + cos 4a = + ( ) = = + cos 4a − cos 4a + cos 8a + + 32 32.2 35 cos 8a + cos 4a + 64 16 64 Mét sè vÝ dô: VÝ dô 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc 69 sin α + cos α − a) A = sin α +cos α − 6 b) B = (2 sin α − sin α − sin α) + (2 cos α − cos α − cos ) Đối với câu a, học sinh vận dụng trực tiếp kết toán toán để giải nh sau: cos 4α + − sin α + cos α − 8 A= = = 4 sin α + cos α − 1 cos 4α + − 4 6 (cos 4α − 1) = (cos 4α − 1) Đối với câu b, học sinh dễ dàng nhận thấy biến đổi biểu thức B để xuất kết toán toán cách: B = (sin α − sin α − sin α) + (2 cos α − cos α − cos α = 2(sin α + cos α) − 3(sin α + cos α) − 4(sin α + cos α) = 2.( cos 4α + ) − 3( cos 4α + ) − 8 4 = Ví dụ 2: Giải phơng trình: sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) (*) Gặp toán này, vận dụng kết toán toán phơng trình đợc đa dạng quen thuộc đà có cách giải 6 Giải Ta có: sin x + cos x = sin x + cos x = Do ®ã (*) ⇔ cos 4x + 8 35 cos 8x + cos x + 64 16 64 35 cos x + = cos 8x + cos 4x + 8 32 32 70 35 ⇔ cos4 x + = (2 cos2 4x − 1) + cos4x + 4 ⇔ cos x x + 16 cos4 x + 14 = cos4 x = −1 ⇔ cos4 x = −7(lo¹ i) ⇔ cos 4x = -1 ⇔ 4x = π + k 2π ⇔x= π kπ + (k∈ z ) VÝ dô 3: a) Chứng minh đẳng thức: sin 10 x + cos10 x = 63 15 + cos x + cos 8x 128 32 128 b) Giải phơng trình: sin10x + cos10x = 29 cos42x 16 Đối với câu a, phơng pháp chứng minh đẳng thức hoàn toàn tơng tự nh việc chứng minh toán Ta có: sin 10 x + cos10 x = (sin x ) ) + (cos x ) = (sin x + cos x )[(sin x ) − (sin x ) cos x + (sin x ) (cos x ) − sin x.(cos x ) + + (cos x ) ] = sin x + cos8 x − sin x cos x (sin x + cos x ) + sin x cos x 35 = cos 8x + cos 4x + − sin 2x ( cos 4x + ) + sin 2x 64 16 64 8 16 35 = cos 8x + cos 4x + − (1 − cos 4x )( cos 4x + ) + (1 − cos 4x ) 64 16 64 8 32 = 63 15 = + cos 4x + cos 8x 128 32 128 71 Đối với câu b, việc giải phơng trình trở nên dễ dàng học sinh em đà chứng minh đợc câu a ¸p dông (a) ta cã: sin 10 x + cos10 x = 63 15 + cos 4x + cos 8x 128 32 128 + cos x + cos x + cos x Mặt khác: cos x = ( ) = 4 63 15 29 + cos x + cos 8x = (1 + cos 4x + cos x ) 128 32 128 64 ⇔ 63 + 60 cos x + 5(2 cos x − 1) = 58(1 + cos x + cos x ) (b) ⇔ ⇔ 48 cos x + 56 cos x = cos x = ⇔ 56 cos x = − (loai) 48 cos x = ⇔ 4x = ⇔x= π + kπ π π + k (k ∈ z) sin x + cos x =m VÝ dô 4: Cho phơng trình tg ( x ) tg ( x + ) 4 a) Gi¶i phơng trình với m = (**) b) Với điều kiện m phơng trình có nghiệm Giải: Điều kiện: sin( x ) π cos( x ± ) ≠ 72 π π ⇔ sin( 2x ± ) ≠ ⇒ 2x ± ≠ kπ 2 π π ⇔ x ≠ + k ,k∈z π π π π NhËn xÐt: tg(x- ) = − tg (− x + ) mµ ( − x + ) + ( x + ) = π π π π π Suy ra: tg(x- ) tg ( x + ) = − tg(− x + ) tg ( x + ) = −1 Do với điều kiện phơng trình tơng đơng víi sin x + cos x = −m a) Víi m = - ta cã ph¬ng tr×nh: sin x + cos x = ⇔ cos x + = ⇔ cos x = −3 8 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π π π ⇔ x = + k , k z(kh ôngthoảmÃn) Vậy phơng trình vô nghiệm b) Ta có: (**) cos4x + = − m 8 ⇔ cos4x = −(8m + 5) ⇔ cos4 x = − 8m + 73 Để phơng trình có nghiệm ta ph¶i cã 8m + − ≤ − ≤1 − 8m + ≠ Cos 4( π + k π ) = −1 ⇔ −3 < −(8m + 5) ≤ ⇔ −1 ≤ m < − VËy − m < phơng trình (**) có nghiệm Ví dụ 5: Tìm m để phơng tr×nh: sin6 x + cos6 x= m sin2x cã nghiƯm Gi¶i: Ta cã: sin6 x +cos6x = cos4x + 8 = (1 − sin2 x ) + 8 = −3 sin 2x + Khi phơng trình đà cho trë thµnh: −3 sin x + = m sin2 x sin 2x + m sin2 x = Đặt t = sin2x®iỊu kiƯn ≤ t ≤ Ta cã: f(t) =3t2 +4mt - = 74 NhËn xÐt: f(t) cã a.c = (- 4) = -12