GV: Lê Đức Thanh Chương LÝ THUYẾT NỘI LỰC 2.1 KHÁI NIỆM VỀ NỘI LỰC - PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT - ỨNG SUẤT 1- Khái niệm nội lực: Xét vật thể chòu tác dụng ngoại lực trạng thái cân (H.2.1) Trước tác dụng lực, phân tử vật thể có lực tương tác giữ cho vật thể có hình dáng đònh Dưới tác dụng ngoại lực, phân tử vật thể dòch lại gần tách xa Khi đó, lực tương tác phân tử vật thể phải thay đổi để chống lại dòch chuyển Sự thay đổi lực tương tác phân tử vật thể gọi nội lực Một vật thể không chòu tác động từ bên gọi vật thể trạng thái tự nhiên nội lực coi không 2-Phương pháp khảo sát nội lực: Phương pháp mặt cắt Xét lại vật thể cân điểm C vật thể (H.2.1), Tưởng tượng mặt phẳng Π cắt qua C chia vật thể thành hai phần A B; hai phần tác động lẫn hệ lực phân bố diện tích mặt tiếp xúc theo đònh luật lực phản lực Nếu tách riêng phần A hệ lực tác động từ phần B vào phải cân với ngoại lực ban ñaàu (H.2.2) P2 P1 P6 P1 A P3 B P5 P4 P2 A P3 H.2.1 Vật thể chòu lự c cân bằ ng Δp ΔF H.2.2 Nội lự c trê n mặ t cắ t Xét phân tố diện tích ΔF bao quanh điểm khảo sát C mặt cắt Π có phương pháp tuyến v Gọi Δp vector nội lực tác dụng ΔF Ta đònh nghóa ứng suất toàn phần điểm khảo sát là: Δp d p = ΔF → ΔF dF Thứ nguyên ứng suất [lực]/[chiều dài]2 (N/m2, N/cm2…) p = lim Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh τν Ứng suất toàn phần p phân hai thành phần: + Thành phần ứng suất pháp σv có phương Hình 2.3 Các thành pháp tuyến mặt phẳng Π phần + Thành phần ứng suất tiếp τv nằm mặt ứng suất phẳng Π ( H.2.3 ) Các đại lượng liên hệ với theo biểu thức: pv2 = σ v2 + τ v2 (2.1) p σν Ứng suất đại lượng học đặc trưng cho mức độ chòu đựng vật liệu điểm; ứng suất vượt giới hạn vật liệu bò phá hoại Do đó, việc xác đònh ứng suất sở để đánh giá độ bền vật liệu, nội dung quan trọng môn SBVL Thừa nhận: Ứng suất pháp σv gây biến dạng dài ng suất tiếp τv gây biến dạng góc Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh 2.2 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC - CÁCH XÁC ĐỊNH 1- Các thành phần nội lực: Như biết, đối tượng khảo sát SBVL chi tiết dạng thanh, đặc trưng mặt cắt ngang (hay gọi tiết diện) trục P2 P3 P1 P6 P1 A B P5 P4 P2 A P3 Qy P1 x Qx z Nz P2 Mz Mx A P3 My x z y y H.2.4 Các nh phần nội lự c Gọi hợp lực nội lực phân bố mặt cắt ngang R R có điểm đặt phương chiều chưa biết ⎧Lực R có phương ⎩Mômen M Dời R trọng tâm O mặt cắt ngang ⇒ ⎨ Đặt hệ trục tọa độ Descartes vuông góc trọng tâm mặt cắt ngang, Oxyz, với trục z trùng pháp tuyến mặt cắt, hai trục x, y nằm mặt cắt ngang Khi đó, phân tích R ba thành phần theo ba trục: + Nz, theo phương trục z ( ⊥ mặt cắt ngang) gọi lực dọc + Qx theo phương trục x (nằm mặt cắt ngang) gọi lực cắt + Qy theo phương trục y (nằm mặt cắt ngang) gọi lực cắt Mômen M phân ba thành phần : + Mômen Mx quay quanh trục x gọi mômen uốn + Mômen My quay quanh trục y gọi mômen uốn + Mômen Mz quay quanh trục z gọi mômen xoắn Sáu thành phần gọi thành phần nội lực mặt cắt ngang (H.2.4) Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Cách xác đònh: Sáu thành phần nội lực mặt cắt ngang xác đònh từ sáu phương trình cân độc lập phần vật thể tách ra, có tác dụng ngoại lực ban đầu PI nội lực Các phương trình cân hình chiếu lực trục tọa độ: n ∑ Z = ⇔ N z + ∑ Piz = ⇒ N z i =1 n (2.2) ∑ Y = ⇔ Qy + ∑ Piy = ⇒ Qy i =1 n ∑ Z = ⇔ Qx + ∑ Pix = ⇒ Qx i =1 đó: Pix, Piy, Piz - hình chiếu lực Pi xuống trục x, y, z Các phương trình cân mômen trục tọa độ ta có: n ∑ M / Ox ⇔ M x + ∑ mx ( Pi ) = ⇒ M x i =1 n ∑ M / Oy ⇔ M y + ∑ m y ( Pi ) = ⇒ M y (2.3) i =1 n ∑ M / Oz ⇔ M z + ∑ mz ( Pi ) = ⇒ M z i =1 vớiù:mx(Pi), my(Pi), mz(Pi) - mômen lực Pi trục x,y, z 3-Liên hệ nội lực ứng suất: Các thành phần nội lực liên hệ với thành phần ứng suất sau: - Lực dọc tổng ứng suất pháp - Lực cắt tổng ứng suất tiếp phương với - Mômen uốn tổng mômen gây ứng suất trục x y - Mômen xoắn tổng mômen ứng suất tiếp trục z Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh 2-3 BÀI TÓAN PHẲNG: Trường hợp toán phẳng ( ngoại lực nằm mặt phẳng ( thí dụ mặt phẳng yz)), có ba thành phần nội lực nằm mặt phẳng yz : Nz, Qy, Mx ♦ Qui ước dấu (H.2.5) - Lực dọc Nz > gây kéo đoạn xét (có chiều hướng mặt cắt) P1 P2 A P3 - Lực cắt Qy > làm quay đoạn xét theo chiều kim đồng hồ - Mômen uốn Mx > thớ ( thớ y dương ) Mx > MX> O Nz > MX> Qy > Nz > Qy > O y y P4 P5 B P6 Hình 2.5: Chiều dương thành phần nội căng Mx > Mx < Mx < Moâmen M x > , Mômen M x < ♦ Cách xác đònh: Dùng phương trình cân tỉnh học xét cân phần A) hay phần B) Từ phương trình Σ Z = ⇒ Nz Từ phương trình Σ Y = ⇒ Qy (2.4) Từ phương trình Σ M/O = ⇒ Mx Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.1 Xác đònh trò số nội lực mặt cắt 1-1 AB, với : q = 10 kN/m; a = 1m; Mo = 2qa2 ( H.2.6) P= q HA 1,5a VA a k 2qa2 a 2qa 1,5a B VB P= q A VA M= 2qa A M N Q H 2.6 Giải Tính phản lực: Giải phóng liên kết thay vào phản lực liên kết VA, HA, VB Viết phương trình cân tỉnh học xét cân AB Σ Z = ⇒ HA = Σ Y = ⇒ VA +VB - qa – P = ∑M A = a ⇒ qa × + P x a - M − VB x 2a = ⇒ HA = 0; VA = 11 qa = 27,5 kN ; VB = qa = 2,5 kN 4 Tính nội lực: Mặt cắt 1-1 chia làm hai phần Xét cân phần bên trái (H.2.6) : ∑Z = ⇒ N =0 = ⇒ VA − qa − P − Q = ⇒ Q = − qa = − 2,5 kN a 17 ∑ M O1 = ⇒ M = VA × 1,5a − qa × a − 2qa × = qa = 21,25 kNm ∑Y Nếu xét cân phần phải ta tìm kết Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh 2.4 BIỂU ĐỒ NỘI LỰC ( BÀI TOÁN PHẲNG ) Đònh nghóa: Thường nội lực mặt cắt ngang không giống Biểu đồ nội lực (BĐNL) đồ thò biểu diễn biến thiên nội lực theo vò trí mặt cắt ngang Hay gọi măït cắt biến thiên Nhờ vào BĐNL xác đònh vò trí mặt cắt có nội lực lớn trò số nội lực Cách vẽ BĐNL- Phương pháp giải tích: Để vẽ biểu đồ nội lực ta tính nội lực mặt cắt cắt ngang vò trí có hoành độ z so với gốc hoành độ mà ta chọn trước Mặt cắt ngang chia thành phần Xét cân phần (trái, hay phải) , viết biểu thức giải tích nội lực theo z Vẽ đường biểu diễn hệ trục toạ độ có trục hoành song song với trục (còn gọi đường chuẩn), tung độ biểu đồ nội lực diễn tả đoạn thẳng vuông góc đường chuẩn Thí dụ 2.2- Vẽ BĐNL dầm mút thừa (H.2.7) Giải Xét mặt cắt ngang 1-1 có hoành độ z so với gốc A, ta có ( ≤ z ≤ l ) A Q mômen uốn mặt cắt 1-1 phần phải thanh: B P l K N xác đònh từ việc xét cân M B p Q ∑Z = ⇒ N = ∑Y = ⇒ Q − P = ⇒ Q = P ∑ M O = ⇒M + P(l − z ) = ⇒ M y P K Biểu thức giải tích lực cắt 1 z M Pl y x z x = − P (l − z ) Cho z biến thiên từ đến l, ta biểu đồ nội lực H.2.7 M z Hình 2.7 Qui ước:+Biểu đồ lực cắt Qy tung độ dương vẽ phía trục hoành +Biểu đồ mômen uốn Mx tung độ dương vẽ phía trục hoành Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh (Tung độ biểu đồ mômen phía thớ căng thanh) Thí dụ 2.3 – Vẽ BĐNL dầm đơn giản chòu tải phân bố q (H.2.8a) Giải H= A K a z thay phản lực ( H.2.8a) ql l ) V M ∑Z = ⇒ HA =0 A b V Do đối xứng ⇒ V A = VB = ql z 1Q N ) Qy y Nội lực: Chọn trục hoành ql + 2 H.2.8b Xét mặt cắt ngang 1-1 K có c ql ) hoành độ z, ( ≤ z ≤ l ) Mặt cắt chia d Mx làm hai phần H.2.8 ) Xét cân phần bên trái AK (H.2.8b) Từ phương trình cân ta suy ra: Phản lực: Bỏ liên kết A B, q B A A A z y z ⎧ ⎪∑ Z = ⇒ N z = ⎪ ql l ⎪ − qz = q ( − z ) ⎨∑ Y = ⇒ Q y = 2 ⎪ ⎪ ql qz qz M O M z ∑ / = ⇒ = − = (l − z ) ⎪ x 2 ⎩ Qy hàm bậc theo z, Mx hàm bậc theo z Cho z biến thiên từ đến l ta vẽ biểu đồ nội lực (H2.8) Cụ thể: +Khi z=0 ⇒ Qy = ql/2 , Mx = +Khi z=l ⇒ Qy = -ql/2 , Mx = +Tìm Mx, cực trò cách cho đạo hàm dMx / dz =0, l ⎧ ql ⎪⎪ − qz =0 ⇒ z = dMx / dz =0 ⇔ ⎨ ql ⎪⇒ M = x,maxõ ⎪⎩ Qua BĐNL, ta nhận thấy: Lực cắt Qy có giá trò lớn mặt cắt sát gối tựa, Mômen uốn Mx có giá trò cực đại dầm Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn V ql2 = B x ql GV: Leâ Đức Thanh Thí dụ 2.4 Vẽ BĐNL dầm đơn giản chòu lực tập trung P ( H.2.9a) Giải Phản lực: Các thành phần phản lực gối tựa là: H A = ; VA = Pb l ; VB = Pa l Nội lực : Vì tải trọng có phương vuông góc với trục nên lực dọc Nz mặt cắt ngang có trò số không Phân đoạn thanh: Vì tính liên tục hàm số giải tích biểu diển nội lực nên phải tính nội lực đoạn thanh; đoạn phải thay đổi đột ngột ngoại lực ♦ Đoạn AC- Xét mặt cắt 1-1 điểm K1 đoạn AC cách gốc A đoạn z, ( ≤ z ≤ a ) Khảo sát cân phần bên trái ta biểu thức giải tích nội lực: Pb P (l − a) ⎧ ⎪⎪Q y = VA = l = l ⎨ P (l − a) Pb ⎪ M = V z = z z= A ⎪⎩ x l l (a) P a ♦ Đoạn CB- Xét mặt cắt 2-2 điểm K2 Trong đoạn CB cách gốc A đoạn z , ( a ≤ z ≤ l ) Tính nội lực mặt cắt 2-2 cách xét phần bên phải (đoạn K2B) Ta được: Pa Q y = −VB = − l M x = VB (l − z) = a) (b) Từ (a) (b) dễ dàng vẽ biểu z b ) ) e) VA l Mx z1 Qy P bl + (b) VB Mx Qy Pa bl B z VA d Pa (l − z) l A b K2 K1 l-z c VB ) Qy Pa l - Mx H 2.9 đồ nội lực H.2.9d,e Trường hợp đặc biệt : Nếu a=b= L/2, mômen cực đại xảy dầm có giá trò: Mmax = PL/4 Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2.5 Vẽ BĐNL dầm đơn giản chòu tác dụng mômen tập trung Mo (H.2.10a.) Giải Phản lực: Xét cân toàn dầm ABC ⇒ phản lực liên kết H A = ; V A = VB = A vaø B laø: Mo l , chiều phản lực H.2.10a Nội lực: a Đoạn AC: Dùng mặt cắt 1-1 cách gốc A đoạn z1 ;(0 ≤ z1 ≤ a ).Xét cân đoạn AK1 bên trái mặt cắt K1 ⇒ nội lực sau Mo ⎧ ⎪⎪Q y = −V A = − l ⎨ ⎪M = −V z = − M o z A ⎪⎩ x l (c) A K1 A z1 Đoạn CB: Dùng mặt cắt 2-2 đoạn CB cách gốc A đoạn z2 với (a ≤ z2 ≤ l ) Xét cân phần bên phải K2B ⇒ biểu thức nội lực mặt cắt 2-2 là: z2 VA b) K2 C z1 VA Mo ⎧ ⎪⎪Qy = −VB = − l ⎨ ⎪M = V (l − z ) = M o (l − z ) B 2 ⎪⎩ x l a) Mo K1 M x2 M x1 l – z2 VB d) Qy c Q y1 Q y2 l – z2 VB) z - Mo / l Mo a l e) M x Mo (l - a) l H 2.10 (d) Mo Trường hợp đặc biệt: Mômen tập trung Mo đặt mặt cắt sát gối tựa A (H.2.11) Qy Mx xác đònh (d) ứng với B a) BĐNL vẽ từ biểu thức (c), (d) nội lực hai ñoaïn (H.2.10d-e) l Mo VA = l b Q - ) Mo/ l y c M ) x Mo H 2.11 a = BĐNL vẽ H.2.11 Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực B 10 http://www.ebook.edu.vn VB = Mo l ... cắt 2- 2 đoạn CB cách gốc A đoạn z2 với (a ≤ z2 ≤ l ) Xét cân phần bên phải K2B ⇒ biểu thức nội lực mặt cắt 2- 2 là: z2 VA b) K2 C z1 VA Mo ⎧ ⎪⎪Qy = −VB = − l ⎨ ⎪M = V (l − z ) = M o (l − z ) B 2. .. lượng học đặc trưng cho mức độ chòu đựng vật liệu điểm; ứng suất vượt giới hạn vật liệu bò phá hoại Do đó, việc xác đònh ứng suất sở để đánh giá độ bền vật liệu, nội dung quan trọng môn SBVL Thừa... (2. 4) Từ phương trình Σ M/O = ⇒ Mx Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Thí dụ 2. 1 Xác đònh trò số nội lực mặt cắt 1-1 AB, với : q = 10 kN/m; a = 1m; Mo = 2qa2