SỨC BỀN VẬT LIỆU CHƯƠNG 8

GV : Lê đức Thanh Chương CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 8.1 KHÁI NIỆM CHUNG Khi tính dầm chòu uốn ngang phẳng, điều kiện bền phải ý đến điều kiện cứng Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng dầm Dưới tác dụng ngoại lực, trục dầm bò uốn cong, trục cong gọi đường đàn hồi dầm (H.8.1) ϕ P P K ϕ K z ϕ K’ Đường đàn hồi Đường đàn hồi y P v ≡ y(z) P K’ z z u H.7.1 y ϕ H.7.2 Xét điểm K trục dầm trước biến dạng Sau biến dạng, điểm K di chuyển đến vò trí K’ Khoảng cách KK’ gọi chuyển vò thẳng điểm K Chuyển vò phân làm hai thành phần: Thành phần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi chuyển vò đứng hay độ võng điểm K Thành phần u song song với trục dầm (song song với trục z) gọi chuyển vò ngang điểm K Ngoài , sau trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang K bò xoay góc ϕ, ta gọi góc xoay chuyển vò góc (hay góc xoay ) mặt cắt ngang điểm K Có thể thấy rằng, góc xoay ϕ góc trục chưa biến dạng dầm tiếp tuyến điểm K đường đàn hồi (H.8.1) Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Ba đại lượng u, v, ϕ ba thành phần chuyển vò mặt cắt ngang điểm K Trong điều kiện biến dạng dầm bé thành phần chuyển vò ngang u đại lượng vô bé bậc hai so với v, bỏ qua chuyển vò u xem KK’ v, nghóa vò trí K’ sau biến dạng nằm đường vuông góc với trục dầm trước biến dạng (H.8.2) Góc xoay ϕ lấy gần đúng: ϕ ≈ tgϕ = dv dz Nếu chọn trục dầm z, trục y vuông góc với trục dầm, chuyển vò v tung độ y điểm K’ Tung độ y độ võng điểm K Ta thấy rõ K có hoành độ z so với gốc chuyển vò y, ϕ hàm số z phương trình đàn hồi là: y(z) = v(z) Phương trình góc xoay là: ϕ(z) = dv dy = = y' (z) dz dz hay, phương trình góc xoay đạo hàm phương trình đường đàn hồi Quy ước dương chuyển vò: - Độ võng y dương hướng xuống - Góc xoay ϕ dương mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, tính toán dầm chòu uốn, người ta thường khống chế độ võng lớn dầm không vượt qua giới hạn đònh để đảm bảo yêu cầu làm việc, mỹ quan công trình , điều kiện gọi điều kiện cứng Nếu gọi f độ võng lớn dầm điều kiện cứng thường chọn là: 1 ⎡f⎤ ⎢ L ⎥ = 300 ÷ 1000 ⎣ ⎦ đó: L - chiều dài nhòp dầm Tùy loại công trình mà người ta quy đònh cụ thể trò số [ f L] Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh 8.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI Xét điểm K trục dầm Trong chương (công thức 7.1) ta lập mối liên hệ độ cong trục dầm K sau biến dạng với mômen uốn nội lực Mx K là: = ρ Mx EJ x (a) Mặt khác, đường đàn hồi biểu diễn phương trình hàm số y(z) hệ trục (yz) nên độ cong đồ thò biểu diễn hàm số điểm K có hoành độ z tính theo công thức: ρ (a) (b) ⇒ = y′′ (1 + y′ ) y′′ (1 + y' ) (b) = Mx EJ x (c) Đó phương trình vi phân tổng quát đường đàn hồi, nhiên phải chọn cho hai vế phương trình thỏa mãn z Mx y Mx Mx Mx Mx > Mx < y” < y” > y H.8 Khảo sát đoạn dầm bò uốn cong hai trường hợp H.8.3 Trong trường hợp mômen uốn Mx đạo hàm bậc hai y” luôn trái dấu, phương trình vi phân đường đàn hồi có dạng: y' ' (1 + y' ) = − Mx EI x Với giả thiết chuyển vò bé (độ võng góc xoay bé), bỏ qua (y’)2 so với phương trình vi phân đường đàn hồi có dạng gần sau: Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh y' ' = − Mx EI x (8.1) đó: Tích số EJx độ cứng uốn dầm 8.3 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN Vế phải phương trình vi phân (8.1) hàm số z nên (8.1) phương trình vi phân thường Tích phân lần thứ (8.1) ⇒ phương trình góc xoay: ϕ = y' = ∫ − Mx dz + C EJ x (8.2) Tích phân lần thứ hai ⇒ phương trình đường đàn hồi: ⎛ ⎞ M y = ∫ ⎜⎜ ∫ − x dz + C ⎟⎟dz + D EJ x ⎝ ⎠ (8.3) Trong (8.2) (8.3), C D hai số tích phân xác đònh điều kiện biên Các điều kiện phụ thuộc vào liên kết dầm phụ thuộc vào thay đổi tải trọng dầm A yA = ϕA = A a) yA = C b) B yB = H 8.4 Đối với dầm đơn giản, có điều kiện sau: + Đầu ngàm dầm console có góc xoay độ võng không (H.8.4a): yA = ϕA = + Các đầu liên kết khớp độ võng không (H.8.4b): y A = yB = + Tại nơi tiếp giáp hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau, độ võng góc xoay bên trái với độ võng góc xoay bên phải ( điểm C H.8.4b): yCtr = yCph; Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn ϕCtr = ϕCph http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Thí dụ 8.1 Viết phương trình đường đàn hồi góc xoay cho dầm công son (console) H.8.5 Từ suy độ võng góc xoay lớn Cho EJx = số Giải P Phương trình mômen uốn B A mặt cắt có hoành độ z laø: Mx=–Pz yB = ϕ B = z z L (a) y H.7.5 vào (8.1) ⇒ phương trình vi phân đường đàn hồi : Mx Pz = EJ x EJ x y' ' = − Pz +C EJ x (c) Pz + Cz + D EJ x (d) tích phân hai lần, ⇒ ϕ = y ' = y= (b) C vaø D xác đònh từ điều kiện biên độ võng góc xoay ngàm: z = L; ϕ = y = thay điều kiện naøy vaøo (c) vaø (d) ⇒ C=− PL2 PL3 ; D= EJ x 3EJ x Vậy phương trình đường đàn hồi góc xoay là: y= ϕ= Pz PL2 PL3 − z+ ; EJ x EJ x 3EJ x Pz PL2 − EJ x EJ x Độ võng góc xoay lớn đầu tự A dầm; ứng với z = 0, ta coù: ymax = PL3 PL2 ; ϕ=− 3EJ x EJ x ymax > độ võng điểm A hướng xuống ϕ < góc xoay điểm A ngược kim đồng hồ Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Thí dụ 8.2 Tính độ võng góc xoay lớn dầm (H.8.6) Cho EJx = Giải q Phương trình mômen uốn B A mặt cắt có hoành độ z là: Mx = − yB = ϕB = z L qz2 (a) y H.8.6 qz y' ' = − EJ x vào (8.1), ⇒ tích phân hai laàn, ⇒ ϕ = y ' = y= z (b) qz +C EJ x (c) qz +C z+ D 24 EJ x (d) hai điều kiện biên đầu ngàm z = L; ϕ = vaø y = cho : qL3 qL4 C=− ; D= EJ x EJ x Vậy phương trình đàn hồi góc xoay là: qL4 qL3 qL4 y= − z+ ; 24 EJ x EJ x EJ x ϕ= qL3 qL3 − EJ x EJ x Độ võng góc xoay lớn đầu tự A dầm; ứng với z = 0, ta có: ymax qL4 = 8EJ x qL3 ϕA = − EJ x Thí dụ 8.3 Tính độ võng góc xoay lớn dầm đơn giản chòu tải phân bố (H.8.7) Độ cứng EJx dầm không đổi Giải z Phương trình mômen uốn mặt cắt ngang có hoành độ z là: Mx = qL qz2 q = z− Lz − z2 2 ( ) Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn B A z L/2 (a) thay vào (8.1), ⇒ phương trình vi phân đường đàn hồi sau: q L y H.8.7 http://www.ebook.edu.vn GV : Leâ đức Thanh y' ' = − ( q Lz − z 2 EJ x tích phân hai lần, ⇒ ϕ = y ' = − y=− ) (b) q ⎛ Lz z ⎞ ⎜ − ⎟⎟ + C EJ x ⎜⎝ 3⎠ (c) q ⎛ Lz z ⎞ ⎜ − ⎟+C z + D EJ x ⎜⎝ 12 ⎟⎠ (d) ⎧khi : z = 0; y = điều kiện biên gối tựa trái phải dầm: ⎨khi : z = L; y = ⎩ ⇒ D = 0; C = qL3 24 EJ x Như phương trình đường đàn hồi góc xoay là: y= qL3 24 EJ x ϕ = y' = ⎛ z2 z3 ⎞ z ⎜⎜1 − 2 + ⎟⎟ L L ⎠ ⎝ (e) qL3 ⎛ z2 z3 ⎞ ⎜⎜1 − + ⎟⎟ 24 EJ x ⎝ L L ⎠ (g) Độ võng lớn dầm mặt cắt ngang nhòp ứng với: z= L (tại y’ = 0) thay z = L vaøo (e), ymax = y⎛ L⎞ ⎜ z= ⎟ 2⎠ ⎝ = 5qL4 384 EJ x Góc xoay lớn nhất, nhỏ (y’max , y’min) mặt cắt ngang có y” = (hay Mx = 0), tức gối tựa trái phải dầm Thay z = z = L vào (g) ⇒ ϕ max = y 'max = qL3 24 EJ x ϕ = y 'min = − qL3 24 EJ x Góc xoay mặt cắt gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay mặt cắt gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Thí dụ 8.4 Lập phương trình độ võng góc xoay dầm hai gối tựa chòu lực tập trung P H.8.8 cho biết EJx = số P B A z z1 a Z2 L Y Giaûi b Pab/L H.8.8 Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn hai đoạn AC CB khác nên biểu thức góc xoay độ võng hai đoạn khác Viết cho đoạn biểu thức Mx, y’’, y’, y sau: Mômen uốn Mx đoạn sau: Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a): M x(1) = Pb z1 L (a) Đoạn CB (a ≤ z2 ≤ L): M x(2) = Pb z2 − P (z2 − a ) L (b) Phương trình vi phân đường đàn hồi đoạn: Đoạn AC: Ñoaïn CB: y1 ' ' = − Pb z1 LEJ x y2 ' ' = − Pb P ( z2 − a ) z2 + EJ x LEJ x (c) (d) Tích phân liên tiếp phương trình trên, ta được: Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a): y1 ' = − Pb z1 + C1 LEJ x (e) y1 = − Pb z1 + C1 z1 + D1 LEJ x (g) Đoạn CB (a ≤ z2 ≤ L): Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh y2 ' = − Pb P ( z − a ) + C2 z2 + LEJ x EJ x y2 = − Pb P (z2 − a ) + C2 z2 + D2 z2 + LEJ x EJ x (h) (i) Xác đònh số tích phân C1, D1, C2, D2 từ điều kiện biên - Ở gối tựa A, B độ võng không - Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng góc xoay hai đoạn phải ⇔ khi: z1 = 0; y1 = z2 = 0; y2 = z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’ Từ bốn điều kiện ⇒: ⎧ D1 = ⎪ ⎪− Pb L3 + P (L − a ) + C2 L + D2 = ⎪ LEJ x EJ x ⎪ Pb Pb ⎨ ⎪− LEJ a + c1a + D1 = − LEJ a + c2 a + D2 x x ⎪ Pb Pb ⎪ 2 ⎪− LEJ a + c1 = − LEJ a + c2 x x ⎩ Giải hệ phương trình trên, ⇒ D1 = D2 = 0; C1 = C2 = ( Pb L2 − b LEJ x ) Vậy phương trình góc xoay độ võng đoạn là: Ñoaïn AC (0 ≤ z1 ≤ a): ⎧ Pb ⎛ L2 − b z12 ⎞ ' ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎪ϕ1 = y1 = 2⎠ LEJ ⎪ x ⎝ ⎨ 2 ⎪ y = Pb ⎛⎜ L − b z − z1 ⎞⎟ 1 ⎪ ⎟⎠ LEJ x ⎜⎝ ⎩ Đoạn BC (a ≤ z2 ≤ L): ⎧ Pb ⎛ z22 L(z2 − a ) L2 − b ⎞ ' ⎜ ⎟ − ⎪ϕ = y2 = ⎜ 2− ⎟ LEJ b x ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ 2 L −b z2 ⎞ Pb ⎛ (z2 − a ) ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ y2 = LEJ ⎜ 6b L + z2 − ⎟ x ⎝ ⎠ ⎩ Tính độ võng lớn dầm cách dựa vào điều kiện y’ = 0, Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Giả sử a > b Trước hết ta xét độ võng lớn đoạn Ở gối tựa A (z1 = 0) góc xoay bằng: ϕ1 A = C (z1 = a): PbL ⎛ b ⎞ ⎜1 − ⎟ > EJ x ⎜⎝ L2 ⎟⎠ ϕ1C = − PbL (a − b ) < 3EJ x Như vậy, hai điểm A C góc xoay ϕ1 đổi dấu, nghóa bò triệt tiêu lần Điều cho thấy độ võng có giá trò lớn đoạn AC Để tìm hoành độ z1(0) mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho phương trình ϕ1 = 0: 0,500L Pb ⎡ L − b (z1 (0 )) ⎤ ϕ1 [z1 (0)] = − ⎢ ⎥=0 LEJ x ⎣ ⎦ ⇒ z1 (0) = 2 L −b E A B D z 0,577L (o) H.8.9 Sau đưa vào biểu thức (l) độ võng,⇒ giá trò lớn độ võng ymax = y1(z1( ) ) = ( 3Pb L2 − b 27 EJ x ) ⎛ b2 ⎞ ⎜⎜1 − ⎟⎟ ⎝ L ⎠ (p) Các hệ quả: - Nếu P đặt nhòp dầm (b = L / 2) , từ (o) (p) , ta được: z1 (0) = L PL3 = 0,500 L ; ymax = 48EJ x - Khi P gần gối B, tức b → ta có: z1(0) = L = 0577L Như vậy, tải trọng di chuyển từ trung điểm D nhòp dầm đến gối tựa B (H.8.9) hoành độ z1(0) biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức từ điểm D đến điểm E Trong thực tế người ta thường quy ước tải trọng P tác dụng vò trí coi độ võng lớn nhòp dầm Thí dụ, tải trọng P tác dụng vò trí H.8.8 độ võng nhòp dầm bằng: So sánh hai giá trò ymax y(l ) = y(l ) thaáy ( Pb 3L2 − 4b 48 EJ x ) hai giá trò khác Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn http://www.ebook.edu.vn 10 ... Vế phải phương trình vi phân (8. 1) hàm số z nên (8. 1) phương trình vi phân thường Tích phân lần thứ (8. 1) ⇒ phương trình góc xoay: ϕ = y' = ∫ − Mx dz + C EJ x (8. 2) Tích phân lần thứ hai ⇒ phương... ⎠ (8. 3) Trong (8. 2) vaø (8. 3), C D hai số tích phân xác đònh điều kiện biên Các điều kiện phụ thuộc vào liên kết dầm phụ thuộc vào thay đổi tải trọng dầm A yA = ϕA = A a) yA = C b) B yB = H 8. 4... H .8. 4b): yCtr = yCph; Chưong 8: Chuyển vò dầm chòu uốn ϕCtr = ϕCph http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Thí dụ 8. 1 Viết phương trình đường đàn hồi góc xoay cho dầm công son (console) H .8. 5