GV: Lê đức Thanh Chương UỐN PHẲNG THANH THẲNG 7.1 KHÁI NIỆM CHUNG ♦ Thanh chòu uốn có P2 trục bò uốn cong dưói tác dụng ngoại lực Thanh có trục nằm ngang chòu uốn gọi dầm (Thanh có trục thẳng đứng gọi cột) P3 02 P1 P5 01 π P4 ♦ Ngoại lực: Lực tập trung P, H.7.1 Tải trọng tác dụng lên dầm lực phân bố q tác dụng vuông góc với trục dầm hay momen (ngẫu lực) M nằm mặt phẳng chứa trục dầm (H.7.1) ♦ Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng ( π ) chứa ngoại lực trục dầm Đường tải trọng: Giao tuyến mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang ♦Giới hạn toán: + Chỉ khảo sát mặt cắt ngang có trục đối xứng Trục đối xứng nầy trục hợp thành mặt phẳng đối xứng Tải trọng nằm mặt phẳng đối xứng Mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng, Đường tải trọng trục đối xứng mặt cắt ngang Trục dầm sau bò cong nằm mặt phẳng ( π )được gọi uốn phẳng + Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao ♦ H.7.3 ,7.4,7.5 : giới thiệu số loại dầm đơn giản thường gặp _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh P q b) a P b M L c) a) H.7.3 Caùc loại dầm: a) Dầm đơn giản b) Dầm chèn kẹp; c) Dầm có đầu mút thừa P P a) a L-2a a P b) A B A B + _ a) Q B P c) M Pa Pa H.7.4 Daàm với vùng chòu uốn túy A b) B H.7.5 Dầm chòu uốn túy ♦ Nội lực: Tuỳ theo ngoại lực tác dụng mà mặt cắt ngang dầm có nội lực lực cắt Qy mômen uốn Mx ♦ Phân loại: Uốn túy phẳng: Nội lực có mômen uốn Mx=hằng số Uốn ngang phẳng : Nội lực gồm lực cắt Qy mômen uốn Mx ♦ Dầm H.7.4 có đoạn CD chòu uốn túy, dầm H 7.5 chòu uốn túy Đoạn dầm AC DB dầm H.7.4 chòu uốn ngang phẳng _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh 7.2 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG 7.2.1 Đònh nghóa: Thanh chòu uốn túy phẳng mặt cắt ngang có nội lực Mx Dấu Mx : Mx > căng (kéo) thớ ( thớ y > ) dầm 7.2.2 Tính ứng suất mặt cắt ngang: Thí nghiệm quan sát biến dạng: H.7.6 a) Thanh trước biến dạng b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng H 7.6 a) Thanh trước biến dạng b) Sau biến dạng; c) Mặt cắt ngang sau biến dạng Kẻ lên mặt thẳng chòu uốn H.7.6a, đường song song với trục tượng trưng cho thớ dọc đường vuông góc với trục tượng trưng cho mặt cắt ngang; đường tạo thành lưới ô vuông (H.7.6a) Sau biến dạng (H.7.6b), trục bò cong, đường thẳng song song với trục thành đường cong song song với trục thanh; đường vuông góc với trục vuông góc với trục thanh, nghóa góc vuông bảo toàn trình biến dạng Ngoài ra, quan sát thấy thớ bên dãn ra(bò kéo) thớ bên co lại (bò nén) Như thế, từ thớ bò dãn sang thớ bò co tồn thớ mà chiều dài không thay đổi trình biến dạng, gọi thớù trung hòa Các thớ trung hòa tạo thành lớp trung hòa Giao tuyến lớp trung hoà với mặt cắt ngang tạo thành đường trung hòa Vì mặt cắt ngang có chiều rộng bé nên đường trung hòa xem thẳng (H.7.6.c) _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Mặt phẳng tải trọng Phần bò nén Lớp trung hoà z x y Phần bò kéo Đường trung hoà Đường tải trọng Sau biến dạng mặt cắt ngang 1-1 2-2 ban đầu cách đoạn vi phân dz cắt tâm cong O’ (H.7.7b) hợp thành góc dθ Gọi ρ bán kính cong thớ trung hòa, tức khoảng cách từ O’ đến thớ trung hòa Độ dãn dài tương đối thớ ab cách thớ trung hòa khoảng cách y cho bởi: εz = ab − 010 (ρ + y ) dθ − dz (ρ + y ) dθ − ρdθ y = = = = κy 01 dz ρ dθ ρ (a) đó: κ - độ cong dầm Hệ thức chứng tỏ biến dạng dọc trục dầm tỉ lệ với độ cong biến thiên tuyến tính với khoảng cách y từ thớ trung hòa O O1 M a dθ O2 y dz b M M a) Trùc biế n dạng O1 σ a ρ O2 bâ y σ M b) Sau bieán ng H.7.7 Đoạn dầm vi phân dz _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Thiết lập công thức tính ứng suất: Mỗi thớ dọc dầm chòu kéo nén (các điểm mặt cắt ngang trạng thái ứng suất đơn) Đònh luật Hooke ứng với trạng thái ứng suất đơn cho ta: σ z = Eε z = Eκy (b) Ứùng suất pháp tác dụng mặt cắt ngang biến thiên bậc Mx Đường trung hoà y z σz y x dF H.7.8 Ứng suất pháp mô men uốn mặt cắt ngang dầm chòu uốn với khoảng cách y từ thớ trung hòa Xét hợp lực ứng suất pháp toàn mặt cắt ngang + Liên hệ σz vaø Nz ∫ F σ z dF = ∫ F EκyF = (đònh nghóa N z =0) (c) Vì độ cong κ môđun đàn hồi E số nên đem dấu tích phaân, ∫ ⇒ F ydF = (d) (d) cho thấy mômen tónh diện tích mặt cắt ngang trục trung hoà x không ⇔ trục trung hoà x qua trọng tâm mặt cắt ngang Tính chất cho phép xác đònh trục trung hoà mặt cắt ngang Nếu trục y trục đối xứng, hệ trục (x,y) hệ trục quán tính trung tâm + Liên hệ σz Mx đó: Mx = ∫ F Jx = ∫ F σ z ydF = κE ∫ y dF = κEJx F (e) y dF (g) mômen quán tính mặt cắt ngang trục trung hòa x Biểu thức (e) viết lại nhö sau: κ = ρ = Mx EJ x (7.1) EJx gọi độ cứng uốn dầm Thế(7.1) vào (b) ⇒ Công thức tính ứng suất pháp điểm mặt cắt ngang dầm: σz = Mx y Jx (7.2) Ứùng suất biến thiên bậc theo tung độ y.và y khoảng cách điểm tính ứng suất kể từ trục trung hoà x (M x y mang dấu đại số) _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Công thức kỹ thuật: Nếu mômen uốn dương, dầm bò căng ( bò kéo ) thớ dưới, thớ bò nén Kết ngược lại mômen uốn âm Do thực hành, ta sử dụng công thức kỹ thuật để tính ứng suất, M σz = ± x | y | (7.3) Jx ta lấy: dấu (+) Mx gây kéo điểm cần tính ứng suất dấu (–) Mx gây nén điểm cần tính ứng suất 7.2.3 Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trò: ♦ Biểu đồ ứng suất pháp: +Những điểm xa trục trung hòa có trò số ứng suất lớn +Những điểm có khoảng cách tới thớ trung hòa có trò số ứng suất pháp Biểu đồ phân bố ứng suất pháp đồ thò biểu diễn giá trò ứng suất điểm mặt cắt ngang *Trường hợp mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (Hình tròn, chữ nhật ) cho H.7.9 *Trường hợp mặt cắt ngang có trục đối xứng (chữ I,U) cho H.7.10 Dấu (+) ứng suất kéo Dấu (-) ứng suất nén _ + _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh H 7.9 Biểu đồ ứng suất pháp cho mặt cắt có hai trục đối xứng _ + H 7.10 Biểu đồ ứng suất pháp cho mặt cắt có trục đối xứng ♦ Ứng suất pháp cực trò: Tính ng suất pháp kéo nén lớn mặt cắt ngang dầm điểm xa đường trung hòa k n Gọi ymax , ymax khoảng cách thớ chòu kéo thớ chòu nén xa đường trung hòa Khi ứng suất chòu kéo lớn σmax ứng suất chòu nén lớn σmin tính công thức: M M k σ max = x ymax = kx (7.4a) Jx Wx σ = Mx n = ymax Mx Jx Wxn J J Wxk = k x ; Wxn = n x ymax ' ymax với: (7.4b) (7.5) n k Các đại lượng Wx Wx gọi suất tiết diện mômen chống uốn mặt cắt ngang Trường hợp đặt biệt: Nếu trục x (trục trung hoà) trục đối xứng (mặt cắt chữ nhật, tròn, Ι,…) thì: k n ymax = ymax = đó: h Wxk = Wxn = Wx = 2J x h (7.6) ứng suất nén kéo cực đại có trò số nhau: σ max = σ = Mx Wx (7.7) ∗ Mặt cắt ngang hình chữ nhật với bề rộng b chiều cao h : _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Jx = bh3 bh ; Wx = 12 (7.8) ∗ Mặt cắt ngang hình troøn: πd Jx = 64 ≈ 0,05d ; Wx = πd 32 ≈ 0,1d (7.9) ∗ Mặt cắt ngang hình vành khăn : đường kính D, trong, d Jx = πD 64 (1 − η ) ; Wx = πD 32 (1 − η ) với η = d/ D ∗ Mặt cắt ngang hình Ι, C: Tra bảng thép đònh hình Ý nghóa vật lý mômen chống uốn: mômen chống uốn lớn dầm chòu mômen uốn lớn 7.2.4 Điều kiện bền- Ba toán Điều kiện bền: + Dầm vật liệu dòn: [σ] k ≠ [σ] n ⏐σmin⏐≤ [σ] n σmax ≤ [σ] k + Dầm vật liệu dẻo: [σ] k = [σ] n = [σ] max ⏐σz⏐≤ [σ] Ba baøi toán bản: (7.10a) (7.10b) +Bài toán kiểm tra bền,(Đây toán thâûm kế.) +Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang,(bài toán thiết kế) +Bài toán chọn tải trọng cho phép.(bài toán sữa chữa,nâng cấp) Bài toán 1: Kiểm tra bền- Kiểm tra chòu lực có đảm bảo độ bền hay không Dùng (7.10a) hay (7.10b) để kiểm tra Thí dụ 7.1 Trên mặt cắt ngang dầm chữ T ngược (H.7.11), mômen uốn Mx = 7200 Nm Dầm làm vật liệu có ứng suất cho phép kéo nén khác nhau: ` [σ ]k = 20 MN/m2; [σ]n = 30 MN/m2 ` Mx 125 ` Kiểm tra bền biết rằng: Jx = 5312,5 cm4 O Giải x Ta có: ykmax = 75 mm= 7,5.10–2 m y n max –2 = 125 mm = 12,5.10 m 75 z y Dầm chữ T chòu uốn _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng H 7.11 GV: Lê đức Thanh Wxk = 5312,5 × 10 −8 Jx = = 708,3 × 10 − m k 7,5 × 10− ymax Wxn = 5312,5 × 10−8 Jx = = 425 × 10 − m3 −2 n 12,5 × 10 ymax σ max = Mx 7200 = = 10,20 × 106 N/m = 10,20 MN/m < [σ k ] 708,3 × 10− Wxk σ = Mx 7200 = = 17 × 106 N/m = 17 MN/m < [σ n ] n Wx 425 × 10− dầm đủ bền Bài toán 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang cho dầm thỏa điều kiện bền Từ điều kiện bền tổng quát (7.10a,b) ⇒ mômen chống uốn kích thước mặt cắt ngang xác đònh Thí dụ 7.2 Cho dầm chòu lực H.7.12 Dầm làm hai thép chữ , Chọn số hiệu thép chữ để dầm thỏa điều kiện bền Biết [σ ] = 16 kN/cm2 M = 60 KNm Giải Dầm chòu uốn túy; mặt cắt x H.7.12 ngang dầm có mômen uốn Mx=60 kNm Áp dụng công thức (7.7) (7.10b) ta được: M = 60 kNm Wx ≥ M max 60.100 = = 375 cm [σ] 16 Tra bảng thép hình ta chọn 20 có Wx = × 184 = 368 cm3 Kiểm tra lại điều kiện bền ta có: σ max = M max 60.100 = = 16,3 kN/cm2 368 Wx sai số tương đối: 16,3 − 16 × 100% 16 = 1,9% ; dầm đủ bền Chọn 20 Bài toán 3: Đònh tải trọng cho phép [P] để dầm thỏa điều kiện bền Thí dụ 7.3 Một dầm gang có mặt cắt ngang H.7.13 Xác đònh trò số mômen uốn cho phép(mômen có chiều hình vẽ) Biết: [σ ] κ = 1,5 kN/cm2 Hỏi với trò số mômen uốn cho phép đó, ứng suất nén lớn dầm bao nhiêu? Cho bieát Jx = 25470 cm4 _ http://www.ebook.edu.vn Chương 7: Uốn phẳng thẳng GV: Lê đức Thanh Giải Từ điều kiện bền σ max = ⇒ [M x ] = [σ k ] Mx Jx k = ymax Mx ≤ [σ] k Wxk M Jx 25470 = 1,5 × = 3537,5 kNcm k ymax 10,8 192mm x 108mm Tương ứng ta có: σ = − [M x ] y n max Jx =− 3537,5 × 19,2 = − 2,67 kN/cm 25470 z y H.7.13 7.2.5 Hình dáng hợp lý mặt cắt ngang Hình dáng hợp lý cho khả chòu lực dầm lớn đồng thời tốn vật liệu Điều kiện: σ max = Mx Jx k y max = σ k Lập tỉ số ứng suất : - Nếu vật liệu dòn: α < : , σ k y max n y max σ k = = Mx Jx [σ ]k σ n pσ n n y max = σ n =α k n neân y max p y max Ta chọn mặt căùt ngang không đối xứng qua trục trung hoà k n - Nếu vật liệu dẻo: α =1 nên y max = y max Ta chọn mặt căùt ngang đối xứng qua trục trung hoà Theo biểu đồ ứng suất ta thấy gần trục trung hoà ứng suất nhỏ, nên vật liệu làm việc điểm xa trục trung hòa, thường cấu tạo hình dáng mặt cắt cho vật liệu xa trục trung hòa ví dụ hình chữ I,U,vành khăn ,hình rỗng… _ http://www.ebook.edu.vn 10 Chương 7: Uốn phẳng thẳng ... Kiểm tra bền- Kiểm tra chòu lực có đảm bảo độ bền hay không Dùng (7. 10a) hay (7. 10b) để kiểm tra Thí dụ 7. 1 Trên mặt cắt ngang dầm chữ T ngược (H .7. 11), mômen uốn Mx = 72 00 Nm Dầm làm vật liệu có... nghóa vật lý mômen chống uốn: mômen chống uốn lớn dầm chòu mômen uốn lớn 7. 2.4 Điều kiện bền- Ba toán Điều kiện bền: + Dầm vật liệu dòn: [σ] k ≠ [σ] n ⏐σmin⏐≤ [σ] n σmax ≤ [σ] k + Daàm vật liệu. .. ] 70 8,3 × 10− Wxk σ = Mx 72 00 = = 17 × 106 N/m = 17 MN/m < [σ n ] n Wx 425 × 10− dầm đủ bền Bài toán 2: Chọn kích thước mặt cắt ngang cho dầm thỏa điều kiện bền Từ điều kiện bền tổng quát (7. 10a,b)