Phương pháp vectơ trong giải toán hình học phổ thông

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm vectơ hình thành từ lâu, bắt nguồn từ việc nghiên cứu đối tượng có hướng Tuy nhiên đến đầu kỷ 19 vectơ nghiên cứu sử dụng cách có hệ thống, gắn liền với việc biểu diễn hình học số phức Thuật ngữ “vectơ” Toán học W Hamilton đề xuất vào khoảng kỷ 19 Ngày nay, vectơ hữu nhiều lĩnh vực Toán học, ngành khoa học khác Các dạng toán hình học giải phương pháp vectơ đa dạng, phong phú thường xuất kì thi đại học, kì thi học sinh giỏi Trong chương trình tốn bậc phổ thơng trung học nay, vectơ đưa vào giảng dạy từ chương trình lớp 10, nhiên với thời lượng khiêm tốn Sách giáo khoa đưa vài ứng dụng vectơ, chưa việc định hướng tìm tòi lời giải phương pháp vectơ chưa trọng đến việc rèn luyện kỹ Nhằm tìm hiểu phương pháp vectơ, với định hướng TS Nguyễn Ngọc Châu, chọn đề tài: “Phương pháp vectơ giải tốn hình học phổ thơng” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Phương pháp vectơ hình học phẳng, hình học khơng gian - Các dạng tốn hình học giải phương pháp vectơ - Ứng dụng phương pháp vectơ để giải số toán thực tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phương pháp vectơ chương trình tốn phổ thơng - Các dạng tốn hình học phổ thông giải phương pháp vectơ - Một số toán thực tế giải phương pháp vectơ Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu vectơ sách giáo khoa, sách giáo viên, tài liệu chuyên đề vectơ, … - Khảo sát, phân tích, tổng hợp tài liệu để hệ thống phân loại dạng toán giải phương pháp vectơ - Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để thực đề tài Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức sở vectơ Chương trình bày sơ lược kiến thức sở vectơ tính chất để làm tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan xem [9], [10], [11], [12], … Chương Ứng dụng phương pháp vectơ Chương trình bày ứng dụng phương pháp vectơ giải tốn hình học phổ thơng CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VECTƠ Chương trình bày sơ lược kiến thức sở vectơ tính chất để làm tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan xem [9], [10], [11], [12], … 1.1 VECTƠ VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi ta nói AB đoạn thẳng có hướng Định nghĩa 1.1 Vectơ đoạn thẳng có hướng Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B kí uuu r hiệu AB đọc “vectơ AB” r r r u r Vectơ kí hiệu a , b , x , y , … r a r x không cần rõ điểm đầu điểm cuối Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vectơ – khơng kí r hiệu r uuu r Chiều từ A đến B gọi hướng vectơ AB Vectơ có hướng tùy ý Đường th ẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ gọi giá vectơ Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Hai vectơ phương hướng ngược r hướng Vectơ có phương, hướng tùy ý Ta gọi độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối uuu r uuu r vectơ Độ dài AB kí hiệu AB r Vectơ có độ dài Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị uuur uuu r Định nghĩa 1.2 Hai vectơ AB CD gọi chúng có uuu r uuur hướng độ dài, kí hiệu AB = CD Hai vectơ gọi đối chúng ngược hướng có độ dài uuu r uuu r Vectơ đối AB ký hiệu - AB Nhận xét 1.1 uuur uuu r i) Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ AB AC phương r ii) Cho trước vectơ a điểm O bất kì, ta ln tìm điểm A uuu r r cho OA = a iii) Mỗi vectơ có vectơ đối r r r Định nghĩa 1.3 Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O bất uuu r r uuu r r kỳ, ta dựng vectơ OA = a OB = b , góc ·AOB với số đo từ r r r r 00 đến 1800 gọi góc hai vectơ a b ký hiệu a, b r r r r a Nếu , b = 90 ta nói a b vng góc ký hiệu ( ( ) ) a⊥b Định nghĩa 1.4 Trong không gian ba vectơ gọi đồng phẳng ba đường thẳng chứa chúng song song với mặt phẳng 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC VECTƠ 1.2.1 Phép cộng, phép trừ hai vectơ r r Định nghĩa 1.5 Cho hai vectơ a b uuu r r uuur r Lấy điểm A tùy ý, vẽ AB = a BC = b uuur Vectơ AC gọi tổng hai vectơ r r r r a b ký hiệu a +b uuur r r Vậy AC = a +b r b r a r r a +b r a r b r Tính chất 1.1 [10] Với vectơ a , r r • Tính chất giao hốn: a + b r r • Tính chất kết hợp: ( a + b ) r r b , c tùy ý, ta có: r r =b +a r r r r + c = a + (b + c ) r r r r r • Tính chất trung lập vectơ khơng: a + = + a = a r r ( ) r • Tính khả đối: a + −a = Mệnh đề 1.1 [10] uu r uur r i) Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA + IB = uuu r uuu r uuur r ii) Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = Mệnh đề 1.2 [11] (Quy tắc hình hộp) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A AB, AD, AA’ có đường chéo AC’ Khi ta có quy tắc hình hộp là: uuu r uuur uuuu r uuuu r AB + AD + AA ' = AC ' Hình 1.3 r r r Định nghĩa 1.6 Cho hai vectơ a b Ta gọi hiệu vectơ a với vectơ r r r r r b vectơ a + ( −b) , kí hiệui a − b r r r r Như a − b = a + ( −b) Phép cộng, trừ hai vectơ có quy tắc sau Mệnh đề 1.3 [10] i) Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có uuu r uuur uuur +) AB + BC = AC uuu r uuu r uuu r +) AB = CB − CA uuu r uuur uuur ii) Nếu ABCD hình bình hành, AB + AD = AC 1.2.2 Phép nhân vectơ với số thực r Định nghĩa 1.7 Cho số thực k ≠ vectơ a ≠ r r Tích vectơ a với số k vectơ , kí hiệu ka , xác định sau: r r a hướng với , k > ka r r ka ngược hướng với a , k < r r k a Vectơ ka có độ dài r r r r Quy ước: 0a = 0, k = r r a b Tính chất 1.2 [10] Với hai vectơ bất kì, với số thực h k, ta có: r r r r k ( a + b) = ka + kb r r r • (h + k ) a = + k a r r • h( ka ) = (hk ) a r r r r • 1.a = a, (−1)a = − a • r r r r Mệnh đề 1.4 [10] Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b b ≠ ( r ) r phương có số k để a = kb Nhận xét 1.2 Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng uuur uuur uuu r uuu r ⇔ AB AC phương ⇔ ∃k ≠ để AB = k AC uuu r uuu r uuur ⇔ Với điểm O tùy ý, k ≠ : OA = kOB + (1 − k )OC Định nghĩa 1.8 Cho hai điểm A B phân biệt Ta nói điểm M chia đoạn uuur uuur thẳng AB theo tỉ số k ≠ MA = k MB Định lý 1.1 [15] Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ với uuu r uuu r uuuu r OA − kOB điểm O bất kỳ, ta có: OM = 1− k Mệnh đề 1.5 [10] i) Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có ii) Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có uuur uuur uuu r MA + MB = 2MI uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC = 3MG r r Định lý 1.2 [10] Trong mặt phẳng (P), cho hai vectơ a b khơng r phương Khi vectơ x ∈ ( P ) phân tích cách r r theo hai vectơ a b , nghĩa có cặp số thực (h, k) cho r r r x = + kb r r Định lý 1.3 [11] Trong không gian cho hai vectơ a b không r r r r a phương vectơ c Khi ba vectơ , b , c đồng phẳng r r r có cặp số (h, k ) cho c = + kb r r Định lý 1.4 [11] Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a , b , r r c Khi với x ta tìm ba số thực m, n, p r r r r cho x = ma + nb + pc 1.2.3 Tích vơ hướng hai vectơ r r r Định nghĩa 1.9 Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng r r r r hai vectơ a b số thực, kí hiệu a b xác định công thức sau: rr r r r r a.b = a b cos(a, b) r r r r rr Nếu a = b = , ta quy ước a.b = r r r Tính chất 1.3 [10] Với ba vectơ a, b, c số thực k ta có: rr rr a.b = b.a r r r rr rr • a.(b + c) = a.b + a.c r r rr r uu r • (k a).b = k (a.b) = a.(kb) r2 r2 r r • a ≥ 0, a = ⇔ a = • Nhận xét 1.3 r r rr r r r i) Với a b khác vectơ ta có a.b = ⇔ a ⊥ b rr r ii) Tích vơ hướng a.a ký hiệu a gọi bình phương vơ hướng r2 r2 r vectơ a Ta có a = a 1.2.4 Định lý hàm số sin, hàm số côsin tam giác Định lý 1.5 [10] (Định lý hàm số sin) Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c R bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có a b c = = = 2R sin A sin B sin C Định lý 1.6 [10] (Định lý hàm số côsin) Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c , ta có a = b + c − 2bc cos A b = a + c − 2ac cos B c = a + b − 2ab cos C CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP VECTƠ Chương trình bày ứng dụng phương pháp vectơ giải tốn hình học phổ thơng 2.1 ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ Để ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán hình học phổ thơng ta thường tiến hành bước sau: Bước 1: Chuyển đổi giả thiết, yêu cầu tốn hình học sang ngơn ngữ vectơ Bước 2: Giải tốn theo ngơn ngữ vectơ Bước 3: Chuyển đổi kết thu từ tốn theo ngơn ngữ vectơ lại tốn hình học ban đầu Trong bước trên, việc chuyển đổi ngôn ngữ bước khâu quan trọng Từ bước ta định hướng cách giải tốn Để chuyển đổi ngơn ngữ tốt ta cần kết hợp biểu thức vectơ với ý nghĩa hình học chúng, đồng thời cố gắng mơ tả chúng hình ảnh trực quan Để bước thứ hai thực tốt, cần thiết phải rèn luyện kỹ giải toán phương pháp vectơ là: phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương, phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng, tốn tính tổng, hiệu vectơ,… Cũng bước này, ta thường chọn hệ vectơ sở, phân tích vectơ khác theo hệ vectơ sở Sau tiến hành giải toán theo phương pháp vectơ Khi chọn vectơ sở ta nên chọn cho vectơ khác phân tích qua chúng thuận lợi Kỹ thuật tích góp qua kinh 10 nghiệm giải tốn Chẳng hạn, hình tam giác ABC ta chọn hệ vectơ uuu r uuur sở AB, AC , hình tứ diện ABCD ta chọn hệ vectơ sở { { } uuu r uuur uuur AB, AC , AD , hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ ta chọn hệ vectơ sở } uuu r uuur uuur AB , AC , AA ' , hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta chọn hệ vectơ sở là { { } uuu r uuur uuur AB, AC , AA ' , … } Bảng 2.1: Bảng biểu thị biểu thức vectơ với ý nghĩa hình học chúng Ý nghĩa hình học I trung điểm đoạn thẳng AB uu r Biểu uurthức uu r vectơ uur r IA = − IB; IA + IB = uur uur r uuu AI = IB = AB; uuur uuur uuu r MA + MB = 2MI Hình biểu diễn A I B (M tùy ý) uuu r uuur AB = k AC , k ∈ R Ba điểm A, B, C thẳng hàng Hai điểm A B trùng Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k cho trước uuur uuu r uuu r OC = mOA + nOB, ∀O  m + n = uuu r r AB = uuu r uuu r OA = OB, ∀O uuur uuur MA = k MB, k ≠ uuu r uuu r uuuu r OA − kOB ∀O, OM = 1−k A B C 59 (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Lời giải Theo giả thiết ta có ( SAB ) ⊥ ( ABC )  ( SAC ) ⊥ ( ABC ) Mà ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABC ) uuu r uuur uur BA , BC , SA Ta chọn hệ vectơ sở uuu r r uuur r uur r Đặt BA = a, BC = b, SA = c Hình 2.44 r r rr rr rr Khi ta có BA = BC = a = b = 2a a.b = a.c = b.c = { } • Để xác định góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) ta làm sau : Ta có ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC Mặt khác ta có BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ SB AB ∈ ( ABC ), AB ⊥ BC ( gt ) Mà Suy góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc hai đường thẳng AB SB Do · ( ·AB; SB) = SBA = 600 Ta tính ⇒ SA = AB.tan 600 = 3a c = 12a = 3b 2 r (với c = 3a ) Vì M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N nên N trung điểm AC µ = 900 nên tứ giác BMNC hình Tứ giác BMNC có MN // BC B thang vuông Suy S BMNC 1 3a = BM ( MN + BC ) = a.(a + 2a) = 2 60 Vậy VSBMNC = 1 3a SA.S BMNC = 3a = a3 3 • Để tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN ta biểu diễn uuu r uuu r r r r vectơ AB, SN theo a, b, c uuu r r Ta có AB = − a uuu r uur uuuu r uuuu r r 1r 1r r r r SN = SA + AM + MN = c − a + b = − (a − b) + c 2 Gọi H ∈ AB K ∈ SN cho uuur uuu r r AH = x AB = xa Do uuu r uuu r r y r r SK = ySN = − (a − b) + c uuur uuur uuu r uuu r r r y r r r HK = HA + AS + SK = − xa − c − (a − b) + c r y r yr = − ( x + ) a + b + ( y − 1)c 2 Để HK đoạn vng góc chung AB SN ta phải có uuur uuu r  HK AB =  HK ⊥ AB ⇔  uuur uuu r   HK ⊥ SN  HK SN = y   x + ⇔   (x +  = y y )a + b + ( y − 1)c = y   x + = ⇔   x + 7y =  2 ⇔   x = − 13   y = 12  13 y   x + ⇔   (x +  = y y ) + + 3( y − 1) = uuur 6r 1r ⇒ HK = b− c 13 13 61 ⇒ uuur HK = HK = 6r 1r ( b − c) = 13 13 −1 r 39a ( ) + ( ) b = 13 13 13 2.4.7 Tìm tập hợp điểm thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước dạng uuuu r r OM = a r Trong điểm O vectơ a biết Khi điểm M hồn tồn xác định, cụ thể sau: uuuu r r r OM = a i) với O cố định a khơng đổi tập hợp điểm M mặt r cầu tâm O bán kính a uuur uuur MA = MB với A, B cố định tập hợp điểm M mặt phẳng trung ii) trực đoạn thẳng AB Bài tốn 51: [14] Tìm tập hợp điểm M không gian cho M thỏa mãn hệ thức: MA2 + 2MB = k với A, B hai điểm cố định cho trước k số thực dương Lời giải uuu r uuu r r Gọi G điểm chia đoạn AB theo tỉ số -2, ta có: GA + 2GB = uuur uuur Khi MA2 + 2MB = k ⇔ MA + 2MB = k uuuu r uuu r uuuu r uuu r ⇔ ( MG + GA) + 2( MG + GB ) = k uuuu r uuu r uuu r ⇔ 3MG + GA2 + 2GB + 2MG (GA + 2GB ) = k uuu r uuu r r ⇔ 3MG = k − (GA2 + 2GB ) = k − 6GB (vì GA + 2GB = ) ⇔ i) MG = ( k − 6GB ) Vậy : Nếu k < 6GB tập hợp điểm M tập rỗng 62 ii) Nếu k = 6GB tập hợp điểm M điểm G iii) Nếu k > 6GB tập hợp điểm M mặt cầu tâm G bán kính R = (k − 6GB ) Bài tốn 52: [7] Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A ' điểm cạnh SA cho A' A = C ' trung A' S điểm SC Mặt phẳng (P) qua ba điểm D, A ' , C ' cắt SB B ' Xác định vị trí điểm B ' SB Lời giải uur r uur r uuu r r Đặt SA = a, SB = b, SC = c uuur uur Suy SA ' = SA = uuur Giả sử SB ' = x ⇒ uuur r 3r uuu 1r a SC ' = SC = c 2 uuur r SB ' = x b uuur uuur uuu r uuur Ta có A ' , B ' , C ' , D ∈ mp (P) ⇔ SB ' = k SA ' + l.SD + (1 − k − l ).SC ' (1) uuu r uur uuur uur uuur uur uuu r uur r r r Mà SD = SA + AD = SA + BC = SA + SC − SB = a + c − b Do r r r r 3k r 1− k − l  r a + l.(a + c − b) +  (1) ⇔ x b = ÷ c   r 1− k + l  r r  3k r ⇔  + l ÷.a + (− x − l ).b +  c = ÷     r r r Do a, b, c không đồng phẳng nên (2) 63 (2) ⇔  3k  +l =  x+l = 1 − k + l =   ⇔  k =    l = −   x =  uur Vậy vị trí B ' xác định SB ' = SB Hình 2.45 Bài toán 53: [5] Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD O trung điểm AG a) uuu r uuu r uuur uuur r Chứng minh : 3OA + OB + OC + OD = b) Chứng minh với điểm M bất kỳ, ta có : 3MA2 + MB + MC + MD = 6MO + 3OA2 + OB + OC + OD c) Tìm quỹ tích điểm M cho 3MA2 + MB + MC + MD = k , k số Lời giải a) Vì G trọng tâm tam giác BCD nên uuu r uuur uuur uuur OB + OC + OD = 3OG Hình 2.46 uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur r Hay 3OA + OB + OC + OD = 3OA + 3OG = 3(OA + OG ) = uuu r uuur r (Vì O trung điểm AG nên OA + OG = ) uuu r uuu r uuur uuur r Vậy 3OA + OB + OC + OD = uuur uuuu r uuu r uuuu r uuu r b) Ta có 3MA2 = 3MA = 3( MO + OA) = 3MO + 3OA2 + 3.2.MO.OA uuur uuuu r uuu r uuuu r uuu r MB = MB = ( MO + OB ) = MO + OB + MO.OB uuur uuuu r uuur uuuu r uuur MC = MC = ( MO + OC ) = MO + OC + 2MO.OC 64 uuuu r2 uuuu r uuur uuuu r uuur MD = MD = ( MO + OD )2 = MO + OD + 2MO.OD Cộng vế theo vế đẳng thức ta 3MA2 + MB + MC + MD uuuu r uuu r uuu r uuur uuur = 6MO + 3OA2 + OB + OC + OD + 2MO.(3OA + OB + OC + OD ) uuuu rr = 6MO + 3OA2 + OB + OC + OD + 2MO.0 = 6MO + 3OA2 + OB + OC + OD Vậy 3MA2 + MB + MC + MD = MO + 3OA2 + OB + OC + OD c) Ta có 3MA2 + MB + MC + MD = k ⇔ 6MO + 3OA2 + OB + OC + OD = k ⇔ MO =  k − (3OA2 + OB + OC + OD )  Vậy i) Nếu k < 3OA2 + OB + OC + OD quỹ tích điểm M tập rỗng ii) Nếu k = 3OA2 + OB + OC + OD quỹ tích điểm M điểm O iii) Nếu k > 3OA2 + OB + OC + OD quỹ tích điểm M mặt cầu tâm O bán kính R =  k − (3OA2 + OB + OC + OD )  2.4.8 Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp: Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta cần uuu r uuur chứng minh ∃k ∈ R cho AB = k AC ; với điểm O tùy ý, k ≠ : uuur uuu r uuu r OC = kOA + (1 − k )OB Bài toán 54: [5] Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD O trọng tâm tứ diện Chứng minh rằng: A, O, G thẳng hàng Lời giải 65 Gọi M, N trung điểm AB CD, O trung điểm MN Khi O trọng tâm tứ diện ABCD uuur uuur Ta biểu diễn vectơ AO, AG qua hệ uuu r uuur uuur AB , AC , AD sở { } Do G trọng tâm tam giác BCD nên uuur r uuur uuur uuu Hình 2.47 AG = ( AB + AC + AD ) uuur r uuur uuuu Mặt khác AO = ( AM + AN ) r uuur uuur  r uuur uuur  uuu uuu =  AB + ( AC + AD )  = ( AB + AC + AD ) 2 2  uuur uuur Do ta có AG = AO ⇔ A, O, G thẳng hàng Bài toán 55: [16] Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD G trung điểm đoạn MN Gọi A ' giao điểm đường thẳng AG mp(BCD) Chứng tỏ GA = 3GA ' Lời giải uuu r uuur uuur Chọn hệ vectơ sở AB, AC , AD uuu r r uuur r uuur r Đặt AB = a, AC = b, AD = c { Vì A ' = AG ∩ ( BCD ) nên A ' ∈ ( ABN ) } A ' ∈ ( BCD) Ta có ba điểm B, A ' , N thuộc hai mặt phẳng phân biệt (ABN) (BCD) nên B, A ' , N nằm đường thẳng uuur uuur Giả sử BA ' = k BN , ta có 66 uuur uuuu r uuur r uuur uuur uuu AG = AM + AN = AB + AC + AD 2 ( uuur r uuu ⇔ AG = AB + uuur Lại có AA ' = ( uuur uuur r r r AC + AD = a +b+c uuu r uuur uuu r uuur AB + BA ' = AB + k BN ) ( ) ) Hình 2.48 uuu r uuur uuu r r r  uuur uuur uuu = AB + k AN − AB = a + k  AC + AD − AB ÷ 2  ( ) r 1r 1r r = a + k  b + c − a ÷ 2  ⇒ uuur r k r k r AA ' = ( − k ) a + b + c 2 uuur uuur Vì ba điểm A, A ' , G thẳng hàng nên có số m cho AA ' = m AG ⇔ r m r r r k r k r a + b + c = ( − k ) a + b + c 2 ( ) m   k =  − k =  ⇔ ⇔   k m  = m =   uuur uuu r uuur uuur AA ' = AG Vậy suy GA = − 3GA ' 3 hay GA = 3GA ' Bài toán 56: [6] Cho tứ diện ABCD, M N điểm thuộc đoạn AB CD cho MA = MB , ND = NC ; Các điểm I, J, K thuộc đoạn AD, MN, BC cho IA = k ID, JM = k JN , KB = k KC Chứng minh điểm I, J, K thẳng hàng Lời giải uuu r uuu r uuur uuur uuuu r OA + 2OB Vì MA = − 2MB nên với điểm O OM = Tương tự: 67 uuu r uuur uuur uuur u u r uuur OA − kOD OD + 2OC ; OI = ; ON = 1− k uuu r uuur uuuu r uuur uuur r OB − kOC uuu OM − kON OK = ; OJ = 1− k 1− k Từ đó, ta có uuu r r uuu r uuur uuur 1 uuu OJ = OA + 2OB − k OD − 2k OC 1− k ( ) Hình 2.49 uur uuur uuur 1 uur uur uuur   = ( − k ) OI + ( − k ) OK  = OI + 2OK = OI + OK 1− k  3 ( Mặt khác ) + =1 3 Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng 2.4.9 Chứng minh hai điểm trùng Phương pháp: Muốn chứng minh hai điểm A1 A2 trùng nhau, uuur uuuu r uuuur r ta chứng minh OA1 = OA2 ta chứng minh A1 A2 = , với O điểm tùy ý Bài toán 57: [7] Cho tứ diện ABCD Gọi A ', B ', C ', D ' điểm chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k Chứng minh hai tứ diện ABCD A ' B ' C ' D ' có trọng tâm ( k ≠ 1) Lời giải Chọn O điểm tùy ý Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD ta có uuur r uuu r uuur uuur uuu OG = (OA + OB + OC + OD) Gọi G ' trọng tâm tứ diện A ' B ' C ' D ' ta có uuuur r uuuu r uuuu r uuur uuuu OG ' = (OA ' + OB ' + OC ' + OD ') Hình 2.50 68 Mặt khác, A ', B ', C ', D ' điểm chia cạnh AB, BC, uuu r uuu r uuu r uuur uuur r OA − kOB uuuu OB − kOC ; OB ' = ; CD, DA theo tỉ số k nên ta có OA ' = 1− k 1− k uuur uuur uuur uuu r uuuu r r OC − kOD uuuu OD − kOA OC ' = ; OD ' = 1− k 1− k uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuur uuur Suy OA ' + OB ' + OC ' + OD ' = OA + OB + OC + OD uuur uuuur Do OG = OG ' ⇔ G ≡ G ' Bài tốn 58: [1] Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi P, R trung điểm cạnh AB, A ' D ' Gọi P ', Q, Q ', R ' giao điểm đường chéo mặt ABCD, CDD ' C ', A ' B ' C ' D ', ADD ' A ' uuur uuuu r uuur r a) Chứng minh PP ' + QQ ' + RR ' = b) Chứng minh hai tam giác PQR P ' Q ' R ' có trọng tâm Lời giải uuuu r a) Ta có QQ ' = r uuuu DA ' ; uuur r uuur uuuu uuur uuur RR ' = A'A ; PP ' = BC = AD 2 uuur uuuu r uuur r uuuu r uuur uuuu ⇒ PP ' + QQ ' + RR ' = AD + DA ' + A ' A ( = ) r uuur AA = b) Gọi G trọng tâm tam giác PQR Ta có G ' trọng tâm tam giác P ' Q ' R ' uuur uuur uuuu r uuuuu r PP ' = PG + GG ' + G ' P ' uuuu r uuur uuuu r uuuuu r QQ ' = QG + GG ' + G ' Q ' uuur uuur uuuu r uuuuu r RR ' = RG + GG ' + G ' R ' Hình 2.51 69 ⇒ uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r uuuuu r uuuuu r uuuuu r PP ' + QQ ' + RR ' = PG + QG + RG + 3GG ' + G ' P ' + G ' Q ' + G ' R ' ( ) ( ) r uuuur r uuuu r + 3GG ' + = 3GG ' uuur uuuu r uuur r uuuu r r uuuu r r Từ câu a, PP ' + QQ ' + RR ' = ⇔ 3GG ' = ⇔ GG ' = ⇔ G ≡ G ' = 2.4.10 Sử dụng tích vơ hướng giải tốn cực trị Phương pháp: Sử dụng tích vơ hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị biểu thức độ dài, thí dụ: S = MI + c , với c số I cố định Khi Smin = c đạt MI = ⇔ M ≡ I Bài toán 59: [14] Cho tam giác ABC Tìm điểm M khơng gian cho tổng bình phương khoảng cách từ đến đỉnh tam giác cho nhỏ Lời giải Yêu cầu toán xác định điểm M cho MA2 + MB + MC bé uuu r uuu r uuur r Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có GA + GB + GC = uuur uuur uuuu r2 Khi MA2 + MB + MC = MA + MB + MC uuuu r uuu r = MG + GA ( ) uuuu r uuu r + MG + GB ( ) uuuu r uuur + MG + GC ( ) uuuu r uuu r uuu r uuur = 3MG + GA2 + GB + GC + 2MG GA + GB + GC ( ) = 3MG + GA2 + GB + GC ≥ GA2 + GB + GC Đẳng thức xảy M ≡ G Vậy MA2 + MB + MC bé GA2 + GB + GC M trọng tâm tam giác ABC Bài tốn 60: [1] Cho hình tứ diện ABCD mặt phẳng (P) Tìm điểm uuur uuur uuuu r uuuu r M ∈ ( P ) cho MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ Lời giải 70 Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD uuu r uuu r uuur uuur r GA + GB + GC + GD = Khi ⇒ uuur uuuu r uuu r MA = MG + GA  uuur uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r MB = MG + GB  ⇒ MA + MB + MC + MD = 4MG uuuu r uuuu r uuur  MC = MG + GC  uuuu r uuuu r uuur  MD = MG + GD  uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD = MG = 4GM ⇒ uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD nhỏ ⇔ ⇔ GM ngắn M chân đường vng góc hạ từ G xuống mặt phẳng (P) KẾT LUẬN Sau thời gian thu thập tài liệu, phân tích, nghiên cứu để thực đề tài, luận văn “Phương pháp vectơ giải tốn hình học phổ thơng” đạt mục đích đề Cụ thể là” 1) Định hướng việc giải tốn hình học phương pháp vectơ 2) Giới thiệu số toán thực tế giải phương pháp vectơ 3) Ứng dụng phương pháp vectơ để giải số lớp tốn hình học phẳng hình học khơng gian Chẳng hạn: Bài tốn giải tam giác; chứng minh hệ thức vectơ; biểu diễn vectơ qua hai vectơ không phương, qua ba vectơ không đồng phẳng; chứng minh ba điểm thẳng hàng; chứng minh hai đường thẳng vng góc; tính góc hai đường thẳng Các tốn liên quan đến độ dài, diện tích, thể tích Các tốn quỹ tích, tốn cực trị hình học,… Đối với dạng tốn có phương pháp giải ví dụ minh họa 71 Hy vọng kỹ thuật luận văn tiếp tục hồn thiện mở rộng nữa, nhằm minh chứng tính hiệu phương pháp vectơ giải tốn hình học 72 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Ngọc Anh (2013), Bồi dưỡng học sinh giỏi hình học giải tích, NXB tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh, thành phố Hồ Chí Minh [2] Đỗ Thị Hồng Anh (2001), Phương pháp vectơ chương trình Tốn học phổ thơng, Khóa luận tốt nghiệp, Đại học Huế [3] Hoàng Ngọc Cảnh (1995), Một số toán vectơ tam giác, báo cáo chuyên đề đổi phương pháp dạy học Toán trường phổ thông giai đoạn nay, Trường THPT khiếu Hà Tĩnh [4] PGS.TS Nguyễn Gia Cốc (1996), Ơn luyện giải tốn hình học phương pháp vectơ, NXB Đà Nẵng, Đà Nẵng [5] Đào Văn Dũng (2007), Ba phương pháp giải tốn hình khơng gian, NXB Giáo Dục [6] Lê Hồng Đức Lê Bích Ngọc (2003), Phương pháp giải toán vectơ, NXB Hà Nội, Hà Nội [7] Nguyễn Tiến Việt Phan Văn Đức (2004), Luyện thi Đại học mơn Tốn hình giải tích, NXB Đà Nẵng, Đà Nẵng [8] Hàn Liên Hải Phan Huy Khải (2000), Toán bồi dưỡng học sinh phổ thơng trung học – Hình giải tích, NXB Hà Nội, Hà Nội [9] Trần Văn Hạo (1997), Hình học 10, NXB Giáo dục Việt Nam [10] Trần Văn Hạo (2011), Hình học 10, NXB Giáo dục Việt Nam [11] Trần Văn Hạo (2011), Hình học 11, NXB Giáo dục Việt Nam [12] Trần Văn Hạo (2010), Hình học 11 - Sách giáo viên, NXB Giáo dục Việt Nam [13] Nguyễn Thị Thúy Hằng (2002), Dùng phương pháp vectơ để giải tốn hình học, Khóa luận tốt nghiệp, Đại học Sư phạm Hà Nội [14] Nguyễn Duy Thảo (2007), Quy trình sử dụng tích vơ hướng hai 73 vectơ vào việc giải tốn chương trình THPT, Luận văn thạc sĩ khoa học, Đại học Đà Nẵng [15] Vũ Thị Trinh (2009), Quy trình sử dụng phương pháp vectơ vào việc giải tốn thuộc chương trình phổ thơng, luận văn thạc sĩ khoa học, Đại học Đà Nẵng [16] http://giaoan.violet.vn/present/show?entry_id=8799875 [17] http://dethi.violet.vn/present/show?entry_id=8019051 [18] http://giaoan.violet.vn/present/show?entry_id=421970 [19] http://baigiang.violet.vn/present/same/entry_id/9421486 ... CỦA PHƯƠNG PHÁP VECTƠ Chương trình bày ứng dụng phương pháp vectơ giải tốn hình học phổ thơng 2.1 ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ Để ứng dụng phương pháp vectơ vào giải. .. tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng, tốn tính tổng, hiệu vectơ, … Cũng bước này, ta thường chọn hệ vectơ sở, phân tích vectơ khác theo hệ vectơ sở Sau tiến hành giải toán theo phương pháp vectơ. .. pháp vectơ Chương trình bày ứng dụng phương pháp vectơ giải tốn hình học phổ thông 3 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ VECTƠ Chương trình bày sơ lược kiến thức sở vectơ tính chất để làm tiền đề cho