Áp dụng phương pháp hàm sinh giải toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THANH THẢO ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THANH THẢO ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trịnh Đào Chiến Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Trịnh Đào Chiến, luận văn “Áp dụng phương pháp hàm sinh giải toán trung học phổ thơng” hồn thành, khơng trùng với luận văn khác Trong q trình làm luận văn, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Đà Nẵng, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Lê Thanh Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 HÀM SINH 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Tính chất 1.1.3 Một số kết liên quan 1.2 PHÂN HOẠCH 11 1.2.1 Phân hoạch số tự nhiên 11 1.2.2 Phân hoạch tập hợp 11 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHÂN HOẠCH TẬP HỢP 16 2.1 DẠNG TỐN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 16 2.1.1 Bài toán áp dụng 16 2.1.2 Các toán tương tự 20 2.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP TỔNG HỢP 22 2.2.1 Bài toán áp dụng 22 2.2.2 Các toán tương tự 37 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP 38 3.1 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ 38 3.1.1 Tìm số hạng tổng quát dãy số 38 3.1.2 Dãy số Catalan 43 3.2 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH TÍNH TỔNG TỔ HỢP 54 3.2.1 Phương pháp 54 3.2.2 Bài toán áp dụng 54 3.3 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TỔ HỢP 59 3.3.1 Phương pháp 59 3.3.2 Bài toán áp dụng 59 3.4 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI BÀI TOÁN TỔNG HỢP 67 3.4.1 Bài toán áp dụng 67 3.4.2 Các toán tương tự 71 KẾT LUẬN 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang 3.1 Minh họa Bài tốn 3.1.5 46 3.2 Minh họa Bài toán 3.1.5 47 3.3 Minh họa Bài toán 3.1.6 49 3.4 Minh họa Bài toán 3.1.7 50 3.5 Minh họa Bài toán 3.1.8 50 3.6 Minh họa Bài toán 3.1.10 51 3.7 Minh họa Bài toán 3.1.12 53 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp hàm sinh phương pháp đại, sử dụng kiến thức chuỗi, chuỗi hàm (đặc biệt công thức Taylor) để giải nhiều lớp toán sơ cấp, chẳng hạn: giải tốn phân hoạch tập số ngun để tìm số nghiệm phương trình nghiệm ngun, giải tốn phân hoạch tập hợp, tìm số hạng tổng quát dãy số, tốn tiếng dãy Catalan, tính tổng tổ hợp, giải toán đếm tổ hợp số dạng toán tổng hợp khác Cho dãy số an  Chuỗi hình thức A x   a  a1x  a2x   an x n  gọi hàm sinh dãy an  Ý tưởng phương pháp hàm sinh sau: Giả sử ta cần tìm cơng thức tổng quát dãy số an  Từ cơng thức truy hồi lý luận tổ hợp trực tiếp, ta tìm hàm sinh A x   a  a1x  a2x   an x n  Trong trường hợp thuận lợi, từ biểu diễn trên, tìm cơng thức giải tích cho hàm A x  Khai triển A x  thành chuỗi tìm hệ số x n khai triển ta tìm an Cho đến nay, nước có số luận văn thạc sĩ tốn học liên quan đến hàm sinh phương pháp hàm sinh bảo vệ thành công Luận văn tiếp nối hướng nghiên cứu nêu trên, để tránh trùng lặp nội dung nghiên cứu, không sâu vào lý thuyết đại hàm sinh, mà tập trung áp dụng phương pháp hàm sinh giải số dạng tốn phân hoạch tập số ngun để tìm số nghiệm phương trình nghiệm nguyên, giải số dạng toán phân hoạch tập hợp số dạng tốn tổng hợp Trong tốn có toán đề thi kỳ thi chọn học sinh giỏi nước, khu vực quốc tế Đây nội dung mà luận văn trước chưa đề cập Đồng thời, luận văn áp dụng phương pháp đề xuất tốn tương tự, phù hợp với tốn phổ thơng, đặc biệt hệ Chun Tốn Do đó, việc nghiên cứu luận văn cần thiết, có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mục tiêu nghiên cứu Luận văn đề cập đến hàm sinh áp dụng phương pháp hàm sinh để giải số dạng toán phân hoạch tập số nguyên để tìm số nghiệm phương trình nghiệm nguyên, số dạng toán phân hoạch tập hợp tổng hợp số dạng toán tổng hợp đề thi kỳ thi chọn học sinh giỏi nước, khu vực, Olympic toán quốc tế Luận văn đề xuất số toán tương tự, nhằm phục vụ cho cho công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông, đặc biệt hệ Chuyên Toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Hàm sinh phương pháp hàm sinh 3.2 Phạm vi nghiên cứu Thuộc chuyên ngành Phương pháp tốn sơ cấp Luận văn khơng q sâu vào lý thuyết đại hàm sinh mà sơ cấp hóa nó, áp dụng phương pháp hàm sinh để giải số tốn khó tốn phổ thông Phương pháp nghiên cứu Từ tài liệu sưu tầm được, luận văn đề cập ngắn gọn hàm sinh áp dụng phương pháp hàm sinh để tìm tịi lời giải, với việc đề xuất số toán tương tự, phù hợp với tốn phổ thơng, đặc biệt hệ Chun Toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Với mục đích nêu trên, việc nghiên cứu luận văn có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Tốn sơ cấp Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh bạn đọc quan tâm đến vấn đề Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành ba chương cấu trúc sau: Chương Kiến thức sở Chương đề cập đến kiến thức nhất, sử dụng cho chương Chương Áp dụng phương pháp hàm sinh giải toán phân hoạch tập hợp Chương trình bày việc áp dụng phương pháp hàm sinh để tìm số nghiệm phương trình nghiệm nguyên giải số dạng toán tổng hợp, thực chất việc áp dụng phương pháp hàm sinh để giải tốn phân hoạch tập hợp Để tìm số nghiệm phương trình nghiệm ngun đó, ta thực bước sau: - Xét hàm sinh F x  phù hợp; - Khai triển F x  dạng chuỗi lũy thừa; - Số nghiệm phương trình nghiệm ngun cho hệ số số hạng x n phù hợp chuỗi lũy thừa nêu Tiếp theo toán, thực chất dạng toán phân hoạch tập hợp, giải phương pháp hàm sinh Chương Áp dụng phương pháp hàm sinh giải số tốn tổng hợp Chương trình bày việc áp dụng phương pháp hàm sinh để giải số dạng toán dãy số (đặc biệt, giới thiệu toán tiếng liên quan đến dãy số Catalan), tốn tính tổng tổ hợp, tốn đếm tổ hợp số toán tổng hợp khác 60 Vậy hàm sinh cho nhóm áo G (x )  A(x )B(x )  1  3x  x xn Ta cần tìm hệ số khai triển G (x ) n! Ta có G ( x) 1 1      1  3x  x   xn xn    n ! 3n  n !   n! n !  n 0  n !(3n  1) x n  n ! n 0 n !(3n  1) Vậy có cách thực cơng việc chọn áo Bài tốn 3.3.2 Có cách chọn 25 sách từ loại sách khác cho loại sách có từ đến sách chọn Lời giải Hàm sinh cho cách chọn n sách từ loại sách khác cho loại sách có từ đến sách chọn G (x )  (x  x  x  x  x )7  x (1  x  x  x  x )   14  x (1  x  x  x  x ) Để tìm hệ số x 25 khai triển G (x ) tìm hệ số x 11 khai triển 7 1  x    7     (1  x )   H (x )  (1  x  x  x  x )   1  x    x  61       C nn6x n Đặt A(x )  (1  x ) ; B(x )   1  x  n 0 Do tìm hệ số x 11 khai triển H (x ) nên ta quan tâm tới hệ số A(x ) với bậc  11 Do A(x ) có hệ số a ; a ; a10 thỏa mãn Và hệ số x n khai triển B(x ) bn  C nn6 Do hệ số x11 khai triển H (x ) a 0b11  a 5b6  a10b1  1.C 1711  (C 71 )C 126  C 72C 71  6055 Vậy hệ số x 25 khai triển G (x ) 6055 Đây số cách chọn 25 sách từ loại sách khác cho loại sách có từ đến sách chọn Bài toán 3.3.3 Trong hộp có chứa bao gồm 10 huy chương vàng, 20 huy chương bạc 30 huy chương đồng Hỏi có cách chọn 30 huy chương để trao giải, biết loại huy chương có huy chương lấy Lời giải Hàm sinh cho số cách chọn huy chương vàng chọn M (x )  x  x  x   x 10 Hàm sinh cho số cách chọn huy chương bạc chọn N (x )  x  x  x   x 20 Hàm sinh cho số cách chọn huy chương đồng chọn P (x )  x  x  x   x 30 Vậy hàm sinh cho số cách chọn 30 huy chương để trao giải, biết loại huy chương có huy chương lấy 62 G ( x)  M (x )N (x )P (x )  (x  x  x   x 10 )(x  x  x   x 20 ) (x  x  x   x 30 )  x (1  x  x   x )(1  x  x   x 19 ) (1  x  x   x 29 )  x 10  x 20  x 30 x 1x 1x 1x x (1  x 10 )(1  x 20 )(1  x 30 )  (1  x )3 x (1  x 20  x 10  x 30 )(1  x 30 )  (1  x )3 x (1  x 30  x 20  x 50  x 10  x 40  x 30  x 60 )  (1  x )3  x  x 13  x 23  x 43  x 53  x 63 (1  x )3 Đặt A(x )  x  x 13  x 23  x 43  x 53  x 63 ; B(x )  (1  x )3 Hệ số khác khơng có bậc nhỏ 30 A(x ) a  1; a13  1; a23  1 Trong B(x )    r r  C x  C rr2x r có hệ số   r  31 (1  x ) r 0 r 0 x r br  C rr2 Vậy hệ số x 30 khai triển hàm sinh G (x )  A(x )B(x ) a 3b27  a13b17  a23b7  1.C 2927  1.C 1917  1.C 97  199 Vậy có 199 cách chọn 30 huy chương để trao giải mà loại huy chương có huy chương lấy 63 Bài tốn 3.3.4 Có cách phân phối 25 bóng giống hệt vào bảy hộp riêng biệt cho hộp có khơng q 10 bóng số bóng tùy ý hộp sáu hộp lại Lời giải Hàm sinh cho số cách phân phối r bóng vào bảy hộp riêng biệt cho hộp có khơng q 10 bóng G ( x)      x  x  x   x 10  x  x  1  x 11   6 11           1  x      1  x    x 1  x  Đặt A(x )  1  x  11    , B(x )   1  x  Chúng ta có hệ số khác hàm số A(x ) a  1; a11  1       C rr6x r nên hệ số x r C rr6 Và B(x )   1  x  r 0 Vậy hệ số x 25 khai triển G (x ) 25 14 a 0b25  a11b14  C 31  C 20  697521 Vậy có 697521 cách phân phối 25 bóng giống hệt vào bảy hộp riêng biệt cho hộp có khơng q 10 bóng số bóng tùy ý hộp sáu hộp cịn lại Bài tốn 3.3.5 Cho r đồ vật Hỏi có cách phân phối r đồ vật khác vào n hộp cho hộp rỗng Lời giải Hàm sinh lũy thừa cho số cách phân phối r đồ vật n G ( x)   x2 x3  x       2! 3!  x   e 1 n  n   1 C ni e x i 0 n i i 64 n i r  r   n  i x   i      C n    r ! i 0  r 0  n 1 i r  n i i r x     (1) Cn (n  i)  r 0  i 0  r!  n Do ta có ar   (1)iCni (n  i) r i 0 Bài tốn 3.3.6 Có cách chia 12 bóng giống cho đứa trẻ để đứa nhận Lời giải Giả thiết cho đứa nhận bóng nên suy cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận … Vậy hàm sinh cho cách chia x  x  x  Áp dụng quy tắc xoắn ta tìm hàm sinh cho cách chia bóng cho đứa trẻ F (x )  x  x  x   Ta có F ( x)    x  x  x  x   x8 1  x    x  C 4kk 1x k k 0    C3k k x8 k k 0 65 Suy số cách chia 12 bóng hệ số x 12 khai triển F (x ) C 74  35 cách Bài toán 3.3.7 Giả sử có loại sách: Tốn, Lý, Hóa, Sinh Hỏi có cách chọn n sách thỏa mãn: sách xuất 10 lần Lời giải Hàm sinh cho số cách chọn sách cho loại sách xuất 10 lần x 10  x 11  x 12  Áp dụng quy tắc xoắn ta tìm hàm sinh cho cách chọn n sách từ loại sách     x 10 F (x )  x 10  x 11  x 12   x 40  x  x   1  x  Ta có F (x )  x 10 1  x  x 10  C k 0  x  C kk41x k 10 k k k  1 k 0 Suy số cách chọn n sách hệ số x n khai triển F (x ) C nn710 n  10 cách Bài toán 3.3.8 Có cách chọn k phần tử từ tập hợp có n phần tử, cho phép phần tử chọn nhiều lần Lời giải Chia tập hợp n phần tử thành hợp n tập Ai ,1  i  n ; tập gồm phần tử thuộc tập n phần tử Với tập Ai ta có cách chọn phần tử cách chọn phần tử cách chọn phần tử … 66 Suy hàm sinh cách chọn có lặp từ tập Ai  x  x  x   1x Áp dụng quy tắc xoắn, suy hàm sinh chọn có lặp phần tử từ tập hợp n phần tử F (x )  1 1  n 1x 1x 1x 1  x  Bây ta cần tính hệ số x k khai triển F ( x)  Áp dụng công thức khai triển Taylor cho hàm F ( x)  F ( x )  F (0)  Suy hệ số x k 1  x  1  x  n n ta có F '(0) F ''(0) F  k  (0) k x x   x  1! 2! k! F  k  (0)  Cnk k 1 k! Như số cách chọn k phần tử từ tập hợp có n phần tử C nk k 1 Bài tốn 3.3.9 Có cách xếp kệ sách có n sách gồm loại sách (Tốn, Lý, Hóa, Sinh) thỏa mãn điều kiện sau: a) Số sách Toán phải chẵn; b) Số sách Lý phải chia hết cho ; c) Chỉ nhiều sách Hóa; d) Chỉ nhiều sách Sinh Lời giải Hàm sinh cho cách chọn sách Toán A(x )   x  x   1x2 Hàm sinh cho cách chọn sách Lý B(x )   x  x 10   1x5 67 Hàm sinh cho cách chọn sách Hóa 1x5 C (x )   x  x  x  x  1x Hàm sinh cho cách chọn sách Sinh 1 x2 D(x )   x  1x Áp dụng quy tắc xoắn, suy hàm sinh cho cách xếp kệ sách F ( x)  A(x )B(x )C (x )D(x ) 1 1x5 1x2   1x2 1x5 1x 1 x 1  x    2x  3x  4x     n  1 x n n 0 Vậy có n  cách xếp kệ sách thỏa mãn điều kiện toán 3.4 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI BÀI TOÁN TỔNG HỢP Trong phần biết thêm số ứng dụng độc đáo khác hàm sinh thơng qua tốn áp dụng trình bày 3.4.1 Bài tốn áp dụng Bài tốn 3.4.1 Tìm số tất số có n chữ số lập từ chữ số 3, 4, 5, chia hết cho Lời giải Một số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Mỗi chữ số 3, 4, 5, Xét hàm sinh  G (x )  x  x  x  x  n  g  g1x  g 2x   g 6n x 6n Gọi số tất số có n chữ số lập từ chữ số 3, 4, 5, chia hết cho Sn Sn tổng hệ số số mũ chia hết cho 68 Gọi   e i bậc ba nguyên thủy phương trình x  , ta có 2     , suy G (1)  G ()  G (2 )  3g  (1    2 )g1  (1    2 )g  3g   g  g  g    3S n Vậy G (1)  G ()  G (2 ) n n n 1  1    1  2         2      4n  Bài toán 3.4.2 Cho số nguyên dương n Gọi  n số cách phân tích n Sn          thành tổng số tự nhiên lẻ,  n số cách phân tích n thành tổng số tự nhiên đôi khác Hãy chứng tỏ  n   n Lời giải Xét hàm sinh F ( x)   i,i lỴ 1  x  x i 2i   x3i  Hệ số x n khai triển F ( x)  n Xét hàm sinh G ( x)  1  x  1  x 1  x  Hệ số x n khai triển G ( x)  n Ta có F ( x)  1  x  x  x5  x2  x4  x6 1  G ( x)  3 1 x 1 x 1 x  x  x  x5 Do F ( x)  G ( x) hay  n   n , ta có điều phải chứng minh 69 Bài toán 3.4.3 Một dãy số thực a1 , a2 , , an gọi p - cân ta có tổng ak  ak  p  ak  p  với  k  p Chứng minh dãy có 50 phần tử p - cân với p 3,5,7,11,13,17 dãy gồm tồn số 50 Lời giải Xét hàm sinh F ( x)   xi 1 i 1 Theo giả thiết ta có, tất nghiệm phương trình x p 1  x p 2    với p  3,5,7,11,13,17 nghiệm F Tổng số nghiệm    10  12  16  50 , F đa thức bậc 49 có đến 50 nghiệm, suy tất hệ số F Bài toán 3.4.4 Cho p số nguyên tố lẻ n số nguyên dương không chia hết cho p Tính tất  x , x , , x  0,1, , n  1 p 1 p 1 p 1 cho  ix i chia hết cho p i 1 Lời giải Xét hàm sinh p 1  F ( x)    x i  x 2i   x  i 1 n 1i  Ta có F (1)  n p1 Đặt   cos 2 2  i sin p p   nij  ij   i 1 p 1 Khi đó, với  j  p  ta có F ( j )   Theo định lí 1.2 ta có số cần tính p 1 n p 1  p  j F (  )   p j 0 p 70 Bài toán 3.4.5 Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng cho khơng có đường đồng qui khơng có đường song song Hỏi mặt phẳng chia làm phần? Lời giải Gọi pn số lớn phần mặt phẳng có mặt phẳng chia n đường thẳng thỏa mãn điều kiện toán Hàm sinh cho dãy p1 , p2 ,  p ( x)   pi xi  p0  p1 x  p2 x  (3.4) i 0 Nhân hai vế (3.4) với x ta  x p ( x)   pi xi 1  xp0  p1 x  p2 x3  (3.5) i 0 Lấy (3.4) trừ (3.5) vế theo vế ta p ( x )  x p ( x)  p0   p1  p0  x   p2  p1  x  (3.6) Mặt khác ta có p0  1, pn  pn 1  n , ta thay vào (3.6) ta 1  x  p( x)   x  x  3x3    x 1  x  x     x Suy p ( x)  1  x  1  x 1 x 1  x  Khai triển lũy thừa vế phải ta  p( x)    x n  x. Cm2  x m n 0  m 0    x n   Cm2 2 x m1 n0  m0    x n  x. Cn21.x n n0  n 1     x   C x   1  Cn21  x n n n0 n n 1 n0 n0 71 Suy hệ số x n pn   Cn21   Vậy mặt phẳng chia thành n  n  1 n  n   2 n2  n  phần 3.4.2 Các toán tương tự Bài tốn 3.4.6 Có cách phân phối 10 bóng giống cho cậu bé bé cho cậu bé bóng bé hai bóng Bài tốn 3.4.7 Cơ Lan có 25 bơng hoa lọ hoa Hỏi Lan có cách phân phối 25 hoa vào lọ hoa cho lọ có hoa nhiều hoa Bài tốn 3.4.8 Hỏi có cách chọn 25 bóng gồm loại bóng, xanh, đỏ, trắng cho số bóng đỏ chọn nhiều , số bóng xanh chọn nhiều số bóng trắng chọn nhiều Bài toán 3.4.9 Một cậu bé cha tặng 30 viên bi làm đồ chơi Hỏi cậu bé có cách phân phối 30 viên bi vào hộp cho hai hộp đầu có chứa số chẵn viên bi số bi hộp khơng vượt q 10 viên, số bi hộp cịn lại có viên nhiều viên Bài tốn 3.4.10 Có cách sưu tầm 24 tem từ bạn nam bạn nữ Biết người có tem bạn nam có nhiều tem cịn bạn nữ có nhiều tem Bài tốn 3.4.11 Một đơn vị đội có n người lính xếp thẳng thành hàng Người sĩ quan phân chia người lính thành nhóm nhỏ để giao nhiệm vụ Hỏi sĩ quan có cách chọn nhóm để phân cơng trực đêm 72 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Trình bày số khái niệm hàm sinh phân hoạch tập hợp Nêu số tính chất, kết liên quan đến việc áp dụng hàm sinh vào giải tốn Trình bày việc áp dụng phương pháp hàm sinh để tìm số nghiệm phương trình nghiệm nguyên giải số dạng toán tổng hợp Thực chất việc áp dụng phương pháp hàm sinh để giải toán phân hoạch tập hợp Trình bày áp dụng phương pháp hàm sinh để giải số dạng toán dãy số (đặc biệt giới thiệu toán tiếng dãy số Catalan), tốn tính tổng tổ hợp, toán đếm tổ hợp số toán tổng hợp khác Kết luận văn có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chun ngành Phương pháp Tốn sơ cấp Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh bạn đọc quan tâm đến vấn đề 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trương Nhật Lý (2011), Bài toán đếm nâng cao tổ hợp ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Đà Nẵng, tr.05-07 [2] Ngô Thị Nhã – Nguyễn Văn Lợi (2015), “Các tốn tiếng dãy Catalan”, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, Tập (457), tr.28-31 Nguồn internet [3] Tổng hợp bồi dưỡng học sinh giỏi, địa truy cập: http://www.ebook.edu.vn/?page=1.36&view=13081 (03/5/2015), tr.33-47 [4] Tuyển tập chuyên đề tổ hợp, địa truy cập: https://sengsopheasith.files.wordpress.com/2013/09/tuye1bb83nte1baadp-cc3a1c-chuyc3aan-c491e1bb81-te1bb95-he1bba3pdie1bb85n-c491c3a0n-mathscope.pdf (03/5/2015), tr.53-99 [5] Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi vùng Tây Bắc”, Hội Toán học Hà Nội – Trường Đại học Tây Bắc, địa truy cập: http://www.mediafire.com/view/09bjk42313xeq4z/0Ky_yeu_SL_HC pdf (03/5/2015), tr.72-81 [6] Milan Novakovic (2007), Generating functions, Olympiad Training Materials, The IMO Compendium Group, link: https://uqu.edu.sa/files2/tiny_mce/plugins/filemanager/files/4041834/ genf_mn.pdf (03/5/2015) [7] Herbert S.Wilf (1994), Generatingfunctionology, Department of Mathematics University of Pennsylvania, Philadelphia, Pennsylvania, link: https://www.math.upenn.edu/~wilf/gfology2.pdf (03/5/2015) ... 43 3.2 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH TÍNH TỔNG TỔ HỢP 54 3.2.1 Phương pháp 54 3.2.2 Bài toán áp dụng 54 3.3 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TỔ HỢP... đại hàm sinh mà sơ cấp hóa nó, áp dụng phương pháp hàm sinh để giải số toán khó tốn phổ thơng 3 Phương pháp nghiên cứu Từ tài liệu sưu tầm được, luận văn đề cập ngắn gọn hàm sinh áp dụng phương. .. n khai triển hàm sinh 1 1 1x 1x3 1x5 1x7 38 CHƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP Chương trình bày áp dụng phương pháp hàm sinh để giải số dạng toán dãy số