Các phép biến hình trong giải toán hình học phổ thông

B GIÁO D C VÀ ðÀO T O ð I H C ðÀ N NG PHAN TH THANH PHƯ NG CÁC PHÉP BI N HÌNH TRONG GI I TỐN HÌNH H C PH THÔNG LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C ðà N ng – Năm 2014 B GIÁO D C VÀ ðÀO T O ð I H C ðÀ N NG PHAN TH THANH PHƯ NG CÁC PHÉP BI N HÌNH TRONG GI I TỐN HÌNH H C PH THƠNG CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ C P Mà S : 60.46.0113 LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Ngư i hư ng d n khoa h c: TS NGUY N NG C CHÂU ðà N ng – Năm 2014 B NG CÁC KÍ HI U ðƯ C DÙNG TRONG LU N VĂN ∆ ABC : Tam giác ABC (O; R) : ðư ng tròn tâm O, bán kính R (ABC) : ðư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC (O) : ðư ng trịn tâm O ABC : Góc ABC SABCD : Di n tích t giác ABCD AB : ð dài ñ i s c a vectơ AB f(M) = M’ : Phép bi n hình f bi n M thành M’ PM/(O) : Phương tích c a m M đ i v i đư ng trịn (O) a // b : ðư ng th ng a song song v i ñư ng th ng b a⊥b : ðư ng th ng a vng góc v i đư ng th ng b A↔B : Bi n ñi m A thành ñi m B ngư c l i L I CAM ðOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên c u c a riêng tơi Các s li u, k t qu nêu lu n văn trung th c chưa t ng ñư c cơng b b t kỳ cơng trình khác Tác gi lu n văn Phan Th Thanh Phư ng M CL C M ð U 1 Sơ lư c v l ch s Hình h c Lí ch n đ tài M c tiêu nhi m v nghiên c u ð i tư ng ph m vi nghiên c u Phương pháp nghiên c u C u trúc c a lu n văn CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BI N HÌNH TRONG HÌNH H C PH THƠNG 1.1 ð I CƯƠNG V PHÉP BI N HÌNH 1.1.1 Khái ni m phép bi n hình 1.1.2 M t s phép bi n hình chương trình hình h c ph thông…… 1.1.3 Tích c a hai phép bi n hình 1.2 PHÉP D I HÌNH 1.2.1 ð nh nghĩa tính ch t 1.2.2 M t s phép d i hình b n 1.3 PHÉP V" T# 14 1.3.1 ð nh nghĩa tính ch t 14 1.3.2 Tâm v t$ c a hai đư ng trịn 15 1.4 PHÉP ð%NG D NG 16 1.4.1 ð nh nghĩa tính ch t 17 1.4.2 M i quan h gi&a phép ñ'ng d ng, phép v t$ phép d i hình 17 1.5 PHÉP NGH"CH ð(O 18 CHƯƠNG 2: !NG D NG C"A PHÉP BI N HÌNH ð# GI I TỐN HÌNH H C SƠ C P 21 2.1 M)T S* D NG TỐN CĨ TH+ GI(I ðƯ,C B-NG CÁC PHÉP BI N HÌNH 21 2.1.1 D ng - Ch ng minh hai ño n th ng b.ng áp d ng 21 2.1.2 D ng - Ch ng minh góc b.ng 21 2.1.3 D ng - Ch ng minh ba ñi m th ng hàng 21 2.1.4 D ng - Ch ng minh ñư ng th ng ñ'ng quy 21 2.1.5 D ng – Các tốn v m c đ nh 22 2.1.6 D ng – Các toán c$c tr 22 2.1.7 D ng – D$ng hình 22 2.1.8 D ng – Tìm t p h p m 23 2.2 /NG D0NG C1A CÁC PHÉP D I HÌNH 23 2.2.1 Ch ng minh hai ño n th ng b.ng áp d ng 24 2.2.2 Các tốn th ng hàng, đư ng th ng ñ'ng quy, ñi m c ñ nh 29 2.2.3 C$c tr 33 2.2.4 D$ng hình 38 2.2.5 Tìm t p h p ñi m (qu2 tích) 42 2.3 /NG D0NG C1A PHÉP ð%NG D NG 49 2.3.1 Ch ng minh ba ñi m th ng hàng 49 2.3.2 Ch ng minh ñư ng th ng ñ'ng quy 53 2.3.3 Ch ng minh m t ñư ng th ng ñi qua m t ñi m c ñ nh 56 2.3.4 D$ng hình 59 2.3.5 Tìm t p h p m (qu2 tích) 62 2.4 /NG D0NG C1A PHÉP NGH"CH ð(O 69 2.4.1 Ch ng minh hai góc b.ng 69 2.4.2 Các toán v th ng hàng, ñi m c ñ nh 71 2.4.3 D$ng hình 74 2.4.4 Tìm t p h p m (qu2 tích) 78 K T LU N 82 Tài li$u tham kh%o 83 QUY T ð NH GIAO ð& TÀI LU N VĂN (B%n sao) M ð U Sơ lư c v l ch s Hình h c Cùng v i S h c, Hình h c m t hai nhánh lâu ñ i nh t c a l ch s phát tri n Tốn h c [23] Hình h c c ñi n t p trung ch y u vào vi c t o hình, bư c đ u phát tri n m nh m b i ngư i Ai c p c ñ i ngư i Babylon c đ i Th m chí h cịn bi t cơng th c Pythagore trư c Pythagore 1500 năm, hay có th tính b ng cơng th c m t cách xác th tích c a m t hình chóp Các thành t u ban đ u v sau ñã ñư c ghi chép lưu tr cho t i t n ngày Nh ng đóng góp l n lao có đư c cịn ph i k đ n cơng c a Thales, Pythagore Euclid Thales nghĩ ý tư ng tài tình đo chi u cao m t v t m t tr i chi u ch ch m t góc cho bóng dài b ng v t Tuy v y n u ño chi u cao Kim t tháp, lúc bóng dài v i v t bóng q dài, ơng ñã c i ti n b ng cách ño chi u cao d a t l bóng v i chi u dài th c c a m t v t, ch c n đo bóng ng n có th tính đư c chi u cao T! đó, ð nh lý Thales tr danh “Các ñư ng th#ng song song ch n nh ng ñư ng th#ng khác thành ño n th#ng tương ng t l ” ñã ñ i Sau Thales Pythagore, ngư i ñã ch ng minh ñư c cơng th c mang tên Chú ý r ng dù cơng th c tính bình phương c nh huy n c a m t tam giác vng có t! lâu ñ i Pythagore m i ngư i đ u tiên ch ng minh đư c cơng th c y ð n th k th III TCN, hình h c đư c cách m ng hóa b i nhà toán h c Hy L p Euclid Ơng t ng h p cơng trình c a nh ng ngư i ñi trư c tác ph%m “Nguyên lý” (có nơi d ch “Căn b n” ti ng Anh c a tác ph%m “Elements”, nghĩa “Các thành t ”) [22], h th ng l i toàn b ki n th c, ghi chép ñ nh lý ch ng minh, b sung ch ng minh thi u d a tiên đ mà tiên đ b n n i ti ng nh t mang tên ơng tiên đ Euclid: “Qua m t m ngồi m t đư ng th#ng, ch có th k& đư c nh t m t ñư ng th#ng song song v i ñư ng th#ng ñó” Tiên ñ ñ n v'n chưa ch ng minh đư c d a nó, m t h hình h c hồn ch nh đư c phát tri n, hình h c Euclid quen thu c sau Trong lo i hình h c này, Phép bi n hình m t ph n quan tr ng c a hình h c sơ c p, cơng c( đ c l c, hi u qu đ nghiên c u hình quan h hình h c Nó đóng vai trị giúp ta hi u rõ v Hình h c gi i quy t đư c nhi u tốn m t cách ñơn gi n so v i cách ti p c n thơng thư ng Lí ch n ñ tài Vi c d y h c Hình h c nói chung Phép bi n hình nói riêng ph thơng r t c n thi t, không ch cung c p cho h c sinh h th ng ki n th c, kĩ tốn h c mà cịn cịn rèn luy n cho h c sinh đ c tính, ph%m ch t c a m t ngư i có tính c%n th n, xác, có tính k lu t, tính sáng t o, c đư c b)i dư*ng óc th%m mĩ Hi n chương trình THPT, phép bi n hình đư c đưa vào gi ng d y hai kh i l p 11 12 ðây m t mơn h c hay khó tr!u tư ng ñ i v i h c sinh Chương trình đào t o sách giáo khoa hình h c có nêu m t vài ng d(ng c a phép bi n hình, nhiên v'n cịn r t ít, n a chưa đ nh hư ng rõ cách ti p c n vi c ng d(ng c a phép bi n hình gi i tốn hình h c Nh m tìm hi u đ h th ng m t tài li u tham kh o t t cho h c sinh ph thông h c phép bi n hình nh ng ng d(ng c a nó, tơi ch n đ tài lu n văn Th c sĩ c a là: “Các phép bi n hình gi i tốn hình h c ph thông” M c tiêu nhi m v nghiên c u - Các phép bi n hình hình h c nh ng tính ch t liên quan - H th ng phân lo i m t s l p toán gi i ñư c b ng phép bi n hình - Cách ti p c n quy trình gi i cho t!ng d ng toán ð i tư ng ph m vi nghiên c u - Các phép bi n hình chương trình hình h c ph thơng - Các l p tốn hình h c gi i ñư c b ng phép bi n hình - Quy trình v cách ti p c n vi c ng d(ng phép bi n hình đ gi i toán Phương pháp nghiên c u - Thu th p tài li u v phép bi n sách giáo khoa, sách giáo viên, tài li u chun đ v phép bi n hình, … - ð c, phân tích, t ng h p tài li u ñ h th ng phân lo i d ng tốn gi i đư c b ng phép bi n hình - Trao đ i, th o lu n, tham kh o ý ki n c a ngư i hư ng d'n ñ th c hi n ñ tài C u trúc c a lu n văn Ngồi ph n m đ u k t lu n, n i dung c a lu n văn ñư c chia thành hai chương: Chương 1: CÁC PHÉP BI,N HÌNH TRONG HÌNH H-C PH THƠNG Chương trình bày sơ lư t v phép bi n hình, phép d i hình, phép v t , phép ñ)ng d ng phép ngh ch ñ o, ñ làm s cho chương sau Chương 2: /NG D0NG C1A PHÉP BI,N HÌNH ð2 GI3I TỐN HÌNH H-C SƠ C5P Chương trình bày ng d(ng c a phép bi n hình đ gi i m t s l p tốn hình h c thu c chương trình Trung h c ph thơng 71 cho tam giác ABC không cân t i C G i H chân ñư ng cao k& t! C c a tam giác ABC V HE vng góc v i AC (E thu c AC), HF vng góc v i CB (F thu c CB) EF AB c t t i K D giao ñi m th hai c a đư ng trịn (O) đư ng trịn (C) đư ng kính CH Ch ng minh D, K, C th#ng hàng Gi i: Ta có : CH2 = CE.CA = CF.CB ð t k = CE CA Xét phép ngh ch ñ o I(C;k): E↔A ; H↔H ; F↔B ; (ABC) ↔EF ; (CEF) ↔AB M t khác, D giao m Hình 2.47 c a đư ng trịn (ABC) (CEF) K giao ñi m c a EF AB Suy D = I(C,k)(K) nên D, K, C th#ng hàng Bài tốn 47: [15] Ch ng minh r ng đ m t t giác l)i ABDC n i ti p m t đư ng trịn u ki n c n ñ là: AC.BD = AB.CD + AD.BC Gi i: ði u ki&n c n: Gi s ABCD n i ti p đư ng trịn (γ ) Phép ngh ch ñ o I ( A,1) bi n (γ ) thành m t ñư ng th#ng d nh c a ñi m B, C, D B’, C’, D’ Do B’, C’ D’ th#ng hàng n m d Ta có C’ thu c đo n B’D’, đó: B’C’ + C’D’ = B’D’ (*) Theo cơng th c tính đ dài đo n th#ng ta có : Hình 2.48 72 B 'C ' = BC CD BD , C 'D' = , B'D' = AB AC AD AC AB AD (**) Thay (**) vào (*) ta ñư c BC CD BD + = AB AC AD AC AB AD ⇔ AD.BC + CD AB = AC.BD ði u ki&n ñ : T! AD.BC + CD AB = AC.BD , ta suy BC CD BD + = ⇔ B ' C '+ C ' D ' = B ' D ' (***) AB AC AD AC AB AD ð#ng th c (***) ch ng t6 B’, C’, D’ th#ng hàng C’ n m gi a B’ D’ Vì B, C, D t o nh c a B’, C’, D’, B, C, D thu c đư ng trịn qua A M t khác tia AC n m góc BAD, AC ñư ng chéo c a m t t giác l)i ABCD Bài tốn 48: [7] Cho đư ng trịn (O ; R) m S n m ngồi đư ng trịn (O), AB đư ng kính thay ñ i a) Ch ng minh ñư ng tròn (SAB) ñi qua ñi m c ñ nh khác S b) SA, SB c t (O) l n lư t t i M, N Ch ng minh MN ñi qua ñi m c ñ nh Gi i: a) G i E giao ñi m c a SO ñư ng trịn (SAB) Ta có OA.OB = − R2 (vì AB đư ng kính c a đư ng trịn (O) ð i v i đư ng trịn (SAB), ta l i có: OA.OB = OS.OE Do OS.OE = − R2 Hình 2.49 73 Mà S, O c đ nh, R khơng đ i nên E m c ñ nh b) ð t k = PS/(O) Xét phép ngh ch đ o I(S,k) Ta có I(S,k) bi n đư ng trịn (O) thành đư ng trịn (O), bi n ñi m M thành ñi m A, bi n ñi m N thành ñi m B, bi n ñư ng th#ng MN thành ñư ng tròn (SAB) Mà E thu c (SAB) nên F = I(S,k)(E) thu c MN Do E c ñ nh nên F c ñ nh V y MN ln qua m c ñ nh F c) Bài toán ñ ngh : Cho đư ng trịn (O; R) m t m P c đ nh ngồi (O) G i AB m t đư ng kính thay đ i c a (O) Các ñư ng th#ng PA, PB c t (O) t i A’, B’ Ch ng minh r ng: a) T p h p đư ng trịn (PAB) làm thành m t chùm b) Tr(c ñ#ng phương c a hai đư ng trịn (O) (PA’B’) qua m t ñi m c ñ nh c) Ch ng minh đư ng trịn (PA’B’) qua m t m c đ nh Cho tam giác khơng cân ABC ðư ng tròn (C) tâm I n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i c nh BC, CA, AB theo th t t i A’, B’, C’ G i M giao ñi m c a B’C’ v i BC; N giao ñi m c a C’A’ v i CA; E giao ñi m c a A’B’ v i AB Ch ng minh r ng M, N, E th#ng hàng Cho ñi m S c ñ nh ñư ng trịn (O; R) M t cát n thay đ i qua S c t (O; R) t i M, N ðư ng trịn đư ng kính SM, SN l n lư t c t (O; R) t i M’, N’ Ch ng minh: a) đư ng trịn ngo i ti p tam giác SM’N’ ñi qua m t ñi m c ñ nh b) Giao ñi m c a MN M’N’ n m m t ñư ng th#ng c đ nh 2.4.3 D%ng hình a) ð nh hư6ng gi i: M t toán d ng hình đư c th c hi&n qua bư c: Phân tích – D ng 74 hình – Ch ng minh – Bi&n lu n C th sau: + Phân tích: Gi s hình (H) th*a u c u tốn đư c d ng T tính ch t c a hình (H) tính ch t hình h c khác c a phép ngh ch đ o t xác đ nh phép ngh ch đ o thích h p + D ng hình: T nh ng phân tích trên, ta s d ng phép ngh ch đ o đ xác đ nh tính ch t nh c a hình c n d ng ho c k t h p v i y u t t o nên hình c n d ng + Ch ng minh: Dùng phép ngh ch ñ o tính ch t hình h c khác ch ng minh hình đư c d ng th*a u c u toán + Bi&n lu n: Ki m tra xem tốn có hình d ng đư c th*a u c u tốn S hình d ng đư c đư c g i s nghi&m hình b) M t s toán minh h a: Bài toán 49: [15] Cho đư ng trịn (O1), (O2) ti p xúc ti p xúc m t ñư ng th#ng d Hãy d ng m t ñư ng tròn ñ)ng th i ti p xúc ñư ng tròn ñã cho ñư ng th#ng d Gi i: Hình 2.50 a) Trư ng h p ti p m c a hai đư ng trịn d khác Phân tích: Gi s (O) ñư ng tròn ph i d ng 75 Ta kí hi u A, B ti p m c a (O1), (O2) v i d Phép ngh ch ñ o I(A,k) v i k = AB2, bi n (O1) thành ñư ng th#ng d1 // d, (O2) thành (O2) ti p xúc v i (d1), d thành d (O) thành (O’) ti p xúc v i d, d1 (O2) Cách d ng: + D ng nh d1 c a (O1) phép ngh ch ñ o I(A,k), v i k = AB2 + D ng đư ng trịn (O’) ti p xúc v i d, d1 (O2) + D ng nh c a (O’) qua phép ngh ch ñ o I(A,k) nh đư ng trịn (O) c n d ng Ch ng minh: Vì d1 nh c a (O1) qua phép ngh ch ñ o I(A,k) v i k = AB2, suy d1 // d Phép ngh ch ñ o I(A,k) : d ↔ d; d1 ↔ (O1) ; (O2) ↔ (O2) Mà (O’) ti p xúc v i d, d1, (O2) nên (O) ti p xúc v i d, (O1) , (O2) Bi n lu n: Bài tốn có hai nghi m b) Trư ng h p hai ti p ñi m c a ñư ng tròn d trùng nhau: Trư ng h p tốn ln có nghi m có vơ s nghi m Bài tốn 50: [19] D ng ñư ng tròn ti p xúc v i ñư ng trịn (O) có tâm O, bán kính R cho trư c ñ)ng th i ti p xúc v i ñư ng th#ng d t i m t ñi m M cho trư c Gi i: Phân tích: Gi s ta ñã d ng ñư c ñư ng tròn (C) tâm I, bán kính R’ ti p xúc v i đư ng trịn (O) đ)ng th i ti p xúc v i ñư ng th#ng d t i M ð t k = PM/(O) Ta có phép ngh ch đ o tâm M, t s k bi n Hình 2.51 ñư ng tròn (O) thành ñư ng tròn (O), bi n ñư ng th#ng d thành ñư ng th#ng 76 d, bi n đư ng trịn (C) thành đư ng th#ng a khơng qua M Vì (C) ti p xúc v i (O) nên a ti p n c a (O) M t khác (C) ti p xúc v i d nên a // d Suy a ti p n c a (O) a // d T! ta suy cách d ng: + V ti p n a c a (O) th6a a // d Ta có a ti p xúc v i (O) t i A’ N i MA’ c t (O) t i A + V ñư ng tròn (C) qua A ti p xúc v i d t i M Ch ng minh: Phép ngh ch ñ o I(M,k) bi n (O) thành (O), bi n d thành d, bi n a thành (C) Vì a ti p n c a (O) a // d nên (C) ti p xúc v i ñư ng trịn (O) đ)ng th i ti p xúc v i ñư ng th#ng d t i M Bi n lu n: + N u (O) ti p xúc v i d M không ph i ti p m c a (O) d tốn có m t nghi m hình + N u (O) ti p xúc v i d t i M tốn có vơ s nghi m hình + N u (O) khơng ti p xúc v i d ta d ng ñư c hai ti p n c a (O) mà song song v i d, ta v đư c hai đư ng trịn (C) Do tốn có hai nghi m hình Bài tốn 51: [18] D ng đư ng trịn (C) qua hai ñi m A, B cho trư c ti p xúc v i đư ng trịn (O) cho trư c t i M Gi i: Phân tích: Gi s ta ñã d ng ñư c ñư ng tròn (C) th6a u c u tốn Hình 2.52 77 ð t k = PA/(O) Xét phép ngh ch ñ o I(A; k) : B↔B’; M↔ M’; (C) ↔d; (O) ↔(O) Vì (C) ti p xúc v i (O) t i M nên d ti p xúc v i (O) t i M’ Vì B thu c (C) nên B’ thu c d Cách d ng: + D ng cát n ACC’ v i (O) + D ng (BCC’) c t AB t i B’ + D ng ti p n B’M’ (M’ ti p ñi m), AM’ c t (O) t i M + ðư ng trịn (ABM) đư ng trịn c n d ng Ch ng minh: Xét phép ngh ch ñ o I(A; k): (O) ↔(O); M↔M’; B↔B’ ; (C) ↔B’M’; Do tính ch t c a phép ngh ch ñ o nên B’M’ ti p xúc v i (O) ñi qua B’, M’ Suy (C) ti p xúc v i (O) ñi qua A, B, M Bi n lu n: + Khi A, B thu c (O) : (C) (O) Bài tốn có nghi m hình + Khi A khơng thu c (O), B thu c (O) hay A thu c (O), B không thu c (O) Bài tốn có vơ s nghi m hình + Khi A, B ∉ (O): Các đư ng trịn c n d ng đư ng trịn ti p xúc ngồi (O) Bài tốn có nghi m hình c) Bài tốn đ ngh : Cho m A ba đư ng trịn (O1), (O2), (O3) ñi qua ñi m A D ng đư ng trịn ti p xúc v i c ba đư ng trịn Cho đư ng trịn (O), ñư ng th#ng d m t ñi m A không n m (O) d D ng ñư ng tròn (I) ñi qua A ñ)ng th i ti p xúc v i đư ng trịn (O) ñư ng th#ng d 78 Cho ñư ng trịn tâm O đư ng kính AB ti p xúc v i ñư ng th#ng d t i A m t m M đư ng trịn D ng đư ng trịn ti p xúc v i đư ng trịn (O) t i M đ)ng th i ti p xúc v i ñư ng th#ng d cho trư c 2.4.4 Tìm t p h p đi5m (qu7 tích) a) ð nh hư6ng gi i: ð tìm t p h p m t ñi m M b ng cách dùng phép ngh ch đ o, ta tìm phép ngh ch ñ o xác ñ nh bi n ñi m N di ñ ng thành ñi m M n u ta tìm đư c t p h p (H) c a m N t p h p ñi m M nh c a (H) phép ngh ch ñ o Khi dùng phép ngh ch đ o đ gi i tốn tìm t p h p m, ta c n n#m v ng ñ nh nghĩa phép ngh ch ñ o, phương tích c a m t m đ i v i m t đư ng trịn, h& th c lư ng tam giác, ñư ng trịn đ ch ng minh tích đ dài đ i s c p ño n th ng n m m t đư ng th ng khơng đ'i, tính ch t c a phép ngh ch đ o b) M t s toán minh h a: Bài tốn 52: [19] Cho ba m A, B, C th#ng hàng d ñư ng trung tr c c a ño n AB M t ñư ng trịn (O) thay đ i qua A, B c t d D E Các ñư ng th#ng CD CE c t đư ng trịn (O) t i D’ E’ Tìm t p h p m D’ E’ Gi i: Ta có: PC/(O) = CA.CB khơng đ i A, B, C ñi m c ñ nh ð t k = PC/(O) G i H giao ñi m c a d AB L y H’ ñư ng th#ng CH cho CH CH ' = k Do phép ngh ch đ o tâm C, phương tích k bi n đư ng th#ng d thành Hình 2.53 79 đư ng trịn đư ng kính CH’ (ta kí hi u đư ng trịn (C)) Ta có: CD.CD ' = CE.CE ' = k suy D’, E’ ph i n m (C) Vì d ñư ng th#ng c ñ nh nên (C) đư ng trịn c đ nh V y t p h p ñi m D’, E’ ñư ng trịn (C) Bài tốn 53: [7] Cho m t ñư ng tròn c ñ nh tâm O m t dây cung c ñ nh AB c a ñư ng trịn M t m M di đ ng đư ng trịn (O) G i M’ giao ñi m th hai c a ñư ng tròn qua M, l n lư t ti p xúc v i ñư ng th#ng AB t i A B Hãy tìm t p h p m M’ Gi i: G i (C) (C’) hai ñư ng tròn ñi qua M ti p xúc v i AB t i A B ðư ng th#ng MM’ tr(c ñ#ng phương c a (C) (C’) ph i ñi qua trung ñi m I c a đo n AB Ta có: IM IM ' = IA2 = IB ði m M’ nh c a M qua phép ngh ch ñ o tâm I t s k = IA2 = IB ði m M di đ ng đư ng trịn (O) Hình 2.54 nên m M’ di đ ng đư ng trịn (O’) nh c a (O) qua phép ngh ch đ o ðư ng trịn (O) qua hai ñi m A, B hai ñi m b t ñ ng c a phép ngh ch ñ o V y (O’) ñư ng tròn ñi qua ñi m A, B, M’ G i N giao ñi m c a MM’ ñư ng trịn (O) Khi IM IN = IA.IB = − IA2 , mà IM IM ' = IA2 nên IM ' = − IN hay I trung ñi m NM’ G i O1 ñi m ñ i x ng v i ñi m O qua ñư ng th#ng AB, ta suy t giác OM’O1N hình bình hành O1A = O1B = R Do đó, O1M’ = NO = R V y O1 tâm c a đư ng trịn (ABM’) T! suy O1 O’ 80 V y t p h p m M’ đư ng trịn (O’) ñ i x ng v i ñư ng tròn (O) qua AB Bài tốn 54: [18] Cho đư ng trịn (O) hai đư ng th#ng Ox, Oy vng góc v i Ti p n t i M thay ñ i (O) c t Ox, Oy l n lư t t i A, B Tr(c ñ#ng phương c a (O) (OAB) c t Ox, Oy l n lư t t i C, D Tìm qu< tích trung ñi m I c a CD Gi i: G i E, F giao ñi m c a (O) (OAB) Xét I(O,k ) , k = OM2, ta có: MO ↔ MO; (O) ↔ (O); E ↔ E ; F ↔ F; (OAB) ↔ EF Suy A ↔ C; B ↔ D ⇒ OA.OC = OM OB.OD = OM ⇒ MC ⊥ OA MD ⊥ OB Do đó, t giác MDOC hình ch nh t G i I trung m c a CD I trung ñi m c a MO V y qu< tích R m I đư ng trịn (O, ) Hình 2.55 c) Bài tốn đ ngh : Cho hai đư ng trịn tr c giao (O; R) (O’; R’) c t t i A B G i f phép ngh ch ñ o tâm O, t s k = R2 f ’ phép ngh ch ñ o tâm O’, t s k’ = R’2 M t ñi m M thay ñ i ñư ng th#ng AB, g i P = f(M), Q = f ’(M) Tìm t p h p ñi m P Q Cho hai đư ng trịn (O) (O’) có bán kính khác nhau, ti p xúc ngồi t i A M ñi m n m ti p n chung c a (O) (O') Ch ng minh r ng có hai đư ng trịn qua M ti p xúc v i (O) (O’) Hãy tìm qu< 81 tích giao m th hai c a hai đư ng trịn Cho đư ng trịn (O; R) ñi m O c ñ nh cho OI = 2R G i (O1 ; R1) (O2 ; R2) hai đư ng trịn thay đ i ñi qua O, ti p xúc v i (O) tr c giao v i nhau, M giao ñi m th hai c a (O1 ; R1) (O2 ; R2) Tìm t p h p m M 82 K T LU8N Sau m t th i gian thu th p tài li u, phân tích, nghiên c u ñ th c hi n ñ tài, lu n văn “Các phép bi n hình gi i tốn hình h c ph thơng” đ t ñư c m(c ñích ñ C( th là: 1) T ng quan ng n g n, có h th ng phép bi n hình hình h c ph thơng 2) /ng d(ng phép bi n hình ñ gi i m t s l p toán hình h c Ch#ng h n: ch ng minh hai ño n th#ng b ng nhau, hai góc b ng nhau; ch ng minh ba ñi m th#ng hàng, ñư ng th#ng ñ)ng quy; tìm ñi m c ñ nh, tìm qu< tích; gi i tốn d ng hình, tốn c c tr hình h c,… ð i v i m7i d ng tốn đ u có đ nh hư ng gi i, thí d( minh h a ph n tốn đ ngh Hy v ng r ng n i dung c a lu n văn cịn ti p t(c đư c hoàn thi n m r ng n a nh m kh#ng đ nh tính hi u qu c a phép bi n hình gi i tốn hình h c 83 Tài li u tham kh o: Ti ng Vi t [1] Tr n Ng c ?n, ðoàn Văn Phi Long (1973), Phương pháp gi i tốn hình h c gi i tích, Nhà xu t b n Thành ph H) Chí Minh [2] Hà Văn Chương (2000), Tuy n ch n 347 tốn hình h c 10, Nhà xu t b n Thành ph H) Chí Minh [3] Văn Như Cương, Ph m Kh c Ban, T Mân (2008), Bài t p Hình h c 11 nâng cao, Nhà xu t b n Giáo d(c [4] Nguy;n Ti n Di p, Bài t p v phép bi n hình, www.VIETMATHS.com [5] Nguy;n ð c ð)ng (2001), Tuy n t p 500 tốn hình khơng gian ch n l c, Nhà xu t b n Thanh Hóa [6] Nguy;n Th Thu Hà (2010), ng d ng c a phép t nh ti n phép quay m t ph ng vào vi&c gi i tốn hình h c c p s , Tuy n t p Báo cáo H i ngh Sinh viên Nghiên c u Khoa h c l n th 7, ð i h c ðà N@ng [7] Nguy;n M ng Hy(2004), Các phép bi n hình m t ph ng, Nhà xu t b n Giáo d(c [8] Tr n Văn H o, Nguy;n M ng Hy, Khu Qu c Anh, Nguy;n Hà Khanh, Phan Văn Vi n (2011), Hình h c 11, Nhà xu t b n Giáo d(c Vi t Nam [9] Nguy;n M ng Hy (2007), Bài t p hình h c 11, Nhà xu t b n Giáo d(c [10] Võ Th H)ng Lam (2007), ng d ng phép bi n hình vào vi&c gi i tốn hình h c sơ c p thu c chương trình THPT, Lu n văn th c sĩ khoa h c, ð i h c ðà N@ng 84 [11] Tr n Thành Minh, Tr n Quang Nghĩa, Nguy;n Ái Qu c, Nguy;n Anh Trư ng (1998), Gi i tốn hình h c 10, Nhà xu t b n Giáo d(c [12] Hoàng Th H i Phương (2013), Các phép bi n ñ'i ñ ng d ng ng d ng vào gi i toán sơ c p, Lu n văn th c sĩ khoa h c, ð i h c ðà N@ng [13] Phan Th Thanh Phư ng (2011), Giáo án Hình h c 11, lưu hành n i b , Trư ng THPT Lê H)ng Phong, Qu ng Nam [14] ðoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Ph m Kh c Ban, T Mân (2007), Hình h c 11 nâng cao, Nhà Xu t b n Giáo d(c [15] ð7 Thanh Sơn (2006), Phép bi n hình m t ph ng, Nhà xu t b n Giáo d(c [16] Tr n Văn T n (2001), Bài t p nâng cao m t s chuyên ñ hình h c 11, Nhà sách Giáo d(c [17] Tr nh Th Thanh, Vài liên h& gi a hình h c ph ng hình h c khơng gian, Chun ñ lưu hành n i b , Trư ng THPT Lê Quý ðôn, ðà N@ng [18] Mai Th Anh Thư, Ph m Quang Nh t, Lê Thành ð t, Phép ngh ch đ o – ng d ng hình h c, www.MATHVN.com [19] Lê ðoan Thy (2007), ng d ng phép ngh ch ñ o m t ph ng đ gi i m t s tốn ch ng minh, tìm qu+ tích d ng hình, Lu n văn t t nghi p ð i h c, ð i h c ðà N@ng [20] Nguy;n Minh Ti n, Phép d i hình phép đ ng d ng m t ph ng, Chuyên ñ lưu hành n i b , Trư ng THPT Tôn ð c Th ng, ð)ng Nai 85 [21] Lê Bá Khánh Trình (2012), Hình h c tĩnh đ ng, Thơng tin Toán h c s – H i Toán h c Vi t Nam Ti ng Anh [22] John Casey, Daniel Callahan (2013), Euclid’s Elements Redux, Houghton Mifflin Company [23] Howard Eves (1990), An Introduction to the History of Mathematics, Holt, Rinehart and Winston [24] I.M Yaglom (1962), Geometric transformations I, Yale Unversity, Random House Inc., New York [25] I.M Yaglom (1968), Geometric transformations II, Yale Unversity, Random House Inc., New York ... f phép bi n hình đ)ng nh t ð nh lý 1.1 [7] Tích c a hai phép d i hình m t phép d i hình H qu 1.1 [7] Tích c a n phép d i hình m t phép d i hình Tích c a m t phép d i hình phép đ o ngư c c a phép. .. CÁC PHÉP BI,N HÌNH TRONG HÌNH H-C PH THƠNG Chương trình bày sơ lư t v phép bi n hình, phép d i hình, phép v t , phép ñ)ng d ng phép ngh ch ñ o, ñ làm s cho chương sau Chương 2: /NG D0NG C1A PHÉP... 1: CÁC PHÉP BI N HÌNH TRONG HÌNH H C PH THƠNG 1.1 ð I CƯƠNG V PHÉP BI N HÌNH 1.1.1 Khái ni m phép bi n hình 1.1.2 M t s phép bi n hình chương trình hình h c ph thông? ??…