ỨNG DỤNG TÍNH BẢO GIÁC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT CHUN LÊ THÁNH TƠNG ‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒ ỨNG DỤNG TÍNH BẢO GIÁC CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYỄN VĂN THỜI Hội An, tháng 07/2018 MỤC LỤC Phần I Đặt vấn đề…………………………………………………………………………… Lý chọn đề tài……………………………………………………………………… Mục đích nghiên cứu………………………………………………………… 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng khách thể nghiên cứu …………………………………………… Phạm vi nghiên cứu…………………………………………………………………… Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………………… Cấu trúc chuyên đề Phần II Nội dung……………………………………………………………… II.A Lý thuyết A.1 Các định nghĩa góc đường A.II Phép nghịch đảo A.II.1 Định nghĩa A.II.2 Các tính chất A.II.3 Các kết thường dùng 11 B Ứng dụng tính bảo giác giải tốn hình học 12 B.1 Chứng minh tiếp xúc - cố định 12 B.2 Chứng minh vng góc trực giao 16 B.3 Quỹ tích 21 B.4 Dựng hình 27 B.5 Một số tốn khác có sử dụng tính bảo giác 32 C Bài ập áp dụng 41 Phần III Hướng phát triển đề tài ………………………………………… 43 Phần IV Kết luận……………………………………………………………………… 44 Tài liệu tham khảo…………………………………… 45 Đề tài đạt giải Nhì hội thi Duyên Hải đồng Bắc năm 2018 ỨNG DỤNG TÍNH BẢO GIÁC TRONG PHÉP NGHỊCH ĐẢO Phần ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng, Hình học phân mơn hấp dẫn, chiếm dung lượng lớn thời gian học tập học sinh Trong chương trình chun tốn, học sinh tiếp thu lĩnh hội nhiều kiến thức hay, nhiều công cụ mạnh để tiếp cận toán Các phép biến vũ khí lợi hại để giải tốn cách đẹp Mỗi phép biến hình có tính chất đặc trưng riêng, ưu riêng giải tốn Các phép dời hình có chung tính chất đẳng cự, phép đồng dạng bảo tồn tỉ số khoảng cách, riêng phép nghịch đảo làm thay đổi mơ hình tốn đặc biệt bảo tồn góc (bảo giác) đường thẳng, đường tròn đường thẳng đường tròn Chính tính chất bảo giác đặc biệt mà ứng dụng giải nhiều tốn có lời giải đẹp ngắn gọn Phép nghịch đảo làm thay đổi mơ hình tốn, thay giải tốn mơ hình ta giải mơ hình dễ dàng Do tơi nghiên cứu ứng dụng tính bảo giác phép nghịch đảo để giải số tốn hình học trường chun Mục đích nghiên cứu Bài viết “ Ứng dụng tính bảo giác phép nghịch đảo để giải tốn hình học” kinh nghiệm tích lũy q trình giảng dạy.Một số tốn hình học kỳ thi học sinh giỏi tỉnh, thi Olympic, thi học sinh giỏi quốc gia giải phép nghịch đảo gọn đẹp nhờ tính bảo giác nó.Bài viết nhằm chia sẻ với quý thầy cô tham khảo thêm giúp học sinh có thêm tư liệu trình học tập Nội dung viết khơng tránh khỏi sai sót, mong đóng góp đồng nghiệp, quý phụ huynh em học sinh để viết hoàn chỉnh Nhiệm vụ nghiên cứu Nhằm củng cố số công cụ giải tốn hình học cho học sinh chun tốn nhà trường năm qua Bài viết góp phần nâng cao phát triển tư cho học sinh chuyên toán chuẩn bị tham dự kỳ thi học sinh giỏi tỉnh, thi Olympic khu vực thi học sinh giỏi quốc gia Đối tượng khách thể nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu học sinh lớp 10;11;12 chuyên Toán năm qua Đặc biệt đội tuyển dự thi Olympic khu vực thi học sinh giỏi quốc gia Ngoài ra, viết tài liệu tham khảo cho học sinh đồng nghiệp trường Phạm vi nghiên cứu - Về kiến thức dựa kiến thức chương trình hình học Bộ giáo dục cho trường chuyên - Bài viết sâu khai thác tính chất bảo giác phép nghịch đảo ứng dụng giải tốn Bài viết khơng khai thác hết tính chất phép nghịch đảo ứng dụng - Về nội dung giới hạn chương trình chun tốn, phù hợp với đối tượng học sinh đội tuyển Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp trao đổi với đồng nghiệp, bạn bè, sinh viên Toán đặc biệt học sinh chuyên Toán đội tuyển - Phương pháp nghiên cứu lý luận từ tài liệu sách vở, từ tạp chí internet Nghiên cứu kiến thức hổ trợ liên quan đến phép nghịch đảo - Phương pháp tổng hợp, phân loại khái quát hóa vấn đề Cấu trúc chuyên đề Gồm ba phần: - Phần đặt vấn đề - Phần tóm tắt nội dung lý thuyết khái niệm liên quan - Phần phân dạng tập Bài tập tự luyện - Phần hướng phát triển đề tài kết luận PHẦN II NỘI DUNG A LÝ THUYẾT A.I Các định nghĩa góc đường A.I.1 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d d’ Nếu d // d’ d º d ' góc d d’ 00, ký hiệu (d;d’) = 00 Nếu d cắt d’ góc d d’ có số đo số đo góc nhỏ góc tạo thành Như góc hai đường thẳng có số đo thuộc đoạn [00; 900] A.I.2 Góc đường thẳng đường trịn Nếu đường thẳng d khơng cắt tiếp xúc với đường trịn (O) góc chúng Nếu dường thẳng d cắt (O) hai điểm phân biệt A;B góc tiếp tuyến D A ( B) đường thẳng d góc đường thẳng d đường tròn (O) Ký hiệu: (d; (O)) = (d; D) Đặc biệt d qua tâm O đường trịn góc d (O) 900 Khi ta nói đường thẳng d trực giao với đường trịn d A A d B O O (c) (b) (a) d O Hình A.I.3 Góc hai đường trịn Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B, góc hai tiếp tuyến A ( B) hai đường tròn góc hai đường trịn Ký hiệu: ((O);(O’)) ta có ( ( O ) ; ( O’) ) = ( D '; D ) Nếu hai đường tròn tiếp xúc góc hai đường trịn 00 Đặc biệt góc hai đường trịn 900 ta nói hai đường trịn trực giao Lúc tam giác OAO’ vng A ' ' O A A O' O O B (a) (b) (c) Hình A.II Phép nghịch đảo O' O' A.II.1 Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho trước điểm O số thực k khác 0, ta cho tương ứng điểm M (khác điểm O) với điểm M’ nằm đường thẳng OM cho OM.OM' = k , phép tương ứng gọi phép nghịch đảo cực O phương tích k (hay tỉ số k ) N( ) Ta ký hiệu N( O;k ) : M a M ' , hay NOk : M a M ' hay M ¾¾¾ ®M' O;k Điểm M’ gọi ảnh điểm M ta viết N( O;k ) (M) = M' A.II.2 Các tính chất Tính chất Phép nghịch đảo có tính đối hợp Nghĩa có N( O;k ) : M a M ' ta có: N( O;k ) : M' a M nên M’ gọi điểm đối hợp (hay đối ứng) điểm M Do có tính đối hợp nên ta viết N( O;k ) : M « M ' Ta có N(O,k)oN(O,k)(M) = M nên (N( O;k ) )2 phép đồng Tính chất Duy cực điểm O khơng có ảnh qua phép nghịch đảo Khi M dần đến O điểm M’ dần vơ cực ( ¥ ), ta bổ sung thêm điểm “vô cực” ta quy ước điểm “vô cực” ảnh tạo ảnh cực O qua phép nghịch đảo cực O phương tích k Mặt phẳng bổ sung thêm điểm “vô cực”gọi mặt phẳng mở rộng Trong mặt phẳng mở rộng, phép nghịch đảo song ánh Khi phép nghịch đảo phép biến hình Tính chất Khi k < hai điểm M M’ khác phía với điểm O Khi k > hai điểm M M’ phía với điểm O Tập hợp điểm bất động phép nghịch đảo N( O;k ) với k > đường trịn tâm O bán kính r = k , đường tròn gọi đường tròn nghịch đảo Khi k > điểm M nằm đường trịn O; k điểm M’ nằm ngồi O; k (và ( ) ( ) ngược lại) nên hai điểm M M’ xem hai điểm đối xứng qua đường tròn nghịch đảo O; k ( ) M' M O Hình Tính chất Trong phép nghịch đảo N( O;k ) với k > , hai điểm M M’ đối hợp ( ) đường trịn qua hai điểm M;M’ trực giao với đường tròn nghịch đảo O; k Chứng minh Gọi (O’) đường tròn qua hai điểm M,M’, gọi T giao điểm (O) (O’) ( ln xảy hai điểm M, M’ nằm (O)) Gọi P’ giao điểm thứ hai OP với (O’) Ta có OP.OP' = OM.OM' = k = OP , suy P trùng với P’ Khi OP tiếp tuyến (O’) hay (O) (O’) trực giao N' P=P' N O' O M M' O'' Hình Nhận xét: - Qua O ta vẽ đường thẳng cắt (O’) hai điểm N,N’ N N’ ảnh qua phép nghịch đảo N ( O;k ) Do đường trịn (O’) không thay đổi qua phép N( O;k ) Ta đến kết luận: Phép nghịch đảo N ( O;k ) biến đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo thành - Nếu có hai đường tròn (O’) (O’’) trực giao với đường tròn O; k , giả sử chúng ( ) cắt M M’ M M’ ảnh qua phép N( O;k ) Tính chất Ảnh đoạn thẳng qua phép nghịch đảo nói chung khơng phải đoạn thẳng Nhưng ta có công thức khoảng cách hai điểm sau: Nếu A’ B’ ảnh A B qua phép nghịch đảo N( O;k ) A'B' = |k| AB OA.OB Chứng minh - Nếu O, A, B thằng hàng : OA.OA ' = OB.OB' Û (OB + BA)(OB' + B'A ') = OB.OB' ( ) Û OB.B'A ' + OB'.BA + BA.B'A ' = Û B'A ' OB + BA = OB'.AB Û A 'B' = - OB'.AB OB.OB' k k =AB = AB Þ A 'B' = AB OA.OB OA OA.OB OA.OB - Nếu O, A, B không thằng hàng OA.OA ' = OB.OB' = k nên A,A’,B,B’ đồng viên Þ DOAB : DOB'A ' Þ k A 'B' OA ' OA ' OA.OA ' = Þ A 'B' = AB = AB = AB AB OB OB OA.OB OA.OB Chú ý Khẳng định : N( O;k ) : AB « A'B' sai Tính chất Trong mặt phẳng mở rộng phép nghịch đảo cực O phương tích k biến : a) Đường thẳng qua cực nghịch đảo thành đường thẳng b) Đường thẳng khơng qua cực thành đường tròn qua cực Chứng minh a) Giả sử d đường thẳng qua cực O phép nghịch đảo N (O;k) uuuur uuuur Gọi M điểm nằm d, gọi M’ ảnh M qua phép nghịch đảo trên, ta có OM.OM' = k suy O;M;M’ thẳng hàng, M’ thuộc d Vậy N (O;k) : d « d b) Giả sử d đường thẳng không qua cực O, gọi H hình chiếu điểm O lên đường thẳng d, qua phép nghịch đảo cực O phương tích k điểm H biến thành điểm H’ biến điểm M d thành điểm M’ Ta có OH.OH' = OM.OM' = k suy điểm H;H’;M; M’ đồng viên · = OM'H' · = 900 Chứng tỏ điểm M’ nằm đường tròn đường kính OH’ Do OHM Nên M di động d quỹ tích điểm M’ đường trịn đường kính OH’ Vậy phép nghịch đảo biến đường thẳng khơng qua cực thành đường trịn qua cực H' O k>0 k điểm B xác định, gọi M điểm đường tròn (C), gọi M’ ảnh M qua N (O;k) Ta có OA.OB = OM.OM' = k , suy điểm A;B;M;M’ đồng viên · = OMA · = 900 , chứng tỏ M’ di động đường thẳng qua B vng Khi OBM' góc với OA Vậy qua phép nghịch đảo biến đường tròn qua cực thành đường thẳng khơng qua cực vng góc với đường thẳng qua cực tâm đường tròn b) Xét phép nghịch đảo cực O phương tích k đường tròn (O1) Điểm M (O1), vẽ cát tuyến OMN, gọi p = OM.ON phương tích điểm O đường tròn (O1), đường trịn (O1) khơng đổi qua phép nghịch đảo N (O; p ) Gọi M’ ảnh điểm M qua phép nghịch đảo N (O;k ) ta có OM.OM' = k Suy M’ qua phép vị tự ( V k ( O; ) p ) tâm O tỉ số OM' k = chứng tỏ N ảnh ON p k p Đảo lại M’ ảnh N qua phép vị tự tâm O tỉ số k OM' k , ta có = , suy ra: p ON p OM'.OM k = Do OM.OM' = k Tức M’ ảnh M qua phép nghịch đảo N (O;k ) ON.OM p Ta có ảnh đường trịn (O1) đường tròn (O2) qua phép nghịch đảo N (O;k ) , (O2) ảnh (O1) qua phép vị tự ( V k ( O; ) p )tâm O tỉ số k p Tính chất (tính bảo giác) Phép nghịch đảo bảo tồn góc hai đường thẳng, góc đường thẳng đường trịn bảo tồn góc hai đường trịn Chứng minh a/ Bảo tồn góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d d’, phép nghịch đảo N (O;k ) ta có trường hợp sau: d1 (C) d (C') d' d' d' d1 d (C') (b) (a) hình7 + Nếu d d’ cắt cực O góc khơng đổi + Nếu cực O thuộc d d’ khơng qua O ảnh d´ đường trịn (C’)qua cực O, tiếp tuyến O song song với d’ nên (d ; d’) = (d ; (C’)) (hình 7a) + Nếu d d’ khơng qua cực O ảnh chúng hai đường tròn (C) (C’) qua cực O, tiếp tuyến (C) (C’) song song với d d’ Do góc d d’ góc hai đường trịn (hình 7b) b/ Bảo tồn góc hai đường trịn Cho hai đường tròn (C) (C’), xét phép nghịch đảo N (O;k ) Ta có trường hợp sau: + Nếu hai đường tròn (C) (C’) qua cực O ảnh chúng đường thẳng d d’ song song với tiếp tuyến O hai đường tròn (C) (C’) Nên góc hai đường trịn (C) (C’) góc hai đường thẳng d d’ + Nếu hai đường trịn (C) (C’) khơng qua cực O Ta chứng minh bổ đề sau: Phép nghịch đảo N (O;k ) biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) với hai điểm A A’ tương ứng hai đường trịn đó, tiếp tuyến A A’ hai đường tròn đối xứng qua đoạn AA’ t' t A A' O M' (C') M C1 (C) hình8 Giả sử M M’ hai điểm tương ứng hai đường tròn (C) (C’), Ta có OM.OM' = OA.OA' = k nên điểm A;A’;M;M’ đồng viên đường tròn (C1) Trên (C) ta cho M dần tiến đến A M’ (C’) dần tiến đến A’ Do MA M’A’ biến thành tiếp tuyến t t’ (C) (C’) tương ứng, (C1) biến thành (C1’) tiếp xúc với (C) (C’) A A’ Rõ ràng t t’ tiếp tuyến (C1’) A A’ Suy t t’ đối xứng qua trung trực đoạn AA’ (đpcm) Trở lại tính chất Giả sử hai đường tròn (C) (C’) cắt A, qua phép nghịch đảo N (O;k ) biến thành (C1) (C1’) cắt A’= N (O;k ) (A) Gọi d1 d2 tiếp tuyến A (C) (C’), gọi d1’ d2’ tiếp tuyến A’ (C1) (C1’), theo bổ đề ta có cặp d1, d1’ d2; d2’ đối xứng qua trung trực đoạn AA’ Theo tính chất đối xứng ta có: số đo (d1;d2) số đo (d1’;d2’) ( chúng ngược hướng nhau) Vây phép nghịch đảo bảo tồn góc hai đường trịn d2 d1 (C') d' d' A C' (C) A' O C1 hìn h9 c/ Bảo tồn góc đường thẳng đường tròn Cho đường thẳng d đường tròn (C) tâm I, với phép nghịch đảo N (O;k ) ta có trường hợp sau: 10 N( A;k ) : B « C ( BC ) « ( BC ) ( AC ) « Bx ( AB ) « Cy PA/(BC) = AB.AC Khi N( A;k ) : E' « E AE.AE' = AB.AC F' « F AF.AF' = AB.AC D' « D AD.AD' = AB.AC Suy N (A,k ) : (D'E'F') « (DEF) hay (O ') « (O) Ta có O’F’ = d(O’;Bx), O’D’ = d(O’;Cy) IO’ = BC nên đường tròn (O'; BC ) tiếp xúc với Bx, Cy (BC) F’; D’ E’ Suy đường tròn (O) tiếp xúc với (AC),(AB) (BC) F;D;E Biện luận Ta dựng Bx;Cy dựng đường trịn (O'; BC ), nên có ba điểm F’,D’,E’ Vậy có nghiệm hình thỏa đề Lời bàn Rõ ràng ta biết tồn đường tròn tiếp xúc với nửa đường trịn đó, nêu cách dựng cách xác ta thiếu sở lý luận.Cách dựng nhờ tính chất phép nghịch đảo đơn giản không phần thú vị! Bài B.4.2 Cho đường trịn (O) đường thẳng d khơng cắt Từ điểm A cho trước nằm (O) d dựng đường tròn (C) qua điểm A tiếp xúc với d trực giao với (O) Bài giải Phân tích: Giả sử dựng đường trịn (C) thỏa mãn yêu cầu toán Ta xét phép nghịch đảo cực A phương tích k = PA/( O ) Ta có N (A;k) :(O) « (O) d « (Td ) k = PA/( O ) (Td ) qua A (C) « D Khi đường trịn (C) biến thành đường thẳng D Do tính bảo giác phép nghịch đảo nên D tiếp xúc với (Td) trực giao với (O) Gọi M’ tiếp điểm D với đường tròn (Td), gọi M giao điểm AM’ với d M điểm nghịch đảo M’ qua phép nghịch đảo Như đường tròn (C) qua A tiếp xúc với d M, đường tròn dựng Cách dựng: + Qua A dựng đường thẳng xy vng góc với d H, dựng điểm H’ cho AH.AH' = k = PA/(O) + Dựng đường trịn đường kính AH’ ( đường trịn (Td)) + Qua O dựng đường thẳng D tiếp xúc với (Td) tiếp điểm M’ + Gọi M giao điểm AM’ với d + Dựng trung trực đoạn AM, dựng đường thẳng qua M vng góc d , gọi I giao điểm hai đường + Dựng đường tròn tâm I bán kính IA, đường trịn (C) cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng 29 N (A;k) : H « H ' d « (Td ) (Td ) qua A Tiếp tuyến OM’ với đường trịn (Td) M’ Ta có tứ giác HMM’H’ nội tiếp nên AH.AH' = AM.AM' chứng tỏ M M’ đối ứng qua phép nghịch đảo cực A phương tích k Td H' H A M I M' (C) HÌnh 28 d O Suy đường thẳng OM’ biến thành đường tròn (C) qua A,M tiếp xúc với d Đường thẳng OM’ qua tâm O nên trực giao với (O) (C) trực giao với (O) thỏa đề Biện luận: Qua O có hai tiếp tuyến đến đường trịn (Td) nên tốn có hai nghiệm hình Bài B.4.3 Cho hai điểm A B nằm ngồi đường trịn (O) cho trước Hãy dựng đường tròn (T) qua hai điểm A,B tiếp xúc với (O) Bài giải Phân tích Gải sử dựng đường trịn (T) thỏa u cầu tốn Ta xét phép nghịch đảo cực A phương tích k = PA/(O ) Khi đường trịn (O) bất biến , điểm B thành điểm B’ thỏa AB.AB' = k nên điểm B’ xác định Đường tròn (T) qua cực A nên biến thành đường thẳng d Do tính bảo giác phép nghịch đảo nên d phải tiếp xúc với (O) d phải qua B’ Như d tiếp tuyến (O) vẽ từ B’ hoàn toàn xác định Bài toán dựng Cách dựng 30 C D A T1 O K' B K B' hình 29 + Dựng điểm B’ cho AB.AB' = k ta dựng cách vẽ cát tuyến ACD đến (O), đường tròn qua B,C,D cắt đường thẳng AB B’ + Qua B’ dựng tiếp tuyến B’K với đường tròn (O) dựng + Gọi K’ giao điểm AK với (O) ( K’ khác K) + Dựng đường tròn tâm T1 qua ba điểm A;B K’ đường tròn cần dựng Chứng minh Qua cách dựng ta có N( A;k ) : B « B' K' « K Do tiếp tuyến B’K biến thành đường tròn (ABK’) B’K tiếp xúc với (O) K nên đường tròn (ABK’) tiếp xúc (O) K’ thỏa yêu cầu đề Biện luận Qua B’ dựng hai tiếp tuyến đến (O) nên tốn có hai nghiệm hình Bài B.4.4 Cho đường thẳng d đường trịn (O) khơng cắt d Dựng đường trịn (T) tiếp xúc với đường thẳng d điểm A cho trước d đồng thời tiếp xúc với đường trịn (O) Bài giải + Phân tích: 31 T2 J2 M1 D1 T1 D2 M'1 J1 M'2 M2 d A hìn h 30 Giả sử dựng đường trịn (T) thỏa mãn yêu cầu toán, (T) tiếp xúc với (O) M Ta xét phép nghịch đảo cực A phương tích k = PA/(O ) Khi đường tròn (O) đường thẳng d bất biến, đường trịn (T) biến thành đường thẳng D Do tính bảo giác phép nghịch đảo nên: ( (O);D ) = ( ( O ) ;(T) ) = 00 ( d ; D ) = ( d ; (T) ) = 00 Chứng tỏ D tiếp xúc với (O) đồng thời song song với d Như đường thẳng D hồn tồn xác định, nên dựng đường trịn thỏa mãn đề Cách dựng: + Dựng tiếp tuyến D (O) song song với d Gọi M tiếp điểm D với (O), đường thẳng AM cắt (O) M’ +Qua A dựng đường thẳng vng góc với d cắt đường thăng OM’ J + Dựng đường trịn (T) tâm J bán kính JA đường tròn cần dựng Chứng minh: Xét phép nghịch đảo cực A phương tích k = PA/( O ) Ta có N( A;k ) : (O) « (O) d «d M' « M Do ΔOMM' : ΔJAM ' nên ΔJAM ' cân J JA =JM’, tức M’ nằm (T) đồng thời (T) tiếp xúc với (O) Chứng tỏ (T) tiếp xúc với (O) d A Biện luận: Ta có hai tiếp tuyến D1 D2 (O) song song với d Do ta dựng hai đường trịn thỏa mãn đề Nhận xét: Rõ ràng tính bảo giác phép nghịch đảo đóng vai trị lớn tốn dựng hình có yếu tố tiếp xúc, trực giao.Ta có sở để vẽ hình xác B.5 MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC CĨ SỬ DỤNG TÍNH BẢO GIÁC Trong phần nêu tản mạn số tốn có dùng tính bảo giác phép nghịch đảo để giải số dạng toán khác Bài B.5.1 Cho phép nghịch đảo cực A phương tích k > biến đường tròn (O) thành đường tròn (O’) Chứng minh điểm O biến thành chân đường đối cực A (O’) Bài giải 32 d M' M A H O' O hình 31 Gọi d tiếp tuyến qua điểm A tiếp xúc với đường trịn (O) M Ta có: N ( A, k ) : d « d (O) « (O ') Phép nghịch đảo có tính bảo giác nên (d ;(O ')) = (d ;(O)) = 00 d tiếp xúc với (O’) M’ Ta có N (A;k ) : M « M ' Gọi H chân đường vng góc hạ từ điểm M’ xuống trục OO’ , theo tính chất đường đối cực ta có M’H đường đối cực điểm A (O’) Ta có OAM’H tứ giác nội tiếp nên AM AM ' = AO AH = k chứng tỏ N ( A;k ) : O « H Vậy qua phép nghịch đảo cực A phương tích k H ảnh A Chú ý: Qua toán phép nghịch đảo cực A phương tích k > biến đường trịn (O) thành đường trịn (O’) khơng suy biến tâm O thành tâm O’ Bài B.5.2.Cho tứ giác ABCD biết hai đường tròn (ABC) (ABD) trực giao Chứng minh : AB2 CD =AC BD +AD BC Bài giải Phân tích tìm tịi Hai đường trịn (ABC) (ABD) trực giao nên nghĩ đến ảnh hai đường thẳng vng góc qua phép nghịch đảo Từ sử dụng định lý Piago để chứngminh đẳng thức Xét phép nghịch đảo cực A phương tích k > Ta có N( A;k ) : B « B ' C « C' D « D' Nên N( A;k ) : (ABC) « B'C' (ABD) « B'D' Mà (ABC) trực giao với (ABD) tính bảo giác phép nghịch đảo ta có B'C' ^ B'D' Chứng tỏ tam giác B’C’D’ vuông B’ Theo định lý Pitago ta có C'D'2 =B'C'2 +B'D'2 (1) Theo công thức khoảng cách phép nghịch đảo ta có: 2 2 |k|CD ỉ |k|BC ö æ |k|BD ö æ |k|AB.CD ö æ |k|AD.BC ö ổ |k|AC.BD (1) ổỗ ữ =ỗ ữ +ỗ ữ ỗ ữ =ỗ ữ +ỗ ữ ố AC.AD ứ è AB.AC ø è AB.AD ø è AB.AC.AD ø è AD.AB.AC ø è AC.AB.AD ø Û AB2 CD =AC BD +AD BC2 Chú ý: toán trường hợp đảo lại Bài B.5.3 Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc P Điểm A di động (O1), vẽ tiếp tuyến AM,AN đến (O2) với M,N tiếp điểm Gọi E F giao điểm khác A AM,AN với (O1) Chứng minh PE.MF = PF.ME 33 Bài giải E' M E O1 P' P O2 A F N hình 32 F' Ta xét phép nghịch đảo cực A phương tích k = AM2 đường trịn (O2) bất biến.Ta có: N (A,k) : (O2 ) « (O ) P « P' ( P' ẻ (O )) E ô E' F ô F' Do N( A;k ) : (AEF) « E'F' hay N( A;k ) : (O1 ) « E'F' Do tính bảo giác phép nghịch đảo ta có (O1) tiếp xúc với (O2) nên E’F’ tiếp xúc (O2) điểm P’ Ta có PE.MF = PF.ME Û PE ME = PF MF |k|PE Nên AP.AE PE AP.AE.|k|P'E' AE P'E' AE ME' = = = PF AP.AF.|k|P'F' AF P'F' AF NF' ME AM.AE.|k|ME' AE ME' Ta có: = = NF AN.AF.|k|NF' AF NF' PE ME Từ suy ra: hay PE.MF = PF.ME = PF MF Theo tính chất phép nghịch đảo ta có P'E'= Bài B.5.4 Cho sáu đường tròn (O1);(O2);(O3);(O4);(O5);(O6) chúng theo thứ tự tiếp xúc ngồi với nhau, ((O1) (O6) tiếp xúc ngồi với nhau) Sáu đường trịn tiếp xúc với đường tròn (O) A1;A2;A3;A4;A5;A6 Chứng minh đường thẳng A1A4;A2A5 A3A6 đồng quy 34 A3 A2 O2 O3 A1 O1 A4 O4 O O6 A6 hình 33a A5 A'2 d A'3 O'3 A'4 A'5 A'6 A''2 O'4 O'2 O'5 Q A'3 O'6 O'2 P O'3 d1 hìn h 33 b hìn h 33c Ta xét phép nghịch đảo cực A1 phương tích k > Ta có N (A1 ;k ) : (O) « d (O1 ) « d1 (Oi ) « (O 'i ) (i = 2;3; 4;5;6) Ai « A 'i (i = 2;3; 4;5; 6) Do phép nghịch đảo có tính bảo giác nên góc: ( d ; d1 ) = ( ( O ) ; ( O1 ) ) = 00 suy d / / d1 đường tròn (O’2);(O’3);(O’4);(O’5);(O’6) tiếp xúc với tiếp xúc với đường thẳng d Riêng đường tròn (O’2) (O’6) tiếp xúc với d d1 (xem hình vẽ) Gọi P tiếp điểm chung (O’2)và (O’3), qua P vẽ tiếp tuyến chung cắt d Q Ta có QA /2 = QA 3/ = QP tam giác O 2/ QO3/ vng có QP đường cao nên A 2/ A3/ = 2PQ = O 2/ P.O 2/ P = R2/ R3/ Hoàn toàn tương tự ta có A3/ A 4/ = R3/ R4/ ; A 4/ A5/ = R4/ R5/ ; A5/ A 6/ = R5/ R6/ Do d //d1 tính bảo giác nên ta có (O’2) (O’6) tiếp xúc với d d1 Suy bán kính hay R’2 = R’6 Ta có: A 2/ A 4/ A 4/ A 5/ = ( A / A3/ +A3/ A 4/ ) A /4 A 5/ = (2 R2/ R3/ + R3/ R4/ )2 R4/ R5/ Mà R = R (O’2) (O’6) tiếp xúc với d d1 nên: / / 35 ) ( ( (2 R2/ R3/ + R3/ R4/ )2 R4/ R5/ = R3/ R4/ R2/ R5/ + R5/ R4/ = R3/ R4/ R6/ R5/ + R5/ R4/ = A3/ A 4/ ( A5/ A 6/ +A 4/ A5/ ) =A3/ A /4 A /4 A 6/ Do A 2/ A 4/ A 4/ A 5/ =A3/ A 4/ A 4/ A 6/ suy PA =P/ ) A /( A A A ) (A A A ) Chứng tỏ A1A 4/ trục đẳng phương hai đường tròn ( A1A 2/ A5/ ) ( A1A 3/ A 6/ ) / 4/ / / / / Mà theo phép nghịch đảo cực A1 phương tích k > Ta có : N (A1 ;k ) : A1A « A1A 4/ A A5 « ( A1A 2/ A5/ ) A3A « ( A1A3/ A 6/ ) Ta thấy A1A 4/ hai đường tròn ( A1A 2/ A5/ ) ( A1A 3/ A 6/ ) có điểm chung A1 nên ba đường thẳng A1A4;A2A5;A3A6 đồng quy Lời bàn Đây toán hay, nhờ khai thác tính tiếp xúc thay đổi cấu hình qua phép nghịch đảo việc chứng minh đồng quy trở nên dễ dàng Tư tưởng gặp tập tự giải phần sau Bài B.5.5 Cho hai tứ giác lồi ngược hướng ABQP DCQP nội tiếp Chứng minh · · PDE=QCE · · tứ giác ABCD nội tiếp tồn điểm E thuộc đoạn PQ cho PAE=QBE; Bài giải Q B E C A P E A' A D P' hinh 34 P Xét phép nghịch đảo cực E với phương tích k > Gọi A’,B’,C’,D’, P’,Q’ ảnh đối ứng với điểm A, B,C,D,P,Q qua phép nghịch đảo N(E; k) Do cực E nằm đường thẳng PQ nên N (E;k ) : PQ « P'Q' º PQ Ta có: N (E;k ) : PA « (EP'A') N (E;k ) : EA « EA' Do tính bảo giác phép nghịch đảo nên (PA;AE) = ((EP'A '); A'E) Gọi A’t tiếp tuyến điểm A’ đường trịn (EP’A’) nên góc ((EP'A '); A'E) có số đo số đo cung A’E góc nội tiếp · Khi (PA;AE) = ((EP'A '); A'E) = A'P'E · A'P'E · Hoàn toàn tương tự ta có (QB;EB) = ((EQ'B'); B'E) = B'Q'E · · nên A'P'Q' · = B'Q'P' · Mà theo giả thiết: PAE=QBE Theo đề PABQ nội tiếp đường tròn không qua cực E nên qua phép nghịch đảo N(E; k) · = B'Q'P' · suy tứ giác A’B’Q’P’ tứ giác P’A’B’Q’ nội tiếp không qua cực E có A'P'Q' hình thang cân Hồn tồn tương tự ta chứng minh P’Q’C’D’ hình thang cân 36 Hai tứ giác lồi ngược hướng P’A’à B’Q’ P’Q’C’D’ hình thang cân nên A’B’C’D’ hình thang cân Do A’B’C’D’ tứ giác nội tiếp đường trịn khơng qua cực E Qua phép nghịch đảo ta có ABCD tứ giác nội tiếp Bài B.5.6 Cho điểm A;B;C;D không nằm đường trịn khơng có ba điểm chúng thẳng hàng Chứng minh góc hai đường trịn (ACD) (BCD) góc hai đường tròn (ABC) (ABD) T4 T2 A x D C' B T1 B A D T3 T B' C C hìn h 35 hìn h 36 Bài giải Ta ký hiệu (T1);(T2);(T3);(T4) đường tròn (ABC);(ABD);(BCD) (ACD) Ta biết phép nghịch đảo có tính bảo giác nên ta chọn phép nghịch đảo cực A phương tích k = PA/ (T ) Ta có: N( A;k ) : (T3 ) « (T3 ) B « B' C « C' D « D' Rõ ràng B’;C’;D’ thuộc (T3) qua phép nghịch đảo hai đường tròn (T1) (T2) qua cực A thành hai đường thẳng B’C’ B’D’ Theo tính chất bảo giác ta có ( ( T1 ) ; ( T2 ) ) = - ( B’C’; B’D’) + kp (1) Lại có N( A;k ) : (T4 ) « C'D ' Do D’ ta vẽ tiếp tuyến Dx với đường trịn (T3), theo tính bảo giác ta có: ( ( T3 ) ; ( T4 ) ) = - ( C’D’; D'x ) + kp (2) Trong đường trịn (T3) ta có ( B ' C '; B ' D ') = ( C’D’; D'x ) + kp (3) Từ (1) (2) (3) suy ra: (( T1 ) ; ( T2 )) = (( T3 ) ; ( T4 )) Bài B.5.7 Cho đường tròn tâm (C) tâm O bán kính R điểm A cố định cho OA = 2R.Gọi (C1) (C2) hai đường tròn di động qua A trực giao tiếp xúc với (C) Gọi B giao điểm thứ hai (C1) (C2) Hỏi điểm B di động đường nào? Bài giải 37 a D' O1 D F O B A E O2 E' b hinh 37 Gọi D E tiếp điểm (C) với (C1) (C2) Xét phép nghịch đảo cực A phương tích k = PA/ (C ) = OA2 - R = 3R N( A;k ) : ( C ) « ( C ) D « D' E « E' Ta có D’ E’ thuộc (C) Ta có (C1) qua cực A nên ảnh đường thẳng a qua điểm D’ (C2) qua cực A nên ảnh đường thẳng b qua điểm E’ Do (C1) (C2) tiếp xúc với (C) nên hai đường thẳng a,b tiếp xúc với (C) Theo tính chất bảo giác ta có ( ( C1 ) ; ( C2 ) ) = ( a; b ) mà ( ( C1 ) ; ( C2 ) ) = 900 nên ( a; b ) = 900 Hay a ^ b , gọi F giao điểm a b ta có OD’FE’ hình vng Suy OF = R , quỹ tích F đường trịn (C3) tâm O bán kính r = R Phép nghịch đảo N (A;k) biến hai đường tròn (C1) (C2) hành đường thẳng a;b nên biến điểm B thành điểm F Vậy quỹ tích điểm F đường trịn (C4) ảnh (C3) qua N (A;k) Bài B.5.8 Cho đường trịn (C) tâm O bán kính R điểm M cố định nằm bên (C) (M không trùng O) Một góc vng xMy quay quanh điểm M, tia Mx,My cắt (C) A B Hai đường tròn (C1), (C2) qua M tiếp xúc với (C) A B Tìm quỹ tích giao điểm P của(C1) (C2) ( P khác M) Bài giải 38 A c1 P C O O b c2 M B' B' N B M Q Q A' A' a hìn h 39 hìn h 38 Gọi A’,B’ giao điểm đường thẳng MA,MB với (C) Xét phép nghịch đảo cực M phương tích k = MA.MA ' = MB.MB ' = PM /( C ) Khi đường trịn (C) khơng đổi N (M,k) : ( C ) « ( C ) A « A' B « B' Đường trịn (C1) qua cực M nên qua phép nghịch đảo (C1) biến thành đường thẳng a qua A’ Tương tự ảnh đường tròn (C2) đường thẳng b qua B’ Theo tính chất bảo giác ta có ( ( C1 ) ; ( O ) ) = ( a; ( O ) ) , mà ( ( C1 ) ; ( O ) ) = 00 nên ( a; ( O ) ) = 00 Chứng tỏ a tiếp tuyến (C) A’, tương tự b tiếp tuyến (C) B’ Gọi Q giao điểm a b, mà P giao điểm (C1) (C2) nên: N( M;k ) : P « Q Do thay tìm quỹ tích điểm P ta tìm quỹ tích điểm Q Ta gọi N trung điểm A’B’ A’B’ = 2MN M,N,Q thẳng hàng Ta có NM2 + NO2 = NA’2 + NO2 = R2 nên quỹ tích điểm N đường tròn (T1) tâm I ( trung điểm OM ) bán kính r = R - OM = const Lại có ONOQ = OA '2 = R điểm Q ảnh điểm N qua phép nghịch đảo cực O phương tích R2 Suy quỹ tích điểm Q đường tròn (T2) ảnh đường tròn (T1) qua phép nghịch đảo cực O phương tích R2 Trở lại tốn, ta có N( M;k ) : P « Q , nên quỹ tích điểm P đường trịn (T3) ảnh đường tròn (T2) qua phép nghịch đảo cực M phương tích k = MA.MA ' = MB.MB ' = PM /( C ) Bài 5.9 (Trích đề đề nghị DHĐBBB 2018, THPT chuyên Lào Cai) Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi tiếp điểm (I) với » chứa A BC,CA, AB D, E, F Gọi S,T điểm cung BC » khơng chứa A (O) Đường thẳng SI cắt (O)tại điểm thứ hai K Gọi M cung BC điểm đối xứng A qua O Đường thẳng MI cắt (O) điểm thứ hai N cắt EF G Chứng minh đường thẳng AN, TK BC đồng quy DG song song với AI 39 S A N F E G J I O C P D B K M T Hình 40 Bài giải Qua I vẽ đường thẳng vng góc với AI cắt BC P, gọi giao điểm PA với (O) N’, gọi giao điểm PT với (O) K’, ta cần chứng minh N º N’ K º K’ Theo tính chất tâm đường trịn nội tiếp T tâm đường trịn (BIC), PI ^ AI nên IP tiếp tuyến (IBC) nên có PI2 = PB PC, lại có PB.PC = PK’.PT (= Pp/ ((O))) suy PI2 = PK’.PT Do IK' ^ PT , chứng tỏ K º K’ Tương tự ta chứng minh N º N’ Bây ta có tứ giác PNID nội tiếp đường trịn đường kính PI mà PI ^ AI nên AI tiếp tuyến đường tròn (PNID) Ta gọi J giao điểm AI với FE ta chứng minh IG IN = IJ IA = IE2 Ta xét phép nghịch đảo cực I phương tích k = ID2 (= IE2 = r2), ta có: N (I;k ) : D « D G«N Nên N (I;k ) :DG « (DNI) lại có N (I;k ) :AI « AI ( AI qua cực I) Do tính bảo giác phép nghịch đảo ta có: ( DG; AI ) = ( ( DNI ) ; AI ) = 00 Chứng tỏ DG // AI ( đpcm) 40 C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài C.1 Cho đường trịn (C) bán kính R điểm A nằm (C) Một điểm M mặt phẳng cho có đường trịn (T1) (T2) qua A M đồng thời tiếp xúc với (C) Tìm tập hợp điểm M cho: a/ Hai đường tròn (T1) (T2) trực giao b/ Hai đường tròn (T1) (T2) cắt góc a Bài C.2 a/ Dựng đường trịn (C) qua điểm A cho trước đồng thời tiếp xúc với hai đường tròn (T1) (T2) cho trước b/ Dựng đường tròn qua điểm A cho trước tiếp xúc với đường thẳng d trực giao với đường tròn (C) cho trước Bài C.3 Cho trước đường tròn (O1),(O2) (O3) Hãy dựng đường tròn (C) tiếp xúc với (O1) trực giao với (O2) (O3) Bài C.4 Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc đường thẳng d điểm T Một điểm M di động (O), tiếp tuyến M cắt d P, đường tròn (C) qua M tiếp xúc d P, gọi I điểm xuyên tâm P đường tròn (C) a/ Chứng minh OI = IP b/ Chứng minh đường trịn (C) ln tiếp xúc với đường tròn cố định Bài C.5 Cho hai đường trịn có bán kính R có tâm A B tiếp xúc với điểm M Gọi D tiếp tuyến chung M, điểm P di động D ( P khác M) a/ Chứng minh ứng với điểm P ( MP ¹ R) ln tồn hai đường trịn qua P tiếp xúc với hai đường tròn (A) (B) Nêu cách dựng hai đường trịn b/ Khi MP = R, chứng minh có đường tròn qua P tiếp xúc với hai đường trịn (A) (B) Tính bán kính đường trịn Bài C.6 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I), gọi D tiếp điểm đường tròn với BC Gọi H chân đường cao hạ từ A, gọi K tiếp điểm BC với đường tròn bàng tiếp góc A., gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh phép nghịch đảo cực M phương tích k = MD2 biến đường trịn (I) thành nó, biến đường tròn Euler tam giác ABC thành đường thẳng d tiếp xúc với (I) Bài C.7 Cho hai điểm A,B đường tròn (O) Dựng đường tròn (O’) qua hai điểm A,B cắt đường tròn (O) điểm C góc hai đường trịn a cho trước Bài C.8 Cho đường tròn (O) dây AB cố định, với điểm M (O) ta dựng đường tròn (O1) qua M tiếp xúc AB A đường tròn (O2) qua M tiếp xúc AB B Gọi M’ giao điểm thứ hai (O1) (O2) Tìm tập hợp điểm M’ M di động (O) Bài C.9 Cho đường trịn (O;R) đường thẳng d khơng cắt (O) Xét đường tròn tâm O’ tiếp xúc với d trực giao với đường trịn (O) Tìm tập hợp điểm O’ ( trang 113 ‒ Đỗ Thanh Sơn) Bài C.10 Cho đường tròn mà đường trịn tiếp xúc ngồi với hai đường tròn khác Chứng minh tiếp điểm A,B,C,D nằm đường tròn Bài C.11 Cho hai đường tròn (C1) và(C2) đựng nhau, (C2) nằm (C1) Một gồm n đường tròn (S1); (S2);…;(Sn) tiếp xúc với (C1) tiếp xúc với (C2) cho (Si) tiếp xúc với (Si -1) (Si +1) ( với i = 1, n n + º ) Chứng minh có đường tròn (T1) tiếp xúc với (C1) tiếp xúc ngồi với (C2) có đủ gồm n đường tròn (T1); (T2);…;(Tn) tiếp xúc với (C1) tiếp xúc với (C2) cho (Ti) tiếp xúc với (Ti -1) (Ti +1) ( với i = 1, n n + º ) Bài C.12 Trên đoạn AB lấy điểm C nằm A B, phía vẽ nửa đường trịn đường kính AB.AC,CB ta ký hiệu (AB),(AC),(CB) Tại điểm C vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt (AB) D Gọi (S1) (S2) hai đường tròn tiếp xúc 41 với (AB), tiếp xúc với đoạn CD tiếp xúc với (AC) (CB) Chứng minh bán kinh hai đường tròn (S1) (S2) Bài C.13 Cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R đường thẳng D vng góc với AB H, đặt OH = d Giả sử M điểm di động đường thẳng D, đường thẳng MA, MB cắt đường tròn (O) P Q Gọi (T) đường trịn ngoại tiếp tam giác MPQ có tâm I a/ Chứng minh đường tròn (T) trực giao với (C) tâm I D b/ Chứng minh trục đẳng phương hai đường tròn (T) đường thẳng AB đường thẳng PQ qua điểm cố định c/ Gọi N giao điểm khác M (C) (T), tìm quỹ tích điểm N Bài C.14 Cho đường tròn (C) đường thẳng d khơng cắt a/ Chứng minh biến đổi (C) d thành hai đường tròn đồng tâm phép nghịch đảo b/ Có hai đường trịn (T1) (T2) thay đổi ln tiếp xúc đồng thời tiếp xúc với (C) d Tìm quỹ tích tiếp điểm hai đường trịn Bài C.15 Cho đường tròn (C) đường thẳng d khơng cắt Một đường trịn (T) di động ln tiếp xúc với d cắt (C) hai điểm cho góc hai bán kính hai đường trịn qua điểm chung ln a Chứng minh (T) ln tiếp xúc với đường trịn cố định Bài C.16.( Trích đề đề nghị DHĐBBB 2018, THPT chuyên Bắc Ninh ) Cho đường trịn (O) có đường kính AB điểm C (O), ( C ¹ A, C ¹ B ) Tiếp tuyến với (O) A cắt đường thẳng BC M Gọi N giao điểm tiếp tuyến với (O) B C Đường thẳng AN cắt lại đường tròn (O) D khác A cắt đường thẳng BC F Đường thẳng qua M song song với AB cắt đường thẳng OC I Đường thẳng qua N song song với AB cắt đường thẳng OD J Gọi K giao điểm hai đường thẳng MD,NC E giao điểm hai đường thẳng MN, IJ a/ Chứng minh hai đường tròn (MCE) (NDF) tiếp xúc b/ Chứng minh K tâm đường tròn qua điểm C,D,E F Bài C.17 (Olympic chuyên KHTN Tp HCM‒2018) Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Các điểm E, F thuộc đoạn CA, AB cho EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF KC, KB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác KAE, KAF theo tự M, N khác K Chứng minh EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN ‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒‒ 42 Phần III HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI Đề tài khai thác tính bảo giác phép nghịch đảo giải tốn hình học Ta biết mặt phẳng bổ sung thêm điểm “vơ cực” phép nghịch đảo song ánh phép biến hình Ta biết tập số thực biểu diễn trục số ta thiết lập song ánh tập số thực với trục số Tập số phức biểu diễn mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy ta thiết lập song ánh tập số phức với điểm mặt phẳng Oxy nên đôi lúc ta gọi mặt phẳng phức Như ứng với số phức có điểm biểu diễn mặt phẳng phức Khi phép biến hình tương ứng với phép tốn số phức theo quy tắc Vấn đề đặc tốn hình học đại số hóa giải tập số phức Dĩ nhiên phải có phép biến đổi từ “hình học” sang “đại số’’ Đó nhờ “Ánh Xạ Bảo Giác” Thông qua số hàm hữu tỷ đơn giản nhờ chúng thực số ánh xạ bảo giác tốn giải tinh thần Đó hướng phát triển đề tài mà chúng tơi có hướng phát triển tiếp tương lai Phần IV KẾT LUẬN Đây chuyên đề đúc kết trình dạy bồi dưỡng cho đội tuyển dự thi Olympic thi HSG quốc gia Phép nghịch đảo nhiều tài liệu viết, viết phân dạng chi tiết sâu sắc Bài viết sâu vào khai thác tính chất bảo giác phép nghịch đảo, không nêu ứng dụng khác phép nghịch đảo Như phần nội dung nêu, phép nghịch đảo phép biến hình đặc biệt biến đường thẳng thành đường trịn ngược lại, góc đường trịn đường thẳng khơng thay đổi Nên dùng phép nghịch đảo thay đổi cấu hình tốn từ khó trở nên dễ dàng Điểm đặc biệt phép nghịch đảo ta vẽ thêm đường phụ mà chọn cực phương tích thích hợp có lời giải hay ngắn gọn bất ngờ! Trong tốn hình học có liên quan đến đường thẳng đường trịn có yếu tố tiếp xúc áp dụng tính bảo giác phép nghịch đảo hiệu Tính bảo giác phép nghịch đảo chưa có tài liệu viết riêng cho tính chất Nên viết khơng tránh khỏi thiếu sót sai lầm mong bạn đồng nghiệp trao đổi chân tình để viết hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Kỷ Cương Hình học- Đệ B Kỹ thuật Xuất 1968 [2] Trần Quang Hùng Phép nghịch đảo Ứng dụng THPT Chuyên KHTN [3] Lebosse Bài giải tốn Hình học Văn Hiến xuất 1962 [4] Lê Xuân Mai Cực đối cực Nghịch đảo Khoa học xuất 1968 [5] A.I.Markusevits Số Phức Ánh xạ bảo giác Nhà xuất khoa học kỹ thuật.1987 [6] Praxolop Các tốn hình học phẳng Nhà xuất Hải phòng 1994 [7] Đỗ Thanh Sơn Chuyên đề bồi dưỡng học sinh toán trung học phổ thơng PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Nhà xuất giáo dục 2004 [8] Lê Anh Vinh ( chủ biên) Định hướng bồi dưỡng học sinh năn khiến Toán Nhà xuất giáo dục Việt Nam 2017 [9] Một số tài liệu Internet + Nguyễn Chí Thanh Phép nghịch đảo số ứng dụng chứng minh hình học + Phạm Đoan Ngọc Phép nghịch đảo ứng dụng giải toán 43 ... ) Gọi (S? ??) ảnh (S) qua phép nghịch đảo N(O ;k ) Do tính bảo giác phép nghịch đảo nên ( (S' ) ;Oy ) = ( (S) ;Oy ) = j Như để (S) trực giao với (C) (S? ??) phải trực giao với D, suy tâm (S? ??) D r... Ta biết mặt phẳng bổ sung thêm điểm “vơ cực” phép nghịch đảo song ánh phép biến hình Ta biết tập s? ?? thực biểu diễn trục s? ?? ta thiết lập song ánh tập s? ?? thực với trục s? ?? Tập s? ?? phức biểu diễn mặt... (dĩ nhiên Rc thay đổi) Ta có: k = PS /(C ) = SJ - R c2 Gọi H hình chiếu J ST, JH // d Trong tam giác vng SJH có: SJ = JH + SH = TP + ( 2R - R c ) Suy SJ - R 2c = TP + 4R - 4RR c = OP - R + 4R -4RR