Một số phản thí dụ trong Giải tích và Tôpô

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHOMMAVONG CHANTHAPHONE MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH VÀ TƠPƠ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2018 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NHỤY Phản biện 1: Phản biện 2: TS Phan Đức Tuấn PGS.TS Trần Văn Ân Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 17 tháng 06 năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Một số phản thí dụ Giải tích 1.1 Một số phản thí dụ dãy số chuỗi số 1.2 Một số phản thí dụ tính liên tục hàm số 1.3 Một số phản thí dụ tính khả vi hàm số 11 1.4 Một số phản thí dụ tính khả tích hàm số độ đo Lebesgue 13 CHƯƠNG Một số phản thí dụ Tơpơ 15 2.1 Các phản thí dụ tơpơ tập hợp 15 2.2 Các phản thí dụ tiên đề tách 18 2.3 Các phản thí dụ ánh xạ liên tục 21 2.4 Các phản thí dụ tính liên tục hàm số 23 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ta biết môn học giải tích đặc biệt Tơpơ đại cương có tính trừu tượng khái qt hóa cao Mỗi kết luận thu được dựa giả thiết định qua trình suy luận lôgic nghiêm ngặt Một câu hỏi đặt liệu giả thiết đưa có phi mâu thuẫn khơng, ta mở rộng giả thiết đó, kết có khơng? Có làm sai lệch kết khơng? Các giả thiết có điều kiện cần cho kết luận hay không? Từ kết luận ta đặt vấn đề ngược lại, dẫn đến điều gì? Cách đặt vấn đề mơn Giải tích Tơpơ làm nảy sinh phản thí dụ Hơn nữa, ta xây dựng phản thí dụ để lật ngược lại vấn đề phản thí dụ giúp hiểu biết sâu sắc điều đặt cho ta giới hạn giả thiết toán Zazkis Chernoff (2008) cho rằng: "Counterexamples may help learners read just their perceptions or beliefs about the nature of mathematical objects" (phản thí dụ giúp người học điều chỉnh lại nhận thức cảm quan chất đối tượng toán học) [6] Để minh họa cho lập luận trên, ta đưa vài dẫn chứng Trong giải tích, đoạn [0, 1] có lực lượng continum có độ đo Sau ta loại bỏ tập có độ đo 1, tập lại có độ đo khơng Nhưng tập lại lực lượng continum hay khơng? Tức tập lại đoạn [0, 1] có tương đương với đoạn [0, 1] hay khơng? Ta biết Định lý Lebesgue nói hàm số f khả tích (R) đoạn ∆ ⊂ R tập điểm liên tục f ∆ sai khác với ∆ tập có độ đo khơng Liệu kết luận có cho mối liên hệ "liên tục - khả vi" tập hay không? Weierstrass xây dựng thí dụ cho câu trả lời phủ định "triệt để": Tồn hàm liên tục tập, không khả vi điểm tập này! Tiếp đến Định lý Banach nói rằng, ¡nh x⁄ co từ không gian metric đủ (X, d) vào nó, tức ánh xạ f : X ! X thỏa mãn điều kiện: tồn θ [0, 1) cho d (f (x) , f (y)) θd (x, y) 8x, y X tồn i”m b§t ºng, tức điểm x X mà f (x) = x Câu hỏi đặt là, ánh xạ "gần" với ánh xạ co ¡nh x⁄ kh ng gi¢n f : X ! X , tức ánh xạ d (f (x) , f (y)) < d (x, y) 8x, y X từ không gian metric đủ X vào liệu kết luận có khơng? Tức liệu tồn điểm bất động x X cho ánh xạ không dãn khơng? Chúng ta có phản thí dụ trả lời phủ định cho câu hỏi Lại nữa, từ Định lý Uryshon Tietze ta suy rằng, hàm liên tục f tập đóng M khơng gian metric X có th¡c tri”n (extention) liên tục tồn khơng gian X , tức tồn hàm liên tục f˜ : X ! R cho f˜ jM = f Câu hỏi đặt là, kết luận Định lý Uryshon Tietze có cho ánh xạ liên tục hay không, tức f : M ! R hàm liên tục từ tập đóng M khơng gian metric X , liệu có tồn hàm liên tục f˜ : X ! R cho f˜ jM = f hay khơng? Thật ta đưa nhiều dẫn chứng khác Trong tơpơ nhiều câu hỏi cần làm sáng tỏ Ta biết rằng, hợp số giao số hữu hạn tập mở mở, giao số hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng Câu hỏi đặt ra, liệu giao số tập mở có tập mở, hợp số tập đóng có tập đóng? Câu trả lời phủ định Tiếp theo, giao hai tôpô tập X tôpô, liệu hợp hai tơpơ tập X có tơpơ X hay không? Ta lại biết, T1 −không gian T0 −khơng gian, T0 −khơng gian có T1 −không gian hay không? Câu hỏi tương tự T1 − T2 −không gian, T2 − T3 −không gian, T3 − T4 −không gian, Lại nữa, ta biết tập không gian Euclid hữu hạn chiều compac đóng bị chặn, số không gian khác, chẳng hạn không gian ∞ (X), điều có hay khơng? Ta tồn tập, đóng bị chặn không gian ∞ (X), không compac, v.v Còn nhiều dẫn chứng khác liên quan đến phản thí dụ chúng tơi tìm hiểu giới thiệu Giải tích Tơpơ Theo chúng tơi hiểu, phản thí dụ Tốn học ví dụ mang tính phản biện Rõ ràng rằng, phản thí dụ có tác dụng khắc sâu sắc kiến thức, bồi dưỡng tính tích cực, động chủ động, đồng thời phát huy tư độc lập, linh hoạt sáng tạo học Tốn Việc lật lại vấn đề thơng qua phản thí dụ định lý kết luận xuất Tốn học khơng giúp ta khắc sâu kiến thức, mà nhiều sở để ta phát chân lý Với lý đó, chúng tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu cho Luận văn là: "Một số phản thí dụ Giải tích Tơpơ " Mục đích nghiên cứu Tìm xây dựng số phản thí dụ Giải tích Tơpơ nhằm làm sâu sắc thêm làm sáng tỏ số vài kiến thức Giải tích Tơpơ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Xuất phát từ quan điểm "hồi nghi tích cực", nghiên cứu tốn liên quan đến kết biết Giải tích thực Tơpơ đại cương thơng qua phản thí dụ 4 Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm tài liệu liên quan, tổng hợp vấn đề theo chủ đề chọn, xếp theo trình tự định sở chương trình học khoa Tốn trường đại học, có việc xây dựng thêm phản thí dụ Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Thông qua việc tập hợp xây dựng phản thí dụ Giải tích Tơpơ, làm sâu sắc thêm kiến thức Giải tích Tốn học Cấu trúc cách tổ chức luận văn Luận văn có hai chương phản ánh nội dung phần mở đầu Chương 1: Một số phản thí dụ Giải tích Chương 2: Một số phản thí dụ Tơpơ Mở đầu Chương Một số phản thí dụ giải tích 1.1 Một số phản thí dụ dãy số chuỗi số 1.2 Một số phản thí dụ tính liên tục hàm số 1.3 Một số phản thí dụ tính khả vi hàm số 1.4 Một số phản thí dụ tính khả tích hàm số độ đo Lebesgue Chương Một số phản thí dụ tơpơ 2.1 Các phản thí dụ tơpơ tập hợp 2.2 Các phản thí dụ tiên đề tách 2.3 Các phản thí dụ ánh xạ liên tục 2.4 Các phản thí dụ tính liên tục hàm số Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG GIẢI TÍCH 1.1 Một số phản thí dụ dãy số chuỗi số Phản thí dụ 1.1 Dãy số bị chặn không hội tụ Đặt vấn đề Cho dãy số {xn } ⊂ R Dãy số {xn } gọi hội tụ đến x ∈ R với ε > cho trước, tồn n0 ∈ N cho |xn − x| < ε ∀n ≥ n0 Dãy số {xn } gọi bị chặn tồn M > cho |xn | ≤ M , ∀n ≥ Dễ dàng chứng minh rằng: Nếu {xn } hội tụ đến x ∈ R {xn } bị chặn Thật vậy, xn → x nên |xn | → |x| Chọn ε = 1, ta có số tự nhiên n0 thỏa mãn ||xn | − |x|| < 1, hay|xn | < |x| + 1, ∀n ≥ n0 Đặt M = max {|x| + 1; |xn | : ≤ n < n0 }, ta |xn | ≤ M , ∀n ≥ Câu hỏi: Liệu điều ngược lại có không? Tức dãy số {xn } bị chặn có suy hội tụ khơng? Mệnh đề 1.1 Tồn dãy số bị chặn không hội tụ R ∞ Phản thí dụ 1.2 Dãy số {un } hội tụ chuỗi số un phân n=1 kì Đặt vấn đề Cho dãy số {un }∞ n=1 Ta lập dãy số S1 = u1 S2 = u1 + u2 ∞ Sn = uk k=1 Thiết lập dãy tổng riêng {Sn }∞ n=1 với Sn = ∞ n uk gọi tổng hình thức k=1 un chuỗi số n=1 ∞ Nếu lim Sn tồn {Sn } hội tụ đến S ta nói chuỗi số n→∞ un hội n=1 ∞ un = S tụ định nghĩa n=1 ∞ Nếu dãy {Sn } khơng có giới hạn hữu hạn ta nói chuỗi số un phân n=1 kì ∞ un hội tụ dãy số un hội tụ Ta chứng minh được: Nếu chuỗi n=1 ∞ un = S Khi un = Sn − Sn−1 → S − S = đến Thật vậy, giả sử n=1 n → ∞ Câu hỏi: Điều ngược lại có không? Tức dãy số un → có ∞ un hội tụ khơng? suy chuỗi số n=1 ∞ Mệnh đề 1.2 Tồn dãy số {un } hội tụ chuỗi số un n=1 phân kì Phản thí dụ 1.3 Chuỗi số hội tụ không hội tụ tuyệt đối ∞ un gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi Đặt vấn đề Chuỗi số n=1 ∞ |un | hội tụ số n=1 ∞ un hội tụ tuyệt đối hội tụ Ta chứng minh được: Chuỗi số n=1 ∞ |un | hội tụ nên tồn n0 ∈ N Thật vậy, với ε > cho trước, n=1 cho với n ≥ n0 , p ∈ N∗ : |un+1 | + |un+2 | + + |un+p | < ε Mặt khác: |un+1 + un+2 + + un+p | ≤ |un+1 | + |un+2 | + + |un+p | Vậy |Sn+p − Sn | = |un+1 + un+2 + + un+p | < ε, ∀n ≥ n0 , p ∈ N∗ ∞ un hội tụ Theo Nguyên lý Cauchy chuỗi số n=1 Câu hỏi: Điều ngược lại có khơng? Tức chuỗi số hội tụ có suy hội tụ tuyệt đối khơng? Mệnh đề 1.3 Tồn chuỗi số hội tụ không hội tụ tuyệt đối Phản thí dụ 1.4 Hai chuỗi số thỏa mãn điều kiện Dấu hiệu so ∞ sánh thứ (đặc biệt |un | ≤ |vn | , ∀n), chuỗi hội tụ chuỗi n=1 ∞ un phân kì n=1 Đặt vấn đề Ta có Dấu hiệu so sánh thứ hội tụ chuỗi số dương sau: ∞ ∞ un Giả sử n=1 hai chuỗi số dương thỏa mãn điều kiện: Tồn n=1 n0 ∈ N số C > cho un ≤ Cvn với n ≥ n0 Khi đó: ∞ ∞ hội tụ chuỗi - Nếu chuỗi n=1 ∞ un hội tụ n=1 ∞ un phân kì chuỗi - Nếu chuỗi n=1 phân kì n=1 Câu hỏi: Liệu giả thiết dương hai chuỗi số có bắt buộc hay khơng? Tức là, có hai chuỗi số thỏa mãn ≤ |un | ≤ C |vn | , ∀n ≥ n0 ∞ ∞ hội tụ có suy n=1 un hội tụ khơng? n=1 12 f (x)−f (x0 ) x−x0 x→x0 lim = f (x0 ) Điều có nghĩa f (x)−f (x0 ) x−x0 = f (x0 ) + α (x0 ), α (x0 ) → x → x0 Do f (x) − f (x0 ) = [f (x0 ) + α (x0 )] (x − x0 ) f (x) → f (x0 ) x → x0 , tức hàm y = f (x) liên tục x0 khả vi x0 Câu hỏi: Một hàm liên tục x0 có khả vi điểm khơng? Mệnh đề 1.15 Tồn hàm y = f (x) liên tục x0 mà không khả vi điểm Phản thí dụ 1.16 Hàm khả vi có đạo hàm gián đoạn Đặt vấn đề Ta biết hàm khả vi tập X liên tục tập Câu hỏi: Liệu hàm khả vi tập đạo hàm có liên tục tập khơng? Mệnh đề 1.16 Tồn hàm khả vi đạo hàm gián đoạn Phản thí dụ 1.17 Hàm số khả vi, có cực trị điểm đạo hàm khơng giữ dấu lân cận phải trái điểm Đặt vấn đề Ta biết hàm số khả vi điểm có đạo hàm đổi dấu qua điểm đó, hàm số đạt cực trị điểm Câu hỏi: Liệu hàm số có cực trị điểm đạo hàm có thiết đổi dấu qua điểm không? Mệnh đề 1.17 Tồn hàm số khả vi đạt cực trị điểm đạo hàm không giữ dấu lân cận phải lân cận trái điểm 13 Phản thí dụ 1.18 Hàm số có đạo hàm hữu hạn tồn trục số, đạo hàm lại không bị chặn đoạn đóng Đặt vấn đề Ta biết hàm số khả vi (có đạo hàm hữu hạn) "mạnh" nhiều khái niệm liên tục, đặc biệt lại hàm khả vi tồn trục số Vậy đạo hàm hàm ta đốn có nhiều ưu việt, chẳng hạn tính bị chặn Câu hỏi: Đạo hàm hàm khả vi toàn trục số liệu có bị chặn đoạn R1 hay không? Mệnh đề 1.18 Tồn hàm số khả vi (có đạo hàm hữu hạn) tồn trục đạo hàm lại không bị chặn đoạn đóng Phản thí dụ 1.19 Hàm số khả vi điểm Đặt vấn đề Phản thí dụ 1.15 cho thấy hàm số f (x) = |x| không khả vi điểm 0, điểm khác hàm số khả vi Câu hỏi: Vậy hàm khả vi điểm có kéo theo tính khả vi điểm khác lân cận điểm khơng? Mệnh đề 1.19 Tồn hàm số khả vi điểm 1.4 Một số phản thí dụ tính khả tích hàm số độ đo Lebesgue Phản thí dụ 1.20 Hàm khả tích Lebesgue mà khơng khả tích Riemann Đặt vấn đề Trong khơng gian Euclid hữu hạn chiều Rk , hàm khả tích Riemann (gọi tắt (R)-khả tích hay khả tích (R)) khả tích Lebesgue (gọi tắt (L)-khả tích hay khả tích (L)) Nói riêng, hàm khả tích (R) [a, b] ⊂ R khả tích (L) hai tích phân [a, b] (L) f (x)dx = (R) [a,b] f (x)dx [a,b] Câu hỏi: Liệu hàm (L)-khả tích có kéo theo (R)-khả tích hay 14 khơng? Mệnh đề 1.20 Tồn hàm (L)-khả tích mà khơng (R)-khả tích Phản thí dụ 1.21 Tuyệt đối khả tích (R) khơng khả tích (R) Đặt vấn đề Ta biết f hàm đo tập A, f khả tích (L) |f | khả tích (L), ngồi ta có bất đẳng thức f dµ ≤ A |f | dµ A Câu hỏi: Đối với tích phân Riemann, hàm |f | khả tích (R) có suy f khả tích (R) hay khơng? Mệnh đề 1.21 Tồn hàm số f , mà |f | khả tích (R) A f khơng khả tích (R) A Phản thí dụ 1.22 Đoạn [0, 1] trừ tập có độ dài 1, tập lại có lực lượng continum (lực lượng c), tức tương đương với đoạn [0, 1] Đặt vấn đề Ta biết đoạn [0, 1] có độ dài có lực lượng continum (c) Câu hỏi: Đoạn [0, 1] trừ tập E có độ dài 1, liệu [0, 1]\E có lực lượng continum hay khơng, tức có tương đương với đoạn [0, 1] hay không? Mệnh đề 1.22 Loại bỏ khỏi đoạn [0, 1] tập E ⊂ [0, 1] có độ dài 1, tập lại F = [0, 1]\E có lực lượng continum, tức tương đương với đoạn [0, 1] 15 CHƯƠNG MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG TÔPÔ Các định nghĩa khái niệm chương ta sử dụng tài liệu [1] [3], kiến thức Tôpô ta sử dụng tài liệu [4] [5] 2.1 Các phản thí dụ tơpơ tập hợp Phản thí dụ 2.1 Hợp hai tơpơ tập khơng tơpơ tập Đặt vấn đề Một không gian tôpô cặp (X, τ ) gồm tập X họ tập τ X thỏa mãn điều kiện sau đây: (O1) ∅ ∈ τ X ∈ τ (O2) Nếu U1 ∈ τ U2 ∈ τ U1 ∩ U2 ∈ τ (O3) Nếu A ⊂ τ A ∈ τ A∈A Với τ1 τ2 hai tôpô tùy ý tập X τ1 ∩ τ2 tơpơ X Câu hỏi: Liệu hợp hai tôpô tập hợp có tơpơ tập khơng? Mệnh đề 2.1 Tồn hai tôpô tập mà hợp chúng không tôpô tập Phản thí dụ 2.2 Khơng gian tơpơ khả li không thỏa mãn tiên đề đếm thứ Đặt vấn đề Khơng gian metric có tập đếm trù mật gọi không gian metric khả li Ta biết không gian metric, điều kiện khả li tương đương điều kiện đếm thứ hai, thỏa mãn tiên đề đếm thứ 16 Câu hỏi: Liệu không gian tôpô tổng quát khả li có thỏa mãn tiên đề đếm thứ hay không? Mệnh đề 2.2 Tồn không gian tôpô khả li không thỏa mãn tiên đề đếm thứ Phản thí dụ 2.3 Khơng gian tơpơ khả li không thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Đặt vấn đề Trong tơpơ ta có kết sau Mọi không gian tôpô thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai khả li Câu hỏi: Liệu điều ngược lại có khơng, có nghĩa khơng gian khả li có thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai hay không? Mệnh đề 2.3 Tồn không gian khả li không thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Mệnh đề suy từ mệnh đề phản thí dụ 2.2 khơng gian khơng thỏa mãn tiên đề đếm thứ không thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Ta nêu cách chứng minh trực tiếp khác Phản thí dụ 2.4 Khơng gian (X, τ ) khả li không gian (A, τA ) không khả li Đặt vấn đề Trong tôpô đại cương ta có kết sau Giả sử (X, τ ) không gian tôpô khả li Nếu U tập τ −mở X , (U, τU ) khả li Câu hỏi: Liệu có phải (X, τ ) khả li với tập A X ta có (A, τA ) khả li hay không? Mệnh đề 2.4 Tồn tập A không gian khả li (X, τ ), không gian (A, τA ) khơng khả li Phản thí dụ 2.5 Khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ không thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Đặt vấn đề Trong tơ pơ đại cương ta có kết sau 17 Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai thỏa mãn tiên đề đếm thứ Câu hỏi: Liệu điều ngược lại có không, nghĩa không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ có thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai hay không? Mệnh đề 2.5 Tồn không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ không thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai Phản thí dụ 2.6 Biên bao đóng biên phần tập tập thực biên tập đó, đồng thời biên hợp hai tập hợp tập thực hợp biên hai tập Đặt vấn đề Giả sử X không gian tơpơ, A ⊆ X Khi biên A định nghĩa tập đóng FrA = ClA ∩ Cl (CX A) Giả sử A B tập không gian tôpô X Khi (1) Fr (ClA) ⊆ FrA Fr (IntA) ⊆ FrA; (2) Fr (A ∪ B) ⊆ FrA ∪ FrB Câu hỏi: Liệu có tồn tập A B để (1) tập khác (2) bao hàm thức thực hay không? Mệnh đề 2.6 Tồn tập A B để tập (1) khác (2) bao hàm thức thực Phản thí dụ 2.7 Hợp số tập đóng khơng đóng giao số tập mở khơng mở Đặt vấn đề Ta biết hợp số tập mở tập mở giao số tập đóng tập đóng Câu hỏi: Liệu hợp số tập đóng có phải tập đóng khơng tương tự, giao số tập mở có phải tập mở khơng? Mệnh đề 2.7 (a) Hợp số tập đóng khơng đóng (b) Giao số tập mở không mở 18 2.2 Các phản thí dụ tiên đề tách Phản thí dụ 2.8 T0 −không gian không T1 −không gian Đặt vấn đề Trong tôpô đại cương ta biết định nghĩa T0 −không gian T1 −không gian sau Cho (X, τ ) không gian tôpô Không gian tôpô (X, τ ) gọi T0 −không gian, với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X , tồn τ −lân cận hai điểm nói mà không chứa điểm kia, nghĩa τ −lân cận x không chứa y , τ −lân cận y không chứa x T0 −không gian gọi khơng gian Kolmogorov Khơng gian (X, τ ) gọi T1 −không gian, với cặp điểm phân biệt x, y ∈ X , tồn τ −lân cận điểm mà không chứa điểm kia, nghĩa τ −lân cận x không chứa y τ −lân cận y mà không chứa x Một T1 −không gian gọi khơng gian Fréchet Như vậy, từ hai định nghĩa T0 −không gian T1 −không gian, ta thấy T1 −không gian T0 −không gian Câu hỏi: Liệu T0 −khơng gian có T1 −không gian hay không? Mệnh đề 2.8 Tồn T0 −không gian không T1 −không gian Phản thí dụ 2.9 T1 −khơng gian khơng T2 −không gian Đặt vấn đề Trong tôpô đại cương ta biết định nghĩa T2 −không gian sau Không gian (X, τ ) gọi T2 −không gian vói cặp phần tử phân biệt x y thuộc X , tồn τ −lân cận U V x y tương ứng cho U ∩ V = ∅ T2 −không gian gọi khơng gian Hausdroff Như vậy, không gian tôpô (X, τ ) T2 −không gian T1 −khơng gian 19 Câu hỏi: Liệu điều ngược lại có khơng, nghĩa T1 −khơng gian có phải T2 −không gian hay không? Mệnh đề 2.9 Tồn T1 −khơng gian khơng Hausdroff Phản thí dụ 2.10 Khơng gian quy khơng T1 −khơng gian Đặt vấn đề Trước hết ta nhắc lại định nghĩa khơng gian quy T3 −khơng gian Khơng gian tôpô (X, τ ) gọi không gian quy với điểm x ∈ X tập τ −đóng A khơng chứa x, tồn tập τ −mở U V cho x ∈ U , A ⊆ V U ∩ V = ∅ Không gian tôpô (X, τ ) gọi T3 −khơng gian vừa T1 vừa quy Câu hỏi: Ta bỏ giả thiết T1 định nghĩa T3 −không gian hay không, nghĩa khơng gian quy có ln T1 −không gian hay không? Mệnh đề 2.10 Tồn khơng gian quy khơng T1 −khơng gian Phản thí dụ 2.11 Khơng gian Hausdroff khơng quy Đặt vấn đề Qua phản thí dụ 2.10 ta thấy khơng gian quy cỏ thể khơng T1 −khơng gian, từ suy khơng gian quy khơng Hausdroff Câu hỏi: Liệu điều ngược lại có khơng, nghĩa khơng gian Hausdroff có quy khơng? Mệnh đề 2.11 Tồn khơng gian Hausdroff khơng quy Phản thí dụ 2.12 Khơng gian hồn tồn quy không chuẩn tắc Đặt vấn đề Trước hết ta nhắc lại định nghĩa khơng gian hồn tồn 20 quy khơng gian chuẩn tắc Khơng gian tơpơ (X, τ ) gọi hồn tồn quy với điểm x ∈ X tập τ −đóng A ⊆ X khơng chứa x, tồn ánh xạ liên tục f từ X vào đoạn đóng [0, 1] cho f (x) = f (t) = với t ∈ A Không gian tôpô (X, τ ) gọi chuẩn tắc với cặp tập τ −đóng rời A B X , tồn tập τ −mở rời U V tương ứng chứa A B Ta biết khơng gian chuẩn tắc hồn tồn quy Câu hỏi: Liệu điều ngược lại có khơng, nghĩa khơng gian hồn tồn quy có chuẩn tắc không? Mệnh đề 2.12 Tồn không gian hồn tồn quy khơng chuẩn tắc Phản thí dụ 2.13 Tơpơ cảm sinh tựa metric khơng Hausdroff Đặt vấn đề Trong tơpơ ta có kết sau Cho không gian metric (X, d), τd tơpơ cảm sinh metric d Khi (X, τd ) T2 −khơng gian, gọi khơng gian Hausdroff Câu hỏi: Nếu thay điều kiện metric tựa metric kết khơng, nghĩa tơpơ cảm sinh tựa metric có Hausdroff khơng? Mệnh đề 2.13 Tồn tựa metric q X cho tôpô cảm sinh q X khơng Hausdroff Phản thí dụ 2.14 Tơpơ chữ số tập số ngun Z khơng quy Đặt vấn đề Ta chứng tôpô chữ số nguyên Z T0 −không gian không T1 −không gian, không gian Hausdroff không quy Câu hỏi: Liệu tơpơ chữ số tập số ngun Z có quy khơng? 21 Mệnh đề 2.14 Tôpô chữ số tập số ngun Z khơng quy 2.3 Các phản thí dụ ánh xạ liên tục Phản thí dụ 2.15 Diện tích khơng bất biến tơpơ Đặt vấn đề Ta biết tập mở, tập đóng, , bất biến tôpô, tức ảnh tập đóng qua ánh xạ đồng phơi tập đóng, ảnh tập mở qua ánh xạ đồng phôi tập mở Câu hỏi: Liệu có khái niệm gần gũi không bất biến tôpô? Mệnh đề 2.15 Diện tích khơng bất biến tơpơ Phản thí dụ 2.16 Ánh xạ liên tục khơng đóng Đặt vấn đề Trong tơpơ đại cương ta có định lý quen thuộc sau Cho X X không gian tôpô, f song ánh từ X lên X Khi f ánh xạ đồng phơi thỏa mãn hai điều kiện (1) f liên tục mở (2) f liên tục đóng Câu hỏi: Liệu ta bỏ giả thiết ánh xạ f đóng hay khơng, nghĩa ánh xạ liên tục có đóng khơng? Mệnh đề 2.16 Tồn ánh xạ liên tục khơng đóng Phản thí dụ 2.17 Ánh xạ liên tục khơng mở Đặt vấn đề Qua phản thí dụ 2.16 ta thấy ánh xạ liên tục khơng đóng Câu hỏi: Liệu ánh xạ liên tục có mở khơng? Mệnh đề 2.17 Tồn ánh xạ liên tục không mở Phản thí dụ 2.18 Ánh xạ đóng khơng mở Đặt vấn đề Ta biết rằng, song ánh liên tục đóng liên tục mở 22 Câu hỏi: Nếu ta bỏ giả thiết liên tục sao, nghĩa song ánh đóng có mở không? Mệnh đề 2.18 Tồn ánh xạ đóng khơng mở Phản thí dụ 2.19 Ánh xạ khơng giãn khơng có điểm bất động Đặt vấn đề Ta biết ánh xạ co f : X → X từ không gian metric (X, d) vào ánh xạ thỏa mãn điều kiện: tồn số ≤ θ < cho d (f (x) , f (y)) ≤ θd (x, y) với x, y ∈ X, x = y Một ánh xạ co f : X → X từ khơng gian metric đầy đủ (X, d) vào ln có điểm bất động nhất, nghĩa điểm x0 ∈ X cho x0 = f (x0 ) Trường hợp gần với ánh xạ co ánh xạ không giãn, nghĩa ánh xạ f : X → X thỏa mãn điều kiện d (f (x) , f (y)) < d (x, y) với x, y ∈ X, x = y Câu hỏi: Nếu f : X → X ánh xạ không giãn từ khơng gian metric đầy đủ X vào nó, liệu có tồn điểm bất động x0 ∈ X cho ánh xạ f hay không? Mệnh đề 2.19 Tồn ánh xạ không giãn f : X → X từ không gian metric đầy đủ vào khơng có điểm bất động Phản thí dụ 2.20 Hàm thực liên tục từ tập đóng khơng gian tơpơ chuẩn tắc, khơng thể thác triển (khuếch) liên tục lên toàn không gian tôpô Đặt vấn đề Từ Định lý Uryshon-Tietze ta suy hàm liên tục từ tập đóng khơng gian chuẩn tắc thác triển (khuếch) liên tục lên tồn khơng gian Câu hỏi: Liệu kết có cho hàm liên tục hay không, nghĩa hàm liên tục từ tập đóng khơng gian 23 chuẩn tắc thác triển thành hàm liên tục lên toàn không gian không? Mệnh đề 2.20 Tồn hàm liên tục từ tập đóng khơng gian metric, khơng thể thác triển (khuếch) liên tục lên tồn khơng gian Phản thí dụ 2.21 Song ánh liên tục không đồng phôi Đặt vấn đề Cho f : X → Y ánh xạ từ không gian metric (X, ρ) vào không gian metric (Y, d) Ánh xạ f gọi liên tục điểm x0 ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X mà ρ (x, x0 ) < δ d (f (x) , f (x0 )) < ε Nếu f liên tục điểm X , ta nói f liên tục X Ta biết f : X → Y song ánh tồn ánh xạ ngược f −1 : Y → X Nếu song ánh f liên tục f −1 liên tục ta nói f ánh xạ đồng phôi Nếu f song ánh f liên tục, ta nghĩ điều kéo theo f −1 liên tục hay f ánh xạ đồng phôi Câu hỏi: Liệu song ánh liên tục có ln đồng phôi hay không? Mệnh đề 2.21 Tồn song ánh liên tục không đồng phôi 2.4 Các phản thí dụ tính liên tục hàm số Phản thí dụ 2.22 Hàm số liên tục tập hợp không liên tục tập Đặt vấn đề Ta biết hàm liên tục tập ln liên tục tập Câu hỏi: Ngược lại, hàm liên tục tập có liên tục tập khơng? Mệnh đề 2.22 Tồn hàm liên tục tập không liên tục tập 24 Phản thí dụ 2.23 Tích hai hàm liên tục không hàm liên tục Đặt vấn đề Ta định nghĩa tích hai hàm f g cho (f g) (x) = f (x) g (x) Ta biết tích hai hàm liên tục hàm liên tục Câu hỏi: Liệu tích hai hàm liên tục có hàm liên tục hay không? Mệnh đề 2.23 Tồn hai hàm liên tục tích chúng lại hàm không liên tục 25 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Nhụy, luận văn đạt kết sau Trong Giải tích luận văn trình bày số phản thí dụ dãy số chuỗi số gồm có phản thí dụ, tính liên tục hàm số gồm có phản thí dụ, tính khả vi hàm số gồm có phản thí dụ, tính khả tích hàm số gồm có phản thí dụ, độ đo Lebesgue gồm có phản thí dụ Trong Tơpơ luận văn trình bày phản thí dụ tơpơ tập hợp gồm có phản thí dụ, phản thí dụ tiên đề tách gồm có phản thí dụ, phản thí dụ ánh xạ liên tục gồm có phản thí dụ, phản thí dụ tính liên tục hàm số gồm có phản thí dụ Nhiều phản thí dụ tài liệu mới, đặc biệt phản thí dụ 2.20 chưa thấy sách Tơpơ giới thiệu Luận văn tài liệu tham khảo tiếng Việt cho người học Giải tích Tơpơ Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cơ giáo bạn 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Nhụy, Lê Xuân Sơn, Bài tập Tơpơ đại cương, NXB Giáo dục thành phố Hồ Chí Minh, 2007 [2] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội, 2003 Tiếng Anh [3] B G John and M H Olmsted, Theorems and Counterexamples in Mathematics, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, London, Paris, Tokyo, Hongkong, Bacelona, Budapest, 1990 [4] J L Kelley, General Topology, Spring-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1976 [5] R Engelking, General Topology, Warszawa, 1977 [6] R Zazkis and E Z Chernoff, What makes a counterexample examplary, Educational Studies in Mathematics, 195-208, 2008 ... chương phản ánh nội dung phần mở đầu Chương 1: Một số phản thí dụ Giải tích Chương 2: Một số phản thí dụ Tơpơ Mở đầu Chương Một số phản thí dụ giải tích 1.1 Một số phản thí dụ dãy số chuỗi số 1.2 Một. .. CHƯƠNG Một số phản thí dụ Giải tích 1.1 Một số phản thí dụ dãy số chuỗi số 1.2 Một số phản thí dụ tính liên tục hàm số 1.3 Một số phản thí dụ tính khả vi hàm số. .. Một số phản thí dụ tính liên tục hàm số 1.3 Một số phản thí dụ tính khả vi hàm số 1.4 Một số phản thí dụ tính khả tích hàm số độ đo Lebesgue Chương Một số phản thí dụ tơpơ 2.1 Các phản thí dụ