TÔPÔ TRÊN TẬP HỢP CÓ THỨ TỰ

Header Page of 143 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Vũ Đình Tuấn TÔPÔ TRÊN TẬP HỢP CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 Footer Page of 143 Header Page of 143 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Vũ Đình Tuấn TÔPÔ TRÊN TẬP HỢP CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành : Hình học tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 Footer Page of 143 Header Page of 143 i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh Trong trình học tập trường viết luận văn, thầy giúp làm quen với nghiên cứu khoa học Đặc biệt kiến thức liên quan đến đề tài luận văn, thầy hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy, sâu sát, dạy biết cách đọc tài liệu, biết cách viết luận văn phương pháp nghiên cứu khoa học Qua đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, chúc thầy sức khỏe thành công nghiệp giáo dục Nếu có hội, hy vọng thầy dạy bảo thêm đường học tập nghiên cứu tương lai Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán - Tin, Phòng Khoa học công nghệ Sau đại học, Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện tốt cho học tập, nghiên cứu trường Đồng gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Tôi xin trân trọng cảm ơn nghiên cứu sinh Wojciech Bielas, Đại học Silesia, Ba Lan nhiệt tình giúp đỡ nhiều kiến thức chuyên ngành liên quan đến luận văn Đồng thời, bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tinh thần, tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Chân thành! Vũ Đình Tuấn Footer Page of 143 ii Header Page of 143 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i T 5T MỤC LỤC ii T 5T DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU T 5T DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ T 5T LỜI MỞ ĐẦU .3 T 5T Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ T T 1.1 Tập thứ tự riêng phần .5 T 5T 1.1.1 Tập thứ tự riêng phần T T 1.1.2 Phần tử tối đại phần tử tối thiểu T T 1.1.3 Xích, đối xích T 5T 1.2 Đại cương không gian tôpô .7 T T 1.2.1 Tôpô, không gian tôpô T T 1.2.2 Cơ sở tôpô T 5T 1.2.3 Lân cận, sở lân cận .9 T T 1.2.4 Phần trong, bao đóng tập hợp .9 T T 1.2.5 Ánh xạ liên tục, ánh xạ đồng phôi 10 T T 1.2.6 Tôpô cảm sinh, không gian 10 T T 1.2.7 Các tiên đề tách vài không gian tôpô đặc biệt 10 T T 1.3 Sự hội tụ theo lọc không gian tôpô 12 T T 1.3.1 Lọc 12 T 5T 1.3.2 Siêu lọc 13 T 5T 1.3.3 Lọc hội tụ 14 T 5T 1.4 Tính chất liên thông, compact 15 T T 1.4.1 Tập liên thông 15 T 5T 1.4.2 Tập compact, tập CN 16 T T 1.4.3 Compact hoá Stone – Cech .17 T T 1.5 Khái niệm 18 T Footer Page of 143 5T iii Header Page of 143 Chương 2: CẤU TRÚC TÔPÔ TRÊN CÂY 21 T T 2.1 Cấu trúc tôpô 21 T T 2.2 Các trường hợp đặc biệt F - biến dạng 29 T T T T 2.2.1 Không gian Arhangle’ski – Franklin Sω 29 T T T T 2.2.2 Cách xây dựng không gian  Levy 30 T T T 5T 2.2.3 Cách xây dựng El’kin .30 T T 2.2.4 Tôpô Szymanski Seq( X ) 31 T T 2.2.5 Cách xây dựng Juhasz, Soukup Szentmiklossy 33 T T Chương 3: VÀI ỨNG DỤNG CỦA F - TÔPÔ 37 T T T T 3.1 Ánh xạ F - vào 37 T 5T 5T T 3.2 Ánh xạ compact hoá Stone – Cech F - 42 T T T T KẾT LUẬN 48 T 5T TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 T Footer Page of 143 5T Header Page of 143 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Kí hiệu B ( x, r ) Quả cầu mở tâm x , bán kính r clU , U Bao đóng tập U n ω Tập dãy số tự nhiên gồm n phần tử (X ) Tập hợp tập tập X Seq Tập dãy số tự nhiên hữu hạn succ(t ) x y  dom( x) Footer Page of 143 Ý nghĩa Tập phần tử phần tử t Họ lân cận x Hạn chế dãy y lên dãy x Header Page of 143 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1: Sơ đồ giao hoán 18 Hình 1.2: Sơ đồ hình trường hợp X có ba phần tử .20 U T U T Footer Page of 143 5T U T U U T T U Header Page of 143 LỜI MỞ ĐẦU Nghiên cứu tôpô tập hợp so sánh chúng toán quan tâm nhiều nhà toán học Một quan tâm việc xây dựng, nghiên cứu tôpô tập hợp có thứ tự mà ta gọi "cây" Ở khái niệm "cây" hiểu sau: Cho tập thứ tự riêng phần ( X , ≤) x ∈ X , ta sử dụng kí hiệu sau [ x, →) = { z ∈ X : xz} , ( x, →) = { z ∈ X : x < z} , (←, x) ={ z ∈ X : z < x} , [ x, y= ] { z ∈ X : xzy} Một tập thứ tự riêng phần (T , ) cho điều kiện sau thoả mãn: (1) Tồn phần tử nhỏ (phần tử gốc) T , (2) Với t ∈ T , tập (←, t ) thứ tự tốt quan hệ ≤ Theo dòng thời trên, Arhangle’skii – Franklin xây dựng không gian tôpô Sω T = Seq (1968), Sω trang vị tôpô  F cảm sinh họ F lọc Fréchet Không gian Hausdorff - chiều trù mật đếm Tiếp theo sau đó, Levy xây dựng không gian tôpô S  T = Seq (1977), không gian Hausdorff - chiều đếm không gian không liên thông nghiêm ngặt Đến năm 1980, A.G El’kin đưa cách xây dựng tổng quát tôpô sinh họ lọc Ông xây dựng tập vô hạn tuỳ ý, thay tập thích hợp ta có tôpô - Trong trường hợp tổng quát, không gian tôpô không Hausdorff Tuy nhiên, ông sửa đổi tạo tôpô Hausdorff có tính chất đẹp Kế tiếp với cách xây dựng Levy, năm 1985, Szymanski tạo tôpô không gian Seq( X ) với tập X tuỳ ý Đây cách xây dựng đẹp tôpô sinh Footer Page of 143 Header Page of 143 họ lọc Tôpô cho phép ta tạo không gian tôpô tích không liên thông nghiêm ngặt Đặc biệt với hợp tác ba nhà toán học Juhász, Soukup Szentmiklóssy (2008), không gian tôpô X ( F ) đời, xây dựng siêu lọc Xét phương diện cụ thể đó, tôpô X ( F ) trùng với tôpô F Tuy nhiên trường hợp tổng quát, tôpô X ( F ) phong phú tôpô F - Cùng với quan tâm đó, chọn đề tài “TÔPÔ TRÊN TẬP HỢP CÓ THỨ TỰ làm đề tài luận văn nghiên cứu Luận văn gồm ba chương sau: • Chương 1: Chương trình bày số kiến thức nhằm phục vụ cho chương sau • Chương 2: Trình bày cách xây dựng đưa cấu trúc tôpô T Đồng thời nghiên cứu trường hợp đặc biệt thay đổi dạng F - • Chương 3: Nêu làm rõ vài ứng dụng F - tôpô Luận văn tham khảo báo "Defining topologies on trees" tác giả Alexsander Blaszczyk (2013), Alabama, USA Trong luận văn thu thập làm rõ kết liên quan đến cấu trúc tôpô xác định Đồng thời, trình bày khái niệm tôpô cảm sinh họ lọc Từ làm rõ số ứng dụng chúng Footer Page of 143 Header Page 10 of 143 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức nhằm phục vụ cho chương sau như: tập thứ tự riêng phần, không gian tôpô, hội tụ không gian tôpô, tính chất liên thông, compact (tham khảo từ [1], [2], [27]) Đặc biệt, nội dung chương nêu khái niệm "cây" đưa số ví dụ cụ thể minh hoạ khái niệm, tạo hình ảnh trực quan cho việc xây dựng cấu trúc tôpô 1.1 Tập thứ tự riêng phần Một tiền thứ tự quan hệ hai tập hợp thoả mãn tính chất phản xạ, tính chất bắc cầu Nếu tiền thứ tự có thêm tính chất phản xứng tiền thứ tự gọi thứ tự riêng phần 1.1.1 Tập thứ tự riêng phần Một thứ tự riêng phần quan hệ hai " ≤ " tập T thoả mãn tính chất sau: ∀x, y, z ∈ T Tính phản xạ: x ≤ x ∀x ∈ T ; Tính phản xứng: Nếu x ≤ y y ≤ x x = y ; Tính bắc cầu: Nếu x ≤ y y ≤ z x ≤ z Định nghĩa 1.1.1 Một tập trang bị thứ tự riêng phần gọi tập thứ tự riêng phần (hay gọi poset) Trong tập thứ tự riêng phần, hai phần tử so sánh được, không so sánh Nếu hai phần tử tập thứ tự riêng phần so sánh tập trở thành tập thứ tự toàn phần Như vậy, quan hệ thứ tự riêng phần rộng quan hệ thứ tự toàn phần Ví dụ 1.1.2 Footer Page 10 of 143 Header Page 43 of 143 38 {s} ∪ A Nếu = Giả sử A ⊆ succ( s ) clA A∉ s succ( s ) \ A∈ s ta xét tập mở sở mà ϕ s ( s ) = succ( s) \ A Khi ∅ Mâu thuẫn □ U s ,ϕs ∩ A = Bây giờ, giả sử ht(T ) = ω tồn số κω thoả | succ( s) |= κ với s ∈ T Khi theo định lí 2.1.11, F - T không liên thông nghiêm ngặt Với κ ≥ ω ta định nghĩa thứ tự Rudin - Keisler siêu lọc κ sau:  ,  ⊆  (κ ) siêu lọc ({ } )  ≤  ⇔ ( ∃ϕ : κ → κ ) A ⊆ κ : ϕ −1 ( A) ∈  = Theo quan điểm tôpô, siêu lọc điểm βκ Do đó,  ≤  tồn hàm f :κ → κ cho  = f * ( ), f * : βκ → βκ mở rộng Stone - Cech f βκ Thật vậy, ta có { } f * ( ) = A ⊆ κ : f −1 ( A) ∈  Nếu  ≤  tồn toàn ánh f : A → B , A∈  B ∈  Thật vậy, ta mở rộng hàm f đến hàm g : κ → κ Vì  ∈ clA ,  ∈ clB g ( A) = B nên ta có g * ( ) =  Nếu  ≤   ≤    gọi kiểu, kí hiệu  ≡  Vì κ κ tồn 22 siêu lọc khác κ có 2κ hàm từ κ vào κ , nên tồn 22 siêu lọc không so sánh Bổ đề 3.1.2 Cho (T , ≤ ) F - với = F f ( s ) = t Với A∈ s , f ( A) ∈ t t ≤ s Chứng minh Footer Page 43 of 143 ( t : t ∈ T ) f : T → T liên tục, Header Page 44 of 143 39 = Theo bổ đề 3.1.1 ta có clA {s} ∪ A Theo định lí 2.1.10 định lí 2.1.11, {s} ∩ A không gian đóng không gian chuẩn tắc không liên thông nghiêm ngặt T Khi bao đóng {s} ∪ A β T với compact hoá Stone - Cech {s} ∪ A Vì A tập rời rạc, s điểm dư β A Tương tự, t điểm dư β f ( A) Vì s với siêu lọc s β A t với siêu lọc t β f ( A) , ta nhận t ≤ s □ Định lý 3.1.3 Giả sử (T , ≤ ) F - f : T → T ánh xạ đóng liên tục Nếu F gồm siêu lọc đôi không so sánh f ánh xạ đồng Chứng minh Giả sử f ( s )= t ≠ s Theo bổ đề 3.1.1 ta có clsucc(= s) {s} ∪ succ( s) Vì f đóng nên ta có clf (succ( s= )) {t} ∪ f (succ( s)) (3.1) Ta chứng minh f (succ( s )) ∩ succ(t ) ∈ t Thật vậy, ta có = B succ(t ) \ f (succ( s )) ∈ t Theo điều kiện (3.1), với p ∈ B ta chọn lân cận sở U p thoả mãn U p ∩ f (succ( s )) = ∅ Khi tập U= {t} ∪  {U p : p ∈ B} lân cận mở t U ∩ f (succ( s )) = ∅ Điều ∅ Do f −1 (U ) ∩ succ( s ) = mâu thuẫn s ∈ clsucc( s) Bây ta đặt = A f −1 ( f (succ( s )) ∩ succ(t ) ) ∩ succ( s ) Rõ ràng f ( A= ) f (succ( s )) ∩ succ(t ) ∈ t Ta chứng tỏ A∈ s Thật vậy, succ( s ) ∩ f −1 ( succ(t ) \ f (succ( s )) ) ∈  s ∈ clf −1 ( succ(t ) \ f (succ( s )) ) Khi ta có ( ) t ∈ f clf −1succ(t ) \ f (succ(t )) ⊆ cl ( succ(t ) \ f (succ( s )) ) Footer Page 44 of 143 Header Page 45 of 143 40 Điều kiện cuối succ(t ) \ f (succ( s )) ∉ t Do A∈ s theo bổ đề 3.1.2 ta có t ≤ s Mâu thuẫn t s siêu lọc không so sánh □ Bây xét tập { = Seq(ω ) n ω : n ≤ ω} ; với t ∈ Seq(ω ) , gọi t siêu lọc tự ω Khi tôpô Seq(ω ) định nghĩa sau: tập U ⊂ Seq(ω ) mở ( ∀t ∈U ) {n ∈ ω : t  n ∈U } ∈ t Theo định nghĩa trên, bổ đề 3.1.2 viết lại thành bổ đề sau: ( t : t ∈ T ) = F Bổ đề 3.1.4 Cho (T , ≤ ) F - với f : T → T liên tục, f ( s ) = t Nếu s n) {n : f (=  } f ( s ) ∉ s t ≤ s Định nghĩa 3.1.5 Một hàm f : X → Y gọi địa phương x ∈ X tồn lân cận U x phần tử y ∈ Y cho f (U ) = y Hàm f gọi địa phương X f địa phương x ∈ X Định lý 3.1.6 (Jerry Vaughan) Nếu = F ( s : s ∈ Seq ) họ siêu lọc ω f : Seq(ω ) → Seq(ω ) liên tục  f ( s )  s với s ∈ Seq f địa phương Seq Chứng minh Vì  f ( s )  s với s ∈ Seq nên theo bổ đề 3.1.4 ta có s n) {n : f (=  } f ( s ) ∈ s { } ⇔ ∀s, n ∈ ω : s  n ∈ f −1 ( f ( s )) ∈ s ⇔ ∀s, f −1 ( f ( s )) mở Seq(ω ) ⇔ Footer Page 45 of 143 f địa phương Header Page 46 of 143 41 Dựa theo ý tưởng Vaughan ta thu kết sau tương ứng với định lí 3.1.3 Định lý 3.1.7 Giả sử (T , ≤ ) F - F gồm siêu lọc đôi không so sánh Nếu U ,V ⊆ T tập mở f : U → V ánh xạ toàn ánh mở, U = V f ánh xạ đồng Chứng minh = F Đặt ( t : t ∈ T ) Giả sử tồn s ∈ U thoả mãn f ( s ) = t ∈ V \ {s} Ta chứng minh khẳng định sau: Tồn tập As ∈ s cho f ( As ) = {t} Thật vậy, xét tập A= t} { p ∈ succ( s) : f ( p) = sử B succ( s) \ A ∈ s Vì f liên tục nên tồn tập Ta A∈ s Giả = B′ ∈ s cho f ( B′) ⊆ [t , →) Do C = B ∩ B′ ∈ s , f ( p) ≠ t với p ∈ B nên f (C ) ⊆ (t , →) Tương tự, xét tập D= { p ∈ C : f ( p) ∈ succ(t )} , hay E succ( s ) D ∈ s Với p ∈ E ta chọn Ta chứng minh S ∈ s = lân cận mở U p cho f (U p ) ⊆ [ f ( p), →) Khi tập V= {s} ∪  {U p : p ∈ E} lân cận mở s Mà f ( p) ∉ succ(t ) , p ∈ E Vì f (V ) ∩ succ(t ) ∉ t , nghĩa = t f ( s ) ∉ Intf (V ) Mâu thuẫn f ánh xạ mở Do đó, D ∈ s f ( D) ∈ t Mặt khác Wt ={t} ∪  {[ p, →) : p ∈ succ(t ) \ f ( D)} Footer Page 46 of 143 Header Page 47 of 143 42 lân cận mở f ( s ) Vì f liên tục nên tồn lân cận mở Ws s cho ∅ f ( D) ∩ Wt = f (Ws ) ⊆ Wt Điều Ws ∩ D = ∅ Do f ( D) ∈ t theo bổ đề 3.1.2 ta có điều mâu thuẫn Vậy, tồn tập As ∈ s cho f ( As ) = {t} Từ khẳng định ht(T ) = ω , quy nạp, ta xây dựng lân cận sở Ws s cho f  U s Nhưng điều T trù mật f mở 3.2 Ánh xạ compact hoá Stone – Cech F - Tuỳ thuộc vào loại lọc F mà F - có tính chất khác Có số họ F làm cho F - tương ứng nhất, có số họ khác mà F - không gian cứng Nhắc lại không gian T gọi cứng phép đồng phôi vào ngoại trừ phép đồng Sự tồn không gian cứng compact không liên thông nghiêm ngặt chứng minh K McAloon [26] vào năm 1971, sau S Shelah [31], P Stepanek B Balcar [32], cách xây dựng phức tạp Tuy nhiên A Dow, A Gubi A Szymanski đưa cách xây dựng đẹp cho mô hình không gian cách xét F - tôpô tập Seq ta có kết sau: Định lý 3.2.1 (Dow - Gubi – Szymanski) Giả sử T = Seq F - với = F ( s : s ∈ T ) gồm P -siêu lọc yếu đôi không so sánh Khi không gian β T không gian compact cứng không liên thông nghiêm ngặt Chứng minh Nhắc lại điểm (không cô lập) x ∈ X P - điểm yếu X không thuộc bao đóng tập đếm chứa X \ { x} Một siêu lọc  ⊆  (ω ) gọi P - siêu lọc yếu P - điểm yếu βω \ ω Ta thừa nhận định lí sau: Footer Page 47 of 143 Header Page 48 of 143 43 = F Định lý 3.2.2 Giả sử T = Seq F - với ( s : s ∈ T ) Với t ∈T , chọn ξt P - siêu lọc yếu * = β  \  Khi bao đóng tập đếm T * = β T \ T chứa T * Giả sử g : β T → β T vi phôi Đặt= D g (T ) ∩ T * Khi D tập đếm T * Theo định lí 3.2.2 ta có clD ⊂ T * Vì clD tập đóng không đâu trù mật β T Do T \ g −1 (clD) không gian mở trù mật không gian T ( ) g T \ g −1 (clD) ⊂ T Ta cần chứng minh g (t ) = t với t ∈ T \ g −1 (clD) Đặt s = g (t ) , t ∈ T \ g −1 (clD) Khi tập { } A= n ∈  : t  n ∈ T \ g −1 (clD) thuộc ξt tập = B {t n : n ∈ A}  tập rời rạc T \ g −1 (clD) chứa t điểm khác chứa bao đóng Do g ( B) tập rời rạc T chứa s điểm khác bao đóng Suy {n ∈  : s n ∈ g ( B)} ∈ ξ  s Xét ánh xạ f:A →  n  f ( n) = m , m thoả mãn g (t  n) = s  m Ánh xạ f song ánh Nếu f mở rộng f đến β A f (ξt ) = ξ s g (t ) = s Điều chứng tỏ siêu lọc ξt ξ s kiểu t= s= g (t ) Vì hạn chế g lên không gian trù mật β T ánh xạ đồng nên g phải ánh xạ đồng Theo định lí 2.1.10 định lí 2.1.11, T với chiều cao ω F = ( Ft : t ∈ T ) họ siêu lọc Footer Page 48 of 143 F - T không gian chuẩn tắc không Header Page 49 of 143 44 liên thông nghiêm ngặt Vì β T không gian compact không liên thông nghiêm ngặt Khi T không gian trù mật β T Mặt khác theo định lí 2.1.7 (2), tập β T \ T không gian trù mật β T Một vài tính chất β Seq \ Seq nghiên cứu nhiều tác giả Đặc biệt, ta có định lý sau (xem [9]): Định lý 3.2.3 (Blaszczyk - Szymanski) Giả sử T = Seq F - với = F ( Ft : t ∈ T ) F ⊆ β T \ T hợp đếm tập compact clF ⊆ β T \ T điều kiện sau đúng: (∀s ∈ T )(∃As ∈ s )( F ∩ clAs =∅) (3.2) Điều kiện (3.2) F chứa P - siêu lọc Điều suy Seq P - tập β Seq Tức chứa phần Gδ - tập chứa Seq (xem [9], hệ 13) Sau P Simon [33] chứng minh Seq P - tập β Seq s ∈ (s : s ∈ Seq) P - lọc (không thiết siêu lọc) Một kết khác, I Juhasz A Szymanski [17] chứng minh rằng: s =  với s ∈ Seq λ > ω , Seq tập Pλ β Seq  siêu lọc Pλ λ ≤ b , b số nhỏ tập không bị chặn ω ω Nhắc lại tập A ⊆ X tập Pλ X với = họ  {i : i ⊂ X } tập mở X , |  |< λ ta có A ⊆  i Gần đây, A Brzeska [11] mở rộng kết sau: Định lý 3.2.4 (Brzeska) Cho T = Seq(ω ) = F ( t : t ∈ T ) họ lọc Với lọc  (không thiết phải siêu lọc) cho có t =  với λ > ω , F - T Pλ - tập β T  Pλ - lọc λ