Hằng số waldschmidt của các lược đồ đặc biệt có chiều không

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  TRẦN QUỐC TRÁNG HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA CÁC LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CĨ CHIỀU KHƠNG Chun ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 84 60 104 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG – NĂM 2018 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN CHÁNH TÚ Phản biện 1: ………………………………………………………………………………… Phản biện 2: ………………………………………………………………………………… Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN vào ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hằng số Waldschmidt nhà toán học Waldschmidt giới thiệu năm 1977 nhằm đặc trưng cho tập điểm không gian xạ ảnh Cùng với bậc dẫn đầu, số Waldschmidt đặc trưng quan trọng việc nghiên cứu bậc nhỏ đường cong qua lược đồ chiều không với số bội cho trước Những nghiên cứu số Waldschmidt ngày quan tâm trở thành hướng nghiên cứu thời đại số giao hốn hình học đại số Với mong muốn tìm hiểu thêm số Waldschmidt số tập điểm đặc biệt, với gợi ý hướng dẫn PGS TS Nguyễn Chánh Tú, chọn đề tài "Hằng số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng"làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số Waldschmidt số lược đồ (hoặc tập điểm) đặc biệt có chiều khơng mặt phẳng xạ ảnh Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: lược đồ chiều không (hay tập điểm) măt phẳng xạ ảnh Phạm vi nghiên cứu: tính tốn số Waldschmidt lược đồ chiều không (hay tập điểm) Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm tài liệu tổng quan báo • Dùng cơng cụ đại số giao hốn hình học đại số để nghiên cứu số Waldschmidt tập điểm đặc biệt Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài • Tổng hợp tài liệu để tổng quan tóm tắt số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng • Tính tốn số Waldschmidt số tập điểm đặc biệt mặt phẳng xạ ảnh Cấu trúc luận văn Luận văn chia thành hai chương (trong chương nội dung luận văn) Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày sơ lược số khái niệm kết đại số giao hốn hình học đại số để làm sở cho chương sau Chương 2: Hằng số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng Chương trình bày số kết số Waldschmidt số tập điểm đặc biệt mặt phẳng xạ ảnh 3 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương trình bày khái quát số kiến thức cần thiết, sở để trình bày nội dung luận văn Chương trình bày chủ yếu dựa theo [1] [3] Ở toàn luận văn, R vành giao hốn, có đơn vị 1.1 Vành đa thức n biến Định nghĩa 1.1.1 ([1], trang 6) Cho R vành, vành đa thức n biến R định nghĩa quy nạp sau: R[x1, , xn] := R[x1, , xn−1][xn], có nghĩa R[x1 , , xn ] vành đa thức biến xn vành R[x1 , , xn−1 ] Các phần tử R[x1 , , xn ] gọi đa thức n biến Vành R[x1 , , xn ] không phụ thuộc vào thứ tự biến đa thức n biến f có dạng f (x1, , xn) = r1 + +rn ≤r cr1, ,rn xr11 xrnn , với r số tự nhiên cr1 , ,rn ∈ R Các phần tử cr1 , ,rn gọi hệ số, c0, ,0 hệ số tự f Các biểu thức xr11 xrrn gọi đơn thức Bậc đơn thức xr11 xrrn tổng r1 + + rn số mũ Bậc đa thức f = bậc lớn đơn thức với hệ số khác khơng f Ta kí hiệu bậc đa thức f deg(f ) Nếu f = ta quy ước deg(f ) = −∞ Chú ý deg(f ) ≤ f ∈ R Ta gọi f đa thức tuyến tính deg(f ) = Định nghĩa 1.1.2 ([1], trang 8) Cho f ∈ k[x1 , , xn ] đa thức viết dạng Ứng với điểm a = (α1 , , αn ) ∈ k n ta có giá trị f (a) = r1 + +rn ≤r cr1, ,rn α1r1 αnrn Điểm a gọi nghiệm f f (a) = Khi ta nói f triệt tiêu a Định nghĩa 1.1.3 ([1], trang 10, 11) Ta ký hiệu tập nghiệm đa thức f Z(f ) Tập nghiệm hệ đa thức I ký hiệu Z(I) định nghĩa là: Z(I) = ∩f ∈I Z(f ) Nếu deg(f ) ≤ (f = c số) Z(f ) k n (c = 0) tập rỗng ∅(c = 0) Nếu deg(f ) > 0, ta gọi Z(f ) siêu mặt Trong trường hợp deg(f ) = ta gọi Z(f ) siêu phẳng Siêu mặt k hay k goi đường hay mặt Từ siêu dùng k n với n ≥ 1.2 Iđêan phép toán iđêan Định nghĩa 1.2.1 ([1], trang 15) Cho R vành Tập I R gọi iđêan ∈ I I thỏa mãn điều kiện sau đây: i) f + g ∈ I , với f, g ∈ I ii) hf ∈ I , với h ∈ R f ∈ I Định nghĩa 1.2.2 Cho R vành f1 , , fn ∈ R Iđêan sinh phần tử f1 , , fn ký hiệu (f1 , , fn ) định nghĩa (f1, , fn) = {h1f1 + + hnfn|h1, , hn ∈ R} Định nghĩa 1.2.3 ([1], trang 16) Cho I J hai iđêan tùy ý vành R Tổng hai iđêan I J ký hiệu I + J iđêan sinh phần tử I ∪ J , vậy: I + J = {f + g|f ∈ I, g ∈ J} Tích hai iđêan I J ký hiệu IJ iđêan sinh tích f g với f ∈ I g ∈ J , : IJ = {f1g1 + + fngn|f1, , fn ∈ I, g1, , gn ∈ J, n ≥ 1} Nhận xét 1.2.4 Từ định nghĩa ta thấy : (f1, , fn) = (f1) + + (fn) Chú ý 1.2.5 ([1], trang 16) i) Chú ý IJ ⊆ I ∩ J nhìn chung hai iđêan khác ii) Sử dụng cơng thức ta thấy phép tốn cộng nhân iđêan thỏa mãn luật giao hoán, kết hợp phân phối, tức là: I +J =J +I IJ = JI (I + J) + K = I + (J + K) (IJ)K = I(JK) (I + J)K = IK + JK với iđêan I, J, K vành R 1.3 Không gian xạ ảnh Định nghĩa 1.3.1 Cho k trường Không gian affine n chiều k , ký hiệu Ank hay đơn giản An , định nghĩa là: An := {(a1 , , an )|ai ∈ k} Định nghĩa 1.3.2 ([1], trang 137) Cho k trường Không gian xạ ảnh n chiều k , ký hiệu Pnk hay đơn giản Pn , định nghĩa là: Pn = (An+1 − (0, , 0)) ∼, quan hệ tương đương cho (a0 , , an ) ∼ (b0 , , bn ) ⇔ ∃0 = λ ∈ k cho = λbi, ∀i = 0, n Như Pn := {(a0 : : an )|ai ∈ k}, (a0 , , an ) ∼ (b0 , , bn ) ⇔ ∃0 = λ ∈ k cho = λbi , ∀i = 0, n Một phần tử P = (a0 : : an ) ∈ Pn gọi điểm Pn Nếu a = (a0 , , an ) nằm lớp tương đương điểm P ∈ Pn ta gọi a tọa độ P Điểm P gọi nghiệm xạ ảnh đa thức f f (a) = với tọa độ a P Đặc biệt, n = P1 gọi không gian xạ ảnh chiều hay đường thẳng xạ ảnh; n = P2 gọi không gian xạ ảnh hai chiều hay mặt phẳng xạ ảnh Định nghĩa 1.3.3 Tập m điểm {P1 , , Pm } P2 gọi vị trí tổng qt khơng có điểm nằm đường thẳng Định nghĩa 1.3.4 ([1], trang 63) Cho A vành Tập M gọi A−mơđun hay mơđun A M nhóm abel trang bị phép nhân phần tử A với phần tử M thỏa mãn điều kiện sau với u, v ∈ M, f, g ∈ A: f (u + v) = f u + f v (f + g)u = f u + gu (f g)u = f (gu) 1u = u Định nghĩa 1.3.5 ([1], trang 135) Vành A gọi vành phân bậ c A = ⊕t∈N At với At Z−môđun thỏa mãn điều kiện AiAj ⊆ Ai+j , có nghĩa f g ∈ Ai+j với f ∈ Ai g ∈ Aj , i, j ∈ N Cho A vành phân bậc Các phần tử At gọi phần tử bậc t Bậc phần tử g kí hiệu degg Mọi phần tử f ∈ A viết cách dạng f = ft, t∈N ft phần tử bậc t Ta gọi ft thành phần bậc t f Định nghĩa 1.3.6 ([1], trang 135) Cho A = ⊕t∈N At vành phân bậc Một iđêan I ⊆ A iđêan I = ⊕t∈N It , với It = I ∩ At, hay iđêan sinh phần tử Tổng, tích giao iđêan iđêan Chú ý 1.3.7 ([1], trang 138) Chú ý ta khái niệm hàm f (P ) Pn f nhận giá trị khác tọa độ P Ví dụ f đa thức bậc r > f (λa) = λr f (a) = f (a) λr = Tuy nhiên ta dùng ký hiệu f (P ) = hay f (P ) = để nói lên P nghiệm hay không nghiệm xạ ảnh f Định nghĩa 1.3.8 Cho k[x0 , , xn ] vành đa thức , M = (x0 , , xn ) iđêan tối đại I M iđêan Tập không điểm I ký hiệu V (I) định nghĩa V (I) = {P ∈ Pn |f (P ) = 0, ∀f ∈ I} Đặc biệt, P2 ta có định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.3.9 Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng C k định nghĩa C = V (f ) = {P = (a0 : a1 : a2) ∈ P2|f (P ) = 0}, f đa thức khác không vành đa thức k[x0, x1, x2] Khi f gọi đa thức định nghĩa C Định nghĩa 1.3.10 Nếu ta viết f ∈ k[x0 , x1 , x2 ] dạng f = f1 + + fm, fi đa thức bậc i fm = Khi m gọi bậc đa thức f m bậc đường cong C định nghĩa đa thức f Các đường cong bậc gọi đường thẳng , đường cong bậc hai gọi đường conic, đường cong bậc ba gọi đường cubic, Mệnh đề 1.3.11 ([1], trang 139) Cho vành đa thức k[x0 , , xn ], (X) := (x0 , , xn ) iđêan cực đại k[x0, , xn] Chứng minh ([1], trang 139) Mệnh đề 1.3.12 ([1], Bổ đề 17.5) Cho f ∈ k[x0 , , xn ], ta viết f = f1 + + fm với fi đa thức bậc i Khi điểm P ∈ Pn nghiệm xạ ảnh f P nghiệm xạ ảnh đa thức fi , i = 1, , m Chứng minh ([1], Bổ đề 17.5) Như việc xét nghiệm xả ảnh đa thức không tương đương với việc xét nghiệm xạ ảnh hệ đa thức 9 Định nghĩa 1.3.13 ([1], trang 139) Với tập V Pn , iđêan tập V , ký hiệu I(V ), định nghĩa sau: I(V ) := {f ∈ (X) = (x0, , xn)|f (P ) = 0, ∀P ∈ V } Đặc biệt, V gồm mơt điểm P ta dùng ký hiệu I(P ) hay P Nhận xét 1.3.14 Có thể thấy I(V ) iđêan iđêan Mệnh đề 1.3.15 ([1], trang 139) Nếu điểm P = (a0 , , an ) ∈ Pn iđêan điểm P có dạng P = (ai xj − aj xi |i, j = 0, n) Chứng minh ([1], trang 139) Mệnh đề 1.3.16 ([2], Mệnh đề 1.2) Cho V W hai tập điểm tùy ý Pn Khi i) Nếu V ⊆ W I(W ) ⊆ I(V ) ii) I(V ) ∩ I(W ) = I(V ∪ W ) iii) I(V ) + I(W ) ⊆ I(V ∩ W ) Chứng minh ([2] Mệnh đề 1.2) 10 CHƯƠNG HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CĨ CHIỀU KHƠNG Trong chương ta tính số Waldschmidt tập điểm đặc biệt P2 2.1 Lược đồ chiều không bội Định nghĩa 2.1.1 Cho X = {P1 , , Pr } ⊂ Pn , tập gồm r điểm không gian xạ ảnh Pn , Pi iđêan tương ứng với điểm Pi Xét iđêan I = ∩ri=1 Pi J = ∩ri=1 Pimi với mi ∈ N∗ , lược đồ chiều không ứng với J ký hiệu Z = ZJ định nghĩa là: r Z = ZJ := m1P1 + + mr Pr = mi P i i=1 Đặc biệt: Nếu J = I (m) := ∩ri=1Pim r ZJ = mPi với m ∈ N∗ i=1 r Định nghĩa 2.1.2 Cho Z = mPi, m ∈ N∗ lược đồ chiều i=1 không ứng với iđêan J = t∈N Jt = I (m) = ∩ri=1Pim Bậc dẫn đầu J ký hiệu α(J) định nghĩa α(J) =min{t|Jt = 0} Khi α(J) bậc nhỏ siêu mặt chứa lược đồ chiều không Z Mệnh đề 2.1.3 ([2], trang 4, 7) Cho X = {P1 , , Pr } ⊂ Pn Pi iđêan tương ứng điểm Pi, i = 1, r Gọi I = ∩ri=1Pi I (m) = ∩ri=1Pim Khi (1) I m ⊆ I (m), từ suy α(I (m)) ≤ α(I m) (2) α(I m) = mα(I) 11 Định nghĩa 2.1.4 Cho = f ∈ k[x0 , x1 , x2 ] đa thức Số bội multP (f ) f điểm P ∈ P2 m ∈ N f ∈ P m f∈ / P m+1 với P iđêan điểm P Định lý 2.1.5 ([2], Định lý 7.2)(Dạng yếu định lý Bézout) Cho đa thức f = có bậc d vành đa thức k[x0 , x1 , x2 ] l đa thức tuyến tính Khi đó, hạn chế f l có d giao điểm (kể bội) l | f Định lý 2.1.6 ([3], Định lý 7.8)(Định lý Bézout) Cho Y, Z hai đường cong P2 có bậc tương ứng d, e Xét Y ∩ Z = {P1, , Pr } Khi r i(Y, Z, Pj ) = de, j=1 với i(Y, Z, Pj ) bội giao Y Z Pj Theo nghĩa i(Y, Z, Pj ) số lần Y cắt Z Pj Chứng minh ([3], Định lý 7.8) Mệnh đề 2.1.7 ([2], trang 16) Cho Y, Z hai đường cong P2 Xét Y ∩ Z = {P1 , , Pr } Khi i(Y, Z, Pj ) ≥ multPj (Y ).multPj (Z), đẳng thức xảy Y Z khơng có tiếp tuyến chung Pj 2.2 Hằng số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng Định nghĩa 2.2.1 Cho X = {P1 , , Pr } ⊂ Pn Pi iđêan tương ứng điểm Pi Gọi I = ∩ri=1 Pi ⊂ R = k[x0 , , xn ] gọi I (m) = ∩ri=1 Pim , m ∈ N∗ iđêan tương ứng với lược đồ 12 r chiều không Z = mPi Hằng số Waldschmidt I (hay tập X ) i=1 ký hiệu γ(I) (hay γ(X)) định nghĩa α(I (m) ) m m→∞ γ(I) = lim Mệnh đề 2.2.2 ([5], Mệnh đề 2.1 [2], trang 6) Với ký hiệu định nghĩa số Waldschmidt γ(I) tồn ≤ γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ α(I), ∀m ∈ N∗ Chứng minh ([5], trang 2) Đầu tiên ta α(I (bc) ) bc ≤ α(I (b) ) , ∀b, c b t ∈ N∗ Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có I t ⊆ I (t) , α(I (t) ) ≤ α(I t ) α(I ) = tα(I), ∀t Do (I (b))c ⊆ (I (b))(c) = I (bc) α(I (bc)) ≤ α((I (b))c) = cα(I (b)), suy α(I (bc) ) bc Xét chuỗi số dương at = α(I (b) ) , ∀b, c b ≤ α(I (t!) ) , t! ∈ N∗ ta thấy chuỗi giảm hội α(I (t!) ) t! t→∞ tụ Như tồn giới hạn L = lim α(I (t!) ) t! Với ε > 0, ta có L ≤ ≤ L+ ε với t Với m ≥ t!, đặt m = qt! + r với ≤ r < t! Khi I (m) ⊃ I ((q+1)t!) α(I (m) ) ≤ (q + 1)α(I (t!)) Điều có nghĩa α(I (m) ) m Vì α(I (t!) ) t! ≤ (q+1)α(I (t!) ) qt!+r qα(I (t!) ) qt!+r (t!) ) + α(I ≤ qt!+r ≤ L + 2ε , ta giả sử q Điều có nghĩa L ≤ α(I (m) ) m m→∞ lim = α(I (m!) ) m! ≤ α(I (m) ) m α(I (t!) ) t! (t!) + α(Iqt! ) 0, Rõ ràng m ≤ α(I (m) ), ≤ γ(I) Hơn nữa, ta có I (tm) t→∞ tm ≤ ≤ 2ε ≤ L + 2ε + 2ε Như tồn hay tồn γ(I) γ(I) = lim α(I (t!) ) qt! I (m) m ≤ α(I) 13 với m ≥ Ta tính số Waldschmidt tập điểm đặc biệt P2 , bắt đầu với trường hợp đơn giản sau: Mệnh đề 2.2.3 Cho X = {P0 , P1 , P2 } ⊂ P2 với P0 = (1 : : 0), P1 = (0 : : 0), P2 = (0 : : 1) P0, P1, P2 iđêan tương ứng với điểm P0 , P1 , P2 Gọi I = ∩2i=0 Pi ⊂ k[x0 , x1 , x2 ] gọi I (m) = ∩2i=0 Pim , m ∈ N∗ iđêan ứng với lược đồ chiều không Z = i=0 mPi Khi γ(I) = 32 Chứng minh Theo mệnh đề 1.3.15 ta có P0 = (x1 , x2 ), P1 = (x0 , x2 ), P2 = (x0, x1) iđêan tương ứng với điểm P0, P1, P2 Khi (2) t∈N It , I (2) = P02 ∩ P12 ∩ P22 = (x0x1x2, x20x21, x20x22, x21x22) = tập hợp đa thức triệt tiêu điểm P0 , P1 , P2 với số bội (2) điểm Từ suy α(I (2) ) = min{t|It γ(I) ≤ α(I (2) ) = 0} ≤ ≤ 32 (2m) Bây ta giả sử ∃f ∈ I3m−1 Vì P0 , P1 ∈ V (x2 ) ta gọi l = V (x2) đường thẳng qua hai điểm P0, P1 Theo định lý Bézout, tổng số bội đường cong V (f ) với đường thẳng l = V (x2 ) deg(f ).deg(x2 ) = (3m − 1).1 = 3m − Hơn nữa, f ∈ I (2m) nên tổng số bội đường cong V (f ) hai điểm P0 , P1 2m + 2m = 4m Với m ∈ N∗, ta ln có 4m > 3m − 1, điều vơ lý tổng số bội đường cong V (f ) hai điểm P0 , P1 lớn tổng số bội đường cong V (f ) với đường thẳng l = V (x2 ) Do x2 | f , lúc ta viết f = xa2 g , với x2 g , deg(g) = b a + b = 3m − Ta biết f = xa2 g ∈ I (2m) = P02m ∩ P12m ∩ P22m, nên 14 f triệt tiêu ba điểm P0, P1, P2 với số bội điểm 2m Trước hết ta thấy đa thức g triệt tiêu điểm P2 nên deg(g) ≥ 2m hay b ≥ 2m Mặt khác, x2 g theo định lý Bézout ta có tổng số bội V (g) V (x2 ) deg(g).deg(x2 ) = b.1 = b Hơn nữa, tổng số bội V (g) hai điểm P0 , P1 2(2m − a) Ta ln có tổng số bội V (g) V (x2 ) phải lớn tổng số bội V (g) hai điểm P0 , P1 , tức b ≥ 2(2m − a) Từ ta suy 2b ≥ 2(2m − a) + 2m hay a + b ≥ 3m > 3m − =deg(f ), điều (2m) mâu thuẩn ta biết a + b =deg(f ) Như vậy, I3m−1 = 0, ∀m ∈ N∗ , α(I (2m) ) 2m m→∞ α(I (2m) ) ≥ 3m, ∀m ∈ N∗ γ(I) = lim 3m m→∞ 2m = 23 ≥ lim Tóm lại, γ(I) = 32 Nhận xét 2.2.4 Mệnh đề 2.2.3 xem trường hợp đặc biệt kết cho tập điểm có cấu sau Cho X = {P1 , , Pr , Q1 , , Qs } với r ≥ 2, s ≥ 1, tập gồm r + s điểm P2 với P1 , , Pr r điểm nằm đường thẳng L0 = V (x2 ) Q1 , , Qs s điểm tổng quát không r nằm đường thẳng L0 Cho lược đồ chiều không Z = Pi + i=1 iđêan tương ứng I = IZ = ∩ri=1Pi ∩sj=1 s Qj j=1 Qj với Pi, Qj iđêan ứng với điểm Pi , Qj Ký hiệu γ(r + s) cho γ(I) Mệnh đề 2.2.5 ([4], Mệnh đề 2.1) Với ký hiệu γ(r + 1) = − 1r γ(r + 2) = 2, ∀r ≥ Đặc biệt số Wadschmidt 3, điểm tổng quát tương ứng Chứng minh ([4], Mệnh đề 2.1) Do kết từ 2.2.6 2.2.8, trường hợp đặc biệt mệnh đề này, chứng minh chi tiết nên chúng tơi xin trình bày bước chứng minh cho mệnh đề Chứng minh chi tiết xem [4], Mệnh đề 2.1 Đặt Li = Pi Q Xét Li = Pi Q Đường cong r i=1 Li + (r − 1)L0 có 15 bậc 2r − chứa điểm với bội r Suy α(I (r) ) ≤ 2r − α(I (r)) Do ta có γ(r + 1) ≤ ≤ − 1/r r Xét α(I (rm) ) Giả sử có f ∈ I (rm) có bậc m(2r − 1) − Ta thấy α(I (rm)) (rm) ≥ − 1/r f = α(I ) ≥ m(2r − 1) Nên rm α(I (rm)) ≥ − 1/r đẳng thức xảy γ(r + 1) = lim m−→∞ rm Tương tự cho trường hợp r + điểm Ta thấy α(I (m) ) ≤ 2m m (m) xm )2m l ∈ (I (m) Ngược lại, giả sử tồn f ∈ I2m−1 Ta f = 0, α(I (m) ) ≥ 2m Suy α(I (m)) = 2m γ(r + 2) = Trong γ(r + 1) = − 1/r, xét r = ta có trường hợp điểm tổng quát Khi γ(2 + 1) = 3/2 Với điểm tổng quát, ta có kết ứng với r = γ(r + 2) = Trong kết từ 2.2.6 đến 2.2.8, tập điểm đơn giản, chúng tơi trình bày chứng minh cụ thể mà không sử dụng kết Mệnh đề 2.2.5, chúng trường hợp đặc biệt mệnh đề Hệ 2.2.6 Cho X = {P1 , P2 , P3 , Q} ⊂ P2 , P1 , P2 , P3 ba điểm nằm đường thẳng l = V (h) Q điểm không nằm đường thẳng l Xét lược đồ chiều không Z = P1 + P2 + P3 + Q iđêan ứng với lược đồ chiều không Z I = IZ = P1 ∩ P2 ∩ P3 ∩ Q, với P1, P2, P3, Q iđêan tương ứng với điểm P1 , P2 , P3 , Q Khi γ(I) = γ(3 + 1) = 53 Chứng minh Gọi l1 = V (x) đường thẳng qua hai điểm P1 , Q, l2 = V (y) đường thẳng qua hai điểm P2, Q l3 = V (z) đường thẳng 16 qua hai điểm P3 , Q Trước hết ta thấy rằng, đa thức xyzh2 có bậc có số bội (3) điểm P1 , P2 , P3 , Q 3, xyzh2 ∈ I5 α(I (3) ) = (3) min{t|It = 0} ≤ Như γ(I) ≤ α(I (3) ) ≤ 53 (3m) Bây ta giả sử ∃f ∈ I5m−1 , ∀m ≥ Theo định lý Bézout, tổng số bội V (f ) với V (h) deg(f ).deg(h) = (5m − 1).1 = 5m − Mặt khác, tổng số bội V (f ) ba điểm P1 , P2 , P3 3.3m = 9m, điều vơ lý ta biết tổng số bội V (f ) với V (h) phải lớn tổng số bội V (f ) ba điểm P1 , P2 , P3 Như (3m) h | f Do ta viết f = hag ∈ I5m−1, với h g , deg(g) = b a + b = 5m − Ta có, h g nên tổng số bội V (g) với V (h) phải lớn tổng số bội V (g) ba điểm P1 , P2 , P3 , tức b ≥ 3(3m−a) hay 3a + b ≥ 9m Hơn ta biết V (g) qua điểm Q nên deg(g) ≥ 3m hay b ≥ 3m hay 2b ≥ 6m Từ suy 3a + 3b ≥ 15m hay a + b ≥ 5m, (3m) điều mâu thuẩn với a+b =deg(f ) = 5m−1 Do I5m−1 = 0, ∀m ≥ α(I (3m) ) 3m m→∞ hay α(I (3m)) ≥ 5m γ(I) = lim γ(I) = γ(3 + 1) = 5m m→∞ 3m ≥ lim = 53 Tóm lại, Hệ 2.2.7 Cho X = {P1 , P2 , Q1 , Q2 } ⊂ P2 , P1 , P2 nằm đường thẳng l1 = V (x) Q1 , Q2 hai điểm không nằm đường thẳng l1 Xét lược đồ chiều không Z = P1 + P2 + Q1 + Q2 iđêan ứng với lược đồ chiều không Z I = IZ = P1 ∩ P2 ∩ Q1 ∩ Q2, với P1, P2, Q1, Q2 iđêan tương ứng với điểm P1, P2, Q1, Q2 Khi γ(I) = γ(2 + 2) = Chứng minh Gọi l2 = V (y) đường thẳng qua hai điểm Q1 , Q2 Trước hết ta thấy đa thức xm y m có bậc 2m có số bội 17 (m) điểm P1 , P2 , Q1 , Q2 m, xm y m ∈ I2m α(I (m) ) = (m) min{t|It = 0} ≤ 2m Như γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ 2m m = (m) Bây ta giả sử ∃f ∈ I2m−1 , ∀m ≥ Theo định lý Bézout, ta thấy tổng số bội V (f ) với V (x) deg(f ).deg(x) = (2m − 1).1 = 2m − Mặt khác, tổng số bôi V (f ) hai điểm P1, P2 2m > 2m − 1, điều vơ lý ta biết tổng số bội V (f ) với V (x) phải lớn tổng số bội V (f ) hai điểm P1, P2 Như vậy, x | f Tương tự ta có y | f Bây ta viết (m) f = xay bg ∈ I2m−1, với x f, y f , deg(g) = c a + b + c = 2m − Ta có, x g nên tổng số bội V (g) với V (x) phải lớn tổng số bội V (g) hai điểm P1 , P2 , tức c ≥ 2(m − a) hay 2a + c ≥ 2m Tương tự, ta có c ≥ 2(m − b) hay 2b + c ≥ 2m Suy 2a + 2b + 2c ≥ 4m hay a + b + c ≥ 2m, điều mâu thuẩn với (m) a + b + c =deg(f ) = 2m − Do I2m−1 = 0, ∀m ≥ hay α(I (m)) ≥ α(I (m) ) m m→∞ γ(I) = lim 2m m→∞ m ≥ lim = Tóm lại, γ(I) = γ(2 + 2) = Hệ 2.2.8 Cho X = {P1 , P2 , P3 , Q1 , Q2 } ⊂ P2 , P1, P2, P3 nằm đường thẳng l1 = V (x) Q1, Q2 hai điểm không nằm đường thẳng l1 Xét lược đồ chiều không Z = P1 + P2 + P3 + Q1 + Q2 iđêan ứng với lược đồ chiều không Z I = IZ = P1 ∩ P2 ∩ P3 ∩ Q1 ∩ Q2, với P1, P2, P3, Q1, Q2 iđêan tương ứng với điểm P1 , P2 , P3 , Q1 , Q2 Khi γ(I) = γ(3 + 2) = Chứng minh Gọi l2 = V (y) đường thẳng qua hai điểm Q1 , Q2 Trước hết ta thấy đa thức xm y m có bậc 2m có số bội điểm (m) P1, P2, P3, Q1, Q2 m, xmy m ∈ I2m α(I (m)) = (m) min{t|It = 0} ≤ 2m Như γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ 2m m = 18 (m) Bây ta giả sử ∃f ∈ I2m−1 , ∀m ≥ Theo định lý Bézout, ta thấy tổng số bội V (f ) với V (x) deg(f ).deg(x) = (2m − 1).1 = 2m − Mặt khác, tổng số bôi V (f ) ba điểm P1, P2, P3 3m > 2m − 1, điều vơ lý ta biết tổng số bội V (f ) với V (x) phải lớn tổng số bội V (f ) ba điểm P1, P2, P3 Như vậy, x | f Tương tự ta có y | f Bây ta viết (m) f = xay bg ∈ I2m−1, với x f, y f , deg(g) = c a + b + c = 2m − Ta có, x g nên tổng số bội V (g) với V (x) phải lớn tổng số bội V (g) ba điểm P1 , P2 , P3 , tức c ≥ 3(m − a) hay 3a + c ≥ 3m Tương tự, ta có c ≥ 2(m − b) hay 2b + c ≥ 2m Từ suy 3a + 2b + 2c ≥ 5m hay a + 2(a + b + c) = a + 2(2m − 1) ≥ 5m a ≥ m + > m, ∀m ≥ Mặt khác, a + b + c = 2m − nên b + c = 2m − − a < 2m − − m = m − Tuy nhiên, ta có 2b + c ≥ 2m hay b + (b + c) ≥ 2m suy b ≥ 2m − (b + c) > 2m − (m − 1) = m + Như ta có a > m b > m + 1, ∀m ≥ suy a + b > 2m + 1, điều mâu thuẩn với a + b + c = 2m − 1, ∀a, b, c, m ≥ Do α(I (m) ) m m→∞ (m) I2m−1 = 0, ∀m ≥ hay α(I (m)) ≥ γ(I) = lim 2m m→∞ m ≥ lim = Tóm lại, γ(I) = γ(3 + 2) = Mệnh đề 2.2.9 Cho X = {P1 , Pr } ⊂ P2 , r ≥ 5, tập gồm r điểm P2 cho điểm nằm hai đường thẳng phân biệt, đường thẳng chứa ba điểm nằm đường cong bậc hai bất khả quy Gọi I = ∩ri=1 Pi , gọi I (m) = ∩ri=1 Pim , m ∈ r ∗ mPi với Pi N iđêan ứng với lược đồ chiều không Z = i=1 (m) iđêan tương ứng điểm Pi Khi α(I γ(I) = ) = 2m 19 Chứng minh Trường hợp Các điểm nằm hai đường thẳng l1 = V (x), l2 = V (z), đường thẳng chứa ba điểm Trước hết, ta thấy ∀m ≥ 1, đa thức = xm z m có bậc 2m có bội điểm Pi , i = 1, r m, xm z m ∈ Pim , i = 1, r (m) hay xm z m ∈ ∩ri=1 Pim = I (m) xm z m ∈ I2m Từ α(I (m) ) = (m) min{t|It = 0} ≤ 2m γ(I) ≤ α(I (m) ) m ≤ 2m m = Như α(I (m)) ≤ (m) 2m γ(I) ≤ 2, ∀m ≥ Bây ta giả sử ∃f ∈ I2m−1, m ≥ Ta (m) chứng minh I2m−1 = ( Chú ý viết I (m) = (m) d∈N Id , (m) (m) (m) I2m−1 = I0 (m) = I2m−1 = Lúc α(I (m)) = min{t|It (m) = I1 = = 0} ≥ 2m ) Với m = 1, ta có I1 = (I1 tập đa thức bậc (đường thẳng) triệt tiêu điểm Pi , điểm Pi khơng thẳng hàng, I1 = ) Với m ≥ 2, trước hết ta thấy rằng, tổng số bội đường cong V (f ) với đường thẳng l1 = V (x) 3m > 2m − = deg(f ), điều vô lý theo định lý Bézout, x | f Tương tự ta có z | f Ta có (m) thể viết f = xzf1 ∈ I2m−1 • Nếu Pi ∈ l1 ∩l2, i = 1, r Khi xz đa thức bậc hai có bội (m−1) điểm Pi , i = 1, r 1, xz ∈ I2 , f1 ∈ I2(m−1)−1 (m−1) Theo quy nạp ta suy I2(m−1)−1 = 0, ∀m ≥ 2, f1 = (m) f = Vì I2m−1 = 0, ∀m ≥ • Nếu ∃Pi ∈ l1 ∩ l2, i = 1, r Khơng tính tổng qt ta giả sử P1 ∈ l1 ∩ l2 Xét trường hợp l1 , l2 qua ba điểm Y = {P2 , , Pr } Gọi J = ∩ri=2 Pi iđêan triệt tiêu điểm Pi , i = 2, r Y = 20 (m) (m) {P2, , Pr } Ta có f = xzf1 ∈ I2m−1 ⊂ J2m−1 mà xz ∈ J2 (m−1) (m−1) f1 ∈ J2(m−1)−1, theo kết ta suy f1 ∈ J2(m−1)−1 = 0, ∀m ≥ 2, (m) f1 = f = Vì I2m−1 = 0, ∀m ≥ Xét trường hợp hai đường thẳng l1 , l2 chứa hai điểm Y = {P2 , , Pr }, khơng tính tổng quát giả sử đường thẳng l1 chứa hai điểm Y Lúc này, trường hợp s + (m−1) điểm theo Mệnh đề 2.2.5, từ J2(m−1)−1 = f1 = (m) (m) f = Vì I2m−1 = 0, ∀m ≥ Như I2m−1 = 0, ∀m ≥ Do α(I (m) ) m m→∞ α(I (m) ) ≥ 2m γ(I) = lim 2m m→∞ m ≥ lim = Như trường hợp ta có α(I (m) ) = 2m γ(I) = Trường hợp Các điểm nằm đường cong bậc hai bất khả quy C = V (g0 ) Trước hết ta tồn đa thức khác thuộc I (m) có bậc 2m Thật vậy, ∀m ≥ 1, đa thức = g0m ∈ I (m) có (m) (m) bậc 2m g0m ∈ I2m Vì α(I (m) ) = min{t|It α(I m ) 2m ≤ m m (m) I2m−1 = = 0} ≤ 2m (m) γ(I) ≤ = Bây ta giả sử ∃f ∈ I2m−1, m ≥ Ta 0, ∀m ≥ Với m = I1 = ( Vì r điểm Pi không thẳng hàng ) Với m ≥ 2, theo định lý Bézout, tổng số bội V (g0) V (f ) deg(g0).deg(f )=2(2m − 1) Hơn nữa, tổng số bội V (f ) r điểm Pi ∈ X rm, r ≥ Với m ≥ 1, r ≥ 5, ta ln có 2(2m − 1) < rm ( điều vô lý ) Do g0 | f Bây (m) (m−1) ta viết f = g0 f1 ∈ I2m−1 mà g0 ∈ I2 nên f1 ∈ I2(m−1)−1 , ∀m ≥ (m−1) Theo quy nạp, ta có I2(m−1)−1 = 0, ∀m ≥ f1 = (m) (m) f = Vì I2m−1 = 0, ∀m ≥ Như I2m−1 = 0, ∀m ≥ Do α(I (m) ) m m→∞ (m) α(I (m)) ≥ 2m, ∀m ≥ γ(I) = lim trường hợp ta α(I ≥ 2m m = Như ) = 2m, ∀m ≥ γ(I) = Tóm lại hai trường hợp α(I (m) ) = 2m γ(I) = 21 Mệnh đề 2.2.10 Cho X = {P1 , , Pr } ⊂ P2 , r ≥ 9, cho điểm Pi nằm ba đường thẳng phân biệt, đường thẳng chứa ba điểm khơng có điểm Pi điểm chung hai ba đường thẳng Gọi I = ∩ri=1 Pi , gọi I (m) = ∩ri=1 Pim , m ∈ N∗ r mPi với Pi iđêan ứng với lược đồ chiều không Z = i=1 iđêan tương ứng điểm Pi Khi γ(I) = với I = ∩ri=1Pi Chứng minh Gọi L1 = V (l1 ), L2 = V (l2 ), L3 = V (l3 ) ba đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề Trước hết ta thấy rằng, ∀m ≥ 1, đa thức l1m l2m l3m = 0, có bậc 3m triệt tiêu r điểm Pi , i = 1, r với số bội điểm m Do (m) (m) l1ml2ml3m ∈ I3m Vì α(I (m)) = min{t|It α(I (m) ) m ≤ 3m m = 0} ≤ 3m γ(I) ≤ (m) = Bây ta giả sử ∃f ∈ I3m−1 Theo định lý Bézout, tổng số bội đường cong V (f ) đường thẳng V (l1 ) deg(f ).deg(l1 ) = 1.(3m − 1) = 3m − Hơn nữa, tổng số bội đường cong V (f ) điểm Pi ∈ L1 = V (l1 )(i = 1, s, s ≥ 3) 3m Với m ≥ 1, ta ln có 3m − < 3m (điều vơ lý) Do l1 | f Tương tự ta (m) có l2 | f, l3 | f Từ ta viết f = l1 l2 l3 f1 ∈ I3m−1 Với m = 1, (m) f = l1 l2 l3 f1 ∈ I2 mà deg(l1 l2 l3 ) = nên f = 0, I3m−1 = Với (m−1) (m) m ≥ 2, f = l1l2l3f1 ∈ I3m−1 mà l1l2l3 ∈ I3 nên f1 ∈ I3(m−1)−1 Theo (m−1) quy nạp, ta có I3(m−1)−1 = 0, ∀m ≥ f1 = 0, f = Vì (m) (m) I3m−1 = 0, ∀m ≥ Như I3m−1 = 0, ∀m ≥ Do α(I (m)) ≥ 3m α(I (m) ) m m→∞ γ(I) = lim 3m m→∞ m ≥ lim = Như γ(I) = 22 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận văn tổng quan trình bày số kết sau: (1) Giới thiệu khái niệm lược đồ chiều không bội (2) Giới thiệu khái niệm số Waldschmidt lược đồ chiều không (hay tập điểm) khơng gian xạ ảnh số tính chất (3) Tính tốn số Waldschmidt số lược đồ chiều không (hay tập điểm) đặc biệt mặt phẳng xạ ảnh, thể kết 2.2.3, 2.2.6,2.2.7, 2.2.8,2.2.9 2.2.10  ... niệm kết đại số giao hốn hình học đại số để làm sở cho chương sau Chương 2: Hằng số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng Chương trình bày số kết số Waldschmidt số tập điểm đặc biệt mặt phẳng... minh ([2] Mệnh đề 1.2) 10 CHƯƠNG HẰNG SỐ WALDSCHMIDT CỦA LƯỢC ĐỒ ĐẶC BIỆT CĨ CHIỀU KHƠNG Trong chương ta tính số Waldschmidt tập điểm đặc biệt P2 2.1 Lược đồ chiều không bội Định nghĩa 2.1.1 Cho... đại số để nghiên cứu số Waldschmidt tập điểm đặc biệt Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài • Tổng hợp tài liệu để tổng quan tóm tắt số Waldschmidt lược đồ đặc biệt có chiều khơng • Tính tốn số Waldschmidt