Mối liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và bài toán MICZ-Kepler 9 chiều

Header Page of 185 MỤC LỤC MỤC LỤC Trang Chương 1: Tổng quan lý thuyết nhóm T T 1.1 Đại cương nhóm T T 1.2 Đại cương lý thuyết biểu diễn nhóm 11 T T 1.3 Lý thuyết nhóm học lượng tử 13 T T 1.4 Đại cương nhóm Lie 15 T T Chương 2: Bài toán MICZ – Kepler chiều 28 T T 2.1 Bài toán MICZ – Kepler 29 T T 2.2 Phép biến đổi Hurwitz mở rộng .32 T T 2.3 Mối liên hệ dao động tử điều hòa 16 chiều toán MICZ-Kepler T chiều .34 T Chương 3: Đối xứng toán MICZ–Kepler chiều 36 T T 3.1 Đối xứng không gian SO(9) 37 T T 3.2 Đối xứng ẩn SO(10) .38 T T 3.3 Đối xứng động lực SO(10,2) 39 T T Kết luận 44 T T Hướng phát triển đề tài 44 T T Tài liệu tham khảo 45 T Phụ lục T Footer Page of 185 T 46 T Header Page of 185 Chương 1: Tổng quan lý thuyết nhóm Khi nghiên cứu đối tượng vật lý, gặp phải tính chất đặc biệt – tính chất đối xứng Nói cụ thể hơn, là: 1) Tính chất đối xứng không gian thời gian hệ quy chiếu quán tính, dẫn đến định luật bảo toàn quen thuộc (định luật bảo toàn lượng, định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn momen xung lượng…) 2) Tính chất đối xứng cấu trúc vật chất tinh thể, phân tử, hạt bản, dẫn đến phương pháp phân loại mức lượng hay số đại lượng khác Tính chất đối xứng đối tượng tự nhiên nghiên cứu môn toán học trừu tượng gọi lý thuyết nhóm Nói chung, lý thuyết nhóm cung cấp cho vật lý học phương pháp gọn xác, bổ sung cho phương pháp khác Trong số toán đặc biệt, nói số mặt vấn đề giải công cụ lý thuyết nhóm Do đó, chương trình bày tóm tắt lý thuyết nhóm, đặc biệt nhóm Lie ứng dụng lý thuyết nhóm vật lý học để người đọc hiểu theo dõi chương Phần quan trọng chương mà người đọc cần ý nhóm ma trận số tham số chúng, vi tử số cấu trúc nhóm Lie, điều kiện để nhóm trở thành nhóm đối xứng hệ vật lý Footer Page of 185 Header Page of 185 1.1 Đại cương nhóm 1.1.1 Cấu trúc nhóm 1.1.1.1 Định nghĩa nhóm Cho tập hợp G, có xác định luật hợp thành đó, gọi phép nhân, cho phép lập từ cặp phần tử x, y ∈ G đại lượng xác định gọi tích ký hiệu xy Nếu phép nhân có tính chất sau: Tính kín xy ∈ G ∀ x, y ∈ G Tính kết hợp x(yz) = (xy)z ∀ x, y, z ∈ G [1.1–1] Tính có đơn vị Có tồn phần tử e ∈ G gọi phần tử đơn vị, có tính chất ex = xe = x ∀ x ∈ G [1.1–2] Tính có nghịch đảo ∀ x ∈ G có tồn phần tử xác định x-1 ∈ G có tính chất sau P P xx-1 = x-1x = e ∀ x∈ G P P P P [1.1–3] tập hợp G gọi nhóm hay cấu trúc nhóm 1.1.1.2 Nhóm Mọi tập H nhóm G làm thành nhóm phép nhân nhóm G gọi nhóm nhóm G.Tất nhiên đơn vị e toàn nhóm G nhóm G Hai nhóm gọi nhóm tầm thường Những nhóm không tầm thường gọi nhóm thực 1.1.1.3 Nhóm giao hoán Nếu xy = yx ∀ x, y ∈ G hai phần tử x, y gọi giao hoán với Footer Page of 185 [1.1–4] Header Page of 185 Nếu [1.1-4] với x y nhóm G gọi nhóm giao hoán hay nhóm Abel Đối với nhóm giao hoán, phép nhân hay gọi phép cộng Đơn vị ký hiệu 0, nghịch đảo x ký hiệu – x Nhóm gọi nhóm cộng 1.1.1.4 Nhóm tuần hoàn Ký hiệu x. x x = x n n lan Phần tử xn gọi lũy thừa bậc n x P P Một nhóm phần tử lũy thừa bậc khác phần tử gọi nhóm tuần hoàn Một nhóm tuần hoàn tất nhiên giao hoán 1.1.1.5 Nhóm hữu hạn, vô hạn liên tục Số phần tử nhóm gọi cấp nhóm Nếu cấp số giới nội nhóm gọi hữu hạn Trong trường hợp ngược lại nhóm gọi vô hạn Một nhóm vô hạn có phần tử biến thiên liên tục gọi nhóm liên tục 1.1.2 Một số ví dụ cấu trúc nhóm 1.1.2.1 Nhóm Ci Tập hợp C i = {e, I} R R với I phép nghịch đảo không gian Ir = – r rõ ràng làm thành nhóm, phép nhân nhóm phép thực liên tiếp phép biến đổi nhóm (cụ thể phép biến đổi đơn vị e phép nghịch đảo không gian I) Nhóm nhóm tuần hoàn, hữu hạn cấp hai Ta có: I2 = e, I-1 = I P P P P 1.1.2.2 Nhóm Cs Tập hợp C s = {e, σ} R Footer Page of 185 R Header Page of 185 với σ phép phản chiếu qua mặt phẳng (cũng ký hiệu σ), rõ ràng nhóm tuần hoàn, hữu hạn, cấp hai Phép nhân hiểu theo nghĩa thực liên tiếp phép biến đổi thuộc nhóm (phép biến đổi đơn vị e phép phản chiếu σ) Ta có: σ2 = 1, σ-1 = σ P P P P 1.1.2.3 Nhóm Cn Tập hợp Cn = {e, Cn1 , Cn2 , , Cnn −1} C n phép quay mặt phẳng với góc quay ϕ = R R 2π , làm thành n nhóm Phép nhân phép thực liên tiếp phép quay mặt phẳng Phần tử nghịch đảo: ( Cnk ) = Cnn − k Cnn = e −1 [1.1–5] Nhóm nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n 1.1.2.4 Nhóm Zn Tập hợp tất bậc n đơn vị làm thành số nhóm tuần hoàn, gọi nhóm Z n( m ) : { Z n( m ) = e, ωn( m ) , ωn( m ) , , ωn( m ) n−1 } [1.1–6]  2π im  ωn( m ) exp  , ( m 0,1, , n − 1) = =  n  Phép nhân phép nhân thông thường số phức Nhóm Z n ≡ Z n(1) nhóm tuần hoàn điển hình, cấp n 1.1.2.5 Nhóm R3 Tập hợp tất vector a không gian ba chiều với phép cộng thông thường, làm thành nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu R3 P Đơn vị vector Phần tử nghịch đảo: a-1 = – a P P Nói riêng, ta có nhóm sau: Footer Page of 185 P Header Page of 185 1.1.2.5.1 Nhóm tịnh tiến T3 Ta xét tập hợp tất nhóm tịnh tiến T a không gian ba chiều thông thường R R Các phần tử tập hợp xác định vector tịnh tiến a Phép nhân xác định sau: T a T b = T a + b R R R R R R Đơn vị: e = T R R Phần tử nghịch đảo: Ta−1 = T−a Rõ ràng tập hợp làm thành nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu T R R Tương tự thế, tập hợp tất phép tịnh tiến không gian tuyến tính n chiều tạo thành nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu T n R R 1.1.2.5.2 Nhóm SO(2) Ta xét tập hợp tất phép quay g (ϕ ) mặt phẳng Các phần tử xác định góc quay ϕ ( ≤ ϕ ≤ 2π ) Phép nhân xác định sau: g (ψ ) g = (ϕ ) g (ψ + ϕ ) Đơn vị: e = g ( ) Phần tử nghịch đảo: g −1 (ϕ= ) g ( −ϕ ) Rõ ràng tập hợp làm thành nhóm liên tục, giao hoán, ký hiệu SO(2) Nhóm C n nhóm nhóm SO(2) R R 1.1.2.5.3 Nhóm SO(3) Tập hợp tất phép quay không gian ba chiều quanh điểm cố định rõ ràng làm thành nhóm, ký hiệu SO(3), với phép nhân quan niệm thực hai phép quay liên tiếp Các phần tử nhóm ký hiệu gk (ϕ ) với k trục quay ϕ góc quay Đơn vị: e = gk ( ) với k Phần tử nghịch đảo: gk−1 (ϕ = ) gk ( −ϕ ) Nhóm SO(3) nhóm liên tục, không giao hoán Nhóm SO(2) nhóm SO(3) Footer Page of 185 Header Page of 185 1.1.2.6 Nhóm ma trận Tập hợp tất ma trận cấp n xác định C với phép nhân ma trận thông thường có tính chất sau: a) Phép nhân ma trận kín b) Phép nhân có tính chất kết hợp c) Có tồn đơn vị phép nhân, ma trận đơn vị I n R d) Trừ ma trận kỳ dị, tức có định thức không, tất ma trận cấp n có nghịch đảo, tính theo phương pháp thông thường Vậy tập hợp tất ma trận cấp n xác định C có định thức khác không làm thành nhóm liên tục, không giao hoán với phép nhân ma trận thông thường Nhóm gọi nhóm ma trận cấp n Nhóm ma trận nhóm điển hình 1.1.3 Một số nhóm ma trận quan trọng Các nhóm ma trận xem nhóm gồm phép biến đổi tuyến tính không gian tuyến tính Các nhóm ma trận quan trọng nhóm sau 1.1.3.1 Nhóm GL(n, C) [GL(n, R)] Là nhóm gồm tất ma trận phức (hay thực) cấp n, có định thức khác không (không kỳ dị) 1.1.3.2 Nhóm SL(n, C) [SL(n, R)] Là nhóm gồm tất ma trận phức (hay thực) cấp n có định thức đơn vị 1.1.3.3 Nhóm U(p, q) Là nhóm gồm tất ma trận cấp n = p + q thuộc nhóm GL(n, C) làm bất biến dạng Hermitic z + gz (z i số phức), với: R Footer Page of 185 R Header Page of 185  z1   z      + * z=  , z =  z1        z p + q  − I p g=   z2* z *p + q  0 = −I p ⊕ Iq I q  [1.1–7] với I r ma trận đơn vị cấp r R R Gọi A phép biến đổi xét, theo điều kiện bất biến, ta có: = ( Az ) g ( Az ) + + z= ( A+ gA) z z + gz Từ ta có điều kiện cho ma trận A thuộc nhóm: A+ gA = g [1.1–8] Nhóm ma trận thỏa [1.1-8] gọi nhóm g – Unita n chiều Nói riêng, p = hay q = 0, ta có nhóm: U ( n ) ≡ U ( 0, n ) ≡ U ( n, ) làm bất biến dạng Hermitic z+z thỏa mãn điều kiện: P P + + A= A AA = In [1.1–9] Nhóm gọi nhóm Unita n chiều 1.1.3.4 Nhóm SU(n) SU= ( n ) U ( n ) ∩ SL ( n, C ) Đó nhóm ma trận Unita n chiều, có định thức đơn vị Điều kiện: + + A= A AA I n , det A = = Nhóm gọi nhóm Unita, đơn module n chiều Các nhóm SU(2) SU(3) có ứng dụng vật lý quan trọng Footer Page of 185 [1.1–10] Header Page of 185 1.1.3.5 Nhóm SU(p, q) SU ( p, q )= U ( p, q ) ∩ SL ( p + q, C ) Điều kiện: A+ gA = g , det A = g xác định [1.1–7] 1.1.3.6 Nhóm O(n, C) Là nhóm gồm tất phép biến đổi thuộc nhóm GL(n, C) làm bất biến dạng tòan phương zcz (z i số phức), với: P P R R  z1  z   2 . z =   , z c = [ z1 . .    zn  z2 zn ] Điều kiện cho ma trận A thuộc nhóm: c c A= A AA = In [1.1–11] Nhóm gọi nhóm trực giao phức, n chiều 1.1.3.7 Nhóm O(p, q) Là nhóm gồm tất phép biến đổi thuộc nhóm GL(p + q, R), làm bất biến dạng toàn phương xcgx, với x vector n chiều thực, g ma trận [1.1–7] P P Điều kiện cho ma trận A thuộc nhóm O(p, q) Ac gA = g [1.1–12] Nhóm gọi nhóm g – trực giao thực, n chiều Nói riêng, p = hay q = 0, ta có nhóm O(n) O ( n ) ≡ O ( 0, n ) ≡ O ( n, ) làm bất biến dạng toàn phương xcx P P Điều kiện cho ma trận A thuộc nhóm O(n) c c A= A AA = In Footer Page of 185 [1.1–13] Header Page 10 of 185 Nhóm gọi nhóm trực giao thực, n chiều Nhóm trực giao thực ba chiều O(3) xét trước trường hợp riêng nhóm Nhóm O(3) có vị trí quan trọng vật lý học 1.1.3.8 Nhóm SO(p, q) SO ( p, q )= O ( p, q ) ∩ SL ( p + q, R ) Điều kiện cho ma trận A thuộc nhóm SO(p, q) Ac gA = g , det A = [1.1–14] Nhóm gọi nhóm g – trực giao thực, đơn module Nói riêng, p = hay q = ta có nhóm SO(n) SO ( n ) ≡ SO ( 0, n ) ≡ SO ( n, ) làm bất biến dạng toàn phương xcx có định thức đơn vị P P Điều kiện cho ma trận thuộc nhóm SO(n) c c A= A AA = I n , det A = [1.1–15] Nhóm gọi nhóm trực giao thực n chiều, đơn module nhóm quay không gian n chiều Các nhóm SO(2) SO(3) xét trước trường hợp riêng nhóm 1.1.3.9 Nhóm Sp(2n, C) Là nhóm gồm phép biến đổi phức thuộc nhóm GL(2n, C) làm bất biến dạng zchz, với z vector phức 2n chiều P P 0 h= In −In   [1.1–16] Điều kiện cho ma trận A thuộc nhóm Ac hA = h [1.1–17] Nhóm gọi nhóm symplectic phức, 2n chiều 1.1.3.10 Nhóm Sp(2n, R) Là nhóm gồm phép biến đổi thực thuộc nhóm GL(2n, R) làm bất biến dạng toàn phương xchx, với x vector thực 2n chiều h ma trận [1.1–16] P Footer Page 10 of 185 P Header Page 61 of 185 60 A s Qˆ ik , Qˆ sj  = iA s (δ ji Qˆ ks − δ ks Qˆ ji + δ is Qˆ jk − δ jk Qˆ is ) − Qˆ ik , πˆ j  = ( III ) =  ˆ − iA Qˆ ⇒ ( III = ) iδ jk A sQˆ si − iδ ij A sQˆ sk + iAQ i jk k ji ( PartThree ) =( I ) + ( II ) + ( III ) = ⇒ ( PartThree ) i 1 1 x x A Qˆ − i xi x j A mQˆ mk + i xk Qˆ ij − i xi Qˆ kj k j s si r r r r πˆ j  iδ ijπˆ k − iδ jk πˆi ⇒  Dˆ ik ,= ( PartOne ) + ( PartTwo ) + ( PartThree ) = Như ta hoàn tất việc chứng minh [A4.1] 2) Chứng minh [A4.2]:   1   Dˆ j , πˆ k  = ˆ9 − x9πˆ j − xmQˆ mj , πˆ k  =  x9πˆ j , πˆ k  +  x jπˆ9 , πˆ k  −  xmQˆ mj , πˆ k  − π x j     r  r  Dạng tường minh số hạng thứ nhất: −  x9πˆ j , πˆ k  = − x9 πˆ j , πˆ k  − [ x9 , πˆ k ] πˆ j = i x9 ( x j A nQˆ nk − xk A mQˆ mj − Qˆ jk ) ( PartOne ) = r ⇒ ( PartOne= ) i ⇒ 1 x x A Qˆ − i x9 xk A mQˆ mj − i x9Qˆ jk j m mk r r r ( PartOne ) = i x9 x j xm xxx Qˆ mk − i k m Qˆ mj − i x9Qˆ jk r ( r + x9 ) r ( r + x9 ) r Dạng tường minh số hạng thứ hai: = ( PartTwo )  = x jπˆ9 , πˆ k  x j [πˆ9 , πˆ k ] +  x j , πˆ k  πˆ9 ⇒ r −i x j xmQˆ mk + iδ jk πˆ9 ( PartTwo ) = Tương tự chứng minh [A4.1], ta chia nhỏ việc tính toán dạng tường minh số hạng thứ ba: Footer Page 61 of 185 Header Page 62 of 185 61 1  1  −  xmQˆ mj , πˆ k  = −  xmQˆ mj , πˆ k  −  , πˆ k  xmQˆ mj ( PartThree ) = r  r r  1 1  ⇒ ( PartThree ) = − xm Qˆ mj , πˆ k  − [ xm , πˆ k ] Qˆ mj −  , πˆ k  xmQˆ mj r r r  xm A s Qˆ mj , Qˆ sk  = i xm A s (δ kmQˆ js − δ js Qˆ km + δ ms Qˆ kj − δ kj Qˆ ms ) − xm Qˆ mj , πˆ k  = (1) = r r r 1  ˆ   ˆ (1a ) = i r δ km xm As Q js = −i r xk As Qsj  1 (1b ) = −i δ js xm A s Qˆ km = +i A j xmQˆ mk  r r  r−x 1 r − x92 ˆ (1c ) = i δ ms xm A s Qˆ kj = Qkj = −i −i Qˆ jk r r r ( r + x9 ) r   (1d ) = −i δ x A Qˆ = kj m s ms  r (1) = (1a ) + (1b ) + (1c ) + (1d ) r r−x 1 −i xk A mQˆ mj + i A j xmQˆ mk − i Qˆ jk ⇒ (1) = r r r r − [ xm , πˆ k ] Qˆ mj = −i δ mk Qˆ mj ⇒ ( ) = i ( 2) =     −  , πˆ k  xmQˆ mj = +  πˆ k  xmQˆ mj ( 3) = r   r ˆ Q jk r ⇒ ( 3) = i xk xmQˆ mj r3 ( PartThree ) = (1) + ( ) + ( 3) 1 1 ⇒ ( PartThree ) = −i xk A s Qˆ sj + i A j xmQˆ mk + i xk xmQˆ mj + i x9Qˆ jk r r r r x j xm xx 1 ⇒ ( PartThree= Qˆ mk − i k m Qˆ mj + i xk xmQˆ mj + i x9Qˆ jk ) i r ( r + x9 ) r ( r + x9 ) r r ⇒ ( PartThree ) = Footer Page 62 of 185 i x j xm xxx Qˆ mk + i k m Qˆ mj + i x9Qˆ jk r ( r + x9 ) r ( r + x9 ) r Header Page 63 of 185 62 xxx xxx j m −i Qˆ mk + i k m Qˆ mj + i x9Qˆ jk + iδ jk πˆ9 ( PartTwo ) + ( PartThree ) = r ( r + x9 ) r ( r + x9 ) r ⇒ = ( PartTwo ) + ( PartThree ) i x j xm xxx 1 Qˆ mk + i k m Qˆ mj + i x9Qˆ jk − i x j xmQˆ mk + iδ jk πˆ9 r ( r + x9 ) r ( r + x9 ) r r iδ jk πˆ9 ( PartOne ) + ( PartTwo ) + ( PartThree ) = ⇒  Dˆ j , πˆ k  = iδ jk πˆ9 Như ta hoàn tất việc chứng minh [A4.2] 3) Chứng minh [A4.3]: 1  Dˆ j , πˆ9  =  x jπˆ9 − x9πˆ j − xmQˆ mj , πˆ9  =  x jπˆ9 , πˆ9  −  x9πˆ j , πˆ9  −  xmQˆ mj , πˆ9            r  r (1) = x jπˆ9 , πˆ9  =x j [πˆ9 , πˆ9 ] +  x j , πˆ9  πˆ9 =0 r −  x9πˆ j , πˆ9  = − x9 πˆ j , πˆ9  − [ x9 , πˆ9 ] πˆ j = −i x9 xmQˆ mj − iπˆ j ( 2) = 1 1  1  −  xmQˆ mj , πˆ9  = − xm Qˆ mj , πˆ9  − xm  , πˆ9  Qˆ mj = +i x9 xmQˆ mj ( 3) = r  −iπˆ j ⇒ (1) + ( ) + ( 3) = r r   Dˆ j , πˆ9  = −iπˆ j ta hoàn tất việc chứng minh [A4.3]   4) Chứng minh [A4.4]:  Dˆ jk , πˆ9  =  x jπˆ k − xk πˆ j + x j A mQˆ mk − xk A mQˆ mj − Qˆ jk , πˆ9      (1) = x jπˆk , πˆ9  =x j [πˆ k , πˆ9 ] +  x j , πˆ9  πˆ k =i Footer Page 63 of 185 r x j xmQˆ mk r3 Header Page 64 of 185 63 r −  xk πˆ j , πˆ9  = − xk πˆ j , πˆ9  − [ xk , πˆ9 ] πˆ j = −i xk xmQˆ mj ( 2) = ( 3) =  x j AmQˆ mk , πˆ9  = x j Am Qˆ mk , πˆ9  +  x j Am , πˆ9  Qˆ mk = i ∂ ∂x9     x j xmQˆ mk  r ( r + x9 )  ⇒ ( 3) = −i x j xmQˆ mk r ∂   −  xk A mQˆ mj , πˆ9  = − xk A m Qˆ mj , πˆ9  −  xk A m , πˆ9  Qˆ mj = −i ( 4) =   xk xmQˆ mj ∂x9  r ( r + x9 )  ⇒ ( 4) = i xk xmQˆ mj r − Qˆ jk , πˆ9  = ( 5) = ⇒ (1) + ( ) + ( 3) + ( ) + ( 5) =  Dˆ jk , πˆ9  = ta hoàn tất việc chứng minh [A4.4]   [A4.1] – [A4.4] viết dạng tổng quát  Dˆ αβ= , πˆ µ  iδ µα πˆ β − iδ µβ πˆ a  [A4.5] Giao hoán tử [A4.5] hữu ích việc chứng minh giao hoán tử  Hˆ Kep , Dˆ αβ  = Footer Page 64 of 185 Header Page 65 of 185 64 Phụ lục 5: Chứng minh giao hoán tử ˆ ˆ  H  Kep , Dαβ  = Để chứng minh trọn vẹn giao hoán tử ta cần chứng minh hai trường hợp sau: ˆ ˆ  H  Kep , D jk  = [A5.1] ˆ ˆ  H  Kep , D j  = [A5.2] 1) Chứng minh [A5.1]: ˆ2    ˆ2  ˆ , Dˆ  =  πˆ + Qmn − Z , Dˆ  = πˆ , Dˆ  − Z  , Dˆ  +  Qmn , Dˆ  H jk jk  jk  jk λ λ 2   Kep jk   r r r  8 r 2   −  Dˆ jk , πˆ λ  = −iδ jλ πˆ k + iδ k λ πˆ j Chú ý đến [8.5] ta có πˆλ , Dˆ jk  = = πˆ λ2 , Dˆ jk  ( PartOne ) = 1 πˆλ πˆλ , Dˆ jk  + πˆ λ , Dˆ jk  πˆλ 2 1 1 ⇒ ( PartOne ) = − iδ jλ πˆ λ πˆ k + iδ k λ πˆ λ πˆ j − iδ jλ πˆ k πˆ λ + iδ k λπˆ jπˆ λ 2 2 1 1 ⇒ ( PartOne ) = − iπˆ jπˆ k + iπˆ k πˆ j − iπˆ k πˆ j + iπˆ jπˆ k 2 2 ⇒ ( PartOne ) = ( PartTwo ) = − Z  ˆ  1  − Z  , x jπˆ k − xk πˆ j + x j A s Qˆ sk − xk A hQˆ hj − Qˆ jk  , D jk  = r  r   1  1  1  1  1  ⇒ ( PartTwo ) = − Z   , x jπˆ k  −  , xk πˆ j  +  , x j A s Qˆ sk  −  , xk A hQˆ hj  −  , Qˆ jk    r  r  r  r  r số hạng cuối ngoặc không vi tử Qˆ jk không tác động lên biến số xλ , điều dễ dàng thấy qua dạng tường minh 28 vi tử SO(8)   xk x j   x j xk ∂ 1 ∂ 1 ⇒ ( PartTwo ) =− Z  ix j − + + + 0 ix  =− Z  −i + i  k    ∂x  r  ∂x j  r  r r   k   Footer Page 65 of 185 Header Page 66 of 185 ⇒ 65 ( PartTwo ) = = ( PartThree )  ˆ2 ˆ   ˆ2 ˆ   ˆ  ˆ2 = Qmn , D jk  Qmn , D jk  +  , D jk  Qmn 2  r r  8r   ⇒ ( PartThree= ) = (1)  ˆ  ˆ2 ˆ ˆ ˆ  + Qˆ , Dˆ  Qˆ D Q + Q Q D , , jk mn mn mn jk  mn jk  mn 2    r 8r 8r   ˆ  ˆ2 1 ˆ  ˆ 1 ˆ  ˆ = D Q , , D jk  Qmn +  , D jk  Qmn ⇒ (1) = jk mn   r 8r  r r  r Để thuận tiện việc tính toán tiếp theo, ta cần tính riêng giao hoán tử Qˆ mn , Dˆ jk  ˆ  Qˆ , x πˆ − x πˆ + x A Qˆ − x A Qˆ − Qˆ  Qˆ mn , D= jk  k j j s sk k m mj jk    mn j k = Qˆ mn , x jπˆ k  − Qˆ mn , xk πˆ j  + Qˆ mn , x j A s Qˆ sk  − Qˆ mn , xk A mQˆ mj  − Qˆ mn , Qˆ jk  = x j Qˆ mn , πˆ k  − xk Qˆ mn , πˆ j  + x j A s Qˆ mn , Qˆ sk  − xk A m Qˆ mn , Qˆ mj  − Qˆ mn , Qˆ jk  = − x j A s Qˆ mn , Qˆ sk  + xk A m Qˆ mn , Qˆ mj  + x j A s Qˆ mn , Qˆ sk  − xk A m Qˆ mn , Qˆ mj  − Qˆ mn , Qˆ jk  = − Qˆ mn , Qˆ jk  ( ⇒ Qˆ mn , Dˆ jk  = −i δ kmQˆ nj − δ nj Qˆ km + δ mj Qˆ kn − δ knQˆ mj ) Qˆ mn Qˆ mn , Dˆ jk  = −i (δ kmQˆ mnQˆ nj − δ nj Qˆ mnQˆ km + δ mj Qˆ mnQˆ kn − δ knQˆ mnQˆ mj ) ( 2) = 8r 8r ( ) ⇒ ( 2) = −i Qˆ knQˆ nj − Qˆ mj Qˆ km + Qˆ jnQˆ kn − Qˆ mk Qˆ mj 8r ⇒ ( 2) = −i −Qˆ knQˆ jn + Qˆ mj Qˆ mk + Qˆ jnQˆ kn − Qˆ mk Qˆ mj 8r ( ⇒ −i ( Qˆ jn , Qˆ kn  + Qˆ mj , Qˆ mk  ) ( 2) = Footer Page 66 of 185 8r ) Header Page 67 of 185 66 Qˆ , Dˆ jk  Qˆ mn = −i (δ kmQˆ nj Qˆ mn − δ nj Qˆ kmQˆ mn + δ mj Qˆ kn Qˆ mn − δ knQˆ mj Qˆ mn ) ( 3) =  mn  8r 8r ( ) ⇒ ( 3) = −i Qˆ nj Qˆ kn − Qˆ kmQˆ mj + Qˆ knQˆ jn − Qˆ mj Qˆ mk 8r ⇒ ( 3) = −i −Qˆ nj Qˆ nk + Qˆ kmQˆ jm + Qˆ nk Qˆ nj − Qˆ jmQˆ km 8r ( = ⇒ ( 3) i ( ˆ ˆ  ˆ ˆ  Q jm , Qkm  + Qnj , Qnk  8r  ( PartThree ) = (1) + ( ) + ( 3) ⇒ ) ) ( PartThree ) = ˆ , Dˆ  = ˆ ˆ  H H  Kep , D jk  = ( PartOne ) + ( PartTwo ) + ( PartThree ) ⇒  Kep jk  Như ta chứng minh xong [A5.1] 2) Chứng minh [A5.2]: ˆ2    ˆ2  ˆ , Dˆ  =  πˆ + Q jk − Z , Dˆ  = πˆ , Dˆ  +  Q jk , Dˆ  − Z  , Dˆ  H λ λ Kep j j j j ,9 ,9 ,9 ,9 2  r j ,9      r r r     ˆ 1 πˆ λ , D j ,9  ˆ λ πˆ λ , Dˆ j ,9  + πˆ λ , Dˆ j ,9  πˆ λ = π    2  2 1 ⇒ ( PartOne ) = −i πˆ λ (δ λ jπˆ9 − δ λ 9πˆ j ) − i (δ λ jπˆ9 − δ λ 9πˆ j ) πˆ λ 2 1 ⇒ ( PartOne ) = −i πˆ j , πˆ9  + i πˆ j , πˆ9  2 = ( PartOne ) ⇒ ( PartOne ) =  −Z  ( PartTwo ) = ˆ  1  − Z  , x jπˆ9 − x9πˆ j − xmQˆ mj  , D j9  = r r  r   1  1  1  ⇒ ( PartTwo ) = − Z   , x jπˆ9  −  , x9πˆ j  −  , xmQˆ mj    r  r r  r  xx   xx ∂ 1 ∂ 1  ⇒ ( PartTwo ) = − Z  ix j − ix9 + 0 = − Z  −i j + i j       ∂x j  r   r r    ∂x9  r  Footer Page 67 of 185 Header Page 68 of 185 ⇒ 67 ( PartTwo ) = Để thuận tiện việc tính toán tiếp theo, ta cần tính riêng giao hoán tử Qˆ mn , Dˆ j  Qˆ mn , Dˆ=  Qˆ mn , x jπˆ9 − x9πˆ j − xk Qˆ kj  j     r   ∂ ∂ =Qˆ mn , −ix j + ix9 − rA k Qˆ kj  ∂x9 ∂x j    ∂  ˆ ∂   ˆ = −i Qˆ mn , x j  − rAk Qmn , Qˆ kj   + i Qmn , x9 ∂x9   ∂x j   ( ˆ = −irA k δ jmQˆ nk − δ nk Qˆ jm + δ mk Qˆ jn − δ jnQˆ mk ⇒ Qˆ mn , Λ j9   Qˆ 8 r  8r mn Qˆ mn Qˆ mn , Dˆ j  + ( PartThree ) =  , Dˆ j ,9  = = (1)  ) ˆ 1  Q , Dˆ j  Qˆ mn +  , Dˆ j  Qˆ mn  mn 8r r   ˆ  ˆ2 1 ˆ  ˆ 1 ˆ  ˆ = , D j  Qmn , D j  Qmn +  , D j  Qmn ⇒ (1) =  r 8r  r r   r  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Qˆ , Dˆ j  = ( 2) =  mn  −i Ak (δ jmQmnQnk − δ nk QmnQ jm + δ mk QmnQ jn − δ jnQmnQmk ) 8r 8r ( = −i A k Qˆ jnQˆ nk − Qˆ mk Qˆ jm + Qˆ knQˆ jn − Qˆ mj Qˆ mk 8r ⇒ ( 2) = i )  ˆ ˆ  Ak Qmj , Qmk  4r  Qˆ , Dˆ j  Qˆ mn = −i A k (δ jmQˆ nk Qˆ mn − δ nk Qˆ jmQˆ mn + δ mk Qˆ jnQˆ mn − δ jnQˆ mk Qˆ mn ) ( 3) =  mn  8r 8r ( = −i A k Qˆ nk Qˆ jn − Qˆ jmQˆ mk + Qˆ jnQˆ kn − Qˆ mk Qˆ mj 8r ⇒ ( 3) = −i )  ˆ ˆ  Ak Qmj , Qmk  4r  ( PartThree ) = (1) + ( ) + ( 3) ⇒ ( PartThree ) = Footer Page 68 of 185 Header Page 69 of 185 68 ˆ , Dˆ  = ˆ ˆ  H H  Kep , D j  = ( PartOne ) + ( PartTwo ) + ( PartThree ) ⇒  Kep j  Như ta chứng minh xong [A5.2] [A5.1] [A5.2] viết gọn  Hˆ Kep , Dˆ αβ  = Footer Page 69 of 185 Header Page 70 of 185 69 Phụ lục 6: Biểu diễn toán tử vector Runge – Lenz qua toán tử ˆ , Bˆ , H ˆ A α α Kep ( ) ˆ ˆ −B ˆ ˆ ϒµ = ω Α µ µ Λ µ ,10 =Bµ =− 2ω ( ϒ µ + ω xµ )  Ta có:  ⇒ ˆ ˆ Αµ + B Λ ˆ ˆ =+ ( ϒ − ω x )  xµ =− µ = Α µ ,12 µ µ µ ω   2ω ( ) { Chú ý: ϒ µ= xµ  πˆλ2 + Qˆ 2jk  + {πˆλ , Λ λµ }= xµ  πˆλ2 + Qˆ 2jk −  + µ + πˆλ , Λˆ λµ r r 4r 8r   2 ˆ +2 = xµ H ⇒ ϒ µ Zxµ r { ˆ + πˆ λ , Λ λµ Z Zx } } Toán tử vector Runge – Lenz xây dựng sau: { } { } Zx Zx 1 ˆ = ˆ πˆ λ , Dˆ λµ + µ = πˆ λ , Λˆ λµ + µ =ϒ µ − xµ H M µ r r ( ) ( ) ˆ= ω Α ˆ −B ˆ +1 Α ˆ +B ˆ H ˆ ⇒ M µ µ µ µ ω µ [A6.1] Chú ý hàm sóng khai triển thành tổ hợp tuyến tính theo hàm riêng toán tử Hamilton nên ta viết: ˆ + ω2 = H Sau biến đổi [6.1] có dạng đơn giản hơn: ˆ =1 Α ˆ H ˆ + ω2  + B ˆ H ˆ − ω2  M µ µ  µ    ω  ω    ˆ = 2B ˆ H ˆ ⇒ M µ µ ω [A6.2] [A6.1] [A6.2] có ích tính toán liên quan đến toán tử Runge – Lenz Footer Page 70 of 185 Header Page 71 of 185 70 Phụ lục 7: Chứng minh giao hoán tử ˆ ˆ  H  Kep , M α  = ˆ M ˆ  = tính toán trực tiếp qua dạng tường Việc chứng minh giao hoán tử  H, µ ˆ không gian chiều phức tạp Để đơn giản minh Hˆ M µ tính toán, ta cần sử dụng đến vi tử nhóm SO(10,2), điều hoàn toàn việc xây dựng nhóm SO(10,2) hoàn toàn độc lập với việc xây dựng nhóm SO(9) SO(10) Trước tiên ta cần biểu diễn Hamiltonian toán MICZ – Kepler chiều qua toán tử Λˆ Z 1ˆ ˆ = H Ocs − + E Z H Kep ˆ ˆ ωΛ ˆ r r +E Từ phụ lục 1, ta có:  ⇒ H Kep ≡ H = 11,12 − r r H ˆ ˆ  Osc = ωΛ11,12 [A7.1] Để thuận tiện tính toán, ta cần chứng minh thêm số công thức Như phụ lục nói, hàm sóng khai triển thành tổ hợp tuyến tính theo hệ hàm riêng toán tử Hamilton Hˆ Kep ≡ Hˆ Hˆ Osc (trong không gian chiều 16 chiều) Do ta viết: ˆ H + ω =  H ˆ  Osc − Z = [A7.2] Thật vậy: Ta cần chứng minh thêm giao hoán tử  Λˆ 11,12 , Hˆ  = 1ˆ 1 ˆ  ˆ ˆ ˆ Λ ˆ   11,12 , H = ω  Λ11,12 , r Λ11,12  − Z  Λ11,12 , r  +  Λ11,12 , E  ωˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ⇒  Λ Λ11,12 , Λ 11,12 , H = ω  Λ11,12 ,  Λ11,12 + 11,12  − Z  Λ11,12 ,  +  r r r   1  ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⇒  Λ 11,12 , H = ω  Λ11,12 ,  Λ11,12 − Z  Λ11,12 ,  =Λ 11,12 ,  ωΛ11,12 − Z  r  r r   1 ˆ ˆ ˆ ˆ ⇒  Λ 11,12 , H  =  Λ11,12 ,  H Osc − Z r  ( ( ˆ ,H ˆ= ⇒  Λ 11,12  Footer Page 71 of 185 ) ) [A7.3] Header Page 72 of 185 71 Ta có: ωˆ Z 1 ˆ  ˆ ˆ ˆ  ω ˆ ˆ  ˆ  Z ˆ   H,  M µ  =  r Λ11,12 − r + E , M µ  = ω  r , M µ  Λ11,12 + r  Λ11,12 , M µ  −  r , M µ  ωˆ ωˆ ˆ M ˆ = ˆ  + 1 , M ˆ  ωΛ ˆ ˆ  + 1 , M ˆ  H ˆ −Z ⇒  H, Λ11,12 , M Λ11,12 , M 11,12 − Z = Osc µ µ µ µ µ     r r r r     ( ) ( ) ωˆ ˆ M ˆ = ˆ  ⇒  H, Λ11,12 , M µ µ r ˆ M ˆ = ⇒  H, µ ˆ M ˆ = ⇒  H, µ ˆ M ˆ = ⇒  H, µ ωˆ ( ) ( ) ˆ −B ˆ +1 Α ˆ +B ˆ H ˆ Λ11,12 , ω Α µ µ µ µ   ω r  2 ω2  ˆ ˆ  − ω Λ ˆ ˆ  Λ ˆ ˆ ˆ  Λ ˆ ˆ ˆ Λ11,12 , Α µ 11,12 , B µ + 11,12 , Α µ H + 11,12 , B µ H 2r   2r   r  r  ω2  ˆ ˆ  − ω Λ ˆ ˆ  Λ ˆ ˆ  ˆ 1Α ˆ Λ ˆ ˆ Λ11,12 , Α µ µ 11,12 , B µ + 11,12 , Α µ H+ 11,12 , H  2r   r 2r  ˆ ˆ  ˆ 1B ˆ Λ ˆ ˆ +  Λ µ  11,12 , H  11,12 , B µ  H + r r  r   Ta tính toán riêng số hạng biểu thức trên: (1)= 2 ω2  ˆ ˆ = ω  Λ ˆ ˆ = iω Λ ˆ Λ11,12 , Α Λ , µ µ ,12 µ ,11 11,12 2r   2r   2r ω2  ˆ ω2  ˆ ˆ = ˆ = Λ11,12 , B − Λ11,12 , Λ µ µ ,10 − ( 2) = 2r  r  2r   i r ( 3) =  Λˆ 11,12 , Αˆ µ  Hˆ = Λˆ µ ,11Hˆ r ˆ ˆ ˆ Λ ( 4) =  11,12 , Bµ  H = ( 5) = 1ˆ ˆ ˆ  =0 Α µ  Λ11,12 , H  r 1ˆ ˆ ˆ  =0 Bµ  Λ11,12 , H  r ( 6) = i ˆ  ˆ 2 ˆ M ˆ =0 ˆ M ˆ = ⇒  H, Λ µ ,11  H + ω  ⇒  H, µ µ r   [A7.4] có ích tính toán Footer Page 72 of 185 [A7.4] Header Page 73 of 185 72 Phụ lục 8: Chứng minh giao hoán tử ˆ ˆ  ˆ ˆ D  αβ , M μ  = iδμα M β - iδμβ M α Để thuận tiện chứng minh giao hoán tử trên, ta cần sử dụng đến vi tử nhóm SO(10,2) phụ lục 7, ý Dˆ αβ = Λˆ αβ ( ) ( ) ˆ ,M ˆ  = Λ ˆ ,1ω Α ˆ −B ˆ +1 Α ˆ +B ˆ H ˆ Λ αβ µ αβ µ µ µ µ      ω ˆ ,M ˆ = ω  Λ ˆ ,Α ˆ  − ω Λ ˆ ,B ˆ  + Λ ˆ ,Α ˆ H ˆ  + Λ ˆ ,B ˆ H ˆ ⇒  Λ αβ µ αβ µ αβ µ αβ µ αβ µ         ω ω 2 ˆ ,M ˆ = ω  Λ ˆ ,Α ˆ  − ω Λ ˆ ,B ˆ  + Λ ˆ ,Α ˆ H ˆ ⇒  Λ αβ µ αβ µ αβ µ   ω  αβ µ  2 ˆ ˆ ˆ  Λ ˆ ,B ˆ H ˆ+1B ˆ Λ ˆ ,H ˆ  + Α µ  Λαβ , H  + αβ µ  ω ω ω µ  αβ  ˆ ,M ˆ =  Λ ˆ ,Α ˆ H ˆ + ω  + Λ ˆ ,B ˆ H ˆ − ω2  ⇒  Λ αβ µ αβ µ  αβ µ      ω  ω    ˆ ,M ˆ =  Λ ˆ ,B ˆ H ˆ ⇒  Λ αβ µ ω  αβ µ  Ta tính riêng giao hoán tử  Λˆ αβ , Bˆ µ  : ( ) ( ˆ  = Λˆ , Λˆ  =i g Λˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  Λˆ αβ , B µ βµ 10,α − g10,α Λ βµ + g10, β Λαµ − gαµ Λ10, β =i −δ µβ Bα + δ µα B β   αβ µ ,10  ˆ ,M ˆ  i δ B ˆ H ˆ −δ B ˆ H ˆ ⇒ = Λ αβ µ β µβ α  µα  ω ω   ˆ  = iδ M ˆ − iδ M ˆ Chú ý đến [A6.2] ta suy  Λˆ αβ , M µ µα β µβ α ˆ  iδ M ˆ − iδ M ˆ ,M hay  Dˆ αβ= µ µα β µβ α Footer Page 73 of 185 ) Header Page 74 of 185 73 Phụ lục 9: Chứng minh giao hoán tử ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ  ˆ M  α , M β  = -2iEDαβ ( ) ˆ ˆ  1 ω Α ˆ −B ˆ +1 Α ˆ +B ˆ H, ˆ 1ω Α ˆ −B ˆ +1 Α ˆ +B ˆ H ˆ M β α α α α β β β β    α , M= ω ω ( ) ˆ ˆ −B ˆ  + Α ˆ −B ˆ , Α ˆ +B ˆ H ˆ ω  Αα − Bˆ α , Α β β α α β β  2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   Α ˆ +B ˆ H, ˆ Α ˆ +B ˆ H ˆ +  Α α + Bα H, Α β − B β  + α β β   ω2  α ˆ ,M ˆ=  ⇒  M α β ( ) ( ) ( ) Ta tính toán số hạng biểu thức trên: ˆ ˆ −B ˆ  ω  Αα − Bˆ α , Α β β  1 1 ⇒ ( PartOne= ) ω  Αˆ α , Αˆ β  − ω  Αˆ α , Bˆ β  − ω  Bˆ α , Αˆ β  + ω  Bˆ α , Bˆ β  4 4 = ( PartOne ) 1 4 1 ˆ ,Α ˆ = − ω  B − ω  Λα ,10 , Λ β ,12  = ( 2) = α β 4 1 ( 3=) ω  Αˆ α , Αˆ β= ω  Λα ,12 , Λ β ,12= iω Λ βα 4 1 − iω Λ βα ( ) =ω  Bˆ α , Bˆ β  =ω  Λα ,10 , Λ β ,10  = 4 ˆ ,B ˆ = − ω  Α − ω  Λα ,12 , Λ β ,10  = (1) = α β ⇒ ( PartOne ) = (1) + ( ) + ( 3) + ( ) ⇒ ( PartTwo )= ( ( PartOne ) = ) 1ˆ ˆ , Α ˆ +B ˆ H ˆ Αα − B α β β  2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   Αα , Bβ H  −  B   Bα , Bβ H  ⇒ ( PartTwo ) =  Α α , Αβ H  + α , Αβ H  −     2 2 ⇒ ( PartTwo ) = ⇒ ( PartTwo )= Footer Page 74 of 185 ˆ ˆ ˆ +1Α ˆ Α ˆ ˆ  Α ˆ ,B ˆ H ˆ +1B ˆ Α ˆ ˆ  Αα , Α β  H β  α , H + α β β  α , H    2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1ˆ ˆ ˆ ˆ  −  B Α β  Bα , H  −  B Bβ  Bα , H  α , Αβ  H − α , Bβ  H − 2 2 ( ) ˆ ˆ ˆ − B ˆ ,B ˆ H ˆ +1 Α ˆ +B ˆ Α ˆ ˆ ˆ  Αα , Α β  H α β β β  α − Bα , H      2 Header Page 75 of 185 74 ( ) ˆ −1 Α ˆ +B ˆ  H, ˆ Α ˆ −B ˆ  ⇒ ( PartTwo ) =iΛ βα H β β  α α ( ) ˆ ˆ  H, ˆ Α ˆ −B ˆ  Αβ + B β  α α ( PartTwo ) = −iΛαβ Hˆ − ⇒ Tính toán tương tự ( PartTwo ) , ta có: ( ) ( ) 1 ˆ ˆ H, ˆ Α ˆ −B ˆ  =−  Α ˆ −B ˆ , Α ˆ +B ˆ H ˆ Αα + B α β β β β α α   2 ( PartThree ) = ( PartThree ) = −iΛαβ Hˆ + ⇒ ( PartFour=) ( ⇒ ( PartFour= ) ω ⇒ ( Αˆ β ) ) ( )  ˆ ˆ H, ˆ Α ˆ +B ˆ H ˆ Α +B α β β  ω2  α ⇒ ( PartFour = ) + ( ˆ ˆ  H, ˆ Α ˆ −B ˆ  Αα + B α  β β ˆ +B β ( ( Αˆ ( )( ) ω ) ( ) ˆ  H, ˆ H ˆ + Α ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +B α   ω β + Bβ  Αα + Bα , H  H α ω ) ˆ  H, ˆ Α ˆ +B ˆ H ˆ + Α ˆ +B ˆ ,Α ˆ +B ˆ H ˆ2 +B α  β β α β β  α ω α )( Αˆ ( PartFour=) )  ˆ ˆ H, ˆ Α ˆ +B ˆ H ˆ+ Α ˆ +B ˆ  Α ˆ +B ˆ H, ˆ H ˆ Αα + B α β β β  α α   ω ω2 β ( Αˆ α ) ( ) ˆ  H, ˆ Α ˆ +B ˆ H ˆ− Α ˆ +B ˆ  H, ˆ Α ˆ +B ˆ  +B α  β β β  α α ω2 β ˆ ˆ  M  α , M β  = ( PartOne ) + ( PartTwo ) + ( PartThree ) + ( PartFour ) ( ) ( ) ˆ ,M ˆ  =−2iΛ ˆ H ˆ +1 Α ˆ +B ˆ  H, ˆ Α ˆ −B ˆ + Α ˆ +B ˆ  H, ˆ Α ˆ +B ˆ H ˆ ⇒  M α β αβ α α  β β α  β β ω2 α ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  Α ˆ +B ˆ  H, ˆ Α ˆ +B ˆ  − Α β + B β  H, Αα − Bα  − β  α α ω2 β ( ˆ ,M ˆ  =−2iΛ ˆ H ˆ+ ⇒  M α β αβ ) ( ( ) ) ( ) ˆ ˆ  H, ˆ M ˆ − Α ˆ +B ˆ  H, ˆ M ˆ  Αα + B α  β β  α ω ω β ˆ ,M ˆ  =−2iΛ ˆ H ˆ hay  M ˆ ˆ  ˆ Chú ý đến [A7.4] ta suy được:  M α β αβ  α , M β  = −2iEDαβ Footer Page 75 of 185 ... tử đơn cực từ dyon; tương đương toán dao động tử điều hòa 16 chiều toán MICZ-Kepler chiều sau áp dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng để chuyển biểu diễn tọa độ không gian chiều không gian 16 chiều. .. dàng nghiên cứu tính đối xứng toán MICZ-Kepler chiều chương 3, thông qua việc nghiên cứu tính đối xứng toán dao động tử điều hòa 16 chiều, hai toán tương đương mặt toán học Trong chương chương... trình [8, 9] , toán MICZ-Kepler chiều tác giả xây dựng toán Coulomb chiều với có mặt đơn cực SO(8) mà ta đề cập chi tiết [2.1.2] Toán tử Hamilton phương trình Schrodinger toán MICZ-Kepler chiều viết