tich phân đường

Bài giảng 12 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1.Định nghĩa: Cho hai hàm Px, y và Qx, y xác định trên cung phẳng AB.. Nếu với mọi cách chia cung AB, mọi cách chọn Mi luôn tồn tại giới hạn xác định duy nh

Bài giảng 12 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

1.Định nghĩa: Cho hai hàm P(x, y) và Q(x, y) xác định trên cung phẳng

AB Thực hiện các bước sau:

+ Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A=A0, A1, ,An=B

Không dẫm lên nhau

+ Gọi hình chiếu của véctơ uuuuurA B i−1 i

xuống hai trục x và y là ∆x i, ∆y i, trên mỗi cung A A i−1 i lấy tuỳ ý một điểm Mi(xi, yi).

1 ( , ) ( , )

n

n i i i i i i

i

=

+ Tìm giới hạn

i

ax s 0

lim n

n M

S

→∞

∆ →

Với ∆S i là độ dài cung A A i−1 i

Nếu với mọi cách chia cung AB, mọi cách chọn Mi luôn tồn tại giới hạn xác định duy nhất

Max slimi 0S n S

Thì S gọi là tích phân đường của các hàm P(x, y) và Q(x, y) dọc theo

cung AB Kí hiệu:

( , ) ( , )

AB

P x y dx Q x y dy+

∫

2 Tính chất: Tích phân đường có các tính chất của tích phân xác định kể

cả tính chất đổi chiều đường lấy tích phân nghĩa là:

(Vì khi đổi chiều đường lấy tích phân thì ∆xivà ∆y i đổi dấu)

3 Chú ý: Nếu C = AB là đường cong kín phẳng.

Ta quy ước chọn chiều dương trên C là chiều sao cho một người đi dọc theo C theo chiều ấy sẽ thấy miền giới hạn bởi C gần mình nhất ở về phía

bên trái - chiều ngược lại là chiều âm Ta ký hiệu tích phân đường dọc theo đường cong kín C là

C

∫

Ñ

4 Ý nghĩa cơ học: Xem P(x, y) và Q(x, y) là hình chiếu của lực Fur

Tác động lên chất điểm M chuyển động trên cung AB

Ta có: Fur = P x y i Q x y j( , ) + ( , )

Coi cung A A i−1 i như cung A A i−1 i khi đó

i i i

∆ = ∆ + ∆r

và trên cung đó xem Fur ur= F M( i) = P M i Q M j( i) + ( i)

= P x y i Q x y j M x y( , )i i + ( , ) ;i i i( , )i i ∈ A A i−1 i Khi đó công sinh ra trên cung A A i−1 i xấp xỉ

F(M ) s∆ =uuur P x y( , )i ∆ +x i Q x y( , )i ∆y i

và công sinh ra trên cả đường cong là:

1 ( , ) ( , )

n

n i i i i i i

i

=

Max slimi 0 n ( , ) ( , )

AB

∆ →

5 Cách tính tích phân đường:

a Nếu cung AB cho bởi phương trình y = y x( ) a x b≤ ≤

Thì công thức tính tích phân đường là:

[ ( , ( )) ( , ( )) ( )]

b

C

I = ∫xydx + −y x dy, với C là đường nối 0(0, 0) đến A(1, 1) có phương trình:

a y x=

b y x= 2

c y2 = x

.d y = 0;x =1(0 ≤ ≤x 1)

Giải:

a.Trên đường y x= → =y′ 1

vậy:

1 2 0

1

3

C

b.Trên đường y x= 2 → =y′ 2x

Vậy:

1

0

1

12

C

xydx + −y x dy = x + x − x x dx =

c.Trên đường y2 = →x dx = 2ydy

Vậy:

1

0

17

30

C

xydx + −y x dy = y y y + −y y dy =

d.Trên đường

1 2

Trên c y1 : = 0,dy = → =0 ∫ 0

Trên

2

1 2

0

1

2

C

c x = dx = → =∫ ∫ y − dy = −

Ví dụ 2: Tính 2

C

dx dy I

+

=

+

∫

C chu vi hình vuông A(1, 0); B(0, 1); C(-1, 0); D(0, -1) ngược chiều kim đồng hồ

Giải:

1 2 3 4

C C C C C

= + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Ñ

Trên C1= AB có phương trình

1

C

x y+ = → dx dy+ = → =∫ Trên C2= BC có phương trình

2

1 0

2

1

C

dx

−

− + +

∫ ∫

Trên C3= CD có phương trình

3

C

x y+ + = → dx dy+ = → =∫ Trên C4= DA có phương trình − − = →x y 1 dx dy=

4

1 0

2

2 1

C

d.Nếu cung AB cho bởi phương trình tham số:

x=x(t); y=y(t) α ≤ ≤t β

Khi đó [ ( ( ), ( )) ( )] [ ( ( ), ( )) ( )]

AB

β α

C

I = Ñ ∫ xdx + +x y dy ; C là đường tròn

x Rc= ost; y R= sint; 0 t 2≤ ≤ π

lấy theo chiều ngược kim đồng hồ

Giải:

′ = − ′ =

1 2 [ ]

0

cos ( sin ) cos ( cos sin )

π

=

2

0

cos

π

π

=

∫

C

xy ydx xdy I

−

=

+

∫

C là phần bên phải của Lemnixcat: (x2 + y2 2) = a x2( 2 − y2) (a > 0) lấy theo chiều ngược kim đồng hồ

Giải:

Đặt x rc= ost; y=rsint

Phương trình Lemnixcat là: r2 = a c2 os2ϕ

Phần bên phải ta có:

− ≤ ≤

2 4

4

C

π

π

−

−

+

Ñ

(Hàm dưới dấu tích phân lẻ)