chuyên đề hình học tọa độ oxyz – đặng việt đông

Dạng 7: Góc giữa hai đường thẳng Dạng 8: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Dạng 9: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng Dạng 10: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng Dạng 11: Khoả

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec tơ thỏa đk cho trước

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng

Dạng 3: Xét sự cùng phương, sự đồng phẳng

Dạng 4: Bài toán về tích vô hướng, góc và ứng dụng

Dạng 5: Bài toán về tích có hướng và ứng dụng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính, ĐK xác định mặt cầu

Dạng 2: PTMC biết tâm, dễ tính bán kính (Chưa học PTMP)

Dạng 3: PTMC biết 2 đầu mút của đường kính

Dạng 4: PTMC ngoại tiếp tứ diện

Dạng 5: PTMC qua nhiều điểm, thỏa ĐK

Dạng 6: PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng

Dạng 7: PTMC biết tâm và đường tròn trên nó

Dạng 8: PTMC biết tâm và ĐK của dây cung

Dạng 9: PTMC biết tâm thuộc d, thỏa ĐK

Dạng 10: PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa ĐK

Dạng 11: PTMC biết tâm, thỏa ĐK khác

Dạng 12: PTMC thỏa mãn ĐK đối xứng

Dạng 13: Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu

Dạng 14: Điểm thuộc mặt cầu thỏa ĐK

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Chưa học PTĐT)

Dạng 1: Tìm VTPT, các vấn đề về lý thuyết

Dạng 2: PTMP trung trực của đoạn thẳng

Dạng 3: PTMP qua 1 điểm, dễ tìm VTPT (không dùng tích có hướng)

Dạng 4: PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng

Dạng 5: PTMP qua 1 điểm, tiếp xúc với mặt cầu

Dạng 6: PTMP qua 1 điểm, cắt mặt cầu

Dạng 7: PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

Dạng 8: PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

Dạng 9: PTMP qua 2 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng

Dạng 10: PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

Dạng 11: PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK khác

Dạng 12: PTMP qua 3 điểm không thẳng hàng

Dạng 13: PTMP theo đoạn chắn

Dạng 14: PTMP song song với mp, thỏa ĐK

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Có sử dụng PTĐT)

Dạng 1: Tìm VTPT, các vấn đề về lý thuyết

Dạng 2: PTMP qua 1 điểm, dễ tìm VTPT (không dùng tích có hướng)

Dạng 3: PTMP qua 1 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng (đường-mặt)

Dạng 4: PTMP qua 1 điểm và chứa đường thẳng

Dạng 5: PTMP qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

Dạng 6: PTMP qua 2 điểm, VTPT tìm bằng tích có hướng

Dạng 7: PTMP qua 2 điểm, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

Dạng 8: PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với đường thẳng khác

Dạng 9: PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt phẳng

Dạng 10: PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK về góc, khoảng cách

Dạng 11: PTMP chứa 1 đường thẳng, thỏa ĐK với mặt cầu

Dạng 12: PTMP theo đoạn chắn thỏa ĐK với đường thẳng

Dạng 13: PTMP song song với mp, thỏa ĐK

Dạng 14: Toán Max-Min liên quan đến mặp phẳng

Dạng 15: Điểm thuộc mặt phẳng thỏa ĐK

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 1: Tìm VTCP, các vấn đề về lý thuyết

Dạng 2: PTĐT qua 1 điểm, dễ tìm VTCP (không dùng t.c.h)

Dạng 3: PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 mp)

Dạng 4: PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 đt)

Dạng 5: PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho đt+mp)

Dạng 6: PTĐT qua 1 điểm, cắt d1, có liên hệ với d2

Dạng 7: PTĐT qua 1 điểm, cắt d, có liên hệ với mp (P)

Dạng 8: PTĐT qua 1 điểm, cắt d1 lẫn d2

Dạng 9: PTĐT qua 1 điểm, vừa cắt – vừa vuông góc với d

Dạng 10: PTĐT qua 1 điểm, vuông góc với d, thỏa ĐK khoảng cách

Dạng 11: PTĐT qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

Dạng 12: PTĐT cắt 2 đường thẳng d1,d2, thỏa ĐK khác

Dạng 13: PTĐT nằm trong (P), vừa cắt vừa vuông góc với d

Dạng 14: PTĐT thỏa ĐK đối xứng

Dạng 15: PT giao tuyến của 2 mặt phẳng

Dạng 16: PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Dạng 17: PT hình chiếu vuông góc của d lên (P)

Dạng 18: Toán Max-Min liên quan đến đường thẳng

Dạng 19: Điểm thuộc đường thẳng thỏa ĐK

Dạng 7: Góc giữa hai đường thẳng

Dạng 8: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 9: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Dạng 10: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

Dạng 11: Khoảng cách giữa hai đối tượng song song

Dạng 12: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Dạng 13: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 14: Tìm giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau

Dạng 15: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

Dạng 16: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường, mặt (và ứng dụng)

Dạng 17: Tìm điểm thỏa ĐK đối xứng

MIN, MAX VÀ TOÁN THỰC TẾ

Dạng 1: Toán Max-Min tổng hợp

Dạng 2: Toán thực tế

Chú ý: Các định nghĩa về hai véc tơ bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các véc tơ trong

không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng

gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

Các giá của các véc tơ đồng phẳng có thể là các đường thẳng chéo nhau

b Điều kiện để ba véc tơ khác 0

đồng phẳng:

Định lý 1: a b c, ,

   đồng phẳng  m n, R a: mbnc

II TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ:

Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại O Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i 1; 0; 0 ,

III TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VEC TƠ THỎA ĐK CHO TRƯỚC

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ a  3; 2;1 

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;3;5 ,  B2;0;1 ,  C0;9; 0  Tìm trọng

tâm G của tam giác ABC

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; 1 , B2; 1; 3 , C  3; 5; 1 Tìm

tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

A D  2; 8; 3  B D  2; 2; 5 C D  4; 8; 5  D D  4; 8; 3 

Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A3; 2;5  Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt

phẳng tọa độ Oxz là 

A M3;0;5 B M3; 2; 0  C M0; 2;5  D M0; 2;5

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2; 2; 2 , B  3;5;1, C1; 1; 2  

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ?

A G2; 5; 2  B G0; 2; 1  C G0; 2; 3 D G0; 2; 1  

Câu 11: Trong không gian cho ba điểm A5; 2; 0 ,  B2; 3; 0 và C0; 2; 3 Trọng tâm G của tam

giác ABC có tọa độ là

A 2; 0; 1  B 1;1; 2  C 1; 2;1  D 1;1;1 

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A1; 2;3 , B2; 4; 2 và tọa độ trọng

tâm G0; 2;1 Khi đó, tọa độ điểm C là:

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho a    3; 2;1

và điểm A4; 6; 3  Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn

, cho điểm M2; 1; 1  Khẳng định nào sau đây là đúng?

A A4; 1; 2  B A   4; 1; 2 C A4; 1; 2   D A4;1; 2

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có 3 đỉnh

1; 2; 3 , 2; 3;5 , 4;1; 2

A  B C  Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Oxyz A3; 2;1 , B 1; 1; 2 ,  C 1; 2; 1 2

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 3; 2;3 ,  I 1; 0; 4  Tìm tọa độ điểm N

sao cho I là trung điểm của đoạn MN

C  Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp

A A3; 4; 6  B A4; 6; 5  C A2;0; 2 D A3;5; 6 

Câu 45: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D     có A0; 0; 0, B3; 0; 0,

0; 3; 0

D , D0; 3;3 Toạ độ trọng tâm tam giác A B C  là

A 2; 1;2 B 1; 2;1 C 2 ; 1;1 D 1; 1; 2

Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D     Biết A  3; 2;1,

4; 2; 0

C , B  2;1;1, D3;5; 4 Tìm tọa độ A của hình hộp ABCD A B C D    

A A   3; 3;3 B A    3; 3; 3 C A  3;3;1 D A  3;3;3

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp , biết rằng ,

, , Tìm tọa độ điểm

A B C7; 4; 4 C C10; 4; 4 D C  13; 4; 4

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D     Biết A1; 0;1 , B2;1; 2

, D1; 1;1 , C4;5; 5  Gọi tọa độ của đỉnh A a b c ; ;  Khi đó 2a b c  bằng?

Câu 49: Trong không gian Oxyz cho biết A  2;3;1; B2;1;3 Điểm nào dưới đây là trung điểm của

đoạn AB?

A M0; 2; 2 B N2; 2; 2 C P0; 2;0 D Q2; 2;0

Câu 50: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M1; 2;3 , N3; 0; 1  và điểm I là trung

điểm của MN Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A1; 2; 4, B2; 4; 1  Tìm tọa độ trọng tâm

G của tam giác OAB

A G1; 2;1 B G2;1;1 C G2;1;1 D G6;3;3

Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp có

và Tọa độ trọng tâm của tam giác là

Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A3; 2;3 ,   B 4;3;5 , C 1;1; 2   Tính tọa độ điểm D

sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

A D0; 4; 4  B D  4;0; 4 C D4; 0; 4 D D0; 4; 4  

Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3; 2;3  và B1; 2;5 Tìm tọa độ trung

điểm I của đoạn thẳng AB

A I2; 2; 1   B I2; 2;1 C I1;0; 4 D I2;0;8

Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm K2; 4; 6, gọi K  là hình chiếu vuông góc của

K lên Oz , khi đó trung điểm của OK  có tọa độ là:

A 0; 2; 0  B 0; 0;3  C 1;0; 0  D 1; 2;3 

Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ AO3i4j2k5j

Tọa độ của điểm A là

Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M2; 4; 3 , MN    1; 3; 4

2

M 

  C M  2; 3; 7 D M  4; 6; 7

Câu 60: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A1;3; 2, B2; 1;5 , C3; 2; 1  Tìm toạ

độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

A D0;0;8 B D2; 6; 4  C D4; 2; 4  D D2; 6;8

Câu 61: Cho tam giác ABC , biết A1; 2; 4 , B0; 2;5, C5;6;3 Tọa độ trọng tâm G của tam giác

ABC là

A G6;3;3 B G2; 2; 4 C G4; 2; 2 D G3;3; 6

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;5;3 và M2;1; 2  Tìm tọa độ điểm

B biết M là trung điểm của đoạn AB

Câu 64: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3;4;2 ,  B   1; 2;2 và G1;1;3 là trọng tâm của tam

giác ABC Tọa độ điểm C là

Câu 69: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A  1; 2; 0, B3;1; 2, C  2; 0;1

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A G0; 1;1  B G1; 0; 1  C G0;1; 1  D G0;1;1

Câu 70: Trong không gian với hệ tọa độ  , , , 

A N  2; 0; 0 B N2; 0; 0 C N4; 2; 0 D N4; 2; 0 

Câu 73: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 2; 3  Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng

Oyz là điểm  M Tọa độ của điểm M là

A M1; 2;0  B M0; 2;3  C M1; 0; 0 D M1; 0;3

Câu 74: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A  2; 4;1, B1;1; 6 , C0; 2;3 

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm Tọa độ trọng tâm

của tam giác là

Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a  2;1; 3 

và b    1;3; 4 

Vectơ 2



A 1;1; 2  B 1; 1; 2   C 1; 1; 2  D  1; 1; 2

Câu 82: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a  (3; 0; 2)

, c  (1; 1; 0)

Tìm tọa độ của véc tơ b

 thỏa mãn biểu thức 2b a 4c0

Câu 84: Trong không gian với hệ tọa độ O i j k; ; ;  

, cho hai vectơ a  2; 1; 4 

Câu 85: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 2;3), ( 3;0;1), ( 1; ; )B  C  y z

Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc trục O x khi cặp y z;  là

A ( 2; 4)  B (2; 4) C (1; 2) D ( 1; 2) 

Câu 86: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ a     1; 2;3

Tìm tọa độ của véctơ



là

A 2;1; 3  B 1; 3; 2  C 1; 2; 3  D 2; 3;1 

Câu 89: Trong không gian Oxyz, cho ba điểmA1; 2 ;1, B2;1; 3, C0 ; 3; 2 Tìm tọa độ trọng tâm G

của tam giác ABC

Câu 91: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A2;1; 4 , B5; 3;3 , C 1; 1;10 Tìm tọa

độ trọng tâm G của tam giác ABC

G 

2

;1;13

G 

 

Câu 94: Trong không gian vói hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A1;0; 2 ,  B2;1; 1 ,  C1; 2; 2  Tìm tọa

độ trọng tâm G của tam giác ABC

Câu 100: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A2; 0; 0 , B0; 2;0 , C0; 0; 2 và D2; 2; 2

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và CD Tọa độ trung điểm I của MN là:

A I1;1;1 B I1;1; 0 C 1 1; ;1

2 2

I 

  D I1; 1; 2 

Câu 101: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A0; 2; 1   và A1; 1; 2  Tọa độ

điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA2MB là

Câu 102: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 3; 2;3 ,  I 1; 0; 4  Tìm tọa độ điểm N

sao cho I là trung điểm của đoạn MN

A N5; 4; 2  B N0;1; 2 C 2; 1;7

2

N  

  D N  1; 2; 5

Câu 103: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2; 3  và  B   3; 4; 5   Tọa độ trung

điểm I của đoạn thẳng AB là:

Câu 110: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 2;3), ( 3;0;1), ( 1; ; )B  C  y z

Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc trục Ox khi cặp y z;  là:

Câu 113: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , , số điểm

sao cho điểm là đỉnh của một hình bình hành là

Câu 117: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho , , Biết rằng

là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm là:

Chú ý: Các định nghĩa về hai véc tơ bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các véc tơ trong

không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng

2 Véc tơ đồng phẳng

a Định nghĩa: Ba véc tơ a b c, ,

   khác 0

 gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với

 Các giá của các véc tơ đồng phẳng có thể

là các đường thẳng chéo nhau

b Điều kiện để ba véc tơ khác 0

 đồng phẳng:

:

II Tọa độ của véc tơ:

Trong không gian xét hệ trục Oxyz, có trục Ox vuông góc với trục Oy tại O, và trục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy) tại O Các vectơ đơn vị trên từng trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i 1; 0; 0 ,

III Tọa độ của véctơ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz     

(D 1 ) (D2) (D 3 )

a b c

P (Δ1)

2 )

và b

cùngphương

a



,b

,c đồng phẳng  a b c,  0

DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VEC TƠ THỎA ĐK CHO TRƯỚC

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ a  3; 2;1 

A M0; 2;1 B M1; 2; 0 C M2;1; 0 D M2; 0;1

Hướng dẫn giải Chọn A

Vì OM 2jk

  

nên tọa độ điểm M là M0; 2;1

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM  1;5; 2

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;3;5 ,  B2;0;1 ,  C0;9; 0  Tìm trọng

tâm G của tam giác ABC

A G1;5; 2 B G1; 0;5 C G1; 4; 2 D G3;12; 6

Hướng dẫn giải Chọn C

Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có

Câu 7: Cho các vectơ a  1; 2;3

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; 1 , B2; 1; 3 , C  3; 5; 1

Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

A D  2; 8; 3  B D  2; 2; 5 C D  4; 8; 5  D D  4; 8; 3 

Hướng dẫn giải Chọn D

Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm A3; 2;5  lên mặt phẳng Oxz ta chỉ cần giữ nguyên hoành 

độ và cao độ, cho tung độ bằng 0

Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2; 2; 2 , B  3;5;1, C1; 1; 2  

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ?

A G2; 5; 2  B G0; 2; 1  C G0; 2; 3 D G0; 2; 1  

Hướng dẫn giải Chọn B

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là 2  3 1 2 5  1 2 1  2

Câu 11: Trong không gian cho ba điểm A5; 2; 0 ,  B2; 3; 0 và C0; 2; 3 Trọng tâm G của tam

giác ABC có tọa độ là

A 2; 0; 1  B 1;1; 2  C 1; 2;1  D 1;1;1 

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A1; 2;3 , B2; 4; 2 và tọa độ

trọng tâm G0; 2;1 Khi đó, tọa độ điểm C là:

A C  1;0; 2  B C1; 0; 2 C C   1; 4; 4 D C1; 4; 4

Hướng dẫn giải Chọn A

5; 0; 5

I là trung điểm của đoạn M N nên ta có

222

11 4 3

Dựa vào định nghĩa OA 2i0j5k

A N  2; 0; 0 B N2; 0; 0 C N4; 2; 0 D N4; 2; 0 

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi N x y z là điểm cần tìm Ta có:  ; ;  MN x 3;y1;z

Khi đó theo giả thiết ta có  

Tọa độ điểm A là hình chiếu vuông góc của 1 A lên mặt phẳng Oyz là:  A10; 2;3

Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho 1; 2; 3 

Ta có:

2; 3;1 2 4; 6; 22; 0; 2 2; 0; 2

Gọi tọa độ điểm M là : M x y z ; ; 

Gọi M x y z  ; ; 

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho a    3; 2;1

và điểm A4; 6; 3  Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn

Giả sử B a b c khi đó  ; ;  ABa4;b6;c3

Khi đó ABa

  4 3

6 2

3 1

a b c

a b c

Theo định nghĩa về tọa độ điểm thì : OM 2i j k

Hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxz là  H4;0; 2 

 tọa độ điểm đối xứng là A4; 1; 2  

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có 3 đỉnh

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M3; 2;3 ,  I 1; 0; 4  Tìm tọa độ điểm N

sao cho I là trung điểm của đoạn MN

Giả sử N x y z( ; ; ) Do I là trung điểm của MN nên

Hướng dẫn giải Chọn B

6510

Hình chiếu của M1; 2;3 lên trục Oylà điểm Q0; 2; 0

Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a  2;5; 3

là

A 2; 3;1  B 2;1; 3  C 1; 3; 2  D 1; 2; 3 

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: AB 4; 1; 2  

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai điểm A3; 2;1, B  1; 0; 5 Tìm tọa độ trung

điểm của đoạn AB

A I(2; 2; 6) B I  ( 1; 1; 1) C I(2; 1; 3) D I(1; 1; 3)

Hướng dẫn giải Chọn D

Dựa vào công thức trung điểm ( ;I x y z của đoạn I I; I) AB

222

y

z z z

Gọi M là trung điểm đoạn BC , G là trọng tâm tam giác ABC

1 33

1 338

a b c

a b c

C  Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp

A A3; 4; 6  B A4; 6; 5  C A2;0; 2 D A3;5; 6 

Hướng dẫn giải Chọn D

Theo quy tắc hình hộp ta có: ABADAA AC

   

Suy ra    AAACABAD

Lại có: AC 3;5; 6 

Câu 45: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D     có A0; 0; 0, B3; 0; 0,

0; 3; 0

D , D0; 3; 3 Toạ độ trọng tâm tam giác A B C  là

A 2; 1;2 B 1; 2;1 C 2 ; 1;1 D 1; 1;2

Hướng dẫn giải Chọn A

0 0 3

1 2; 1; 23

3 3 0

23

Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BD.Ta có 3 3; ; 3

2 2 2

I  

.Gọi G a b c ; ;  là trọng tâm tam giác A B C 

C , B  2;1;1, D3;5; 4 Tìm tọa độ A của hình hộp ABCD A B C D    

A A   3; 3;3 B A    3; 3; 3 C A  3;3;1 D A  3;3;3

Hướng dẫn giải Chọn D

x y z

B

D'

a b c

C'

D'

D

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có

222

Câu 50: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M1; 2;3 , N3; 0; 1  và điểm I là trung

điểm của MN Mệnh đề nào sau đây đúng?

I là trung điểm của MN I2; 1;1 OI2; 1;1 

Ta có: v2a3b5c3;7;23

Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A1; 2; 4, B2; 4; 1  Tìm tọa độ trọng tâm

G của tam giác OAB

A G1; 2;1 B G2;1;1 C G2;1;1 D G6;3;3

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi G là trọng tâm của tam giác theo công thức ta có

333

G

G

G

x y z

Câu 53: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp có

và Tọa độ trọng tâm của tam giác là

,

Oxyz ABCD A B C D     A0;0;0 , B3;0;0 ,

0;3;0

Tọa độ trọng tâm của tam giác là:

Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A3; 2;3 ,   B 4;3;5 , C 1;1; 2   Tính tọa độ điểm D

sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

A D0; 4; 4  B D  4;0; 4 C D4; 0; 4 D D0; 4; 4  

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3; 2;3  và B1; 2;5 Tìm tọa độ trung

điểm I của đoạn thẳng AB

A I2; 2; 1   B I2; 2;1 C I1;0; 4 D I2;0;8

Hướng dẫn giải Chọn C

Tọa độ trung điểm I của đoạn AB với A3; 2;3  và B1; 2;5 được tính bởi

 

12

0 1; 0; 42

42

z

x x

y

I z

z

Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm K2; 4; 6, gọi K  là hình chiếu vuông góc của

K lên Oz , khi đó trung điểm của OK  có tọa độ là:

003

Chọn B

Gọi I là trung điểm của OK '

Ta có K' 0; 0; 6  là hình chiếu vuông góc của K lên Oz  I0; 0;3

Câu 57: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ AO3i4j2k5j

Tọa độ của điểm A là

A A3; 5; 2  B A3; 2; 5  C A3;17; 2 D A   3; 17; 2

Hướng dẫn giải Chọn D

2

M 

  C M  2; 3; 7 D M  4; 6; 7

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 60: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A1;3; 2, B2; 1;5 , C3; 2; 1  Tìm toạ

độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

A D0;0;8 B D2; 6; 4  C D4; 2; 4  D D2; 6;8

Hướng dẫn giải Chọn B

D

D

D

x y z

Câu 61: Cho tam giác ABC , biết A1; 2; 4 , B0; 2;5, C5;6;3 Tọa độ trọng tâm G của tam giác

ABC là

A G6;3;3 B G2; 2; 4 C G4; 2; 2 D G3;3; 6

Hướng dẫn giải Chọn B

G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

1 0 5

23

2 2 6

23

4 5 3

43

G

G

G

x y z

Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;5;3 và M2;1; 2  Tìm tọa độ điểm

B biết M là trung điểm của đoạn AB

M là trung điểm của đoạn AB

222

y

z z x

Câu 64: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3;4;2 ,  B   1; 2;2 và G1;1;3 là trọng tâm của tam

giác ABC Tọa độ điểm C là

A C0;1; 2 B C0;0;2 C C1;1;5 D C1;3; 2

Hướng dẫn giải Chọn C

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có

khi

Hướng dẫn giải Chọn B

Vì u2i3j5k

nên u  2; 3; 5 

Câu 69: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A  1; 2; 0, B3;1; 2, C  2; 0;1

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A G0; 1;1  B G1; 0; 1  C G0;1; 1  D G0;1;1

Hướng dẫn giải Chọn D

1 3 2

03

2 1 0

1 0;1;13

0 2 1

13

Dựa vào định nghĩa tọa độ của vectơ trong không gian

Câu 71: Trong không gian Oxyz, cho OA3i4j5k

Tọa độ điểm A là

A A   3; 4;5 B A3; 4; 5  C A  3; 4;5 D A3; 4;5

Hướng dẫn giải Chọn B

Do OA3i 4j5k

   

nên OA  3; 4; 5 

Vậy A3; 4; 5 

Câu 72: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M3;1; 0 và MN     1; 1;0 

Tìm tọa độ của điểm N

Câu 73: Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 2; 3  Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt

phẳng Oyz là điểm  M Tọa độ của điểm M là

A M1; 2;0  B M0; 2;3  C M1; 0; 0 D M1; 0;3

Hướng dẫn giải Chọn B

Điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oyz , khi đó hoành độ điểm  A: 0

x y z

Câu 76: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;5; 0, B2; 7;7 Tìm tọa độ của vectơ

Ta có x    b a 3 1; 4 2;3 1     2;2; 4 

Câu 78: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm Tọa độ trọng tâm

của tam giác là

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi là tọa độ trọng tâm của tam giác

Ta có

Câu 79: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a  2;1; 3 

và b    1;3; 4 

Vectơ 2

u a b 

có tọa độ là

A 5; 1; 2   B 5;1; 2  C 5; 1; 2  D  5; 1; 2

Hướng dẫn giải Chọn A

Câu 81: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với

1; 0; 2

A , B1;1; 4, C1; 4; 0  Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là

A 1;1; 2  B 1; 1; 2   C 1; 1; 2  D  1; 1; 2

Hướng dẫn giải Chọn C

13

1

23

Câu 84: Trong không gian với hệ tọa độ O i j k; ; ;  

, cho hai vectơ a  2; 1; 4 

Ta có b  1; 0; 3 

nên a b  . 2 12 10

Câu 85: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 2;3), ( 3;0;1), ( 1; ; )B  C  y z

Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc trục O x khi cặp y z;  là

A ( 2; 4)  B (2; 4) C (1; 2) D ( 1; 2) 

Hướng dẫn giải Chọn A

Tọa độ trọng tâm G của ABC là ( 1; 2; 4)

G    Do G Ox y 2; z 4

Câu 86: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ a     1; 2;3

Tìm tọa độ của véctơ

y z

Tọa độ trung điểm AB là điểm I ta có:

333



là

A 2;1; 3  B 1; 3; 2  C 1; 2; 3  D 2; 3;1 

Hướng dẫn giải Chọn D

a   i k j i jk nên a  2; 3;1 

Câu 89: Trong không gian Oxyz, cho ba điểmA1; 2 ;1, B2;1; 3, C0 ; 3; 2 Tìm tọa độ trọng tâm G

của tam giác ABC

Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là G1; 2 ; 2

Câu 90: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho bốn véc tơ a 2; 0;3 , b   3; 18; 0 , c2; 0; 2 

3; 18;0 1; 6;0

32; 0; 2 3 6; 0; 6

a a

b b

Câu 91: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A2;1; 4 , B5; 3;3 , C 1; 1;10 Tìm tọa

độ trọng tâm G của tam giác ABC