công thức lượng giác và phương trình lượng giác

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác: Bảng giá trị của các góc đặc biệt: Góc GTLG 0 0 (0) 30 0 ( 6 π ) 45 0 ( 4 π ) 60 0 ( 3 π ) 90 0 ( 2 π ) Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản: ( ) ( ) + α + α = ∀α∈ π   + α α = ∀α ≠ ∈  ÷   π   + = + α ∀α ≠ + π ∈  ÷ α   + = + α ∀α ≠ π ∈ α 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 R tan .cot 1 k ,k Z 2 1 1 tan k ,k Z cos 2 1 1 cotg k ,k Z sin Hệ quả: • sin 2 x = 1-cos 2 x ; cos 2 x = 1- sin 2 x • tanx= 1 cot x ; 1 cot tan x x = C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt: “ Cos đối, Sin bù, Phụ chéo, tan cot lệch π” D/. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng: Với mọi cung có số đo a, b ta có:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb  tan(a – b) = tan tan 1 tan .tan − + a b a b  tan(a + b) = tan tan 1 tan .tan + − a b a b 2. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa ⇒ 1 sina.cosa= sin2 2 a  cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a tan2a = 2 2tan 1 tan− a a 3. Công thức nhân ba:  sin3a = 3sina – 4sin 3 a  cos3a = 4cos 3 a – 3cosa 4.Công thức hạ bậc:  cos 2 a = 1 cos2 2 a+  sin 2 a = 1 cos 2 2 a−  tg2a = 1 cos 2 1 cos2 a a − + 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan 2 x :  sinx = 2 2 1 t t+  cosx = 2 2 1 1 t t − +  tanx = 2 2 1 t t−  cotx = 2 1 2 t t − 6. Công thức biến đổi tổng thành tích  a b a b cosa cos b 2 cos cos 2 2 + −     + =  ÷  ÷      a b a b cosa cos b 2 sin sin 2 2 + −     − = −  ÷  ÷      a b a b sin a sin b 2sin cos 2 2 + −     + =  ÷  ÷      a b a b sin a sin b 2 cos sin 2 2 + −     − =  ÷  ÷      sin( ) tan tan ( , , ) cos .cos 2 ± ± = ≠ + ∈ a b a b a b k k Z a b π π  sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin + + = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π  sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin − + − = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π  sin cos 2 sin( ) 2 ( ) 4 4 + = + = − a a a cos a π π  sin cos 2 sin( ) 2 ( ) 4 4 − = − = − + a a a cos a π π  cos sin 2 ( ) 2 sin( ) 4 4 − = + = − − a a cos a a π π 7. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a a b a b • = − + + • = − − + • = + + − • = + − − 1 sinα 2 π 0 π 3 2 π cosα 0 α E/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : 1/ Phương trình lượng giác cơ bản DẠNG 1 : sinu = sinv ⇔ 2 2 u v k u v k = + π   = π − + π  Nếu u, v tính bằng độ thì : sinu = sinv ⇔ 0 0 0 .360 180 .360 u v k u v k  = +  = − +    Phương trình sinx = a có nghiệm khi và chỉ khi – 1 ≤ a ≤ 1 hay a ≤ 1 và vô nghiệm khi và chỉ khi a 1 a 1 < −   >  hay a >1. Các trường hợp đặc biệt :  sinx = 0 ⇔ x = k π  sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k 2p  sinx = – 1 ⇔ x = – 2 π + k 2p .  Cho a ∈ [− 1; 1] thì arcsina là góc α ∈ 2 2 π π   −     ; sao cho sinα = a. Khi đó phương trình sinx = a ⇔ 2 2 x arcsin a k. x arcsina k. = + π   =π − + π  DẠNG 2 : cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2 π  Nếu u, v tính bằng độ thì : cosu = cosv ⇔ u = ± v + k.360 o  Phương trình cosx = a có nghiệm khi và chỉ khi – 1 ≤ a ≤ 1 hay a ≤ 1 và vô nghiệm khi và chỉ khi a 1 a 1 < −   >  hay a >1.  Cho a ∈ [− 1; 1] thì arccosa là góc α ∈ [ ] ;−π π sao cho cosα = a. Khi đó phương trình: cosx = a ⇔ 2 2 x arccosa k. x arccosa k. = + π   = − + π   Các trường hợp đặc biệt :  cosx = 0 ⇔ x = 2 π + k π  cosx = 1 ⇔ x = k2 π  cosx = – 1 ⇔ x = π + k2 π DẠNG 3 : tanu = tanv ⇔ u = v + k π  Nếu u, v tính bằng độ thì tanu = tanv ⇔ u = v + k.180 o  Phương trình tanx = a luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.  Cho a bất kỳ, ký hiệu arctana là góc thuộc α ∈ ; 2 2 π π   −  ÷   sao cho tanα = a. Khi đó, ph tr tanx = a ⇔ x = arcta + k.π DẠNG 4 : cotu = cotv ⇔ u = v + k π  Nếu u, v tính bằng độ thì cotu = cotv ⇔ u = v + k.180 o  Cho a bất kỳ, ký hiệu arccota là góc thuộc a ∈ ( ) π0; sao cho cotx = a. Khi đó, ph tr cotx = a ⇔ x = arccota + k.π 2/ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Là các phương trình lượng giác có dạng sau: at 2 + bt + c = 0 (1) , trong đó t là một trong các hàm số: sinu; cosu; tanu; cotu. Với a;b;c ∈ R; a ≠ 0. Và u: biểu thức chứa ẩn (u=u(x)).Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều kiện của ẩn phụ: + t=sinu , t=cosu : 1t ≤ + t=tanu ( ) 2 u k π π ≠ + ; t=cotu ( )≠u k π Giả sử giải tìm được t 1 ; t 2 thoả đ/k thì phải giải tiếp:sinu=t 1 ; sinu=t 2 (hoặc cosu=t 1 ; cosu=t 2 .) 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (2) (a,b,c , , , 0)R a b c∈ ≠ Phương pháp giải: Chia hai vế của PT cho 2 2 a b+ , (1) ⇔ 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + (ĐK để PT (2) có nghiệm: 2 2 2 a b c+ ≥ ) sin .cos cos .sin sin sin( ) sinx x x α α β α β ⇔ + = ⇔ + = Tr ong đó: 2 2 2 2 2 2 cos ; sin ; sin a b c a b a b a b α α β = = = + + + 4/ Phương trình đẳng cấp bậc hai: Dạng: a.sin 2 u+b.sinu.cosu+c.cos 2 u = 0 (3) (hoặc vế phải = d 0)≠ Phương pháp giải: B1: Xét 2 u k π π = + có thỏa phương trình không? B2: Nếu 2 u k π π = + không thỏa phương trình ta chia 2 vế của phương trình cho cos 2 u ≠ 0. Ta có PT bậc 2 : atan 2 u+btanu+c = 0 trở về dạng 3 5/ Phương trình lượng giác đối xứng: Dạng: a(sinx ± cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4) (a,b,c , , 0)R a b∈ ≠ Phương pháp giải: Đặt t =sin cos 2 sin( ) (*) 4 x x x π ± = ± (Đ/k : 2t ≤ ) 2 1 sin cos 2 − ⇒ = ± t x x . Thế vào PT (4) ta được phương trình: 2 2 1 .( ) 0 2 2 0 2 − ± + = ⇔ ± + + − = t at b c bt at c b (4 ’ ) 2 Giải PT (4 ’ ) ta sẽ tìm được giá trị t thoả đ/k, thế vào (*) giải tiếp tìm ra nghiệm x của 3 . = + + − • = + − − 1 sinα 2 π 0 π 3 2 π cosα 0 α E/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : 1/ Phương trình lượng giác cơ bản DẠNG 1 : sinu = sinv ⇔ 2 2 u v k u v k =. ph tr cotx = a ⇔ x = arccota + k.π 2/ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Là các phương trình lượng giác có dạng sau: at 2 + bt + c = 0 (1)