Phương trình lượng giác chính thức và dự bị.

4.Một số phương trình lượng giác thường gặp:1.Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a.. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Để giải các phương tr

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.

Phần I.Lý thuyết:

1.Các hệ thức lượng giác cơ bản:

tan α = sin α

cos α



α 6= π

sin α (α 6= kπ.k ∈ Z) 1

cos2α = tan

2α + 1 α 6= π

sin2α = cot

2

α + 1(α 6= kπ, k ∈ Z) 2.Công thức lượng giác thường gặp

sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a Công thức cộng: cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b

tan(a ± b) = tan a ± tan b

1 ∓ tan a tan b sin(2a) = 2 sin a cos b Công thức nhân: cos(2a) = 2 cos2a − 1 = 2 sin2x − 1 = cos2x − sin2x

sin 3x = 3 sin a − 4 sin3a cos 3a = 4 cos3a − 3 cos a

tan 3a = 3 tan a − tan

3a

1 − 3 tan2a

sin a sin b = −1

2[cos(a + b) − cos(a − b)]

Tích thành tổng: cos a cos b = 1

2[cos(a + b) + cos(a − b)]

sin a cos b = 1

2[sin(a − b) + sin(a + b)]

cos a + cos b = 2 cosa + b

a − b 2 Tổng thành tích: cos a − cos b = −2 sina + b

a − b 2 sin a + sin b = 2 sin a + b

a − b 2 sin a − sin b = 2 cosa + b

a − b 2 tan a ± tan b = sin(a ± b)

cos a cos b

Công thức hạ bậc: sin2a = 1

2a = 1

2(1 + cos 2a) Biểu diễn các hàm số lượng giác theo: t = tana

2, sin a =

2t

1 + t2, cos a = 1 − t

2

1 + t2

3.Phương trình lượng giác cơ bản

∗ sin u = sin v ⇐⇒ u = v + k2π

4.Một số phương trình lượng giác thường gặp:

1.Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Để giải các phương trình này ta dùng công thức lượng giác để đưa về phương trình lượng giác cơ bản

b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Phương trình loại này có dạng a sin2x + b sin x +

c = 0 hoặc (a cos2x + b cos x + c = 0, a tan2x + b tan x + c = 0, a cot2x + b cot x + c = 0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm lượng giác (chú ý đến điều kiện của t)

2.Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x có dạng: a sin x + b cos x = c (a2+ b2 6= 0)

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a2+ b2 ≥ c2

Cách giải:

Chia cả hai vế của phương trình cho √

a2+ b2 ta được :

a

√

a2+ b2 sin x + √ b

a2+ b2 cos x = √ c

a2+ b2

⇐⇒ sin x cos α + cos x sin α = √ c

a2+ b2

⇐⇒ sin(x + α) = √ c

a2+ b2 (phương trình lượng giác cơ bản.)

Trong đó α là góc lượng giác thỏa mãn tan α = b

a.

3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x:

Dạng: a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

Cách 1:

• Kiểm tra với x = π

2 + kπ, (k ∈ Z)

• Giả sử cos x 6= 0 chia hai vế phương trình cho cos2x ta được a tan2x + b tan x + c = 0

cos2x = tan

2x + 1, x 6= π

2 + kπ, (k ∈ Z) Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc

Chú ý:

• Cách giải 1 được áp dụng cho phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x

• Phương trình chỉ chứa sin x và cos x mà mỗi đơn thức trong đó có bậc cùng chẵn hoặc cùng lẻ được gọi là phương trình đẳng cấp( nhờ hệ thức sin2x + cos2x = 1)

4.Phương trình đối xứng với sin x và cos x:

Dạng : a(sin x ± cos x) + b sin x cos x = c

Cách giải: Đặt t = sin x ± cos x Điều kiện |t| ≤√

2 Lưu ý các công thức: sin x ± cos x =√

2 sinx ±π

4



= ±√

2 cosx ∓ π

4



Chú ý: Với t = sin x + cos x thì S3 = sin3x + cos3x = −t3+ 3t

S4 = sin4x + cos4x = −t4+ 2t2+ 1

nx + cosnx = Sn−1t − Sn−2t

2− 1 2 5.Phương trình đối xứng đối với tan x và cot x

Phương trình được đưa về phương trình đại số thông thường nhờ phép đặt: t = tan x + cot x = 2

sin 2x.

Điều kiện: |t| ≥ 2.

Khi đó:

S2 = tan2x + cot2x = t2− 2; S3 = tan3x + cot3x = t3− 3t

S4 = tan4x + cot4x = t4− 4t2+ 2; Sn= tSn−1− Sn−2 Chú ý : Nếu phương trình cần đặt t = tan x − cot x = −2 cot 2x thì không cần điều kiện cho t và khi

đó S2 = tan2x + cot2x = t2+ 2

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1 Dùng các phương trình lượng giác để đưa về dạng tích

Ví dụ 1: Giải phương trình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x(1)

Giải: Phương trình (1) tương đương với :

1 − cos 2x

1 − cos 6x

1 + cos 4x

1 + cos 8x 2

⇐⇒ cos 2x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0

⇐⇒ (cos 2x + cos 8x) + (cos 4x + cos 6x) = 0

⇐⇒ 2 cos 5x cos x + 2 cos 5x cos 3x = 0

⇐⇒ 2 cos 5x(cos 3x + cos x) = 0

⇐⇒ 4 cos 5x cos 2x cos x = 0

⇐⇒





cos 5x = 0 cos 2x = 0 cos x = 0

⇐⇒











5x = π

2 + k2π 2x = π

2 + k2π

x = π

2 + k2π

⇐⇒











x = π

10+ k

2π 5

x = π

4 + kπ

x = π

2 + k2π

k ∈ Z

Kết luận: Phương trình đã cho có 3 họ nghiệm:











x = π

10+ k

2π 5

x = π

4 + kπ

x = π

2 + k2π

k ∈ Z

Phương pháp 2 Đặt thừa số chung:

Những phương trình dạng này đòi hỏi kỹ thuật biến đổi và kinh nghiêm nhận dạng để định hướng cho phép giải dưới đây tôi chỉ nêu lên một vài kinh nghiêm

Trước hết ta cần nắm được những họ có các biểu thức chung thường gặp sau:

sin x sin 2x, sin 3x, tan x, tan 2x, tan 3x

cos x sin 2x; cos 3x; tan 2x; cot x; cot 3x

2; cot2 x

2; sin2x; tan2x

1 − cos x sin2 x2; tan2 x2; sin2x; tan2x

1 + sin x cos2x, cot2x, cos2 π

4 − x

2
; sin2 π

4 +x 2

1 − sin x cos2x, cot2x, cos2 π

4 +x2
; sin2 π

4 −x 2

sin x + cos x cos 2x; cot 2x; 1 + sin 2x; 1 + tan x; 1 + cot x; tan x − cot x cos x − sin x cos 2x; cot 2x; 1 − sin 2x; 1 − tan x; 1 − cot x; tan x − cot x

Ví dụ 2: Giải phương trình: a sin x + b sin 2x + c sin 3x = 0 (a, b, c ∈ R)

Hướng dẫn:

a sin x + b sin 2x + c sin 3x = 0

⇐⇒ a sin x + 2b sin x cos x + c(3 sin x − 4 sin3x) = 0

⇐⇒ sin x(a + 2b cos x + 3c − 4c sin2x) = 0

Ví dụ : Giải phương trình: 1 + tan x

1 − tan x = 1 + sin 2x Hướng dẫn:

Điều kiện:

1 + tan x

1 − tan x = 1 + sin 2x

⇐⇒ sin x + cos x (1 − tan x) cos x = (sin x + cos x)

2

⇐⇒ (sin x + cos x)



(1 − tan x) cos x



= 0

Và còn nhiều phương pháp khác liên quan đến khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức để đánh giá

Phần III.PHƯƠNG TRÌNH XUẤT HIỆN TRONG CÁC ĐỀ THI CHÍNH THỨC 1.Khối A-2002: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình:

5

 sin x + cos 3x + sin 3x

1 + 2 sin 2x



= cos 2x + 3

Đáp số: x = π

3; x =

π 3 2.Khối A-2003: Giải phương trình: cot x − 1 = cos 2x

1 + tan x + sin

2x − 1

2sin 2x

Đáp số: x = π

4 + kπ k ∈ Z 3.Khối A-2005: Giải phương trình: cos23x cos 2x − cos2x = 0

Đáp số: x = kπ

4.Khối A-2006: Giải phương trình: 2(cos

6x + sin6x) − sin x cos x

√

Đáp số: x = 5π

4 + k2π 5.Khối A-2007: Giải phương trình (1 + sin2x) cos x + (1 + cos2x) sin x = 1 + sin 2x

Đáp số: x = −π

4 + kπ; x =

π

2 + k2π; x = k2π k ∈ Z 6.Khối A-2008: Giải phương trình 1

sin x +

1 sin



x − 3π 2

 = 4 sin

 7π

4 − x



Đáp số:x = −π

4 + kπ; x = −

π

8 + kπ; x =

5π

8 + kπ k ∈ Z 7.CĐ khối A-2008:Giải phương trình sin 3x −√

3 cos 3x = 2 sin 2x

Đáp số:x = π

3 + k2π; x =

4π

15 + k

2π

8.Khối A-2008: Giải phương trình (1 − 2 sin x) cos x

(1 + 2 sin x)(1 − sin x) =

√ 3

Đáp số: x = −π

18+ k

2π

9.CĐ khối A-2009: Giải phương trình (1 + 2 sin x)2cos x = 1 + sin x + cos x

Đáp số:x = −π

2 + k2π; x =

π

12 + kπ; x =

5π

12 + kπ (k ∈ Z) 10.Khối B-2002: Giải phương trình sin23x − cos24x = sin25x − cos26x

Đáp số:x = kπ

9; x = k

π

2 (k ∈ Z) 11.Khối B-2003:Giải phương trình cot x − tan x + 4 sin 2x = 2

sin 2x

Đáp số: x = ±π

3 + kπ (k ∈ Z) 12.Khối B-2004:Giải phương trình 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2x

Đáp số:x = π

6 + k2π; x =

5π

6 + k2π (k ∈ Z) 13.Khối B-2005:Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0

Đáp số:x = −π

4 + kπ; x = ±

2π

3 + k2π (k ∈ Z) 14.Khối B-2006: Giải phương trình cot x + sin x1 + tan x tanx

2



= 4 Đáp số:x = π

12+ kπ; x = ±

5π

12 + kπ (k ∈ Z) 15.Khối B-2007: Giải phương trình 2 sin22x + sin 7x − 1 = sin x

Đáp số:x = π

8 + k

π

4; x =

π

18+ k

2π

3 ; x =

5π

18 + k

2π

16.Khối B-2008: Giải phương trình sin3x −√

3 cos3x = sin x cos2x −√

3 sin2x cos x Đáp số:x = π

4 + k

π

2; x = −

π

3 + kπ (k ∈ Z) 17.Khối B-2008: Giải phương trình sin 3x −√

3 cos 3x = 2 sin 2x

Đáp số:x = π

3 + k2π; x =

4π

15 + k

2π

18.Khối B-2009: Giải phương trình sin x + cos x sin 2x +√

3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3x) Đáp số:x = −π

6 + k2π; x =

π

42+ k

2π

19.CĐ khối B-2009: Giải phương trình (1 + 2 sin x)2cos x = 1 + sin x + cos x

Đáp số:x = −π

2 + k2π; x =

π

12 + kπ; x =

5π

12 + kπ (k ∈ Z) 20.Khối D-2002: Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng của phương trình:

cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0

Đáp số:x = π

2; x =

3π

2 ; x =

5π

2 ; x =

7π 2 21.Khối D-2003: Giải phương trình sin2x

2 −π 4

 tan2x − cos2 x

2 = 0 Đáp số:x = π + k2π; x = −π

4 + kπ (k ∈ Z) 22.Khối D-2004: Giải phương trình (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x

Đáp số:x = ±π

3 + k2π; x = −

π

4 + kπ (k ∈ Z) 23.Khối D-2005: Giải phương trình sin4x + cos4x + cosx − π

4

 sin3x − π

4



− 3

2 = 0 Đáp số:x = π

4 + kπ (k ∈ Z)

24 Khối D-2006: Giải phương trình cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0

Đáp số:x = kπ; x = ±2π

3 + k2π (k ∈ Z) 25.Khối D-2007: Giải phương trình sinx

2 + cos

x 2

2

3 cos x = 2 Đáp số:x = π

2 + k2π; x = −

π

6 + k2π (k ∈ Z)

26 Khối D-2008: Giải phương trình 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x

Đáp số:x = π

2 + k2π; x = −

π

6 + k2π (k ∈ Z)

27.CĐ khối D-2008: Giải phương trình sin 3x −√

3 cos 3x = 2 sin 2x

Đáp số:x = π

3 + k2π; x =

4π

15 + k

2π

28.Khối D-2009: Giải phương trình √

3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0

Đáp số:x = π

18+ k

π

3; x = −

π

6 + k

π

2 (k ∈ Z) 29.CĐ A-2010: Giải phương trình 4 cos5x

2 cos

3x

2 + 2(8 sin x − 1) cos x = 5

Đáp số: x = π

12 + kπ; x =

5π

12 + kπ k ∈ Z 30.Khối D-2010: Giải phương trình sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0

Đáp số: x = π

6 + k2π; x =

5π

31.Khối B-2010: Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x˘ sin x = 0

Đáp số: x = π

4 + k

π

2 (k ∈ Z) 32.Khối A-2010: Giải phương trình

(1 + sin x + cos 2x) sin



x +π 4



1

√

2cos x Đáp số: x = −π

6 + k2π; x =

7π

6 + k2π (k ∈ Z) 33.CĐ khối A-2011 Giải phương trình cos 4x + 12 sin2x − 1 = 0

Đáp số: x = kπ (k ∈ Z) 34.Khối D-2011: Giải phương trình sin 2x + 2 cos x − sin x − 1

tan x +√

Đáp số:x = π

3 + k2π k ∈ Z 35.Khối B-2011: Giải phương trình sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x

Đáp số: x = π

2 + k2π; x =

π

2 + k

2π

36.Khối A-2011: Giải phương trình 1 + sin 2x + cos 2x

1 + cot2x =

√

2 sin x sin 2x Đáp số: x = π

2 + kπ; x =

π

4 + k2π (k ∈ Z) Phần IV.PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI DỰ BỊ

37.Dự bị I khối A-2002: Cho phương trình 2 sin x + cos x + 1

sin x − 2 cos x + 3 = a a) Giải phương trình khi a = 1

3 b)Tìm a để phương trình có nghiệm

38.Dự bị II A-2002: Giải phương trình tan x + cos x − cos2x = sin x1 + tan x tanx

2



39.Dự bị I khối B-2002: Giải phương trình tan4x + 1 = (2 − sin

22x) sin 3x cos4x 40.Dự bị II khối B-2002: Giải phương trình sin

4x + cos4x

1

2cot 2x −

1

8 sin 2x 41.Dự bị I khối D-2002: Giải phương trình

r 1

8 cos2x = sin x 42.Dự bị II khối D-2002: Xác định m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos 4x + 2 sin 2x − m = 0 có

ít nhất một nghiệm thuộc đoạnh0;π

2 i

43.Dự bị I khối A-2003: Giải phương trình cos 2x + cos x(2 tan x − 1) = 2

44.Dự bị II khối A-2003: Giải phương trình 3 − tan x(tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0

45.Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình 3 cos 4x − 8 cos6x + 2 cos2x + 3 = 0

46.Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình

(2 −√

3) cos x − 2 sin2

x

2 −π 4



47 Dự bị I khối D-2003: Giải phương trình cos

2x(cos x − 1) sin x + cos x = 2(1 + sin x)

48 Dự bị II khối D-2003: Giải phương trình cot x = tan x +2 cos 4x

sin 2x

49 Dự bị I A-2004: Giải phương trình 4(sin3x + cos3x) = cos x + 3 sin x

50 Dự bị II A-2004: Giải phương trình √

1 − sin x +√

1 − cos x = 1

51 Dự bị I B-2004: Giải phương trình 2√

2 cosx +π

4



sin x =

1 cos x

52 Dự bị II khối B-2004 Giải phương trình sin 4x sin 7x = cos 3x cos 6x

53 Dự bị I khối D-2004: Giải phương trình 2 sin x cos 2x + sin 2x cos x = sin 4x cos x

54.Dự bị II khối D-2004: Giải phương trình sin x + sin 2x =√

3(cosx + cos 2x) 55.Dự bị I khối A-2005: Giải phương trình 2√

2 cos3x −π

4



− 3 cos x − sin x = 0 Đáp số: x = π

2 + kπ; x =

π

4 + kπ (k ∈ Z) 56.Dự bị II khối A-2005: Giải phương trình tan 3π

2 − x



1 + cos x = 2 57.Dự bị I khối B-2005: Giải phương trình sin 2x + cos 2x + 3 sin x − cos x − 2 = 0

58 Dự bị II khối B-2005: Tìm nghiệm trên khoảng (0; π) của phương trình

4 sin2 x

2 −√3 cos 2x = 1 + 2 cos2



x −3π 4



Đáp số: x1 = 5π

18; x2 =

17π

18 ; x3 =

5π 6 59.Dự bị I khối D-2005: Giải phương trình sin x cos 2x + cos2x(tan2x − 1) + 2 sin3x = 0

60.Dự bị II khối D-2005: Giải phương trình tanπ

2 + x



− 3 tan3x = cos 2x − 1

cos2x

61 Dự bị I khối A-2006: Giải phương trình cos 3x cos3x − sin 3x sin3x = 2 + 3

√ 2 8

62 Dự bị II khối A-2006: Giải phương trình 2 sin2x − π

6

 + 4 sin x + 1 = 0

63 Dự bị I khối B-2006: Giải phương trình (2 sin2x − 1) tan22x + 3(2 cos2x − 1) = 0

64.Dự bị II khối B-2006: Giải phương trình cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0

65 Dự bị I khối D-2006: Giải phương trình sin3x + cos3x + 2 sin2x = 1

66 Dự bị II khối D-2006: Giải phương trình 4 sin3x + 4 sin2+3 sin 2x + 6 cos x = 0

67 Dự bị I khối A-2007: Giải phương trình sin 2x + sin x − 1

2 sin x − 1

sin 2x = 2 cot 2x

68 Dự bị II khối A-2007: Giải phương trình 2 cos2x + 2√

3 sin x cos x + 1 = 3(sin x +√

3 cos x)

69 Dự bị I khối B-2007: Giải phương trình sin 5π

2 −π 4



− cosx

2 −π 4



2 cos3x 2

70 Dự bị II khối B-2007: Giải phương trình sin 2x

cos x +

cos 2x sin x = tan x − cot x

71 Dự bị I khối D-2007 : Giải phương trình 2√

2 sinx − π

2

 cos x = 1

72 Dự bị II khối D-2007 : Giải phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x

73 Dự bị I khối A-2008 : Giải phương trình tan x = cot x + 4 cos22x

74 Dự bị II khối A-2008: Giải phương trình sin2x −π

4



= sinx − π

4

 +

√ 2 2

75 Dự bị I khối B-2008: Giải phương trình 2 sinx +π

3



− sin2x −π

6



= 1 2

76 Dự bị II khối B-2008: Giải phương trình 3 sin x + cos 2x + sin 2x = 4 sin x cos2 x

2

77 Dự bị I khối D-2008: Giải phương trình 4(sin4x + cos4x) + cos 4x + sin 2x = 0

79 Dự bị I khối D-2010: Giải phương trình 2 sin22x + sin 6x = 2 cos2x

80 Dự bị II khối D-2010: Giải phương trình 2√

3(cos x − 2) sin x + 4(cos x − 1) cos x