Thông tin tài liệu
Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / LUYỆN w wTHI wĐẠI tHỌC a TRỰC i l i TUYẾN eupro.co http://ww w VIệT t a HùNG ilieupro.co ĐặNG http://www.tailieupro.co h t t p :BÀI / / wGIẢNG w w TRỌNG t a i l i eTÂM upro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c MŨ – LOGA Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co ( ) http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i( l) i e u p r o c h t( t) p :( )/ / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p :( / / ) w( w) w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c 01 ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH I CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA 1) Khái niệm Lũy thừa Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a a, với n số tự nhiên Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n số tự nhiên a m Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m = n m a với m, n số tự nhiên Đặt biệt, m = ta có a n = n a 2) Các tính chất Lũy thừa a = 1, ∀a Tính chất 1: a = a, ∀a a > 1: a m > a n ⇔ m > n Tính chất (tính đồng biến, nghịch biến): m n 0 < a < 1: a > a ⇔ m < n am > bm ⇔ m > Tính chất (so sánh lũy thừa khác số): với a > b > m m a < b ⇔ m < Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương 3) Các công thức Lũy thừa Nhóm cơng thức 1: Nhóm cơng thức 2: a m a n = a m + n n am = a n = n ab = n a n b , n a na = , ∀a ≥, b > b nb m am = a m−n an am n = a mn = a n m n m a → a = a2 ; a = a3 ; n a = an ∀a, b ≥ Ví dụ 1: Viết biểu thức sau dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi biểu thức tồn tại) a) A = x x d) D = b) B = 23 3 b3 a a b C = 23 2 c) e) D = a8 f) F = b2 b b b Ví dụ 2: Có thể kết luận số a trường hợp sau? − − a) ( a − 1) < ( a − 1) −3 −1 b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) 1 a c) −0,2 d) (1 − a ) − > (1 − a ) − e) ( − a)4 2 f) > a a > (2 − a) < a2 − Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 3+ − 3− 2 3+ 2 + 3− 2 −1 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://ww ( )w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t p :( /) / w (w) w t a i l i e u p r o c h t t ( p) : /( /) w w (w) t a i ( l i) e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c b) B = + 10 + + − 10 + 4x 4x + a) Chứng minh a + b = f(a) + f(b) = 2010 b) Tính tổng S = f + f + + f 2011 2011 2011 Ví dụ 5: So sánh cặp số sau Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) = π π a) 2 2 6 d) 7 7 8 10 π b) 2 π 5 π e) 6 π 5 3 c) 5 10 4 7 2 Ví dụ 6: Tìm x thỏa mãn phương trình sau? 1) x = 1024 4) ( 3 ) 2x 2 25 2) 1 = 9 x−2 x +1 x 2 5) 27 0, 25 322 x −8 = 0,125 x x 10) ( 12 ) ( ) = −x 125 = −x 3) 81 − x = 3 6) 2 27 = 64 11) 71− x.41− x = x −5 x + x −7 9) 49 8) 0, x = 0,008 7) 32 =1 7 = 3 x −3 28 II CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH 1) Khái niệm Logarith Logarith số a số x > ký hiệu y viết dạng y = log a x ⇔ x = a y Ví dụ: Tính giá trị biểu thức logarith sau log 4; log 81; log 32; log Hướng dẫn giải: • log = y ⇔ = ⇔ y = → log = y • log 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = → log3 81 = • log 32 = y ⇔ • log 2 =y⇔ y = 32 = 25 = y 10 ⇔ y = 10 → log = = 23 = 32 = 10 ⇔ y = → log =7 Chú ý: Khi a = 10 ta gọi logarith số thập phân, ký hiệu lgx logx Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) gọi logarith số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu lnx, (đọc lenx) 2) Các tính chất Logarith • Biểu thức logarith tồn số a > a ≠ 1, biểu thức dấu logarith x > • log a = ;log a a = 1, ∀a b > c ⇔ a > • Tính đồng biến, nghịch biến hàm logarith: log a b > log a c ⇔ b < c ⇔ < a < 3) Các cơng thức tính Logarith Cơng thức 1: log a a x = x, ∀x ∈ ℝ ,(1) Chứng minh: Theo định nghĩa hiển nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 ( 2) Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p( r) o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c h t t p( : /) / w w w t a i l i e u p r o c ) ( http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ) h t t p : / / w( w w.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h (t )t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Ví dụ 1: log 32 = log 25 = 5;log 16 = log 24 = log = Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau: a) P = log a a a a2 a4 a b) Q = log a a a a a Hướng dẫn giải: a) Ta có b) Ta có a a a2 a4 a = a.a a 1 a a = a a a a = a a 1+ + a 1 + a2 a.a = 28 a 15 a4 = a = 28 − a 15 = 67 a 60 → P = log 67 a 60 a a.a = a.a = 15 a 16 → Q = log 67 − 60 67 = log = − a 60 a a 15 a 16 = log a a 15 = 15 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức sau: 1) log 125 = 2) log 64 = 3) log16 0,125 = 4) log 0,125 2 = 5) log 3 3 = 6) log 7 7 343 = Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức sau: a) P = log a a a a = b) Q = log a a a a a = Công thức 2: a log a x = x, ∀x > , (2) Chứng minh: Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( ) ⇔ at = at Ví dụ 1: 2log = 3, 5log5 = 6, log 1 = ( ) log = ( ) 1 log = ( ) = log 64 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức sau: 1) 2log8 15 = log81 3) = log3 2) 2 = 4) = Công thức 3: log a ( x y ) = log a x + log a y , (3) Chứng minh: x = a log a x Áp dụng công thức (2) ta có → x y = a log a x a log a y = a log a x + log a y log a y y = a Áp dụng công thức (1) ta : log a ( x y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: a) log 24 = log ( 8.3) = log + log = log 23 + log = + log b) log 81 = log ( 27.3 ) = log 27 + log 3 = log 33 + log 3 = + = Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau: 4 10 a) log 16 = log + log 16 = log 22 + log 2 = + = 3 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w w t a i( l) i e( u) p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co ( ) http://www tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : (/ ) / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / /( w w w ( t )a i (l i) e u p r o c ) http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 3 b) log 27 = log 27 + log 3 c) log 32 = log + log Công thức 4: log a Chứng minh: −3 − 1 1 = log + log = log + log 3 3 32 = log 23 + log 2 = log 10 = −3 − = − 3 2 + log 2 = + = x = log a x − log a y , (4) y x = a log a x x a log a x Áp dụng công thức (2) ta có → = log y = a log a x −log a y log a y y a a y = a x Áp dụng công thức (1) ta : log a = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm y 32 = log 32 − log 16 = log 2 − log 2 = − = 3 16 m Công thức 5: log a b = m.log a b , (5) Chứng minh: Ví dụ: log Theo cơng thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b m = a m.loga b Khi log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm log 27 = log 33 = 3log 3; log 36 = log 62 = 2log Ví dụ 1: log 32 = log ( 32 ) = log 32 = 4 Ví dụ 2: −4 62.45 1 2log − log 400 + 3log 45 = log 62 − log 400 + log 45 = log = log 81 = log = −4 3 3 3 20 3 3 50 Ví dụ 3: log − log 12 + log 50 = log − log 12 + log 50 = log = log 25 = 2 Công thức 6: log a n b = log a b , (6) n Chứng minh: Đặt log a n b = y ⇒ a n y = b ⇔ a ny = b Lấy logarith số a hai vế ta : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y = hay log a n b = log a b n log a b ⇒ dpcm n log 16 = 2.4 = 22 log 64 = log 64 = log 64 = 5.6 = 30 25 log 16 = log 16 = Ví dụ : Hệ quả: Từ công thức (5) (6) ta có : log an b m = Ví dụ 2: log 125 = log 53 = log 5 = ; m log a b n log 2 32 = log 11 ( 2) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) = 11 log 2= 11 Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co ) w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / /( w http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w ( t) a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức A = log 3 27 = log 3 3 27 log = log − 3 log 33 52 3 27 log 3 27 + log 9 1 log + log 81 3 Hướng dẫn giải: =2 13 13 26 = log 3 = −2 = − 5 − = log 3−4 = −4.2 log 3 = −8 →A= 81 32 27 log 3 27 + log 1 log + log 81 3 log c b Công thức 7: (Công thức đổi số) log a b = , (7) log c a Chứng minh: 26 = = −8 + 2− Theo cơng thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b = log c b ⇒ dpcm log c a Nhận xét : + Để cho dễ nhớ đơi (7) gọi cơng thức “chồng” số viết theo dạng dễ nhận biết sau log a b = log a c.log c b log b b + Khi cho b = c (7) có dạng log a b = = log b a log b a Ví dụ 1: Tính biểu thức sau theo ẩn số cho: a) Cho log 14 = a → A = log 49 = ? b) Cho log15 = a → B = log 25 15 = ? Hướng dẫn giải: a) Ta có log 14 = a ⇔ a = log ( 2.7 ) = + log ⇒ log = a − Khi A = log 49 = 2log = ( a − 1) 1− a log = − = 1 a a b) Ta có log15 = a ⇔ a = = → log 15 + log log = a 1− a 1 log 15 1 B = log 25 15 = = a = a = →B = log 25 2log − a (1 − a ) (1 − a ) a Ví dụ 2: Cho log a b = Tính a) A = log b a b a b) B = log ab b a Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có log a b = ⇒ log b a = a) A = log b a b = log a b a b − log b a a= 1 − = b b log log b log a a a b Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) b − log a b − log a b − log a a = Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i (l i ) e u p r o c ) w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w( w http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www tailieupro.c ( ) http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c = 1 1 −1 −1 − = − = →A= − 2log b a log a b − − −2 3−2 −2 b log a b b a = log a b − = − Cách khác: Ta có A = log b = log = log = b b a log b log a b − a 3−2 a a2 a a a a b 1 1 b) B = log ab = log ab b − log ab a = − = − a log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log b a b = 1 −1 −1 = − = →B = 1 + log a b 1 1+ 3 + + log b a + + 2 b2 log a b b b a = 2log a b − = − Cách khác: Ta có B = log ab = log = log ab = ( ab ) a a log a ab + log a b a 1+ Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức sau: a) log 3.log 36 = = − b) log 8.log 81 = log 25 = Ví dụ 4: Cho log a b = Tính a a) A = log a b b) B = log b ab b a Ví dụ 5: Tính biểu thức sau theo ẩn số cho: 49 a) Cho log 25 = a; log = b → P = log =? b b) Cho log ab a = → Q = log ab =? a Công thức 8: a logb c = c logb a , (8) Chứng minh: c) log Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c Ví dụ 1: 49 log =2 log 49 = = 4; 2 log 27 = 27 log 2 logb a = c logb a ⇒ dpcm = 27 = 3 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 36log6 + log3 − 3log9 36 = 32 − log3 2.4 = 27 log3 c) C = 81log3 + 27 log9 36 + 34log9 = log b) B = BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài Tính giá trị biểu thức sau 1) log 25−1 5 2) log 3 729 3) log 4) log 3 log27 81 7) 5) log 33 3 8) 103+ 2log10 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) 12 6) 9 27 log 9) 43log8 3+2log16 Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 10) log3 2−2log 27 13) 25log5 + 49log7 1+log 16) +4 2−log +5 log125 27 log 2−log 11) 42+log 12) 14) 10 log10 15) 17) 25 log + 49 log 16 log 15 − log 30 log Bài Quy đổi biểu thức sau theo ẩn cho a) Cho log23 = a ; log25 = b Tính log 3; log 135; log 180 theo a, b b) Cho log53 = a, tính log2515 c) Cho log96 = a, tính log1832 d) Cho lg5 = a; lg3 = b Tính log308 Bài Chứng minh đẳng thức sau (với giả thiết biểu thức có nghĩa) a+b = ( lg a + lg b ) , với a2 + b2 = 7ab b) lg ( a + 2b ) − 2lg = ( lg a + lg b ) , với a2 + 4b2 = 12ab log c a + log c b 2a + 3b c) log c = , với 4a2 + 9b2 = 4ab d) Cho log1218 = a, log2454 = b, chứng minh rằng: ab + 5(a – b) = log a c log a b + log a x e) f) log ax bx = = + log a b log ab c + log a x log a N − log b N log a N 1 k (k + 1) g) , với b2 = ac h) + + + = = logb N − log c N log c N log a x log a x log a k x 2log a x a) lg Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ) h t t p : /( / )w( w w.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 02 HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = R • Tập giá trị: T = (0; +∞) • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang Hàm số logarit y = loga x (với a > 0, a ≠ 1) • Tập xác định: D = (0; +∞) • Tập giá trị: T = R • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng Giới hạn đặc biệt x) x x 1 = lim 1 + = e x →0 x →±∞ x ln(1 + x) ln(1 + u ) lim = → lim =1 x →0 u → x u ex −1 eu − • lim = → lim =1 x →0 x u →0 u Ví dụ Tính giới hạn sau: • lim (1 + • • lim x →0 − x −1 x →0 x ln(1 + x) 5) lim x →0 2x e2 x − 1) lim x →0 x ln(1 + x) 4) lim x →0 x 2) lim e sin x sin u ( x) = → lim =1 x →0 u ( x ) x e3 x − e x x →0 x e−4 x − 6) lim x →0 3x 3) lim Hướng dẫn giải: e2 x − e −1 1) lim = lim = x →0 x →0 x 2x 2x 2) lim x →0 e − −x e − −1 −1 = lim = − x → − x x x e3 x − − e x − e3 x − e x e3 x − e2 x − = lim = lim − lim = − = x →0 x →0 x →0 x →0 x x x x 3) lim 4) lim ln(1 + x) ln(1 + x) = lim 3 = x →0 x 3x 5) lim ln(1 + x) ln(1 + x) = lim = x → 2x 4x x →0 x →0 e −4 x − −4 e−4 x − = lim = − x →0 x → 3x −4 x 6) lim BÀI TẬP LUYỆN TẬP Tính giới hạn sau: ln (1 + x ) 1) lim x →0 x sin 2 2) lim x →0 e x − cos x x2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) eax − ebx x x →0 3) lim Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 10 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c ( h t t p : (/ / w) w w )( t a) i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c esin x − esin x 4) lim x x →0 x +1 7) lim x →+∞ x − x 5) lim x →+∞ + x x −1 x 3x − 8) lim x →+∞ x + 1 6) lim + x →+∞ x x +1 x +1 x 2x + 9) lim x →+∞ x − x Đạo hàm hàm mũ logarith y = a x → y′ = a x ln a Hàm mũ: y = au → y ′ = u ′.au ln a y = e x → y′ = e x Đặc biệt, a = e ta có y = eu → y ′ = u ′.eu → y′ = y = log a x x.ln a Hàm logarith: u′ y = log u → y′ = a u.ln a → y′ = y = ln x x Đặc biệt, a = e ta có u′ y = ln u → y′ = u Chú ý: Bảng đạo hàm số hàm thường gặp: Hàm sơ cấp Hàm hợp y = k → y′ = y = ku → y ′ = k u ′ 1 → y′ = − x x y = x → y′ = x u′ → y′ = − u u u′ y = u → y′ = u y= y = x n → y′ = n.x n −1 ⇒ y = sin x → y′ = cos x → y ′ = − sin x y = cos x → y′ = y = tan x cos x −1 y = cot x → y′ = sin x y= y = u n → y′ = n.u n −1 u ′ ⇒ y = sin u → y′ = u ′.cos u → y ′ = −u ′.sin u y = cos u u′ → y′ = y = tan u cos u −u ′ y = cot u → y′ = sin u u uv′ − u ′v → y′ = y = v v2 y = u.v → y′ = uv′ + u ′v Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau: x2 − x + y = x3 − x + x+3 Hướng dẫn giải: 1) y = x3 − x + 1) y = x3 − x + = x3 − 3x + 2) y = 3) y = sin ( x − 1) 2) y = → y ′ = x − x3 − x + −3 − ′ x2 − x + x2 − x + 3 x2 − x + x2 − x + = → y′ = = x+3 x+3 x+3 x+3 3 − − ′ x − x + (2 x − 1)( x + 3) − x + x − x − x + x + x − = = x+3 ( x + 3) ( x + 3) x+3 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 67 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u( p) r o c o http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 07 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH Cách giải: a > → f ( x) > g ( x) - Đưa số: log a [ f ( x)] > log a [ g ( x) ] ⇔ → f ( x) < g ( x) < a < - Đặt ẩn phụ t = log a f ( x) Ví dụ Giải bất phương trình sau: 1) log (1 − x ) < + log 2) log (1 − 2log9 x ) < ( x + 1) + 2x 3) log log >0 1+ x 1) log (1 − x ) < + log 3x + 4) log x >1 x+2 Hướng dẫn giải: ( x + 1) , (1) 1 − x > x < Điều kiện: ⇔ → −1 < x < x +1 > x > −1 (1) ⇔ log5 (1 − x ) < log5 + 2log5 ( x + 1) ⇔ log5 (1 − x ) < log5 5 ( x + 1) ⇔ − 2x < x2 + 2x + −6 + 14 x > ⇔ x + 12 x − > ⇔ −6 − 14 x < Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình 2) log (1 − 2log9 x ) < 1, ( 2) −6 + 14 x > x > Điều kiện: ⇔ ⇔ → < x < 1 − 2log x > 1 − log x > x < ( ) ⇔ − 2log9 x < ⇔ − log3 x < ⇔ l og3 x > −1 ⇔ x > Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình < x < 3 + 2x 3) log log > 0, ( 3) 1+ x 1 + x ≠ x ≠ −1 x ≠ −1 x ≠ −1 x ≠ −1 x > 1 + x 1 + x Điều kiện: >0 ⇔ > ⇔ 1 + x ⇔ x ⇔ x > → x < −1 1+ x 1+ x + x > 1 + x > x < −1 + 2x 1 + x log + x > + x > 1 + 2x + 2x + 2x −1 Do < < 1, ( 3) ⇔ log < = ⇔ log >1⇔ >2⇔ > →1 + x < ⇔ x < −1 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình x < –1 3x + 4) log x > 1, ( ) x+2 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 68 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c x > x > x ≠ x ≠ x ≠ −2 x > Điều kiện: x + ≠ ⇔ → x ≠ x > − 3x + > x + x < −2 Do (4) chứa ẩn số, ta chưa xác định số lớn hay nhỏ nên có hai trường hợp xảy ra: x > x > x > x > TH1: ( ) ⇔ ⇔ 3x + ⇔ x − x −2 ⇔ −1 < x < →1 < x < 3x + < log x x + > x + > x x+2 x < −2 0 < x < 0 < x < 0 < x < 0 < x < TH2: ( ) ⇔ ⇔ 3x + ⇔ x − x −2 ⇔ x > → vô nghiệm 3x + > log x x + > x + < x x+2 −2 < x < −1 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho < x < Ví dụ Giải bất phương trình sau 1 1) log x − − x + ≤ −1 3 2) log x − 3x + > log ( x + 1) 3 Hướng dẫn giải: 1 1) log x − − x + ≤ −1, 3 (1) x ≥ x2 − ≥ x ≤ −3 Điều kiện: ⇔ 1 x −9 − x+ >0 x − > x − , (*) x − < x < x< (*) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x > 41 41 x > x − > x − (I ) x ≥ x ≤ −3 x ≤ −3 Khi hệ ( I ) ⇔ x < → x > 41 41 x> (1) ⇔ x2 − − x + x ≥ −1 ≤ ⇔ x2 − ≤ x ⇔ →x ≥ x − ≤ x , ∀x Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình cho x > 2) log x − x + > , log ( x + 1) 41 ( 2) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 69 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ( ) ( ) http://www.tailieupro.c h t t p( : )/ / w w w t a i l i e u p r o c h t t( p ) : / / w( w) w t a i l i e u p r o c h t t (p :) / / w w( w) t a i l (i e )u p r o c http://www.tailieupro.c x > −1 x > x +1 > x > −1 < x < x − 3x + > Điều kiện: log x − x + ≠ ⇔ x < ⇔ x ≠ 2 x − 3x + ≠ log ( x + 1) ≠ x ≠ x + ≠ 1 1 > ⇔ > , ( 2) ⇔ log ( x + 1) log x − x + − log x − x + − log ( x + 1) ( *) x > log ( x + 1) > x > x + > TH1: (*) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ →0 < x < 2 log x − x + < x − x + < 2 x − x < 0 < x < 0 < x < Kết hợp với điều kiện ta nghiệm trường hợp 1 < x < TH2: x > log ( x + 1) > x +1 > x > ⇔ x − 3x + > ⇔ 2 x − 3x > ⇔ x > ; x < (*) ⇔ log x − 3x + > 2 2 x − x + > x + x + x + < x − x + log x + < log x − x + ( ) x − x > x > ⇔ x > ; x < x > 5; x < → x > Kết hợp với điều kiện ta nghiệm trường hợp x > TH3: x < log ( x + 1) < x +1 < x < ⇔ x − 3x + < ⇔ 2 x − 3x < ⇔ 0 < x < (*) ⇔ log x − 3x + < 2 log ( x + 1) < log x − x + x + < x − 3x + 2 x − 3x + > x + x + x − x < x < ⇔ 0 < x < 0 < x < → hệ vô nghiệm 1 3 Hợp hai trường hợp ta nghiệm bất phương trình x ∈ ; ∪ 1; ∪ ( ; +∞ ) 2 2 Ví dụ Giải bất phương trình sau 1) log x + 144 − 4log < + log x − + , (Đề thi ĐH khối B năm 2006) x2 + x 2) log 0,7 log < , (Đề thi ĐH khối B năm 2008) x+4 3) log x log x − 72 ≤ , (Đề thi ĐH khối B năm 2002) Hướng dẫn giải: x x−2 1) log + 144 − 4log < + log + , (1) (1) ⇔ log5 x + 144 x−2 x + 144 − log 24 < log 5 + log x − + ⇔ log < log 5.2 + 16 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 70 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p :( / /) w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : (/ / ) w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w( w) w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ) h t t (p ): /( / w ww.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t ( p) : /( / )w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/( w) w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p(( :)) / /( w) w w( ) t a i (l i ) e u p r o c h t t p : / (/ w w w ( ) t a i l i e u p r o c ) ( ) t a i l i e u p r o c http://www http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c + 144 < 5.2 x − + ⇔ x − 20.2 x + 64 < ⇔ < x < 16 → < x < 16 Vậy nghiệm bất phương trình cho < x < x2 + x 2) log 0,7 log < 0, ( ) x+4 ⇔ x x + ≠ x ≠ −4 x ≠ −4 x ≠ −4 x > x + x x + x Điều kiện: >0 ⇔ > ⇔ x2 + x ⇔ x2 − ⇔ >1 >0 −4 < x < −2 x+4 x+4 x + x + 2 x + x x +x >0 >1 log x+4 x+4 Do 0,7 < nên x > x2 + x x2 + x x2 + x x + x − x − 24 > ( 0,7 ) ⇔ log >1⇔ >6⇔ >0⇔ ( ) ⇔ log x+4 x+4 x+4 x+4 −4 < x < −3 x > Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình −4 < x < −3 3) log x log x − 72 ≤ 1, ( 3) x > 0, x ≠ x > 0, x ≠ Điều kiện: 9 x − 72 > ⇔ x ⇔ x > log 73 > 1, (*) − 72 > x log − 72 > 3x ≥ −8, ∀x Với điều kiện (*) ( 3) ⇔ log x − 72 ≤ x ⇔ x − 72 ≤ 3x ⇔ x − 3x − 72 ≤ ⇔ −8 ≤ 3x ≤ ⇔ x 3 ≤ Từ ta x ≤ Kết hợp với điều kiện (*) ta nghiệm bất phương trình log9 73 < x ≤ Nhận xét: Trong ví dụ trên, số chứa ẩn x điều kiện ta xác định biểu thức vế trái đồng biến nên tốn khơng phải chia trường hợp Ví dụ Giải bất phương trình sau 1) log 2 x − log x +1 − > −2 2) log 21 x + log x < 2 3) log x 64 + log x2 16 ≥ 4) log x 2.log x > 16 log x − Hướng dẫn giải: 1) log 2 x − log x +1 − > −2, (1) x − − Điều kiện: x +1 ⇔ ⇔ x − ⇔ x > x 2 − > − x (1) ⇔ log 2 x − − log 2 x +1 − > −2 ⇔ log 2 x − − log 2 − log 2 x − + > 0, Đặt t = log 2 x − , ( *) (*) ⇔ t ( −1 − t ) + > ⇔ t + t − < ⇔ −1 < t < 2 x − < x < log log 2 x − < x Khi ta −1 < log 2 − < → ⇔ x ⇔ log < x < log 1⇔ x log 2 − > −1 − > x > log 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho log < x < log 2 2) log x + log x < 0, ( ) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 71 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ) h t t p : / /( w w w.tailieupro.c http://www.tailieupro.c x > x > Điều kiện: ⇔ → x > x > x ≠ Ta có log x = log x = ( − log x ) = log 22 x log x = 2log 2−2 x = − log x 2 Khi ( ) ⇔ log 22 x − log x < ⇔ < log x < ⇔ < x < Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình cho < x < 3) log x 64 + log x2 16 ≥ 3, ( 3) x > 2 x > 0; x ≠ x > 0; x ≠ Điều kiện: ⇔ ⇔ x > 0; x ≠ x ≠ ±1 x ≠ ; x ≠ 6 + −3≥ ⇔ + − ≥ 0, ( 3) ⇔ 6log2 x + log x ≥ ⇔ log ( x ) log x log 2 + log x log x Đặt t = log x, ( *) ⇔ (*) 6t + 2t + − 3t (1 + t ) −3t + 5t + (1 + 3t )(2 − t ) + −3≥ ⇔ ≥0⇔ ≥0⇔ ≥ 1+ t t t (1 + t ) t (1 + t ) t (1 + t ) −1 < t ≤ − Lập bảng xét dấu ta thu kết 0 < t ≤ x > 1 ⇔ ⇔ x > Với < t ≤ ⇔ ⇔ ⇔ < x ≤ x ≤ log x ≤ log x > −1 Với −1 < t ≤ − ⇔ log x ≤ − 1 16 , log x − ( 4) x > 0, x ≠ x > 0, x ≠ Điều kiện: x ≠ 16 ⇔ x ≠ 16 log x ≠ x ≠ 64 1 1 1 1 > ⇔ > ⇔ − > 0, ( 4) ⇔ log x log x log x − log x log x − log 16 log x − log x log x − log x − 16 Đặt t = log x, ( *) 1 t − − t (t − 4) −t + 5t − (t − 2)(3 − t ) * ⇔ − > ⇔ > ⇔ >0⇔ > ( ) t t −4 t −6 t (t − 4)(t − 6) t (t − 4)(t − 6) t (t − 4)(t − 6) < log x < 4 < t < 16 < x < 64 Lập bảng xét dấu ta thu kết < t < ⇔ < log x < ⇔ < x < log x < t < x < Các tập nghiệm thỏa mãn điều kiện, nghiệm bất phương trình x ∈ ( −∞ ;1) ∪ ( ;8) ∪ (16 ;64 ) Ví dụ Giải bất phương trình sau: 1) log 22 x + log x − > log x − 2) log x x ≤ log x x3 Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 72 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w( w w tailieupro.co ) http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 3) lg ( x − x + ) >2 lg x + lg 4) log ( x + 1) − log ( x + 1) >0 x − 3x − Hướng dẫn giải: 1) log x + log x − > log x − , 2 2 (1) x > x > x > x ≥ x > x ≥ Điều kiện: x > ⇔ ⇔ log x ≥ ⇔ ⇔ 0 < x ≤ log x − 2log x − ≥ log x ≤ −1 x ≤ log x + log x − ≥ (1) ⇔ log 22 x − 2log x − > ( log x − 3) , ( *) t − < t < Đặt t = log x, (*) ⇔ (1) ⇔ t − 2t − > ( t − 3) ⇔ t − ≥ ⇔ t ≥ t − 2t − > 5(t − 3)2 4t − 28t + 48 < t < t < ⇔ t ≥ ⇔ → t < ⇔ log x < ⇔ x < 16 3≤t < 3 < t < 0< x≤ Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình 8 ≤ x < 16 2) log x x ≤ log x x3 , ( ) x > x > Điều kiện: x ≠ ⇔ (*) x ≠ 2 x > ( ) ⇔ log x + log x x ≤ log x + log x x ⇔ log x + ≤ log x + ⇔ ( log x + 3) − log x + − ≤ log x + ≤ − log x −1 ≤ log x + ≤ ⇔ → log x + ≤ ⇔ ≤1⇔ ≤0 log x log x log x + ≥ −1, ∀x ∈ (*) log x ≥ x ≥ Giải bất phương trình (coi log x ẩn) ta ⇔ x < log x < x ≥ Kết hợp với điều kiện (*) ta nghiệm bất phương trình 0 < x < lg ( x − x + ) 3) > 2, ( 3) lg x + lg x > x > x > x > < x ⇔ → x < lg x + lg ≠ x ≠ 2 x ≠ x − 3x + lg lg ( x − x + ) − 2lg ( x ) lg ( x − 3x + ) x2 > 0, Khi đó, ( 3) ⇔ −2>0⇔ >0⇔ lg ( x ) lg ( x ) lg ( x ) x − 3x + x − 3x + x − 3x + > x > lg > ⇔ ⇔ TH1: (*) ⇔ x2 x2 lg ( x ) > 2 x > x > ( *) −3 − 33 −3 + 33 Sử dụng trục số kết hợp ta thấy hệ vô nghiệm Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 73 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc ( ) h t t p : / / w w w t a i( l i e) u p r o c h t t( p :) / / w w w t a i( l i) e u p r o c http://www.tailieupro.c h t t( p : ) / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c x − 3x + x − 3x + x − 3x + > x < < lg TH2: (*) ⇔ ⇔ ⇔ 4x2 x2 lg ( x ) < 2 x < x > −3 − 33 x < ⇔ x > −3 + 33 x < −3 − 33 x < Sử dụng trục số kết hợp ta −3 + 33 −1 x + > Điều kiện: ⇔ x ≠ −1 → x > −1 x − 3x − ≠ x ≠ Biến đổi tử số ta log ( x + 1) − log ( x + 1) = 2log ( x + 1) − 3log ( x + 1) = 2log ( x + 1) − 3log 2.log ( x + 1) = 4) 9 = ( − 3log ) log ( x + 1) = ( log − log ) log ( x + 1) = log log ( x + 1) 8 9 log log ( x + 1) log ( x + 1) Khi đó, ( ) ⇔ >0⇔ 2 > 0, log > x − 3x − x − 3x − x +1 > log ( x + 1) > TH1: ⇔ x > ⇔ x > x < −1 x − x − > log ( x + 1) < x +1 < TH2: ⇔ ⇔ −1 < x < x − x − < −1 < x < x > Kết hợp với điều kiện ban đầu ta nghiệm bất phương trình cho −1 < x < BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1) log − x < log ( − x ) 2) log ( x + 3) ≥ + log ( x − 1) 3) log8 ( x − ) + log ( x − 3) > 5) log log x + log 2 4) log ( x − 1) + log ( x + 1) + log (5 − x) < x − 3 ≤ 6) log x − x + ≥ log ( x + 14 ) 7) log x − x − + log x − > log ( x + ) 9) log − x x +1 ≤x 3 8) log x − x + + 2log ( x − ) < 10) log3 log x ≥ 11) log log ( x − ) > 13) log x x − x − > 12) log log ( log x ) > 14) log x2 ( x + 2) < Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 74 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i( e u) p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 15) log x + 2log x − ≤ 17) log 21 x − 6log x + ≤ 19) log x 2.log x 2.log x > 21) 23) 25) + − log x + log x − log 22 x 24) log x − ≤ − log x 26) log 32 x − 4log x + ≥ log x − 28) log x − x + log ( − x ) Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ≥2 Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 75 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co ( ) http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t( p) : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ( w ) t a i l i e u p r o c http://ww http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 08 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITH Khái niệm: f ( x, y ) = Là hệ phương trình có dạng f(x, y) g(x, y) hàm số mũ, logarith có g ( x, y ) = phương trình mũ, logarith Cách giải: - Đặt điều kiện cho hệ có nghĩa (nếu có) - Sử dụng phép biến đổi dùng cho hàm mũ hàm logarith để đưa hệ phương trình dạng - Thơng thường, ta dùng phép biến đổi phương trình hệ sử dụng phép x = t1 ; y = t2 x + y = S → Chú ý: Nếu x, y thỏa mãn x, y nghiệm phương trình t + S t + P = xy = P x = t2 ; y = t1 Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x −2 y x− y 1 = 1) 2) 3 log ( x + y ) + log ( x − y ) = log y x − log y = log x − log y = log x + log y = + log 3) log 27 ( x + y ) = Hướng dẫn giải: x−2 y x− y 1 = 1) 3 log ( x + y ) + log ( x − y ) = x + y > x > − y Điều kiện: ⇔ x − y > x > y 3x y= x − y − x+2 y x −2 y = −x + y ( 3) = ( 3) Ta có hệ biến đổi dạng ⇔ ⇔ log x − y = x − y = 16 x − x = 16, (*) 16 x 3x Giải (*) ta x − = 16 ⇔ = 16 ⇔ x = ±5 → y = ±3 25 Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm hệ x = 5; y = log x − log y = 2) y (I ) log x − log y = Điều kiện: x, y > log y x − 2log y = log y x − log y = 1, (*) Ta có ( I ) ⇔ ⇔ x x = y log y = Thay x = 4y vào (*) ta log y ( y ) − 2log y = ⇔ 2log y + − 2log y − = ⇔ = log y ⇔ log y = ±1 log y y = ⇒ x = 1 → Vậy hệ cho có hai nghiệm {8; 2} , 2; y = ⇒ x = 2 log x + log y = + log 3) (I ) log 27 ( x + y ) = Điều kiện: x, y > Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 76 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co ( ) http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t( p : / ) / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c x = log ( xy ) = log ( 9.2 ) xy = 18 y = Ta có ( I ) ⇔ ⇔ ⇔ x = x + y = x + y = 27 y = Vậy hệ cho có nghiệm ( ;3) , ( ;6) Ví dụ Giải hệ phương trình sau: 5log x = log y − log 2 1) log y = − log x 2 log y x + log x y = 2) xy = log x − log y = 3) 2 x − y + = 2 lg x = lg y + lg ( xy ) 4) lg ( x − y ) + lg x.lg y = Hướng dẫn giải: 5log x = log y − log 1) log y = − log x Điều kiện: x, y > 2 (I ) y3 x = , (1) log x = log y − log Ta có ( I ) ⇔ ⇔ 8 y = , (2) log y = log 2 − log x x2 3 28 x = 22 = 2 24 x Thay (2) vào (1) ta x5 = ⇔ x5 = ⇔ x11 = 222 → 28 4x y = = 16 Các nghiệm thỏa mãn, hệ cho có nghiệm (4; 16) 2 log y x + log x y = 5, (1) 2) xy = 8, ( ) x > 0, x ≠ Điều kiện: y > 0, y ≠ log x y = y = x2 Ta có (1) ⇔ + log x y − = ⇔ ( log x y ) − 5log x y + = → ⇔ log x y = log x y y = x Với y = x , ( ) ⇔ x3 = ⇔ x = →y =4 x = x = ⇔ x = → y = Vậy hệ cho có nghiệm ( ;4 ) , ( ;2) Với y = x , ( 2) ⇔ x log x − log y = 0, (1) 3) 2 ( 2) x − y + = 0, Điều kiện: x, y > x x Ta có (1) ⇔ log x − log y = ⇔ log =0⇔ =1⇔ y = x y y x =1 Khi đó, ( ) ⇔ x − x + = ⇔ x = Vậy hệ cho có nghiệm (1;1) , ( ;2) y =1 → y = Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 77 (1) ( 2) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t( p) : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c lg x = lg y + lg ( xy ), 4) lg ( x − y ) + lg x.lg y = 0, x > 0, y > Điều kiện: x > y (1) ⇔ lg x − lg y = lg ( xy ) ⇔ ( lg x − lg y )( lg x + lg y ) = ( lg x + lg y )2 ⇔ ( lg x + lg y ) ( lg x − lg y ) − ( lg x + lg y ) = lg x + lg y = xy = y = ⇔ ⇔ ⇔ x −2lg y = y =1 y = x − y = x y = 0, ( L) 1 Với y = , ( ) ⇔ lg ( x − y ) + lg x.lg = ⇔ lg ( x − y ) − lg x = ⇔ ⇔ x x x − y = −x y = 2x 1 x = 2 → = x ⇔ x = → x y = Với y = 1, ( ) ⇔ lg ( x − 1) + lg x.lg1 = ⇔ lg ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = Vậy hệ cho có nghiệm ; , ( ;1) Ví dụ Giải hệ phương trình sau: lg ( x + y )2 = 1) lg y − lg x = lg log y log x x + y = 27 2) log y − log x = 9log ( xy ) − = ( xy )log 4) 2 ( x + 1) + ( y + 1) = y + lg x = 3) y + 4lg x = 28 Hướng dẫn giải: lg ( x + y )2 = 1) lg y − lg x = lg x + y ≠ ( I ) Điều kiện: y > x ≠ x>0 10 x= x + y = 10 → ( x + y ) = 10 y = 20 x + y = 10 y = 2x ⇔ ⇔ (I ) ⇔ y y = x lg = lg x < x x = −10 x + y = 10 → y = 20 y = −2 x 10 20 Vậy hệ cho có nghiệm ; , ( −10 ;20 ) 3 log3 y + y log3 x = 27, (1) x > 0, x ≠ x 2) Điều kiện: y > 0, y ≠ log y − log x = 1, ( ) y = ⇔ y = 3x x log x log x Khi đó, x ( ) + ( 3x ) = 27 ⇔ x1+ log3 x + 2.3log3 x.x log3 x = 27 ⇔ x1+ log3 x + x1+ log3 x = 27 ⇔ x1+ log3 x = Ta có ( ) ⇔ log 1+ log x ⇔ log x = log ⇔ (1 + log x ) log x = ⇔ ( log x ) x = log x = + log x − = ⇔ ⇔ x = log x = − Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 78 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / /( w w w( ) t a i l i e u p r o c ) http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c x = y = Từ ta → x = y = 1 1 Vậy hệ cho có nghiệm ( ;9) , ; 3 y + lg x = 3) y + 4lg x = 28 (I ) Điều kiện: x, y > y =6 y + 2lg x = y + 4lg x = Ta có ( I ) ⇔ ⇔ → y − y = 24 ⇔ → y = 36 y = −4 y + lg x = 28 y + 4lg x = 28 Với y = 36 thay vào ta 4lg x = 28 − 36 ⇔ lg x = −2 ⇔ x = 100 Vậy hệ cho có nghiệm ; 36 100 9log ( xy ) − = ( xy )log , (1) 4) 2 (2) ( x + 1) + ( y + 1) = 1, xy > Điều kiện: xy ≠ Đặt t = log ( xy ) → xy = 2t Khi đó, (1) ⇔ − = 2 t t log ⇔ − = 2 t log t t = −1 xy = ⇔ − 2.3 − = → ⇔ t = xy = t t Ta có ( ) ⇔ x + y + ( x + y ) + = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + − xy = 0, (*) x + y = 1 2 TH1: Với xy = , (*) ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + − = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) = ⇔ 2 x + y = −2 x + y = → vno xy = Từ ta x + y = −2 → vno xy = x + y = 2 TH2: Với xy = 8, (*) ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) + − 2.8 = ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) − 15 = ⇔ x + y = −5 x + y = → vno xy = Từ ta x + y = −5 → vno xy = Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 79 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u( p )r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieup r o c ( ) http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c BÀI TẬP LUYỆN TẬP: log x y + log y x = 1) x − y = 20 2 3x + y = 81 4) log x + log y = log x + log y = + log 2) x + y − 20 = 2 log ( x + y ) = 3) 2 log x + log y = x + y = 25 5) log x − log y = 6) 4 x − y = 7) log ( x + y ) − log ( x − y ) = log xy = 8) x log y = lg x + y = + lg8 9) lg ( x + y ) − lg ( x − y ) = lg x log ( xy ) log = −3 10) y 2 log x + log y = log xy ( x − y ) = 11) log xy ( x + y ) = log y log x x + y = 12) log x − log y = log x (3 x + y ) = 13) log y (2 x + y ) = 4log x = y + 12 14) x y =2 2+ x y 4log ( xy ) = + ( xy )log 15) x + y − x − y = 12 log x + log 7.log y = + log 16) 3 + log y = log (1 + 3log x ) x = + 6log y 17) x x +1 y = y + 23 x +1 + y − = 3.2 y + x 19) 3x + + xy = x + 22 x − y + x = 21+ y 20) log x ( log y − 1) = 2 x + y = log ( x + y ) − log ( x − y ) = Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) x −1 + − y = 18) 3log9 x − log y = x− y = ( x + y ) 21) y− x ( x + y ).2 = 48 Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 80 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p( : /) / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p( : )/ / w( w) w t a i l i e u p r o c o h t t( p ): / ( / w) w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co ( ) ( ) http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c ) w t a i l i e u p r o c h t t( p) : / / w( w http://www.tailieupro.c ( ) ( ) http://www.tailieupro.c h t (t p) : (/ /) w( w) w t a i l i e u p r o c ( : /w t ph :t /t /pw ( t w a) i lt iaei ul iperuop cr oo mc /) w w h t t( p : / /) w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ PT, BPT, HPT MŨ VÀ LOGARITH - PHẦN Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau: 2x 18 1) x −1 + = x −1 1− x 2) log (3x − 1) + = + log ( x + 1) x +1 + 2 +2 +2 log ( x +3) 3) log x x − 14 log16 x x + 40 log x x =0 4) log 27 x − x + = log x −1 + log ( x − 3) x2 + x + 6) log = x + 3x + 2x + 4x + 5) log x + = x − log x +1 − log x 7) + + x 2− log x 8) x log2 x + x −3log8 x − = = + x2 9) 5.32 x −1 − 7.3x −1 + − 6.3x + x +1 = x − y + = 12) log x − log y = 14) log x + log x = log x 11) log x + ≥ log 22 x +1 − 3.22 2 13) 16log 27 x x − 3log x x = 1 2 x − 3x + + log (x − 1) ≥ 2 15) log 15 17) log log 0,5 x − ≤ 16 19) 21) x +5 x − +1 >3 −x +x 16) log ( x − 1) + 18) 6log6 x+2 + 2− x + x +1 x − 20) 10) log x + log x = x.log 25 x log x log3 = x 2 = log125 x log3 x − 7.x log3 log x − + log x + = log x+ − 29) + log x − x + + − log x − x + = 30) x log 2 x + log x x log x + log + log x 2 log x = x Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 81 ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w w t a i l i( e) u p r o c o h t t p : / (/ w) w w t a i l i e u ( p r) o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p( : / /) w( w )w t a i l (i e) u p r o c o ( ) ( ) ( ) h t t p : / / w (w) w t a i l (i e u) p( r o) c o http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e( u )p r o c ( ) ( ) h t t p : / (/ ( w ) w w t a i l i e u p r o c ( ) ) h t t p : / / w w w t a i l i e u (p r )o c h t t p (: /) / w w w t a i l i e u p r o c ( ) ( ) ( ) ( ) http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ PT, BPT, HPT MŨ VÀ LOGARITH - PHẦN Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình sau: x3 32 1) log 42 x − log 21 + log < 4log 21 x x 2 3) log x < log 1 + x − 3 4x − 5) log ≥ x x−2 log 21 x 7) 2 +x log 21 x 9) 3log3 x − 18 x > log 2) 4) log 3x − x −1 ≥1 log ( x − 1) > log 1 + x − 2 2 6) 0,12 log x −1 x 8) +3>0 10) ( x − 1) 5 3 ≥ log x −1 ( x −1) − log x > log x log 4( x −1) = ( x − 1) 11) log x − x − = log x − x − 12) log x − + x = log 8 ( x + ) 13) log + x = log x 14) log x − x − = 2log x − x − 15) log x ( x − 1) + log x.log x − x − = 16) log x − x − + 3log x + x − = 17) x + 2.5 x >3 18) 52 x − 4 − 7.5 x 19) x +1 ≤ x − 12.5 + 11.3x −1 − 31 ≥5 4.9 x − 11.3x −1 − 20) 13x − ≤ 13x + 12 − 13x + 21) log x + = log 2 + x − 22) x.log + log 3x − = log 3x +1 − 23) 2.log 42 x = log x.log x2 24) log + log x = 8 x − +1 25) log 22 x + log x.log ( x − 1) + = 3.log x + 2log ( x − 1) 26) ( log x ) = log x.log 2x + −1 27) log log 3x + > −1 28) log x + x + + log x − x + = log x + x + + log x − x + Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ... ta gọi logarith số thập phân, ký hiệu lgx logx Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) gọi logarith số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu lnx, (đọc lenx) 2) Các tính chất Logarith • Biểu thức logarith. .. −3 28 II CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH 1) Khái niệm Logarith Logarith số a số x > ký hiệu y viết dạng y = log a x ⇔ x = a y Ví dụ: Tính giá trị biểu thức logarith sau log 4; log 81; log 32;... 1, biểu thức dấu logarith x > • log a = ;log a a = 1, ∀a b > c ⇔ a > • Tính đồng biến, nghịch biến hàm logarith: log a b > log a c ⇔ b < c ⇔ < a < 3) Các cơng thức tính Logarith Cơng thức
Ngày đăng: 17/04/2019, 00:37
Xem thêm: BAI GIANG TRONG TAM MU LOGARITH
