bài giảng trọng tâm môn toán 9

TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN ĐỨC TẤN NGUYỄN ANH HOÀNG – NGUYỄN PHƯỚC (Biên soạn 2009) BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN THPT VÀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THCS Sách được dùng cho việc dạy và học các giáo viên và học sinh cấp II chuẩn bị kiến thức trước các kì thi In lần thứ nhất (8/5/2010) Trang 1 Phần I: Tính giá trị của một biểu thức I. Kiến thức liên quan Yêu cầu HS nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ, viết đợc nhiều cách khác nhau, biết một số hằng đẳng thức mở rộng, nắm đợc các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử các phép tính về phân thức đại số vận dụng vào giải bài tập một cách linh hoạt. 1/ Các hằng đẳng thức đáng nhớ )BABA)(BA( )BA.(B.A.3)BA(BA.3 )BA).(BA(BA.2 B.A.2)BA(BA.1 22 333 22 222 += = += =+ 2/Các hằng đẳng thức mở rộng 3. )BAB BABAA)(BA(BA 1n2n23n2n1nnn +++++= n là số tự nhiên 4. )BAB BABAA)(BA(BA n21n222n21n2n21n21n2 +++=+ ++ 5. nn n 1n1n n 22n2 n 1n1 n n0 n n BCABC BACBACAC)BA( +++++=+ ( C k n gọi là tổ hợp chập k của n phần tử) C k n = !k)!kn( !n Quy ớc 0! = 1 Từ công thức trên có: C 1 n = C n-1 n ; C 2 n = C n-2 n ; C 3 n = C n-3 n ; C k n + C n-1 n = C k n+1 Giới thiệu tam giác Pascan để khai triển nhị thức Niu tơn có số mũ nhỏ. Dạng tính giá trị của biểu thức đại số Ví dụ 1: Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc với a; b; c 0. Tính giá trị của P = (1 + b a )(1 + c b )(1 + a c ) Gợi ý Từ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc => a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = 0 ( a+b+c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) = 0 Nếu a+b+c = 0 thì P = -1 Nếu a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca = 0 thì a = b = c và P = 8 Trang 2 ABC3)CBA).(A.CC.BB.A.(3)CBA( )AC).(CB).(BA.(3)CBA(CBA.2 )A.CC.BB.A.(2)CBA(CBA.1 3 3333 2222 +++++++= +++++=++ ++++=++ Ví dụ 2: Cho xy +yz + zx = 0; xyz 0. Tính Q = 222 z xy y zx x yz ++ Gợi ý áp dụng kết quả trên coi a = x 1 ; b = y 1 ; c = z 1 ta có xyz 3 z 1 y 1 x 1 333 =++ Q = 222 z xy y zx x yz ++ = 333 z xyz y yzx x xyz ++ = xyz ( 333 z 1 y 1 x 1 ++ ) = xyz . xyz 3 = 3 Ví dụ 3: Cho a; b thoả mãn = = 777ba3b 999ba3a 23 23 Tính M = a 2 + b 2 Gợi ý Bình phơng hai vế của hai đẳng thức trên rồi cộng vế với vế thu gọn đợc (a 2 + b 2 ) 3 = 999 2 + 777 2 suy ra M = a 2 + b 2 = 3 22 777999 + Ví dụ 4: a) Cho P = x 3 3x 2 + 5x; Q = y 3 3y 2 + 5y; P + Q = 6 Tính S = x + y b) Cho A = 18x 3 54x 2 + 60x + 71; Q = 18y 3 54y 2 + 60y + 71; A + B = 190 Tính S = x + y Gợi ý a) Biến đổi P + Q = (x - 1) 3 + (y - 1) 3 + 2x + 2y +2 vì P + Q = 6 nên (x - 1) 3 + (y - 1) 3 + 2x + 2y +2 = 6 (x - 1) 3 + (y - 1) 3 + 2(x + y - 2) = 0 (x + y - 2)( (x - 1) 2 - (x - 1) (y - 1) + (y - 1) 2 ) = 0 => x + y = 2 vì (x - 1) 2 - (x - 1) (y - 1) + (y - 1) 2 > 0. Ví dụ 5: Giả sử x; y; z là các số thực khác 0 và thoả mãn hệ đẳng thức : =++ =+++++ )2(333 )1( 1zyx 2) y 1 x 1 (z) x 1 z 1 (y) z 1 y 1 (x Tính P = 1 1 1 x y z + + Gợi ý Từ (2) suy ra: x 2 y + x 2 z + y 2 z + y 2 x + z 2 y + z 2 x = -2xyz x 2 y + x 2 z +xyz + y 2 z + y 2 x + xyz + z 2 y + z 2 x + xyz = xyz (xy + yz +zx )(x + y + z) = xyz Mặt khác x 3 + y 3 + z 3 = xyz3)zyx).(zxyzxy.(3)zyx( 3 +++++++ Suy ra x + y + z = 1 => xy + yz +zx = xyz => P = 1 1 1 x y z + + = 1 Trang 3 Một số bài khác: Bài 1: Cho a; b; c ; x; y; z 0 và 0 z c y b x a =++ (1) ; 1 c z b y a x =++ (2) Tính A = 222 c z b y a x ++ KQ : 1 Bài 2: Cho a; b; c đôi một khác nhau và 0 ba c ac b cb a = + + Tính B = 222 )ba( c )ac( b )cb( a + + . KQ : 0 Bài 3: Cho a + b + c và 1 ba c ac b cb a = + + + + + Tính ba c ac b cb a 222 + + + + + KQ : 0 Bài 4: Cho ax + by = z; by + cz = x; ax + cz = y và x + y + z 0. Tính P = 1 1 1 1 1 1 + + + + + cba . Bài 5: Cho x; y; z thoả mãn xyz = 2008. Tính Q = 1zxz z 2008yyz y 2008x2008xy x2008 ++ + ++ + ++ . KQ : 1 Bài 6: Cho a; b; c là các số thực 0 thoả mãn =++ ++ =++ 9333 2 1111 cba cbacba Tính S = a 2007 + b 2007 + c 2007 KQ : 2 6021 Bài 7:. Cho a, b, c là ba số phân biệt khác không thoả mãn điều kiện: a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức P = ( + + + + a b c b c c a a b )( ) b c c a a b a b c KQ : 9 Dạng tính giá trị của biểu thức chứa căn Yêu cầu nắm vững khái niệm, các phép tính các phép biến đổi căn bậc hai căn bậc 3 và căn bậc n để vận dụng rút gọn 1 biểu thức. Căn bậc hai Ví dụ 1: Tính giá trị của a) A = 9024294351273 ++ b) B = 7474 + Gợi ý a) Dùng máy tính CASIO để tính kết quả A = ( 2845 ) + 54240 Trang 4 b) Giải bằng 2 cách kết quả A = - 2 Ví dụ 2: Tính giá trị của C = )53).(210.(53 + kết quả C = 2 D = 402088 +++ Gợi ý viết D = 1522251022 +++++ = 2 )152( ++ = 152 ++ Ví dụ 3: Cho ( )y2008y)(x2008x( 22 ++++ = 2008 Tính x 2009 + y 2009 KQ x + y = 0 => x = - y => x 2009 + y 2009 = 0 Ví dụ 4: Cho a + b + c = 0 và a; b; c 0. Chứng minh c 1 b 1 a 1 c 1 b 1 a 1 222 ++=++ . Vận dụng tính S = 222 3 1 2 1 1 1 ++ + 222 4 1 3 1 1 1 ++ + .+ 222 100 1 99 1 1 1 ++ Kết quả S = 98,49 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức sau C = ( )116)( 63 12 26 4 16 15 + + + Gợi ý Trục căn thức ở mẫu của từng biểu thức C = ( )116)( 3 )63(12 2 )26(4 5 )16(15 + + + + C = )116( )116( + = - 115 Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức sau D = 1009999100 1 4334 1 3223 1 22 1 + ++ + + + + + Gợi ý Xét biểu thức tổng quát 1kkk)1k( 1 +++ = 1k 1 k 1 + KQ: D = 0,9 Ví dụ 7: Cho biểu thức A = 2 x 16 x 8 1 4x4x4x4x + ++ a)Rút gọn biểu thức A. b)Tìm những giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Gợi ý a)* Tìm tập xác định của A: x > 4 * Rút gọn với x > 4 A = x 4 1 24x24x ++ Trang 5 * Với 4 < x 8 ta có A = 4x x4 * Với x > 8 ta có A = 4x x2 b) * Với Với 4 < x 8 & x Z ta có A = 4x x4 Z A = 4+ 4x 16 Z và 0 < x- 4 4 (1) Để A nguyên thì x 4 phải là Ư (16) & thoả mãn (1) => x 4 nhận các giá trị 1; 2; 4 => x nhận các giá trị 5; 6; 8 khi đó A nhận các giá trị 20; 12; 8. * Với x > 8; x Z để A = 4x x2 x Z thì trớc hết 4x phải nguyên. Do vậy x - 4 = k 2 (k N * ) x = 4 + k 2 => A = k 8 k2 k k28 2 += + Vì x > 4 => k 2 > 4 => k > 2. Để A Z thì k Ư (8) & k > 2 Do vậy k nhận các giá trị 4; 8 => x nhận 20; 68 khi đó A = 10; 17. Kết luận: x = 5; 6; 8; 20; 68. Ví dụ 8: Cho a; b; c là các số dơng thoả mãn: a + b + c + abc = 4 Tính Q = (4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )a b c b c a c a b + + - abc Gợi ý Xét )c4)(b4(a = )4416( bccba + Từ giả thiết a + b + c + abc = 4 =>16- 4b 4c = 4a + 4 abc Do đó )c4)(b4(a = )4416( bccba + = )bcabc4a4(a ++ = 2a + abc Tơng tự )c4)(a4(b = 2b + abc ; )b4)(a4(c = 2c + abc Vậy Q = 8 Ví dụ 9: Cho dãy số x 1 ; x 2 ; x 3 ; x n đợc xác định nh sau: x 1 = 1; x n = 1n 1n x31 x3 + . tính x 2006 ; x 2007 ; x 2008 Gợi ý Tính x 2 = - (2 + 3 ); x 3 = 3 - 2; x 4 = 1 cứ tiếp tục nh thế thấy x 5 = x 2 ; x 6 = x 3 ; x 7 = x 4 => x 3k+1 = x 1 ; x 3k+2 = x 2 ; x 3k = x 3 Nh vậy sẽ tính đợc x 2006 ; x 2007 ; x 2008 Căn bậc ba Chú ý mọi số đều có căn bậc 3 và các phép tính phép biến đổi trên căn bậc 2 vẫn đúng với căn bậc 3. Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức D = 33 27 1 102 27 1 102 ++ Gợi ý Trang 6 Có thể biến đổi biểu thức dới dấu căn về lập phơng của một biểu thức rồi khai căn và tính kết quả (cách này khó hơn). Có thể lập phơng hai vế rồi tìm D bằng cách giải phơng trình bậc 3 D 3 = 2 + 10 27 1 + 2 - 10 27 1 + 3 27 1 1004 D D 3 = 4 +2D ( D -2)(D 2 + 2D +2) = 0 D = 2 vì D 2 + 2D +2 > 0 Ví dụ 2: Cho x = )1 4 51323 4 51323 ( 3 1 33 + + Tính giá trị biểu thức M = 2x 3 + 2x 2 +1 Gợi ý Đặt 3 4 51323 + = a; 3 4 51323 = b Khi đó ab = 1; a 3 + b 3 = 2 23 . Ta có 3x + 1 = a + b Lập phơng hai vế đợc 27x 3 + 27x 2 + 9x + 1 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b) 27x 3 + 27x 2 + 9x + 1 = 2 23 + 3(3x + 1) 2x 3 + 2x 2 = 1 M = 2. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a) Nếu 333 cba ++ = 3 cba ++ thì với mọi số nguyên dơng lẻ n, ta đều có: nnn cba ++ = n cba ++ b) Nếu ax 3 = by 3 = cz 3 và 1 111 =++ zyx thì 3 222 czbyax ++ = 333 cba ++ Gợi ý a)Chỉ ra đợc a = - b hoặc a = - c; c = - a. b) Đặt 3 222 czbyax ++ = A Biến đổi để A = x 3 a = y 3 b = z 3 c . Rồi suy 3 a = x A ; 3 b = x B ; 3 c = x C và biến đổi tiếp. Phần II: Bất đẳng thức Yêu cầu HS chứng minh đợc các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, các bất đẳng thức thờng dùng biết vận dụng để chứng minh một số bài toán BĐT A.Một số bất đẳng thức thờng dùng 1. Bất đẳng thức Cô-Si * Với 2 số dơng a, b thì a + b 2 ab dấu = xảy ra a = b *Với 3 số dơng a, b, c thì a +b +c 3 3 abc dấu = xảy ra a = b = c * Tổng quát : với a 1 ; a 2 ; a 3 ;a n 0 thì a 1 + a 2 + a 3 ++a n n n n321 a aaa Dấu = xảy ra a 1 = a 2 = a 3 = = a n . 2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki *Với 2 cặp số (a; b) và(x; y) thì (ax + by) 2 (a 2 +b 2 )(x 2 +y 2 ) Dấu = xảy ra y b x a = Trang 7 *Với 2 bộ số (a; b; c) và(x; y; z) thì (ax + by+ cz) 2 (a 2 +b 2 + c 2 )(x 2 +y 2 + z 2 ) Dấu = xảy ra y b x a = = z c 3.Một số bất đẳng thức đ ợc suy ra từ các bất đẳng thức trên . * (a + b) 2 2(a 2 +b 2 ). Dấu = xảy ra a = b * (a + b + c) 2 3(a 2 + b 2 + c 2 ). Dấu = xảy ra a = b = c * x y y x + 2 với x; y là 2 số cùng dấu. Dấu = xảy ra x = y * yx 4 y 1 x 1 + + với x; y cùng dơng. Dấu = xảy ra x = y * (x + y +z)( z 1 y 1 x 1 ++ ) 9 với x; y; z cùng dơng B.Một vài phơng pháp chứng minh bất đẳng thức I.Ph ơng pháp dùng định nghĩa BĐT và tính chất của luỹ thừa bậc chẵn Ví dụ1: Chứng minh rằng a + b + c cabcab ++ với mọi a; b; c > 0. Ví dụ2: Chứng minh rằng: a) với 2 số dơng x; y thoả mãn xy 1 thì xy1 2 z1 1 y1 1 x1 1 + + + + + + b) Cho x; y; z > 0 thoả mãn x; y; z 1 thì xyz zyx + + + + + + 1 3 1 1 1 1 1 1 222 Gợi ý a) xy1 2 z1 1 y1 1 x1 1 + + + + + + (2 + x + y)(1 + xy ) 2 (1 + x)(1 + y) )xy1()yx( 2 0 luôn đúng. b) áp dụng câu a xyz1 2 xy1 2 y1 1 x1 1 22 + + + + + (vì z < 1) xyz1 2 yz1 2 z1 1 y1 1 22 + + + + + (vì x < 1) xyz1 2 xz1 2 z1 1 x1 1 22 + + + + + (vì y < 1) Cộng vế với vế => ĐPCM II.Ph ơng pháp làm trội làm giảm Ví dụ 1: a) Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2222 n 1 3 1 2 1 1 1 ++++ < 2- n 1 ( với n > 1). b) 2222 n 1 3 1 2 1 1 1 ++++ < 3 5 Gợi ý Trang 8 a) Với k > 1, ta có: k 1 1k 1 k)1k( 1 k 1 2 = < Do đó: n 1 2 n 1 1n 1 3 1 2 1 2 1 11 n 1 3 1 2 1 1 1 2222 = ++++<++++ (đpcm) b) Với k > 1, ta có: ) 1k2 1 1k2 1 (2 )1k2)(1k2( 4 1k4 4 k4 4 k 1 222 + = + = <= Vậy ) 1k2 1 1k2 1 (2 k 1 2 + < Do đó: 2222 n 1 3 1 2 1 1 1 ++++ < 1 + 2 ( ) 1n2 1 1n2 1 7 1 5 1 5 1 3 1 + +++ < 1+ 3 2 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức với n N * ; n 2 2n2 n 1 4 1 3 1 2 1 3n2 <++++< Giải: Đặt A= n 1 4 1 3 1 2 1 ++++ a) Chứng minh A > 3n2 Làm giảm mỗi số hạng của A )k1k(2 k1k 2 kk 2 k 1 += ++ > + = Do đó A > 2[ )1nn( )43()32( +++++++ ] = 2 )21n( + = 221n2 + > 31n2 + > 3n2 a) Chứng minh A < 2n2 Làm trội mỗi số hạng của A )1kk(2 1kk 2 kk 2 k 1 = + < + = Do đó A < 2[ )12()23( )1nn( +++ ] = 2 )1n( = 2n2 (đpcm) Chứng minh bất đẳng thức 2 n)1n( 1 34 1 23 1 2 1 < + ++++ với n 1 Giải: Ta biến đổi số hạng tổng quát của vế trái ) 1k 1 k 1 (2) 1k 1 k 1 )( 1k k 1( ) 1k 1 k 1 )( 1k 1 k 1 (k) 1k 1 k 1 (k )1k(k k k)1k( 1 + < + + += + + += + = + = + Trang 9 Do đó: 2) 1n 1 1(2 n)1n( 1 34 1 23 1 2 1 < + < + ++++ (đpcm) III.Ph ơng pháp sử dụng các bất đẳng thức đ biết:ã Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh bất đẳng thức: 2 cba ba 2 c ac 2 b cb 2 a ++ + + + + + Cách 1(Dựa vào bất đẳng thức Cô si) a 2 a .2 4 cb . cb 2 a 2 4 cb cb 2 a == + + + + + Suy ra: 4 cb a cb 2 a + + Tơng tự 4 ac b ac 2 b + + 4 ba c ba 2 c + + Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên, ta đợc: 2 cba 2 cba )cba( ba 2 c ac 2 b cb 2 a ++ = ++ ++ + + + + + Cách 2 Theo bất đẳng thức bunhia Côpxki: (a 2 +b 2 +c 2 )(x 2 +y 2 +z 2 ) (ax+by+cz) 2 .Ta có: ( ) ( ) ( ) [ ] 2 222 222 ba. ba c ac. ac b cb. cb a baaccb ba c ac b cb a + + ++ + ++ + +++++ + + + + + 2 )cba()c2b2a2)( ba 2 c ac 2 b cb 2 a ( ++++ + + + + + 2 cba ba 2 c ac 2 b cb 2 a ++ + + + + + Ví dụ 2: a) Cho hai số dơng a, b có a + b = 1. Chứng minh rằng: 6 ba 1 ab 1 22 + + 14 ba 3 ab 2 22 + + b) Cho a; b; c > 0. Chứng minh rằng: Trang 10 [...]... 2 1+ x 1 x = 2 2 y 2 Trang 19 x 1 x 1 y 2 y 1 = ; = x 2x x y y 2 2 MaxB = x 1 = 1 x = 2 1 1 2+ 2 + = 2 4 2 y 2 = 2 y = 4 Ví dụ 2: Tìm GTNN, GTLN của A = x (99 + 101 x 2 ) Giải Xét biểu thức phụ A và áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacopxki và Côsi A = x ( 99 99 + 1 101 x 2 ) x (99 + 1) (99 + 101 x 2 ) = x 10 200 x 2 10 x 2 + 200 x 2 = 1000 2 x 2 < 101 99 99 A = 1000 = x = 10 2 1 101... 3b2 = 4ab (a - b)(a 3b) = 0 * Nếu a = b thì 2 x 2 8 x 10 = x+4 Trang 35 9 + 193 x1 = 4 2x2 - 9x -14 = 0 9 193 x2 = 4 * Nếu a = 3b thì (Thoả mãn Đ/K *) 2 x 2 8 x 10 = 3 x + 4 17 + 3 73 x3 = 4 2x2 - 17x - 46 = 0 (Thoả mãn Đ/K *) 17 3 73 x4 = 4 Kết luận: Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm x1 = 9 + 193 9 193 17 + 3 73 17 3 73 ; x2 = ; x3 = ; x4 = 4 4 4 4 Ví dụ3: Giải phơng trình... 2 Dấu = xảy ra a =3 thay vào bất đẳng thức trên a 1 = Từ đó có cách giải nh sau 9 Giải S =a+ 1 a 1 8a a 1 8.3 10 = + + 2 + = a 9 a 9 9 a 9 3 Với a = 3 thì minS = 10 3 a; b > 0 1 Tìm min của S = ab + ab a + b 1 Ví dụ 2: Cho Trang 25 Giải Đặt t= 1 1 1 1 1 t = =4 2 1 2 1 2 ab ab a + b ( ) 2 2 2 Bài toán phụ : cho t 4 Tìm MinS = t + 1 t 1 t 1 15t t 1 15t S =t+ = + + 2 + t 16 t ... + 2 ( x 1)( x + 2) = 4x 2 ( x 1)( x + 2) = 2x 1 4 (x - 1)(x + 2) = 4x2 - 4x +1 8x = 9 x = 9 (thoả mãn x 1) 8 * Xét x 2 x( x 1) + 1 x + x( x + 2) = 2 x2 =2 x 2 (Chia cả hai vế cho x ) x 1 x + (- x - 2) +2 (1 x )( x 2) = - 4x 2 (1 x )( x + 2) = - 2x +1 8x = 9 x = 9 (không thoả mãn Đ/K x 2 ) 8 9 8 II.Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Kết luận: Phơng... dụ 2: Giải phơng trình 13 x 1 + 9 x + 1 = 16x 1+ 8017 1 8021 ; x3 = 2 2 (3) Lời giải Điều kiện: x 1 (*) 9 1 x 1 + 4 ) + 3 ((x + 1) - 3 x + 1 + ) = 0 4 1 3 13( x 1 ) 2 + 3( x + 1 ) 2 = 0 2 2 1 x 1 2 = 0 5 (thoả mãn (*)) x= 4 x +1 3 = 0 2 Cách giải 1: (2) 13 ((x - 1) - 5 4 Cách giải 2: áp dụng BĐT Cauchy 1 3 13 x 1 + 9 x + 1 = 13.2 x 1 + 3.2 2 2 1 9 13(x-1+ ) + 3(x -1+ ) = 16x (3)... z = 1 x; y; z 0 x; y; z 0 Lời giải đúng áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm: 1 = x+y+z 33 xyz (1) Trang 15 2= (x+y)+(y+z)+(x+z) 33 (x + y )(y + z )(x + z ) (2) 2 9 Nhân 2 vế (1) và (2) Do hai vế đều không âm 2 93 A A ( ) 2 9 Vậy MaxA = ( ) 2 x=y=z= 3 1 3 Ví dụ 3: Tìm GTNN của A = ( x + a ).(x + b) với x > 0; a và b là các hằng số dơng cho trớc x Lời giải sai Ta có x+a 2 ax Do đó x y 30... 3: Cho x; y; z và x+y+z=1 Chứng minh: 4 Trang 11 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z + 3 39 Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpxki cho ba cặp số ( 4 x + 3 ; 1); ( 4 y + 3 ; 1); ( 4z + 3 ; 1) ta có: 1 4 x + 3 + 1 4 y + 3 + 1 4z + 3 12 + 12 + 12 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4z + 3 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z + 3 3.(4x + 4 y + 4z + 9) = 13.3 = 39 1 Dấu "=" xảy ra x = y = z = 3 Ví dụ 4: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một... dụng BĐT (a2 + b2) (x2 + y2) (ax + by)2 y 2 2 x y 2 x 2 2 Ta có ( ) + ( ) (3 + 4 ) (3 4 ) => ( 4 3 4 3 Suy ra 36 25 x2 y2 + ).25 ( x y ) 2 9 16 (x - y)2 => x y 30 => -30 x y 30 y x 3 = 4 10 x = ,8 x y = 30 2 2 x + y = 36 y = 19, 2 9 16 Ví dụ 5: Tìm GTNN của x2 y2 z2 A= + + biết x; y; z > 0 ; x+ y y+z z+x xy + yz + xz = 1 Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki x ( x+ y + x+... 2 V Dùng tam thức bậc hai 5.1 Đổi biến để đa về tam thức bậc hai đối với biến mới Ví dụ: Tìm GTLN của A = x + 2 x Giải 2 x = y 0 ta có y 2 = 2 x 1 9 9 A = 2 y 2 + y = ( y ) + 2 4 4 Điều kiện x 2 Đặt Trang 23 2 2 2 y3 y )2 = (x + y ) = 1 MaxA = 9 1 1 7 y = 2 x = x = 4 2 4 4 5.2 Đổi biến để đa về bất phơng trình bậc hai với biến mới Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN của A = x 2 + y 2 biết x 2 ( x 2 +... c) 8x4 - 56x2 + x + 91 = 0 Gợi ý a) 1 1 1 1 2 2 + = 15 ( ) + = 15 x 2 ( x + 1) 2 x x +1 x( x + 1) x = 4 y 2 b) x = 4 (x - 4) Đặt y = x 4 đợc hệ => (y - x)(1- y - x) = 0 y = 4 x2 2 2 2 c) Giải tơng tự ý b B Phơng trình vô tỷ Các phơng pháp thờng dùng để giải phơng trình vô tỉ I Phơng pháp nâng lên luỹ thừa Ví dụ: Giải phơng trình: x( x 1) + x( x + 2) = 2 x2 Lời giải Trang 29 x( x 1) 0 Điều . đẳng thức Bunhiacopxki và Côsi )x10 199 )( 199 (x)x101. 199 .99 (xA 22 +++= 1000 2 x200x .10x20010.x 22 2 = + = = = = < = 22 2 2 x2000x 10x x101 99 1 99 101x 1000A Do đó -1000 A 1000 MinA. = = 777ba3b 99 9ba3a 23 23 Tính M = a 2 + b 2 Gợi ý Bình phơng hai vế của hai đẳng thức trên rồi cộng vế với vế thu gọn đợc (a 2 + b 2 ) 3 = 99 9 2 + 777 2 suy ra M = a 2 + b 2 = 3 22 77 799 9 + Ví. TRẦN PHƯƠNG – NGUYỄN ĐỨC TẤN NGUYỄN ANH HOÀNG – NGUYỄN PHƯỚC (Biên soạn 20 09) BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN THPT VÀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THCS Sách được dùng cho việc dạy và