HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCNG TRONG TAM GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.T LÝ THUYẾT.T Định lí cơsin: nh lí cơsin: Trong tam giác ABC với i BC a, AC b AB c Ta có : a b c 2bc.cos A A b c a 2ca.cos B c a b 2ab.cos C Hệ quả: quả:: b2 c2 a cos A 2bc c a b2 cos B 2ca a b2 c2 cos C 2ab b c B a C Định lí cơsin: nh lí sin : Trong tam giác ABC với i BC a, AC b , AB c R bán kính đường trịn ngoại tiếpng trịn ngoại tiếpi tiếpp Ta có : a b c 2 R sin A sin B sin C m,m,m Độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài trung tuyến: Cho tam giác n: Cho tam giác ABC với i a b c trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cón lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cót trung tuyếpn kẻ từ A, B, C Ta có từ A, B, C Ta có A, B, C Ta có : 2(b c ) a ma2 2(a c ) b mb2 2(a b ) c 2 mc 4 Diện tích tam giácn tích tam giác h,h,h Với i tam giác ABC ta kí hiệu u a b c độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, dài đường tròn ngoại tiếpng cao trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cón lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cót tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng với i cại tiếpnh BC, CA, AB; R, r a b c p trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cón lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cót bán kính đường trịn ngoại tiếpng tròn ngoại tiếpi tiếpp, nộ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,i tiếpp tam giác; nửa chu vi tam giác; S a chu vi tam giác; S diệu n tích tam giác Khi ta có: 1 aha bhb chc 2 S= 1 bc sin A ca sin B ab sin C 2 = abc = 4R = pr = p( p a)( p b)( p c) (công thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c Hê–rơng) B - CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNHNG TỐN ĐIỂN HÌNHN HÌNH Dạng tốn 1ng tốn 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁCNH CÁC YẾT.U TỐ TRONG TAM GIÁC TRONG TAM GIÁC Gồm có loại hs cần áp dụng trực tiếp công thứcm có loạng tốn 1i hs cần áp dụng trực tiếp công thức hs cần áp dụng trực tiếp công thứcn hs cần áp dụng trực tiếp công thức cần áp dụng trực tiếp công thứcn áp dụng trực tiếp công thứcng trực tiếp công thứcc tiến: Cho tam giác p công thứcc Phươ hs cần áp dụng trực tiếp công thứcng pháp: - Sửa chu vi tam giác; S dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng trực tiếp định lí cosin định lí sin.c tiếpp định lí cosin định lí sin.nh lí cosin định lí cosin định lí sin.nh lí sin - Ch n hệu thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cóng thích hợt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cóp đ i với i tam giác để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi tính m ộ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,t s yếpu t trung gian c ần lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cón thi ếpt đ ể tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi thu ận lợin l ợt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cói cho việu c giải tốn.i tốn Loạng tốn 1i Xác định lí cơsin: nh yến: Cho tam giác u tố tam giác biết độ dài cạnh tam giác biến: Cho tam giác t độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài cạng toán 1nh Lưu ý Câu1: Cho tam giác ABC có a 13, b 8, c 7 Tính góc A, suy S, ha, R, r, ma - Biếpt cại tiếpnh áp Lời giải tham khảoi giải tham khảoi tham khải tham khảoo dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng định lí cosin định lí sin.nh lí b2 c2 a 2 2 cosin tam a b c 2bc cos A cos A A 120 2bc giác tính đượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cóc góc cịn lại tiếpi 1 S bc sin A 56 14 2 2S 28 S a.ha a 13 abc abc 7.8.13 13 S R 4R S 4.14 3 S p.r r 2S 2.14 a b c 13 b2 c a 57 ma 1.1 Giải tam giác ABC biết a = 2, b = 3, c = a) Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp cơng thứci Theo định lí cơsin ta có 32 + 42 - 22 µ » 28057' cosA = = Þ A 2.3.4 2 2 +4 - 11 µ cosB = = ị B ằ 46034' 2.2.4 16 - B µ » 104029' Cµ = 1800 - A ma 1.3 Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = a) Tính diệu n tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếpng tròn nộ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,i tiếpp, ngoại tiếpi tiếpp tam giác c) Tính đường trịn ngoại tiếpng đường tròn ngoại tiếpng cao kẻ từ A, B, C Ta có từ A, B, C Ta có đỉnh A.nh A Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci a) Áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng cơng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c Hê - rơng ta có S= p(p - a)(p - b)(p - c) =6 Cho tam giác ABC biếpt a 14; b 18; c 20 Tính góc A, B, C, suy S, ha, R, r, ma Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci c os A b c a 182 20 142 0, 7333 2bc 2.18.20 A 42052 ' 60056 ' cos B 0, 4857 B 1800 ( A B ) 76014 ' C b) Áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng cơng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c tính diệu n tích 3 R = , r = S = pr suy 3 c) = S= abc 4R 2S 12 6 = = a Loạng tốn 1i 2: Tính yến: Cho tam giác u tố tam giác biết độ dài cạnh tam giác biến: Cho tam giác t độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài cạng tốn 1nh góc xen giữaa Câu2 Cho tam giác ABC có dài đường trịn ngoại tiếpng cao kẻ từ A, B, C Ta có từ A, B, C Ta có A AB = 4, AC = cosA = Tính cại tiếpnh BC, độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci tham khản hs cần áp dụng trực tiếp công thứco Áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng định lí cosin định lí sin.nh lí cơsin ta có BC = AB + AC - 2AB AC cosA = 42 + 52 - 2.4.5 = 17 Suy Lưu ý Biếpt cại tiếpnh góc xen a a tam giác để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi tính cại tiếpnh cịn lại tiếpi có cách: - Sd định lí cosin định lí sin.nh lí cosin - Sd định lí cosin định lí sin.nh lí sin BC = 17 Vì sin A + cos A = nên 2 sin A = - cos2 A = - = 25 1 SABC = AB AC sin A = 4.5 = 2 Theo công thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c tính diệu n tích ta có (1) 1 SABC = a.ha = 17.ha 2 Mặt khác t khác (2) 16 17 17.ha = Þ = 17 Từ A, B, C Ta có (1) (2) suy Vận lợiy độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, dài đường tròn ngoại tiếpng cao kẻ từ A, B, C Ta có từ A, B, C Ta có A = 16 17 17 a = 12; c = 8,2 2.1 Giải tam giác ABC biết µ A = 110 Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci Theo định lí sin ta có c sin A 8,2.sin1100 sinC = = ị Cà ằ 39057' a 12 Cµ » 1800 - 39057' = 14003' µ Vì góc A tù nên góc C nhọn C » 39 57' Suy µ = 1800 - A µ - Cµ » 1800 - 1100 - 39057' = 3303' B 2.2 Cho tam giác ABC biếpt: b 7, c 5 cos A Tính sinA, a , suy S, ha, R Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci b= Mặt khác a sin B 12.sin3303' = » 6,96 sin A sin1100 a b c 2bc cos A 7 52 2.7.5 32 a 4 16 sin A 1 cos A sin A (sin A 0) 25 1 S bc sin A 7.5 14 2 2S a a R 2sin A 2.3 Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = µ = 600 A a) Tính chu vi a tam giác b) Tính tanC Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci a) Theo định lí cosin định lí sin.nh lí cơsin ta có BC = 102 + 42 - 2.10.4cos 600 = 76 Þ BC » 8, 72 Suy chu vi tam giác 2p » 10 + + 8, 72 = 22, 72 b) (Hình 2.23a) A 10 C H B Hình 2.23a Kẻ từ A, B, C Ta có đường trịn ngoại tiếpng cao BH ta có AH = AB cos 600 = Þ HC = 5- = BH = AB sin 60 = Vận lợiy · tanC = - tan BCH =- HB =- HC Loạng tốn 1i 3: Tính yến: Cho tam giác u tố tam giác biết độ dài cạnh tam giác biến: Cho tam giác t hai góc độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài cạng toán 1nh đố tam giác biết độ dài cạnh.i diện tích tam giácn với góc cịn lạii góc cịn lạng tốn 1i Câu Giải tam giác ABC biết µ = 600, B µ = 400 A Lưu ý Trong tam giác biếpt hai góc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, dài cại tiếpnh đ i diệu n với i góc cịn lại tiếpi: áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng định lí cosin định lí sin.nh lí Sin tam giác để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi tính cại tiếpnh lại tiếpi c = 14 Lời giải tham khảo µ µ µ 0 0 Ta có C = 180 - A - B = 180 - 60 - 40 = 80 Theo định lí sin ta có c sin A 14.sin600 = Þ a » 12,3 sinC sin800 c sin B 14.sin400 b= = Þ b » 9,1 sinC sin800 a= 3.1 Giải tam giác ABC , biết: µ = 300; b = 4,5; A 3.2 Cho tam giác ABC cân tiếpi A biếpt Cµ = 750 a 3; B C 300 Tính R, r, cại tiếpnh c, b, suy S Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp cơng thứci Ta có µ = 1800 - A µ - Cµ = 1800 - 300 - 750 = 750 = Cµ B suy tam giác ABC cận A c b 4,5 Theo định lí sin ta có bsin A 4,5.sin300 a= = Þ a » 2,33 sin B sin750 Áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng định lí cosin định lí sin.nh lí sin: a a 2 R R sin A 2sin A b c 2 R sin 300 1 S b.c sin A r µgiác ABC µ nội tiếp 3.3 Cho tamA = 30 , B = 450 đường trịn bán kính 3, biết Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci µ - B µ = 1800 - 300 - 450 = 1050 Cµ = 1800 - A Ta có Theo định lí sin ta có a = 2R sin A = 2.3.sin30 = 3, b = 2R sin B = 2.3.sin450 = =3 2 c = 2R sinC = 2.3.sin1050 » 5,796 Theo công thức đường trung tuyến ta có a m = 2( b2 + c2 ) - a2 2( 18 + 5,7962 ) - » 4 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có = 23,547 S (2 p 3) 1 2 bc sin A SABC = pr = bc sin A Þ r = 2p 2.5,796sin30 » » 0,943 + + 5,796 Dạng tốn 1ng tốn Chứcng minh quan hện tích tam giác giữaa yến: Cho tam giác u tố tam giác biết độ dài cạnh tam giác Phươ hs cần áp dụng trực tiếp cơng thứcng pháp Để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi chứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng minh đ ng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c ta sửa chu vi tam giác; S dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng hệu thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c cơng ứng với cạnh BC, CA, AB; R, bải tốn.n để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi biếpn đổi vế thành vế kia, hai vế i vếp thành vếp kia, hai vếp vế biến đổi tương đương đẳng thức ng mộ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,t vếp hoặt khác c biếpn đổi vế thành vế kia, hai vế i tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng đương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng đẳng thức mộ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,t đ ng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c Để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi chứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng minh b t đ ng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c ta sửa chu vi tam giác; S dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng hệu thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c cơng ứng với cạnh BC, CA, AB; R, bải toán.n, b t đ ng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c cại tiếpnh tam giác b t đ ng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c cổi vế thành vế kia, hai vế điể tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợin (Cauchy, bunhiacôpxki,…) Lưu ý Câu Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A = sin B.sinC Chứng minh a) a = bc cosA ³ b) Lời giải tham khảo sin A = a) Áp dụng định lí sin ta có a b c , sin B = ,sinC = 2R 2R 2R ỉa b c ÷ ÷ sin A = sin B.sinC ỗ = a2 = bc ỗ ữ ỗ ữ 2R 2R ố2R ø Suy b) Áp dụng định lí cơsin câu a) ta có đpcm b2 + c2 - a2 b2 + c2 - bc 2bc - bc cosA = = ³ = 2bc 2bc 2bc đpcm BC = a, CA = b, AB = c 1.2 Cho tam giác ABC Chứng minh điều 1.1 Tam giác ABC có kiện cần đủ để hai trung tuyến kẻ từ B C trung tuyếpn AM = AB = c chứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng minh vế biến đổi tương đương đẳng thức ng: 2 a) a = 2( b - c ) 2 vng góc với b + c = 5a b) sin2 A = 2(sin2 B - sin2 C ) Lời giải Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng cơng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c đường tròn ngoại tiếpng trung tuyếpn Ta có a2 a2 b + c = + 2AM = + 2c2 Þ a2 = 2(b2 - c2) 2 2 (*) b) Theo định lí cosin định lí sin.nh lí sin ta có a b c = = = 2R sin A sin B sinC Khi hai trung tuyến kẻ từ B C vng góc với tam giác GBC vuông G 2 ỉ ỉ ÷ ÷ Û GB + GC = BC ỗ +ỗ = a2 ỗ mb ữ ỗ mc ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ç è3 ø è3 ø 2 (*) Mặt khác theo cơng thức đường trung tuyến ta có ìï a2 = 4R sin2 A ïï Þ ïí b2 = 4R sin2 B ïï ïï c = 4R sin2 C ỵ Thay vào (*) ta có đpcm 2(a2 + c2) - b2 2(a2 + b2) - c2 , mc2 = 4 (*) Û ( mb2 + mc2 ) = a2 Suy mb2 = ( ) ( ) 2 é 2 a2 + b2 - c2 ù ê2 a + c - b ú Û ê + ú= a 9ê 4 ú ê ú ë û Û 4a2 + b2 + c2 = 9a2 Û b2 + c2 = 5a2 1.3 Chứng minh tam giác ABC ta có; a) a = b.cosC + c.cosB b) sin A = sin B cosC + sinC cosB Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci a) Áp dụng định lí cơsin ta có: a2 + b2 - c2 c2 + a2 - b2 + c 2ab 2ca 2 2 2 a +b - c +c +a - b = = a = VT 2a b) sin A = sin B cosC + sinC cosB VP = b a b c = cosC + cosB 2R 2R 2R Û a = b.cosC + c.cosB (câu a) Û (đpcm) 1.4 Chứng minh tam giác ABC ta có; a) = 2R sin B sinC ma2 + mb2 + mc2 = (a2 + b2 + c2) b) Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci a) = 2R sin B sinC Û 2S b = 2R sinC a 2R Û S = ab sinC (đúng) d) Áp dụng công thức đường trung tuyến Dạng toán 1ng toán 3: Nhận dạng tam giácn dạng tốn 1ng tam giác Câu Tìm tính ch t đặt khác c biệu t a tam giác ABC biếpt: 2a cos A b.cos C c.cos B Lời giải tham khảo Yêu cần lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cóu tốn tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng đương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng với i: Lưu ý Cách khác: Áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng định lí cosin định lí sin.nh lí cosin: a b2 c a c b2 2a cos A a 2a 2a cos A A 600 2(2 R sin A) cos A (2 R sin B) cos C R sin C cos B 2sin A.cos A sin( B C ) sin A cos A (do sin A 0) A 600 Nhận lợin dại tiếpng tam giác ABC nếpu ta có 1.2 Nhận lợin dại tiếpng tam giác ABC 1.1 ìï a = 2bcosC (1) ïï mb2 + mc2 = 5ma2 3 í a - b - c3 ïï a = Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp cơng thứci (2) ïïỵ a - b- c Áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng trực tiếp định lí cosin định lí sin.c tiếpp cơng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c đường tròn ngoại tiếpng trung tuyếpn Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci Áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng định lí cosin định lí sin.nh lí cosin (1) vào (2) (1) thếp vào (2) tam giác biếpt: Yêu càu toán tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng đương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng với i a2 + b2 - c2 (1 ) Û a = Û b=c ỉ ỉ æ ö c2 + a2 b2 ö a2 + b2 c2 ữ b2 + c2 a2 ữ ữ ỗ ỗ ç a ÷ ÷ ÷ +ç ç ÷ ÷= 5ç ữ ỗ ỗ ỗ ữ ố ỗ ỗ ỗ 4ø 4÷ 4÷ è ø è ø (2) Û a2 = b2 + c2 - bc Û a2 = b2 + c2 µ = 600 Û cosA = Û A KL: Tam giác ABC vuông tiếpi A KL: Tam giác ABC đề đẳng thức u Câu Nhận dạng tam giác ABC biết Lưu ý a.sin A + bsin B + c sinC = + hb + hc Lời giải tham khảo 1 S = bc sin A = aha 2 Áp dụng cơng thức diện tích ta có suy a.sin A + bsin B + c sinC = + hb + hc Û a 2S 2S 2S 2S 2S 2S + b + c = + + bc ca ab a b c Û a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2 Û ( a - b) + ( b - c) + ( c - a) = Û a =b=c Vậy tam giác ABC 2.1 Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC = c.sin A cân Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci 1 S = aha = bc sin A ( *) 2 Sử dụng công thức dụng công thức ng công thức c = c.sin A thay vào (*) được: c: bha = aha Û a = b suy tam giác ABC cân C 2.2 Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC 4ma2 = b( b + 4c.cosA ) cân Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci Sử dụng công thức đường trung tuyến định lí cosin: 4m = b( b + 4c.cosA ) Û a ( ) b2 + c2 - a2 æ b2 + c2 - a2 ữ ỗ ữ = bỗ b + 4c a =b ữ ỗ ữ ỗ 2bc ố ứ suy tam giác ABC cân C