Oh2 bài giảng tự luận hệ thức lượng trong tam giác( in hs)

BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCC LƯỢNG TRONG TAM GIÁCNG TRONG TAM GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.T LÝ THUYẾT.T Định lí cơsin: nh lí cơsin: Trong tam giác ABC với i BC a, AC b AB c Ta có : a b  c  2bc.cos A A b c  a  2ca.cos B c a  b  2ab.cos C Hệ quả: quả:: b2  c2  a cos A  2bc c  a2  b2 cos B  2ca a  b2  c2 cos C  2ab b c B a C Định lí cơsin: nh lí sin : Trong tam giác ABC với i BC a, AC b , AB c R bán kính đường trịn ngoại tiếpng trịn ngoại tiếpi tiếpp Ta có : a b c   2 R sin A sin B sin C m,m,m Độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài trung tuyến: Cho tam giác n: Cho tam giác ABC với i a b c trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cón lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cót trung tuyếpn kẻ từ A, B, C Ta có từ A, B, C Ta có A, B, C Ta có : 2(b  c )  a ma2  2(a  c )  b mb2  2(a  b )  c 2 mc  4 Diện tích tam giácn tích tam giác h,h,h Với i tam giác ABC ta kí hiệu u a b c độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, dài đường tròn ngoại tiếpng cao trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cón lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cót tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng với i cại tiếpnh BC, CA, AB; R, r a bc p trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cón lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cót bán kính đường trịn ngoại tiếpng trịn ngoại tiếpi tiếpp, nộ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,i tiếpp tam giác; nửa chu vi tam giác; S a chu vi tam giác; S diệu n tích tam giác Khi ta có: 1 aha  bhb  chc 2 S= 1 bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 = abc = 4R = pr = p ( p  a )( p  b)( p  c) (công thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c Hê–rơng) B - CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNHNG TỐN ĐIỂN HÌNHN HÌNH Dạng tốn 1ng tốn 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁCNH CÁC YẾT.U TỐ TRONG TAM GIÁC TRONG TAM GIÁC Trang-1- BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Gồm có loại hs cần áp dụng trực tiếp cơng thứcm có loạng toán 1i hs cần áp dụng trực tiếp công thức hs cần áp dụng trực tiếp công thứcn hs cần áp dụng trực tiếp công thức cần áp dụng trực tiếp công thứcn áp dụng trực tiếp công thứcng trực tiếp công thứcc tiến: Cho tam giác p công thứcc Phươ hs cần áp dụng trực tiếp công thứcng pháp: - Sửa chu vi tam giác; S dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng trực tiếp định lí cosin định lí sin.c tiếpp định lí cosin định lí sin.nh lí cosin định lí cosin định lí sin.nh lí sin - Ch n hệu thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cóng thích hợt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cóp đ i với i tam giác để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi tính m ộ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,t s yếpu t trung gian c ần lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cón thi ếpt đ ể tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi thu ận lợin l ợt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cói cho việu c giải toán.i toán Loạng toán 1i Xác định lí cơsin: nh yến: Cho tam giác u tố tam giác biết độ dài cạnh tam giác biến: Cho tam giác t độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài cạng tốn 1nh Lưu ý Câu1: Cho tam giác ABC có a 13, b 8, c 7 Tính góc A, suy S, ha, R, r, ma - Biếpt cại tiếpnh áp Lời giải tham khảoi giải tham khảoi tham khải tham khảoo dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng định lí cosin định lí sin.nh lí b2  c2  a 2 2 cosin tam a b  c  2bc cos A  cos A    A 120 2bc giác tính đượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cóc góc cịn lại tiếpi 1 S  bc sin A  56 14 2 2S 28 S  a.ha    a 13 abc abc 7.8.13 13 S  R   4R S 4.14 3 S  p.r  r  2S 2.14   a  b  c   13 b2  c2 a2 57   ma  1.1 Giải tam giác ABC biết a = 2, b = 3, c = a) Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci ma  1.3 Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = a) Tính diệu n tích tam giác ABC b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếpng trịn nộ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,i tiếpp, ngoại tiếpi tiếpp tam giác c) Tính đường trịn ngoại tiếpng đường trịn ngoại tiếpng cao kẻ từ A, B, C Ta có từ A, B, C Ta có đỉnh A.nh A Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci Trang-2- Cho tam giác ABC biếpt a 14; b 18; c 20 Tính góc A, B, C, suy S, ha, R, r, ma Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Loạng tốn 1i 2: Tính yến: Cho tam giác u tố tam giác biết độ dài cạnh tam giác biến: Cho tam giác t độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài cạng tốn 1nh góc xen giữaa Câu2 Cho tam giác ABC có dài đường trịn ngoại tiếpng cao kẻ từ A, B, C Ta có từ A, B, C Ta có A AB = 4, AC = cosA = Tính cại tiếpnh BC, độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci tham khản hs cần áp dụng trực tiếp công thứco Áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng định lí cosin định lí sin.nh lí cơsin ta có BC = AB + AC - 2AB AC cosA = 42 + 52 - 2.4.5 = 17 Suy Lưu ý Biếpt cại tiếpnh góc xen a a tam giác để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi tính cại tiếpnh cịn lại tiếpi có cách: - Sd định lí cosin định lí sin.nh lí cosin - Sd định lí cosin định lí sin.nh lí sin BC = 17 2 Vì sin A + cos A = nên sin A = 1- cos2 A = - = 25 1 SABC = AB AC sin A = 4.5 = 2 Theo công thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c tính diệu n tích ta có (1) 1 SABC = a.ha = 17.ha 2 Mặt khác t khác (2) 16 17 17.ha = Þ = 17 Từ A, B, C Ta có (1) (2) suy Vận lợiy độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, dài đường tròn ngoại tiếpng cao kẻ từ A, B, C Ta có từ A, B, C Ta có A 2.1 Giải tam giác ABC biết µ = 1100 A Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci = 16 17 17 a = 12; c = 8,2 Trang-3- 2.2 Cho tam giác ABC biếpt: b 7, c 5 cos A  Tính sinA, a , suy S, ha, R Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2.3 Cho tam giác ABC có AB = 10, AC = µ = 600 A a) Tính chu vi a tam giác b) Tính tanC Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp cơng thứci Loạng tốn 1i 3: Tính yến: Cho tam giác u tố tam giác biết độ dài cạnh tam giác biến: Cho tam giác t hai góc độ dài trung tuyến: Cho tam giác dài cạng toán 1nh đố tam giác biết độ dài cạnh.i diện tích tam giácn với góc cịn lạii góc cịn lạng tốn 1i Câu Giải tam giác ABC biết µ = 600, B µ = 400 A c = 14 Lời giải tham khảo µ µ µ 0 0 Ta có C = 180 - A - B = 180 - 60 - 40 = 80 Theo định lí sin ta có c sin A 14.sin600 = Þ a » 12,3 sinC sin800 c sin B 14.sin400 b= = Þ b » 9,1 sinC sin800 a= 3.1 Giải tam giác ABC , biết: µ = 300; b = 4,5; A Trang-4- Lưu ý Trong tam giác biếpt hai góc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R, dài cại tiếpnh đ i diệu n với i góc cịn lại tiếpi: áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng định lí cosin định lí sin.nh lí Sin tam giác để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi tính cại tiếpnh cịn lại tiếpi 3.2 Cho tam giác ABC cân tiếpi A biếpt Cµ = 750 a  3; B C 300 BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp cơng thứci Tính R, r, cại tiếpnh c, b, suy S Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci µABC µtiếp đường 3.3 Cho tam giác A = 30nội , B = 450 trịn bán kính 3, biết Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci Loại 4: Ứng dụng vào việc đo đạc thực tế Câu Để lập đường dây cao từ vị trí A đến ví trí B, ta phải tránh núi nên người ta phải nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 500m, nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài 300m Góc ^ ACB 70 Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B người ta tốn thêm m dây? Lưu ý B A 500m 300m C Lời giải tham khảo Ta có: AB = BC + AC - 2BC AC cos C » 487, 23(m) Vậy cần thêm 500 + 300 – 487,23 = 312.77 (m) dây D 4.2 Giải tham khảo sử 4.1 Hai tàu thuỷ Trang-5- A B C BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 60 Tàu thứ chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h Hỏi sau giời giải tham khảo hai tàu cách km ? Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci cần đo chiều cao CD tháp với C chân tháp, D đỉnh tháp Vì khơng để đến chân tháp nên từ hai điểm A, B có khoải tham khảong cách 30m cho ba điểm A, B, C thẳng hàng người giải tham khảoi ta đo góc   CAD 430 , CBD 760 Hãy tính chiều cao CD tháp Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci Dạng tốn 1ng tốn Chứcng minh quan hện tích tam giác giữaa yến: Cho tam giác u tố tam giác biết độ dài cạnh tam giác Phươ hs cần áp dụng trực tiếp cơng thứcng pháp   Để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi chứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng minh đ ng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c ta sửa chu vi tam giác; S dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng hệu thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c cơng ứng với cạnh BC, CA, AB; R, bải tốn.n để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi biếpn đổi vế thành vế kia, hai vế i vếp thành vếp kia, hai vếp vế biến đổi tương đương đẳng thức ng mộ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,t vếp hoặt khác c biếpn đổi vế thành vế kia, hai vế i tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng đương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng đẳng thức mộ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,t đ ng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c Để tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợi chứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng minh b t đ ng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c ta sửa chu vi tam giác; S dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng hệu thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c cơng ứng với cạnh BC, CA, AB; R, bải toán.n, b t đ ng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c cại tiếpnh tam giác b t đ ng thứng với cạnh BC, CA, AB; R,c cổi vế thành vế kia, hai vế điể tính số yếu tố trung gian cần thiết để thuận lợin (Cauchy, bunhiacôpxki,…) Câu Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A = sin B.sinC Chứng minh a) a = bc cosA ³ b) Lời giải tham khảo sin A = a) Áp dụng định lí sin ta có a b c , sin B = ,sinC = 2R 2R 2R ỉa ÷ b c ÷ sin A = sin B.sinC ỗ = a2 = bc ç ÷ ç è2R ÷ ø 2R 2R Suy b) Áp dụng định lí cơsin câu a) ta có Trang-6- đpcm Lưu ý BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC b2 + c2 - a2 b2 + c2 - bc 2bc - bc cosA = = ³ = 2bc 2bc 2bc đpcm BC = a, CA = b, AB = c 1.2 Cho tam giác ABC Chứng minh điều kiện 1.1 Tam giác ABC có trung tuyếpn AM = AB = c chứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng minh cần đủ để hai trung tuyến kẻ từ B C vng góc vế biến đổi tương đương đẳng thức ng: 2 với b + c = 5a a) a2 = 2(b2 - c2) b) sin2 A = 2(sin2 B - sin2 C ) Lời giải Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci 1.3 Chứng minh tam giác ABC ta có; a) a = b.cosC + c.cosB b) sin A = sin B cosC + sinC cosB Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci 1.4 Chứng minh tam giác ABC ta có; h = 2R sin B sinC a) a ma2 + mb2 + mc2 = (a2 + b2 + c2) b) Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp cơng thứci Dạng tốn 1ng tốn 3: Nhận dạng tam giácn dạng toán 1ng tam giác Câu Tìm tính ch t đặt khác c biệu t a tam giác ABC biếpt: 2a cos A b.cos C  c.cos B Trang-7- Lưu ý Cách khác: Áp dụng trực tiếp định lí cosin định lí sin.ng định lí cosin định lí sin.nh lí cosin: BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC a  b2  c a  c  b2  a 2a 2a  cos A   A 600 Lời giải tham khảo 2a cos A  Yêu cần lượt trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta cóu tốn tương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng đương ứng với cạnh BC, CA, AB; R,ng với i: 2(2 R sin A) cos A (2 R sin B) cos C  R sin C cos B  2sin A.cos A sin( B  C ) sin A  cos A  (do sin A 0)  A 600 Nhận lợin dại tiếpng tam giác ABC nếpu ta có 1.2 Nhận lợin dại tiếpng tam 1.1 ìï a = 2bcosC (1) ïï mb2 + mc2 = 5ma2 3 í a - b - c3 ïï a = Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp cơng thứci (2) a - b- c ïỵï Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci Câu Nhận dạng tam giác ABC biết giác ABC biếpt: Lưu ý a.sin A + bsin B + c sinC = + hb + hc Lời giải tham khảo 1 S = bc sin A = aha 2 Áp dụng cơng thức diện tích ta có suy a.sin A + bsin B + c sinC = + hb + hc Û a 2S 2S 2S 2S 2S 2S + b + c = + + bc ca ab a b c Û a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2 Û ( a - b) + ( b - c) + ( c - a) = Û a =b=c Vậy tam giác ABC 2.1 Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân = c.sin A Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci Trang-8- 2.2 Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC 4ma2 = b( b + 4c.cosA ) cân Lời giảii giản hs cần áp dụng trực tiếp công thứci BÀI GIẢNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trang-9-